Nesta se¸c˜ao, vamos mostrar alguns resultados envolvendo a cohomologia local definida por um par de ideais, dualidade de Matlis e an´eis Cohen-Macaulay. Mais especificamente, vamos investigar quando a o dual de certas cohomologias locais definidas por um par de ideais ´e um anel Cohen-Macaulay.
Relembre que, para(R, m) um anel local completo, o funtor de dualidade de Matlis D(−) =
Hom(−, E(R/m)) estabelece uma rela¸c˜ao entre m´odulos Artinianos e m´odulos finitamente
gerados [6, Teorema 10.2.12].
Para a cohomologia local definida por um par de ideais, Chu e Wang [10] mostraram
que, se (R, m) ´e um anel local e M um R-m´odulo finitamente gerado de dimens˜ao d, ent˜ao
Hd
I,J(M) ´e Artiniano.
Estes fatos ser˜ao importantes para nosso pr´oximo resultado.
Lema 3.0.24. Sejam (R, m) um anel local completo e I, J dois ideais de R. Considere M
um R-m´odulo finitamente gerado n˜ao nulo de dimens˜ao d. Se d≤ 2 e Hd
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Hom(Hd
I,J(M), E(R/m)) ´e um R-m´odulo Cohen-Macaulay de dimens˜ao d.
Demonstra¸c˜ao. Pelo [8, Teorema 2.3] existe um m´odulo quociente L de M satisfazendo
SuppRL ⊆ V (J) e dim L = d tal que HI,Jd (M) ≅ H
d
I(L). Como Hom(H
d
I(L), E(R/m)) ´e um R-m´odulo Cohen-Macaulay de dimens˜ao d [31, Lema 3.3] e
Hom(Hd
I,J(M), E(R/m)) ≅ Hom(H
d
I(L), E(R/m)),
temos a afirma¸c˜ao desejada.
O resultado anterior ´e uma generaliza¸c˜ao de [31, Lema 3.3]. Para o pr´oximo resultado, precisamos de um conceito generalizado de “filter-depth”para a cohomologia local definida por um par de ideais. Relembre que Chu e Wang [10, Teorema 2.4 e Proposi¸c˜ao 2.4] introduzi- ram o conceito de filter-depth definido por um par de ideais, denotado por f− depth(I, J, M). Este conceito foi tamb´em estudado por Tehranian e Talemi [52]. Mais especificamente, para (R, m) um anel local, I, J dois ideais de R e M um R-m´odulo finitamente gerado, Chu e Wang mostraram que
f− depth(I, J, M) = inf{i ∣ Hi
I,J(M) ´e n˜ao Artiniano} = inf{i ∣ Hi
I,J(M) /≅ Hm(M)}.i O pr´oximo resultado generaliza [31, Teorema 3.5] e [43, Teorema 4.3].
Teorema 3.0.25. Sejam (R, m) um anel local completo e I, J dois ideais de R. Considere
M um R-m´odulo finitamente gerado n˜ao nulo de dimens˜ao d tal que f− depth(I, J, M) ≥ d.
Se depth(Hom(Hm(M), E(R/m))) ≥ i − 1 para todo 2 ≤ i < d e Hi d
I,J(M) ≠ 0, ent˜ao
Hom(Hd
I,J(M), E(R/m))
´e um R-m´odulo Cohen-Macaulay de dimens˜ao d.
Demonstra¸c˜ao. Vamos usar indu¸c˜ao sobre d. Se d = 3, pela nossa hip´otese, Corol´ario
2.1.13 (4) e Proposi¸c˜ao 2.1.4 (3), existe x∈ m ∖ (⋃p∈AssR(M)p) ∪ (⋃q∈AssR(D(H2m(M)))q), onde
D(−) = Hom(−, E(R/m)). Note que, uma vez que f − depth ≥ 3, a aplica¸c˜ao D(HI,J(M))2 →x D(H2
I,J(M)) pode ser reescrita como D(Hm(M))2
x
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n˜ao divisor de zero de D(Hm(M))), a aplica¸c˜ao x. deve ser injetora (Observa¸c˜ao 1.2.12) e2
como Hm(M) ≅ H2 I,J(M), devemos ter que D(H2 2
I,J(M)) = 0. Assim, a partir da sequˆencia exata
0 → M → M → Mx /xM → 0
podemos considerar a sequˆencia exata 0 → D(HI,J(M))3 → Dx (H3
I,J(M)) → D(HI,J2 (M/xM)) → 0
e consequentemente o isomorfismo
D(HI,J(M))/xD(H3 3
I,J(M)) ≅ D(HI,J2 (M/xM)).
Pelo lema anterior e o [7, Teorema 2.1.3], temos que D(HI,J(M)) ´e um R-m´odulo Cohen-3
Macaulay de dimens˜ao d. Vamos assumir agora que d> 3 e que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para todos os valores menores que d. Como feito anteriormente, existe x ∈ m ∖ (⋃p∈AssR(M)p) ∪
(⋃d−1
i=1 ⋃q∈AssR(D(Hmi(M)))q), tal que a sequˆencia exata
0 → M → M → Mx /xM → 0
induz a sequˆencia exata longa 0 → D(Hd I,J(M)) x → D(HI,J(M)) → D(Hd d−1 I,J (M/xM)) → D(Hd−1 I,J (M)) x → D(Hd−1 I,J(M)) → ⋯.
Logo, pela sequˆencia exata anterior e que HI,J(M) ≅ Hi m(M) se i < d [10, Teorema 2.4 ei Proposi¸c˜ao 2.5] obtemos o isomorfismo
D(HI,Jd (M))/xD(HI,Jd (M)) ≅ D(HI,Jd−1(M/xM)) e D(Hi+1
m (M))/xD(Hmi+1(M)) ≅ D(Hm(M/xM)) para todo 2 ≤ i ≤ d − 2.i Pelas hip´oteses e o segundo isomorfismo, podemos concluir que
depthD(Hm(M/xM)) ≥ i − 1.i
Assim por indu¸c˜ao, D(Hd−1
I,J(M/xM)) ´e um R-m´odulo Cohen-Macaulay de dimens˜ao
d− 1. Portanto, D(Hd
I,J(M)) ´e um R-m´odulo Cohen-Macaulay de dimens˜ao d pelo primeiro
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O pr´oximo resultado ´e uma imediata consequˆencia do teorema anterior. Al´em disto este resultado generaliza [31, Corol´ario 3.7, Corol´ario 3.8 e Corol´ario 3.9], [11, Teorema 1.1 e Lema 3.5] e [12, Proposi¸c˜ao 2.5].
Corol´ario 3.0.26. Sejam (R, m) um anel local completo e I, J dois ideais de R. Considere
M um R-m´odulo finitamente gerado n˜ao nulo de dimens˜ao d tal que f− depth(I, J, M) ≥ d.
Se Hom(Hm(M), E(R/m)) ´e um R-m´odulo Cohen-Macaulay de dimens˜ao i para todo 1 ≤ i < di e Hd
I,J(M) ≠ 0, ent˜ao
Hom(Hd
I,J(M), E(R/m))
Cap´ıtulo 4
Cohomologia local formal definida por
um par de ideais
Neste cap´ıtulo vamos introduzir duas generaliza¸c˜oes do m´odulo de cohomologia local, o
qual chamaremos de m´odulo de cohomologia local formal e o ˇCech m´odulo de cohomologia
local formal, ambos definidos por um par de ideais. Mas, o que de fato ´e a cohomologia local formal?
O nascimento do termo “cohomologia local formal”foi atribu´ıdo a Peter Schenzel em [45] com o intuito de generalizar o conceito de cohomologia local j´a conhecido e, al´em disto, dar algumas contribui¸c˜oes geom´etricas. Fazendo uso desta nova ferramenta, foi proposto um diferente caminho para o entendimento da cohomologia local e quest˜oes envolvendo a mesma. Notou-se uma h´abil aplicabilidade desta nova ferramenta na busca de respostas sobre a conexidade do espectro de m´odulos. Por esses motivos, tal estrutura tornou-se objeto de estudo de diversos autores em diferentes vertentes, o qual comentaremos abaixo.
A constru¸c˜ao da cohomologia local formal ´e dada da seguinte forma. Seja x= x1, . . . , xrum sistema de elementos (isto ´e, uma sequˆencia de elementos) do anel local(R, m), b = Rad(xR) e ˇCx denota o complexo de ˇCech de R com respeito `a x. O sistema projetivo de R-m´odulos
{M/anM}
n∈N induz um sistema projetivo de R-complexos{ ˇCx⊗M/anM}. Considere o limite projetivo lim←Ð(Cxˇ ⊗ M/anM).
Para um inteiro i ∈ Z, a cohomologia Hi(lim
←Ð(Cxˇ ⊗ M/anM)) ´e chamada de i-´esimo a-
cohomologia local formal com respeito a b, denotado por ˇFia,b(M). No caso em que b = m
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Agora, considere a fam´ılia de m´odulos de cohomologia local{Hb(M/ai nM)}
n∈N. Para todo inteiro n, existe um homomorfismo natural Hb(M/ai n+1M) → Hb(M/ai nM) tal que a fam´ılia forma um sistema projetivo. O limite projetivo deste sistema lim←ÐHb(M/ai nM) ´e chamado de i-´esimo m´odulo de cohomologia local formal de M com respeito `a b e ´e denotado por Fia,b(M).
Em [45], quando b= m Schenzel provou o seguinte isomorfismo ˇFia,m(M) ≅ Fia,m(M), mos- trando a rela¸c˜ao entre a cohomologia local formal e limites projetivos de certas cohomologias locais.
Diversos autores tais como Gu [18], Bijan-Zadeh e Rezaei [4], Asgharzadeh-Divaani-Aazar [10], Mafi [33] e Eghbali [16] vem estudando temas como artinianissidade, condi¸c˜oes de fi- nitude, anulamento e n˜ao anulamento, primos associados e coassociados, rela¸c˜oes com an´eis Cohen-Macaulay, entre outros.
Como pode-se ver, a cohomologia local est´a intrinsecamente ligada ao conceito da cohomo- logia local formal. Assim, tendo em mente a generaliza¸c˜ao da cohomologia local apresentada no Cap´ıtulo 2, surgiram algumas perguntas as quais motivaram este trabalho. Entre as quest˜oes levantadas, citamos:
Quest˜oes:
1. ´E possivel generalizar a defini¸c˜ao da cohomologia local formal usando o conceito de cohomologia local definida por um par de ideais?
2. Uma vez definido este conceito, ´e poss´ıvel generalizar os resultados de Schenzel e estudar os demais temas j´a abordados para esta ferramenta?
3. Quais as poss´ıveis aplica¸c˜oes ´algebricas/geom´etricas?
Sendo assim neste cap´ıtulo, uma vez definido os conceitos que generalizam a cohomologia local formal, vamos estudar sua estrutura e dar v´arias propriedades tais como: condi¸c˜oes de anulamento e n˜ao anulamento, comportamento com respeito a sequˆencias exatas, entre outros.
Daremos uma vers˜ao da sequˆencia de Mayer–Vietoris para esta nova estrutura definida. Daremos tamb´em outras demonstra¸c˜oes da vers˜ao generalizada do teorema de dualidade local,