Sejam S : U ⊂ R2 → R3 uma superf´ıcie regular e α : [0, l] → S (U) curva parametrizada. Dizemos que α ´e curva simples, fechada e regular por partes quando:
(i) α (0) = α (l) .(condi¸c˜ao de fechamento de α)
(ii) se t1, t2∈ [0, l], t16= t2,ent˜ao α (t1)6= α (t2) .(condi¸c˜ao de simplicidade de α)
(iii)existe uma parti¸c˜ao 0 = t0< t1<· · · < tk< tk+1= lde [0, l] tal que α ´e regular em cada (ti, ti+1) , i = 0, 1, ..., k. (condi¸c˜ao de regularidade por partes)
Cada α (ti)na defini¸c˜ao acima ´e chamado v´ertice de α e α ((ti, ti+1))´e chamado de arco regular de α.
Uma regi˜ao R ⊂ S (U) (R ´e aberto conexo de S unido com sua fronteira) ´e dita regi˜ao simples se R ´e homeomorfa a um disco e sua fronteira ´e uma curva α simples fechada e regular por partes.
Dizemos que α ´e orientada positivamente quando em cada α′(t)temos uma base {α′(t) , h (t)}de T
α(t)Scom a mesma orienta¸c˜ao de {Su(u (t) , v (t)) , Sv(u (t) , v (t))} ´e tal que h (t) “aponta para dentro de de R”, isto ´e, para qualquer curva β : I ⊂ R −→ R ⊂ S (U) com β (0) = α (t) e β′(0)6= α′(t) , temos hβ′(0) , h (t)i > 0.
Denotemos lim t→ ti−
α′(t) = α′(t
i)− por vetor tangente a α em tipela esquerda e lim t→ ti+
α′(t) = α′(t
i)+ vetor tangente a α em ti pela direita. Seja θi a medida em radianos do ˆangulo entre α′(ti)
−
e α′(ti) +
, −π ≤ θi ≤ π, orientado conforme a orienta¸c˜ao de S.
Chamamos θi de ˆangulo externo de α no v´ertice α (ti) .
No caso de |θi|= π,isto ´e, o ponto α (ti)´e uma c´uspide, a orienta¸c˜ao de θi´e dada pela orienta¸c˜ao de θ, ˆangulo entre α′(t
i− ε)e α′(ti+ ε)para ε > 0 suficientemente pequeno, isto ´e, α (ti− ε)∈ α ((ti−1, ti))e α (ti+ ε)∈ α ((ti, ti+1)) .
a’(t )i- a’(t )i+ qi a’(t )i - a’(t )i+ |qi|=p a’(t - )i e a’(t + )i e a’(t + )i e a’(t - )ie a(t )i a(t )i q
Figura 67: Definindo ˆangulo externo em v´ertices de curvas.
A demonstra¸c˜ao da vers˜ao local do Teorema de Gauss-Bonnet pode ser encontrada em [3] p´aginas 322 e 323.
Teorema 6.2 (Gauss-Bonnet - vers˜ao local) Sejam S : U ⊂ R2 → R3 uma superficie parametrizada regular, R ⊂ S (U) uma regi˜ao simples com fronteira α orientada positivamente e parametrizada pelo comprimento de arco. Sejam α(t0), ..., α (tk)v´ertices de α e θ0, ..., θk as medidas de seus respectivos ˆangulos externos em radianos. Ent˜ao:
k P i=0 Zti−1 ti kg(t) dt + ZZ R Kdσ + k P i=0 θi= 2π,
sendo kg a curvatura geod´esica dos arcos regulares de α e K a curvatura gaussiana de S. Observa¸c˜ao: a integral de superf´ıcie
ZZ R
Kdσ´e dada por ZZ R Kdσ = ZZ S−1(R) K (u, v) q
E (u, v) G (u, v) − F2(u, v)dudv.
Exemplo 6.1 Se R for uma regi˜ao limitada por um triˆangulo geod´esico, ent˜ao kg(t) = 0, ∀t ∈ (ti, ti+1) e 2 P i=0 θi = 2 P i=0
(π − pi)sendo pi as medidas dos ˆangulos internos do triˆangulo. Logo, pelo Teorema de Gauss-Bonnet, temos ZZ R Kdσ + 2 P i=0 (π − pi) = 2π.
(i)Se K (u, v) = 0, ∀ (u, v) ∈ U, isto ´e, S ´e uma regi˜ao planar, temos que R ´e um triˆangulo euclidiano. Assim, temos 2
P i=0
(pi) = π
(ii) Se K (u, v) = 1, ∀ (u, v) ∈ U, isto ´e, S ´e a esfera de raio 1, ent˜ao ZZ
R
1dσ´e a ´area de R, ou seja,
A (R) = µP2 i=0 pi ¶ − π.
(iii) Se K (u, v) = −1, ∀ (u, v) ∈ U, isto ´e, S ´e um pseudo-esfera, ent˜ao a ´area de R ´e dada por: A (R) = π − µP2 i=0 pi ¶ . qi pi qi qi pi pi
Figura 68: O Teorema de Gauss-Bonnet e a ´area de triˆangulso geod´esicos.
Seja S : U ⊂ R2→ R3 uma superficie parametrizada regular. Seja R ⊂ S (U) conexo. Dizemos que R ´e uma regi˜ao regular quando R ´e compacta e sua fronteira ´e uma reuni˜ao finita de curvas fechadas simples e regulares por partes que n˜ao se intersectam.
Observa¸c˜ao: Uma superficie regular S compacta e conexa ´e considerada como sendo uma regi˜ao regular com fronteira vazia.
Uma regi˜ao simples com apenas trˆes v´ertices e ˆangulos externos θi6= 0; i = 1, 2, 3; ´e chamada de triˆangulo. Uma triangula¸c˜ao de uma regi˜ao regular R ⊂ S (U) ´e uma fam´ılia finita T de triˆangulos Ti; i = 1, 2, ..., n;tal que:
(i) n S i=1
Ti= R.
(ii)se Ti∩ Tj6= ∅, ent˜ao Ti∩ Tj´e uma aresta comum de Ti e Tjou um v´ertice comum de Ti e Tj.
Dada uma triangula¸c˜ao T de uma regi˜ao regular R ⊂ S (U) de uma superficie S, seja F o n´umero de triˆangulo (faces), A o n´umero de arcos regulares dos triˆangulos (arestas) e V o n´umero de v´ertices da triangula¸c˜ao. O n´umero χ = V −A+F ´e chamado de caracteristica de Euler-Poincar´e da triangula¸c˜ao. Em topologia, prova-se que χ depende apenas de R. Logo, podemos identificar χ = χ (R) .
A demonstra¸c˜ao da vers˜ao global do Teorema de Gauss-Bonnet e corol´arios pode ser encontrada em [3] p´aginas 328 a 331.
Teorema 6.3 (Gauss Bonnet - vers˜ao global) Sejam S : U ⊂ R2 → R3 uma superficie parametrizada regular, R⊂ S uma regi˜ao regular com fronteiras c1, ..., cn, curvas simples, fechadas, regular por partes e parametriazada pelo comprimento de arco. Suponha que cada ci est´a orientada positivamente e sejam θ1, ..., θp as medidas dos ˆangulos externos dos v´ertices das curvas ci.Ent˜ao:
n P i=1 Z Ci kg(t) dt + ZZ R Kdσ + p P j=0 θj= 2π.χ (R) .
sendo χ (R) a caracter´ıstica de Euler-Poincar´e da regi˜ao regular R. Corol´ario 6.1 Se R ´e uma regi˜ao simples de S, ent˜ao
Z C kg(t) dt + ZZ R Kdσ + p P j=0 θj= 2π,
sendo θ1, ..., θp as medidas dos ˆangulos externos dos v´ertices da curva C, fronteira de R. (ou seja, se R ´e uma regi˜ao simples, ent˜ao o teorema global se restringe ao teorema local)
Corol´ario 6.2 Se S ´e uma superficie compacta e orient´avel, ent˜ao: ZZ
S
Kdσ = 2π.χ (S) , que ´e chamada de curvatura integral ou curvatura global de S. Observa¸c˜oes:
(i)Se S for homeomorfa a uma esfera, temos ZZ
S
Kdσ = 4π. (ii) Se S for uma esfera de raio r, ent˜ao K (u, v) = 1
r2 e ZZ S Kdσ = 1 r2 ZZ S
1dσ = 4π,o que implica que a ´area da esfera de raio r ´e 4πr2.
6.6
Exerc´ıcios Extras
6.6.1
Curvas no Plano
(1) (a)Detemine a curva regular α de curvatura constante tal que α (0) = (1, 1) e α′(0) = (0, −1). (b) Determine as curvas regulares do plano cujas retas normais intersectam-se em um ponto fixo. (2) Considere a curva regular β (t) = (3 sen (t) , 6 cos (t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
(a)Que curva ´e esta? Fa¸ca um desenho.
(b) Determine os pontos onde a curvatura de β ´e m´axima e m´ınima.
(3) Seja α : R→ R2definida por α (t) = (t − sen (t) , cos (t) − 1). Mostre que: (a) α´e regular por partes. Fa¸ca um desenho de α. Que curva ´e esta?
(b) Considere os pontos onde β ´e regular.
(b.1)Determine a evoluta E de α. Fa¸ca um desenho.
(b.2)Mostre que existe uma transla¸c˜ao T : R2→ R2 tal que a curva β = T ◦ E tenha o mesmo tra¸co de α. (b.3)Mostre que existe uma mudan¸ca de parˆametros ϕ tal que α ◦ ϕ = β.
(c)Reparametriza α por comprimento de arco.
(4) Sejam α, β : I→ R2curvas regulares congruentes, isto ´e, existe uma rota¸c˜ao L e uma transla¸c˜ao T no R2 tais que α = L◦ T ◦ β. Mostre que α e β possuem a mesma curvatura.
(5) (a)Dˆe um exemplo, justificando, de uma curva cont´ınua que n˜ao ´e diferenci´avel.
(b) Dˆe um exemplo, justificando, de uma curva diferenci´avel n˜ao regular com uma reparametriza¸c˜ao regular. (6) Seja α : I→ R2uma curva regular. Interprete geometricamente, justificando:
(a)A curvatura de α.
(b) A fun¸c˜ao θ : I→ R definida por θ (s) = Zs
s0
k (u) du. (c)A evoluta de α.
(d)A involuta de α. (e) O sinal da curvatura k.
6.6.2
Curvas no Espa¸co
(1) Considere a curva regular
α (t) =¡1 + 2t + 3t2, 2 + t, 3 + t + t2¢, t ∈ R.
(a)Verifique se α ´e uma curva plana. Em caso afirmativo, determine o plano que cont´em o tra¸co de α. (b) Defina h´elice. Verifique se α ´e uma h´elice.
(2) (a) Seja α uma curva regular parametrizada por comprimento de arco com curvatura k (s) > 0. Mostre que se todos os planos osculares de α tˆem um ponto em comum, ent˜ao α ´e uma curva plana.
(b) Defina curvas congruentes. Usando o Teorema Fundamental das Curvas, justifique porque as curvas α (t) =³cos³√t 2 ´ ,sen³√t 2 ´ ,√t 2 ´ , t ∈ R e β (t) =³−cos³√t 2− 3π 4 ´ , −sen³√t 2− 3π 4 ´ ,√t 2 ´ , t ∈ R s˜ao congruentes.
6.6.3
Superf´ıcies
(1) Considere a superf´ıcie S (u, v) =¡u + v, u2, v3¢, (u, v) ∈ R2 ∗. (a)Mostre que S ´e regular.
(b) Descreva as curvas coordenadas de S em P = (0, 0).
(c) Calcule o comprimento da curva α (t) = (−t, t), 0 ≤ t ≤ 1, em S, isto ´e, o comprimento de β = S ◦ α, usando a Primeira Forma Quadr´atica para S.
(d) Calcule a curvatura normal de β em S, isto ´e, kn(β′(t)). Explique geometricamente a rela¸c˜ao entre kn e a curvatura k de β.
(e) Mostre que S tem pontos el´ıpticos, hiperb´olicos, parab´olicos e planares. S ´e uma superf´ıcie m´ınima? Por que? (2) Seja α (u) = (f (u) , 0, g (u)), u ∈ I, com f (u) > 0, ∀u ∈ I.
(a)Obtenha a superf´ıcie S de rota¸c˜ao de α em torno do eixo z.
(b)Se g (u) = u, mostre que se todos os pontos de S s˜ao parab´olicos, ent˜ao S ´e um cilindro circular reto ou ´e um cone. (c)Seja U uma regi˜ao limitada do R2tal que S|
U´e injetora. Mostre que A (S (U)) =
ZZ U
f (u) q
f′(u)2+ g′(u)2dudv.
6.7
Gabarito P1 Superf´ıcies
(1) (i) Defina superf´ıcie regular S. Uma superf´ıcie regular pode ter auto-intersec¸c˜oes? Justifique. (ii) Defina vetor tangente a S em P ∈ S. Defina o plano tangente a S em P, denotado por TPS.
(iii) Mostre que se X : U ⊂ R2 → Im X ⊂ S ⊂ R3 ´e uma pametriza¸c˜ao local de S em P = X (Q), ent˜ao B = {Xu(Q) , Xv(Q)}forma uma base para TPS.
(iv) Defina superf´ıcie parametrizada regular S. Uma superf´ıcie parametrizada regular pode ter auto-intersec¸c˜oes? Justifique.
Respostas.
(i) Um subconjunto S ⊂ R3 ´e uma superf´ıcie regular quando, para cada P ∈ S, existem um aberto U de R2, uma vizinhan¸ca V de P em R3 e uma aplica¸c˜ao X : U ⊂ R2−→ S ∩ V ⊂ R3 de classe C∞ tal que:
(a) X´e um homeomorfismo, isto ´e, X possui inversa X−1: S∩ V −→ U cont´ınua (logo, S ∩ V = Im X). (b) Sendo Q = X−1(P)∈ U, a diferencial dX
Q: R2−→ R3´e injetiva (condi¸c˜ao de regularidade).
Uma superf´ıcie regular n˜ao pode ter auto-intersec¸c˜oes. De fato, seja α : I → S a curva constituida pela auto- intersec¸c˜ao de S. Como S ´e regular, seja X : U → S parametriza¸c˜ao local de S em torno de P, ponto situado na auto-intersec¸c˜ao α de S, sendo U tomado de tal modo que Im X − Im α seja constitu´ıda por, no m´ınimo, 3 compo- nentes conexas (isto ´e sempre poss´ıvel de ser feito devido `a defini¸c˜ao de auto-intersec¸c˜ao). Como X ´e homeomorfismo, X−1(Im X − Im α) possui, no m´aximo, 2 componentes conexas em U. Assim, ter´ıamos um homeomorfismo que n˜ao preserva quantidades de componentes conexas. Uma contradi¸c˜ao. Logo, S n˜ao pode ter auto-intersec¸c˜oes.
(ii)Um vetor v do R3´e chamado de vetor tangente `a superf´ıcie regular S em P quando for vetor tangente `a alguma curva de S em P. Mais precisamente, quando existir α : ]a, b[ → S curva parametrizada de classe C1 em S com P = α (t0)tal que v = α′(t0). Denotamos o conjunto de todos os vetores tangentes a S em P por TPS.
´
E poss´ıvel provar que, se X ´e parametriza¸c˜ao local de S em P com X (Q) = P, ent˜ao dXQ¡R2¢= TPS. Estabelecendo, portanto, que TPS´e de fato um plano.
(iii) Considerando as bases canˆonicas de R2 e R3 temos que a matriz da diferencial dX
Q : R2 → R3, que ´e uma transforma¸c˜ao linear, ´e a matriz jacobiana de X em Q, dada por
[dXQ] = xu (Q) xv(Q) yu(Q) yv(Q) zu(Q) zv(Q) = JX (Q) , sendo x, y, z as fun¸c˜oes componentes de X.
Temos, portanto,
dXQ(e1) = (xu(Q) , yu(Q) , zu(Q)) = Xu(Q) dXQ(e2) = (xv(Q) , yv(Q) , zv(Q)) = Xv(Q)
sendo {e1,e2}base canˆonica de R2.
Suponhamos que ∃α1, α2∈ R tais que α1Xu(Q) + α2Xv(Q) =0. Seja w = (α1, α2) = α1e1+ α2e2∈ R2. Logo, dXQ(w) = dXQ(α1e1+ α2e2) = α1dXQ(e1) + α2dXQ(e2) = α1Xu(Q) + α2Xv(Q) =0.
Como dXQ´e injetiva, temos
w =0 =⇒ α1e1+ α2e2=0 =⇒ α1= α2= 0,
ou seja, Xu(Q)e Xv(Q)s˜ao linearmente independentes e, portanto, formam uma base para dXQ ¡R2¢
= TPS. (iv)Uma superf´ıcie parametrizada regular S ´e uma aplica¸c˜ao de classe C∞ dada por X : U ⊂ R2→ Im X = S ⊂ R3, sendo U aberto conexo do R2, tal que dX
Q ´e injetiva para qualquer Q ∈ U.
Observemos que, segundo a defini¸c˜ao acima, X n˜ao tem obriga¸c˜ao de ser homeomorfismo e a imagem de X pode, portanto, ter auto-intersec¸c˜oes (ou seja, X n˜ao precisa ser injetiva).
(2)Uma maneira de definir um sistema de coordenadas locais para a esfera S, dada por S =(x, y, z)∈ R3: x2+ y2+ (z − 1)2 = 1 ´e considerar a chamada proje¸c˜ao estereogr´afica
π : S − {N}⊂ R3 −→ R2 (x, y, z) 7−→ (u, v)
que leva um ponto P = (x, y, z) de S menos o p´olo norte N = (0, 0, 2) sobre o plano xy de tal modo que N, P e π (P) estejam alinhados.
(i)Mostre que
π−1: R2 −→ S − {N} (u, v) 7−→ µ 4u u2+v2+4,u2+v4v2+4, 2(u2+v2) u2+v2+4 ¶ .
(ii) Mostre que, utilizando a proje¸c˜ao estereogr´afica, ´e poss´ıvel cobrir S com duas vizinhan¸cas coordenadas. Respostas.
(i)Identificando π (P) = (u, v) ≡ (u, v, 0) temos que a reta que passa por N e π (P) possui equa¸c˜ao vetorial dada por (x, y, z) = (0, 0, 2) + λ ((u, v, 0) − (0, 0, 2)) = (λu, λv, 2 − 2λ), λ ∈ R.
(fa¸ca uma figura)
No ponto P = (x, y, z) ∈ S − {N} temos que existe λ ∈ R tal que (x, y, z) = (λu, λv, 2 − 2λ) e x2+ y2+ (z − 1)2 = 1. Logo,
(λu)2+ (λv)2+ (2 − 2λ − 1)2= 1⇒ λ2u2+ λ2v2+ 4λ2= 4λ e, como P 6= N temos λ 6= 0 e, portanto
λ =u2+v42+4. Assim, P = (x, y, z) = µ 4u u2+v2+4,u2+v4v2+4, 2(u2+v2) u2+v2+4 ¶ , ou seja, π−1: R2 −→ S − {N} (u, v) 7−→ µ 4u u2+v2+4,u2+v4v2+4, 2(u2+v2) u2+v2+4 ¶ .
(ii) Consideremos a proje¸c˜ao estereogr´afica de S − {O}, sendo O = (0, 0, 0) (p´olo sul) no plano z = 2 dada por π : S − {O}⊂ R3 −→ R2
(x, y, z) 7−→ (u, v)
que leva um ponto P = (x, y, z) de S menos o p´olo sul O = (0, 0, 0) sobre o plano z = 2 de tal modo que O, P e π (P) estejam alinhados.
Identificando π (P) = (u, v) ≡ (u, v, 2) temos que a reta que passa por O e π (P) possui equa¸c˜ao vetorial dada por (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ ((u, v, 2) − (0, 0, 0)) = (λu, λv, 2λ), λ ∈ R.
No ponto P = (x, y, z) ∈ S − {O} temos que existe λ ∈ R tal que (x, y, z) = (λu, λv, 2λ) e x2+ y2+ (z − 1)2= 1. Logo,
(λu)2+ (λv)2+ (2λ − 1)2= 1⇒ λ2u2+ λ2v2+ 4λ2= 4λ e, como P 6= O temos λ 6= 0 e, portanto
λ = 4 u2+v2+4. Assim, P = (x, y, z) =¡ 4u u2+v2+4,u2+v4v2+4,u2+v82+4 ¢ , ou seja, π−1: R2 −→ S − {O} (u, v) 7−→ ¡ 4u u2+v2+4,u2+v4v2+4,u2+v82+4 ¢ . Temos que X1: R2 −→ S − {N} (u, v) 7−→ π−1(u, v) e X2: R2 −→ S − {O} (u, v) 7−→ π−1(u, v) s˜ao pametriza¸c˜oes locais de S cuja reuni˜ao das vizinhan¸cas coordenadas cobrem S totalmente.
Verifica¸c˜ao da defini¸c˜ao:
(a) X1e X2s˜ao de classe C∞ pois suas fun¸c˜oes componentes o s˜ao. (b) X1e X2s˜ao homeomorfismos.
No caso de X1temos X−11 = ¡
π−1¢−1= π.
A equa¸c˜ao vetorial da reta que passa por N = (0, 0, 2) e P = (x, y, z) ∈ S − {N} ´e dada por (x, y, z) = (0, 0, 2) + λ ((x, y, z) − (0, 0, 2)).
(fa¸ca uma figura)
Mas π (P) = (u, v, 0) possui a ´ultima coordenada nula e est´a sobre a reta acima, ou seja, z = 0⇒ 2 + λ (z − 2) = 0⇒ λ = 2 2−z. Portanto, x = u = 2x 2−z e y = v = 2y 2−z. Logo, X−11 = π : S − {N} −→ R2 (x, y, z) 7−→ ³2−z2x ,2−z2y ´ que ´e cont´ınua.
Para X−12 o procedimento ´e an´alogo.
(c) d (X1)Q e d (X2)Q s˜ao injetivas. De fato para X1, pondo Q = (u, v), temos, h d (X1)Q i = 4 (u2+v2+4)2 −u2+ v2+ 4 −2uv −2uv u2− v2+ 4 4u 4v que possui posto 2 (verificar).
Para d (X2)Q o procedimento ´e an´alogo.
(3) (i) Defina mudan¸ca de coordenadas (ou mudan¸ca de parˆametros) e reparametriza¸c˜ao em uma vizinhan¸ca de um ponto P de uma superf´ıcie regular S.
(ii) Seja S o caten´oide tal que
X : R × ]0, 2π[ ⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3
(u, v) 7−→ (u, cosh (u) cos (v) , cosh (u) sen (v)) e
X : R × ]0, 2π[ ⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3
(u, v) 7−→ ³arcsenh (u) ,p1 + u2cos (v) ,p1 + u2sen (v)´ sejam parametriza¸c˜oes locais de S em P = X (Q) = X¡Q¢.
Mostre que X ´e uma reparametriza¸c˜ao de X em R × ]0, 2π[. Resolu¸c˜ao.
(i)Sejam S superf´ıcie regular, P ∈ S, U aberto de R2e
X : U⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3 (u, v) 7−→ X (u, v)
parametriza¸c˜ao local de S em torno de P. Sejam W aberto de R2e
h : W⊂ R2 −→ U ⊂ R2 (u, v) 7−→ h (u, v)
aplica¸c˜ao bijetiva de classe C∞ tal que h−1seja diferenci´avel (h ´e difeomorfismo). A aplica¸c˜ao composta
X : W⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3 (u, v) 7−→ X◦ h (u, v)
´e de classe C∞ (composta de aplica¸c˜oes de classe C∞) e tal que Im X = Im X. Mais que isso, como det Jh (u, v) 6= 0, ∀ (u, v) ∈ W, a aplica¸c˜ao X ´e uma parametriza¸c˜ao local de S em torno de P.
A aplica¸c˜ao h ´e chamada mudan¸ca de parˆametros (ou mudan¸ca de coordenadas) para S em torno de P. A aplica¸c˜ao X ´e chamada de reparametriza¸c˜ao local de S em torno de P.
(ii) Observemos que para u, u variando em R e v, v variando em ]0, 2π[ temos Im X = Im X. Seja W = R × ]0, 2π[. Logo,
h : R × ]0, 2π[ −→ R × ]0, 2π[ (u, v) 7−→ (u, v) = (arcsenh (u) , v) ´e a mudan¸ca de parˆametros procurada.
De fato, h ´e difeomorfismo, pois h ´e diferenci´avel e h−1(u, v) = (senh (u) , v) tamb´em o ´e (mais que isso, ambas s˜ao de classe C∞). Temos
X (h (u, v)) = X (arcsenh (u) , v)
= (arcsenh (u) , cosh (arcsenh (u)) cos (v) , cosh (arcsenh (u)) sen (v)) =
µ
arcsenh (u) , q
1 +senh2(arcsenh (u)) cos (v) , q
1 +senh2(arcsenh (u)) sen (v) ¶
=³arcsenh (u) ,p1 + u2cos (v) ,p1 + u2sen (v)´ = X (u, v).
Conclus˜ao: X ´e reparametriza¸c˜ao de X em R × ]0, 2π[. (4) Sejam S uma superf´ıcie regular e
X : U⊂ R2 −→ Im X ⊂ S ⊂ R3 (u, v) 7−→ X (u, v) uma parametriza¸c˜ao local de S em P = X (Q).
Mostre que se w ∈ TPS´e tal que P = α (t0)e w = α′(t0), sendo α : I⊂ R −→ S⊂ R3
t 7−→ X (u (t) , v (t)) curva regular sobre S, ent˜ao w = (u′(t
0) , v′(t0))na base B = {Xu(Q) , Xv(Q)}de TPS. Defina a Primeira Forma Quadr´atica IP de S em P.
Defina os coeficientes E, F e G da Primeira Forma Quadr´atica de S na parametriza¸c˜ao X. Deduza a express˜ao de IP em termos coeficientes E (Q), F (Q) e G (Q).
Resolu¸c˜ao.
De P = X (Q) = α (t0)temos X (Q) = X (u (t0) , v (t0))⇒ Q = (u (t0) , v (t0))devido `a injetividade de X. Consideremos {Xu(Q) , Xv(Q)}, a base associada a X em TPS.
De α (t) = X (u (t) , v (t)) temos, pela Regra da Cadeia, α′(t) = X
u(u(t), v(t))u′(t) + Xv(u(t), v(t))v′(t). Em t = t0temos
w = α′(t
0) = Xu(Q)u′(t0) + Xv(Q)v′(t0), ou seja, w = (u′(t
0) , v′(t0))na base B = {Xu(Q) , Xv(Q)}de TPS.
Denotemos por h., .i o produto interno usual de R3. O produto interno h., .i induz um produto interno h., .i P no plano tangente TPS ⊂ R3. Como h., .iP ´e uma forma bilinear sim´etrica em TPS, podemos definir a seguinte forma quadr´atica em TPS:
IP: TPS −→ R
w 7−→ hw, wiP = |w| 2
chamada de Primeira Forma Quadr´atica, ou Primeira Forma Fundamental de S em P. Sejam E, F, G : U ⊂ R2−→ R fun¸c˜oes definidas por
E (u, v) =hXu(u, v), Xu(u, v)iX(u,v)= |Xu(u, v)|2, F (u, v) =hXu(u, v), Xv(u, v)iX(u,v),
G (u, v) =hXv(u, v), Xv(u, v)iX(u,v)= |Xv(u, v)|2.
Essas fun¸c˜oes s˜ao de classe C∞ em U e s˜ao chamadas de Coeficientes da Primeira Forma Quadr´atica de S na Parametriza¸c˜ao X. Temos IP(w) = hw, wiP =hα′(t0), α′(t0)iP =hXu(Q)u′(t0) + Xv(Q)v′(t0), Xu(Q)u′(t0) + Xv(Q)v′(t0)iP =hXu(Q), Xu(Q)iPu′(t0)2+ 2hXu(Q), Xv(Q)iPu′(t0)v′(t0) +hXv(Q), Xv(Q)iPv′(t0)2. Logo, IP(w) = E(Q)u′(t0)2+ 2F(Q)u′(t0)v′(t0) + G(Q)v′(t0)2. (5) Seja S um toro de revolu¸c˜ao tal que:
− a intersec¸c˜ao de S com o plano xy sejam as circunferˆencias de equa¸c˜oes x2+ y2= 1e x2+ y2= 9;
− a intersec¸c˜ao de S com o plano yz sejam as circunferˆencias de equa¸c˜oes (y − 2)2+ z2= 1e (y + 2)2+ z2= 1; − a intersec¸c˜ao de S com o plano xz sejam as circunferˆencias de equa¸c˜oes (x − 2)2+ z2= 1e (x + 2)2+ z2= 1. (i)Encontre uma parametriza¸c˜ao local de S tal que sua imagem cubra S menos um meridiano e um paralelo. (ii) Mostre que S ´e uma superf´ıcie regular.
(iii)Calcule a ´area de S utilizando a Primeira Forma Quadr´atica.