As geod´esicas sobre uma superf´ıcie regular S podem ser pensadas intuitivamente como sendo as “curvas sobre S que minimizam distˆancias”. As geod´esicas desempenham, portanto, o mesmo papel que as retas no plano euclidiano.
DERIVADA COVARIANTE
Sejam S superf´ıcie regular orientada,
W : S⊂ R3 −→ R3
P 7−→ W (P)
um campo diferenci´avel de vetores sobre S e
α : I⊂ R −→ S ⊂ R3
t 7−→ α (t)
curva regular sobre S.
Tomemos a restri¸c˜ao do campo W sobre α, ou seja, o campo diferenci´avel de vetores
w : I⊂ R −→ R3
t 7−→ W (α (t)) ao longo da curva α.
Logo, podemos considerar o campo
w′ : I⊂ R −→ R3 t 7−→ w′(t) ao longo da curva α.
Para cada ponto α (t) ∈ S, podemos considerar a proje¸c˜ao ortogonal de w′(t)no plano tangente T
α(t)S. Este novo campo de vetores ´e chamado de derivada covariante do campo w ao longo da curva α e ser´a indicado por
Dw dt : I⊂ R −→ R 3 t 7−→ Dwdt (t) =projTα(t)Sw ′(t) S y z x N P( ) a R3 w t
¢
( ) Ta( )tS w t( ) Dw dt ( )t a( )tFigura 44: Definindo derivada covariante.
Uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante ocorre quando tomamos w (t) = α′(t), ou seja, quando W restrita a α ´e o campo de vetores velocidade de α. Logo, w′(t) = α′′(t)´e o campo de vetores acelera¸c˜ao de α e o campo derivada covariante de w ser´a o campo “componente da acelera¸c˜ao sobre a superf´ıcie S”, ou seja, podemos pensar na derivada covariante como sendo a acelera¸c˜ao sobre S. Nesse sentido, ´e razo´avel imaginar que, sendo t o tempo, uma part´ıcula
α (t) percorrendo α com velocidade α′(t)constante (podemos imaginar α pca) ter´a acelera¸c˜ao restrita sobre S dada por Dα′
dt (t). Sendo assim, nossa intui¸c˜ao nos leva a pensar que uma part´ıcula, presa a uma superf´ıcie, deslizando sobre uma curva que minimiza a distˆancia entre dois pontos sobre a superf´ıcie n˜ao pode estar sobre a a¸c˜ao de uma for¸ca que a “puxe lateralmente”. Isto significa que a acelera¸c˜ao exercida sobre a part´ıcula restrita `a superf´ıcie deve ser nula ao longo da curva. ´E f´acil imaginar esta situa¸c˜ao quando pensamos em uma part´ıcula deslizando sobre uma reta em um plano: se houvesse acelera¸c˜ao “lateral” a part´ıcula se desviaria da trajet´oria retil´ınea.
´
E baseados na interpreta¸c˜ao geom´etrica descrita acima que definimos geod´esica de uma superf´ıcie.
Uma curva parametrizada regular α : I ⊂ R → S ´e chamada de geod´esica de S quando seu campo de vetores tangentes α′(t)´e tal que a derivada covariante de α′(t)ao longo de α ´e nula, ou seja, Dα′
(t)
dt = 0, para qualquer t ∈ I. Observa¸c˜oes:
(i)A defini¸c˜ao acima significa que α ´e geod´esica se, e somente se, o vetor α′′(t)´e paralelo ao vetor N (α (t)) da Aplica¸c˜ao Normal de Gauss restrita a α.
(ii) Se α′′(t) 6= 0, para qualquer t ∈ I, ent˜ao o vetor normal principal de α em t, dado por N (t) = α′′
(t) |α′′
(t)| ´e paralelo a o vetor N (α (t)) da Aplica¸c˜ao Normal de Gauss restrita a α.
(iii)A defini¸c˜ao acima foi dada em termos de parametriza¸c˜ao. Uma curva (conjunto de pontos) sobre S pode ser geod´esica para uma parametriza¸c˜ao e n˜ao ser para outra.
Exemplo 42. Se uma superf´ıcie regular orientada S possui uma reta, ent˜ao esta reta ´e uma geod´esica de S
De fato, se α (t) ´e uma reta pca em S, ent˜ao α′′(t) = 0 para qualquer t, ent˜ao α′′(t)´e paralelo a N (α (t)), ou seja, α ´e geod´esica.
Observa¸c˜ao: Seja α (t) uma sec¸c˜ao normal de S em P0 = α (t0) ∈ S. Embora α′′(t0)seja paralelo a N (P0) nessa situa¸c˜ao, nem sempre a sec¸c˜ao normal α ´e geod´esica de S, pois os vetores α′′(t)e N (α (t)) podem ser paralelos apenas em P0.
Exemplo 43.1. Cilindro circular parametrizado por X (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) com (u, v) ∈ ]0, 2π[ × R. Os meridianos do cilindro s˜ao geod´esicas (pois s˜ao retas).
Seja α (t) = (cos (t) , sen (t) , c) com c constante e t ∈ ]0, 2π[ (um c´ırculo menos um ponto contido no cilindro). Temos α′′(t) = (−cos (t) , − sen (t) , 0) e
n (u, v) = N (X (u, v)) = (cos (u) , sen (u) , 0) =⇒ n (u (t) , v (t)) = n (t, c) = (cos (t) , sen (t) , 0) (observemos que α (t) = X (t, c)).
Logo, α′′(t)´e paralelo a n (t, c), ou seja, α (t) ´e uma geod´esica em S. Seja α (t) = (cos (t) , sen (t) , t) (uma h´elice circular contida no cilindro). Temos α′′(t) = (−cos (t) , − sen (t) , 0) e
n (u, v) = (cos (u) , sen (u) , 0) =⇒ n (u (t) , v (t)) = n (t, t) = (cos (t) , sen (t) , 0) (observemos que α (t) = X (t, t)).
Logo, α′′(t)´e paralelo a n (t, t), ou seja, α (t) ´e uma geod´esica em S.
Paralelos (círculos)
Meridiano (retas)
Hélice
Proposi¸c˜ao 4.30 Seja S superf´ıcie regular orientada. Se α : I→ S ´e uma geod´esica de S, ent˜ao: (a) |α′(t)|´e constante para qualquer t ∈ I;
(b) Se α for parametrizada pelo comprimento de arco, α′′(t)6= 0 e n (t) = N (α (t)), ent˜ao: (i) n′(t) = −kα(t) Tα(t) − τα(t) Bα(t), quando α′′(t)possui o mesmo sentido de N (α (t)). (ii) n′(t) = kα(t) Tα(t) + τα(t) Bα(t), quando α′′(t)e N (α (t)) possuem sentidos opostos. Sendo N aplica¸c˜ao Normal de Gauss sobre S, kα a curvatura e τα a tor¸c˜ao de α, respectivamente. Demonstra¸c˜ao.
(a)Como α′′(t)´e normal a S em α (t), isto ´e, hα′′(t) , α′(t)i = 0, temos d dt ³ |α′(t)|2´= d dthα ′(t) , α′(t)i = 2hα′′(t) , α′(t)i = 0, ou seja |α′(t)| = c, constante.
(b)Como α ´e geod´esica, ent˜ao α′′(t)e, portanto, α′′(t) |α′′
(t)|´e normal `a superf´ıcie S em α (t). Logo, α′′(t) |α′′ (t)| =±N (α (t)) = ±n (t). (i)se α ′′ (t) |α′′(t)| = n (t), ent˜ao n′(t) = −kα(t) Tα(t) − τα(t) Bα(t) (2 a . Equa¸c˜ao de Frenet). (ii)se α ′′ (t) |α′′ (t)| = −n (t), ent˜ao −n′(t) = −kα(t) Tα(t) − τα(t) Bα(t) (2 a . Equa¸c˜ao de Frenet) ⇒ n′(t) = kα(t) Tα(t) + τα(t) Bα(t), como quer´ıamos. ¤
Exemplo 43.2. Mostremos que uma curva α na esfera ´e uma geod´esica se, e somente se, α ´e um c´ırculo m´aximo. De fato:
(⇒) Primeiramente, observemos que qualquer curva sobre uma esfera n˜ao pode conter segmentos de reta. Logo, a curvatura de uma curva parametrizada α sobre uma esfera pode se anular apenas em pontos isolados, o que permite concluir que existem intervalos I ⊂ R tais que kα(t)6= 0 (equivalentemente α′′(t)6= 0) para qualquer t ∈ I.
Em uma esfera S de raio r > 0 tomemos a parametriza¸c˜ao local X (u, v) = (r cos (u) cos (v) , r cos (u) sen (v) , r sen (u)) com (u, v) ∈¤−π 2, π 2 £ × ]0, 2π[.
Tomemos uma ged´esica α (t) = X (u (t) , v (t)) parametrizada pelo comprimento de arco sobre S tal que α′′(t)6= 0 para t ∈ I. Observando que ¯¯¯X(u,v)r
¯ ¯
¯ = 1 e que X (u, v) ⊥ TX(u,v)S, podemos tomar n, Aplica¸c˜ao Normal de Gauss, coincidindo com −X
r. Logo, α (t) = X (u (t) , v (t)) = −rn (u (t) , v (t)) = −rN (α (t)) = −rn (t).
Observemos que na parametriza¸c˜ao X acima, α′′e N possuem o mesmo sentido (o campo N aponta “para dentro” da esfera).
Pela proposi¸c˜ao acima
n′(t) = −kα(t) Tα(t) − τα(t) Bα(t)⇒ −α ′ (t) r = −kα(t) Tα(t) − τα(t) Bα(t)⇒ −Tα(t) r = −kα(t) Tα(t) − τα(t) Bα(t)⇒ ¡ −1 r + kα(t) ¢ Tα(t) + τα(t) Bα(t) =0⇒ ¯ −1r+ kα(t) = 0 τα(t) = 0 ⇒ ¯ kα(t) = 1r τα(t) = 0
ou seja, α est´a sobre S, ´e plana e possui curvatura constante igual a 1
r. Logo, α ´e arco de c´ırculo de raio r, portanto, α´e arco de c´ırculo m´aximo da esfera S.
(⇐) Seja α c´ırculo m´aximo, parametrizado pelo comprimento de arco, da esfera S de raio r e seja N Aplica¸c˜ao Normal de Gauss sobre S. Logo α coincide com uma sec¸c˜ao normal de S, o que significa que α′(t), α′′(t)e N (α (t)) s˜ao coplanares. Como α′′(t)⊥ α′(t)e N (α (t)) ⊥ α′ (pois α′(t)∈ T
α(t)S e N (α (t)) ⊥ Tα(t)S) temos que α′′(t)´e paralelo a N (α (t)). Portanto, α ´e geod´esica de S.
Observa¸c˜ao: Considere o plano π gerado por N (α (t)) e α′(t)passando por α (t) em uma superf´ıcie regular orientada S. Vamos supor α parametrizada pelo comprimento de arco e α′′(t)6= 0. Se α ´e uma geod´esica, ent˜ao α′′
(t) |α′′
(t)| =±N (α (t)). Logo, o plano π ´e gerado por α′(t)e α′′(t), ou seja, π ´e o plano osculador de α em t. Conclus˜ao: se α ´e uma geod´esica em S, ent˜ao o plano osculador de α em t ´e perpendicular ao plano tangente `a superf´ıcie S em α (t).
S´IMBOLOS DECHRISTOFFEL
Sejam S superf´ıcie regular orientada e X : U ⊂ R2−→ Im X ⊂ S ⊂ R3 parametriza¸c˜ao local de S.
Temos que Xu(u, v), Xv(u, v) e n (u, v) = |XXuu×X×Xvv|(u, v) formam um conjunto linearmente independente. Logo, {Xu, Xv, n}forma uma base de R3 para cada (u, v) ∈ U.
Deste modo, os vetores Xuu(u, v), Xuv(u, v)e Xvv(u, v)podem ser escritos como combina¸c˜oes lineares de Xu, Xv e n, ou seja
Xuu(u, v) = Γ111Xu(u, v) + Γ112Xv(u, v) + a11n (u, v)
Xuv(u, v) = Γ121Xu(u, v) + Γ122Xv(u, v) + a12n (u, v) (4.17) Xvv(u, v) = Γ221Xu(u, v) + Γ222Xv(u, v) + a22n (u, v)
sendo Γk
ij = Γijk(u, v)∈ R e aij = aij(u, v)∈ R.
Sabemos que hnu, ni (u, v) = 0 e hnv, ni (u, v) = 0. Portanto, nu e nv s˜ao vetores do plano tangente a S em P = X (Q), Q = (u, v). Logo, ¯
nu(u, v) = b11Xu(u, v) + b12Xv(u, v)
nv(u, v) = b21Xu(u, v) + b22Xv(u, v) (4.18) sendo bij= bij(u, v)∈ R.
Ap´os algumas contas: Γ1
11(u, v) = GEu
−2FFu+FEv
2(EG−F2) (u, v) Γ112 (u, v) = 2EFu
−EEv−FEu
2(EG−F2) (u, v)
Γ121 (u, v) = GEv−FGu
2(EG−F2)(u, v) Γ122 (u, v) = EGu
−FEv
2(EG−F2)(u, v)
Γ1
22(u, v) = 2GF2(EG−Fv−GGu2−FG) v(u, v) Γ222 (u, v) =EGv2(EG−F−2FFv+FG2) u (u, v)
b11(u, v) = EG−FfF−eG2(u, v) b12(u, v) =
eF−fE EG−F2(u, v)
b21(u, v) = EG−FgF−fG2(u, v) b22(u, v) =
fF−gE EG−F2(u, v)
(4.19)
a11(u, v) = e (u, v); a12(u, v) = f (u, v); a22(u, v) = g (u, v) Os n´umeros reais Γk
ij; k, i, j = 1, 2; s˜ao chamados S´ımbolos de Christoffel da superf´ıcie S. Notemos que os S´ımbolos de Christoffel dependem apenas da Primeira Forma Quadr´atica de S.
Proposi¸c˜ao 4.31 Sejam S superf´ıcie regular orientada, X : U ⊂ R2−→ Im X ⊂ S ⊂ R3 parametriza¸c˜ao local de S e α : I⊂ R −→ S ⊂ R3, α (t) = X (u (t) , v (t)) curva regular sobre S. Ent˜ao, α ´e uma geod´esica (portanto, |α′|constante) de S se, e somente se, as fun¸c˜oes u = u (t) e v = v (t) satisfazem o sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias
± u′′+ (u′)2 Γ1 11+ 2u′v′Γ121 + (v′) 2 Γ1 22= 0 v′′+ (u′)2 Γ2 11+ 2u′v′Γ122 + (v′) 2 Γ2 22= 0 .
(todas as fun¸c˜oes acima aplicadas em t) Demonstra¸c˜ao.
Sendo α (t) = X (u (t) , v (t)) curva regular, ent˜ao em t temos α′ = u′Xu(u, v) + v′Xv(u, v)⇒
α′′= u′′Xu(u, v) + u′(Xuu(u, v) u′+ Xuv(u, v) v′) + v′′Xv(u, v) + v′(Xvu(u, v) u′+ Xvv(u, v) v′) = u′′Xu(u, v) + (u′)2Xuu(u, v) + u′v′Xuv(u, v) + v′′Xv(u, v) + v′u′Xvu(u, v) + (v′)2Xvv(u, v) = u′′Xu(u, v) + (u′)2Xuu(u, v) + 2u′v′Xuv(u, v) + v′′Xv(u, v) + (v′)2Xvv(u, v).
Mas, em t temos
Xuu(u, v) = Γ111Xu(u, v) + Γ112Xv(u, v) + a11n (u, v) Xuv(u, v) = Γ121Xu(u, v) + Γ122Xv(u, v) + a12n (u, v) Xvv(u, v) = Γ221Xu(u, v) + Γ222Xv(u, v) + a22n (u, v)
sendo Γk
ij = Γijk(u, v) e aij = aij(u, v).
Por outro lado, sendo e = e (u, v), temos em t: e =hXuu(u, v) , n (u, v)i
=Γ111Xu(u, v) + Γ112Xv(u, v) + a11n (u, v) , n (u, v) ® =Γ111Xu(u, v) , n (u, v) ® +Γ112Xv(u, v) , n (u, v) ® +ha11n (u, v) , n (u, v)i = Γ1
11hXu(u, v) , n (u, v)i + Γ112 hXv(u, v) , n (u, v)i + a11hn (u, v) , n (u, v)i = Γ1 11.0 + Γ112.0 + a11.1 = a11. Analogamente, f = a12e g = a22. Deste modo, em t: α′′= u′′Xu(u, v) + (u′) 2¡
Γ111 Xu(u, v) + Γ112Xv(u, v) + en (u, v) ¢ + 2u′v′¡Γ121Xu(u, v) + Γ122Xv(u, v) + fn (u, v)
¢ + v′′X
v(u, v) + (v′)2¡Γ221Xu(u, v) + Γ222 Xv(u, v) + gn (u, v)¢
= u′′Xu(u, v) + (u′)2Γ111Xu(u, v) + (u′)2Γ112Xv(u, v) + (u′)2en (u, v) + 2u′v′Γ1
12Xu(u, v) + 2u′v′Γ122 Xv(u, v) + 2u′v′fn (u, v) + v′′Xv(u, v) + (v′) 2 Γ1 22Xu(u, v) + (v′) 2 Γ2 22Xv(u, v) + (v′) 2 gn (u, v) =³u′′+ (u′)2Γ111 + 2u′v′Γ121 + (v′)2Γ221´Xu(u, v) +³(u′)2Γ112 + 2u′v′Γ122 + v′′+ (v′)2Γ222´Xv(u, v) +³(u′)2e + 2u′v′f + (v′)2g´n (u, v).
⇒) Como α ´e uma geod´esica de S, para todo t ∈ I, α′′(t) n˜ao tem componente tangencial `a surperf´ıcie, ou seja, escrevendo α′(t) na base {X
u(u (t) , v (t)) , Xv(u (t) , v (t)) , n (u (t) , v (t))}, os coeficientes de α′(t)que multiplicam Xu(u (t) , v (t))e Xv(u (t) , v (t))devem ser nulos.
Assim,
u′′+ (u′)2Γ111 + 2u′v′Γ121 + (v′)2Γ221 = 0 (u′)2Γ112 + 2u′v′Γ122 + v′′+ (v′)2Γ222 = 0
⇐) Por outro lado, se as equa¸c˜oes acima s˜ao verdadeiras, ent˜ao, em t:
α′′=³(u′)2e + 2u′v′f + (v′)2g´n (u, v), ou seja, α′′(t)´e ortogonal a T
α(t)S, ou seja, α′′(t)´e paralelo a n (u (t) , v (t)). Logo, α ´e uma geod´esica. ¤ Observemos a proposi¸c˜ao afirma tamb´em traz a informa¸c˜ao de que as geod´esicas dependem apenas dos S´ımbolos de Christoffel e, portanto, as geod´esicas dependem apenas da Primeira Forma Quadr´atica de S. Isto j´a era de se esperar, pois as geod´esicas est˜ao relacionadas com minimiza¸c˜ao de distˆancias sobre S e, portanto, com comprimentos de curvas sobre S. Desta forma, as geod´esicas fazem parte da geometria intr´ınseca da superf´ıcie e, portanto, independe do espa¸co externo no qual a superf´ıcie est´a inserida.
Exemplo 44. Plano: X (u, v) = P + uw1+ vw2com u, v ∈ R. Tomemos Xu(Q) =w1 e Xv(Q) =w2.
Temos E = |w1|2, F = hw1,w2i, G = |w2|2, Eu = Ev = 0, Fu= Fv= 0e Gu = Gv. Substituindo no sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias acima:
¯ u′′= 0 v′′= 0 =⇒ ¯ u′= b v′ = d =⇒ ¯ u = a + bt v = c + dt . Logo, α (t) = X (a + bt, c + dt) = P + (a + bt)w1+ (c + dt)w2=⇒ α (t) = P + aw1+ cw2+ t (bw1+ dw2).
Logo, α ´e geod´esica do plano se, e somente se, α ´e uma reta.
Exemplo 45. Vimos que S S s˜ao superf´ıcies isom´etricas se, e somente se, existirem parametriza¸c˜oes locais tais que E = E, F = F e G = G.
Sejam
X (u, v) = (u, v, 0); 0 < u < 2π; v ∈ R. (parte do plano)
X (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) ; 0 < u < 2π; v ∈ R. (parte do cilindro) Assim, E = 1 = E, F = 0 = F e G = 1 = G.
Observemos que em superf´ıcies isom´etricas os S´ımbolos de Christoffel s˜ao iguais. Logo, se α (t) = X (u (t) , v (t)) ´e uma geod´esica em S, ent˜ao α (t) = X (u (t) , v (t)) ´e uma geod´esica em S.
Como vimos no exemplo anterior, u (t) = a + bt e v (t) = c + dt. Logo, as geod´esicas do cilindro s˜ao α (t) = X (a + bt, c + dt)=⇒ α (t) = (cos (a + bt) , sen (a + bt) , c + dt) .
Se b = 0 e d 6= 0, ent˜ao α (t) = (cos (a) , sen (a) , c + dt) ´e um meridiano do cilindro. Se b 6= 0 e d = 0, ent˜ao α (t) = (cos (a + bt) , sen (a + bt) , c) ´e um c´ırculo do cilindro. Se b 6= 0 e d 6= 0, ent˜ao α (t) = (cos (a + bt) , sen (a + bt) , c + dt) ´e uma h´elice do cilindro. E estes trˆes tipos de curvas s˜ao as ´unicas geod´esicas poss´ıveis em um cilindro. (veja a Figura 45) Outra conseq¨uˆencia importante da proposi¸c˜ao acima:
Se S e S s˜ao superf´ıcies isom´etricas, φ : S −→ S ´e uma isometria entre S e S e α (t) = X (u (t) , v (t)) ´e uma geod´esica em S (X parametriza¸c˜ao local de S), ent˜ao φ ◦ α (t) = φ (X (u (t) , v (t))) ´e uma geod´esica em S.
Por fim a proposi¸c˜ao que afirma que as geod´esicas minimizam distˆancias. Sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [1].
Proposi¸c˜ao 4.32 Sejam α uma geod´esica de uma superf´ıcie regular orientada e P1 e P2 pontos sobre α. Ent˜ao a curva de menor comprimento ligando P1e P2 sobre S ´e um arco da pr´opria geod´esica α.