Estamos interessados em realizar um estudo do qu˜ao r´apido uma superf´ıcie regular S afasta-se do seu plano tangente em um ponto P ∈ S. Isto equivale a estudar a velocidade com que a dire¸c˜ao de um vetor ortonormal a S em P varia em uma vizinhan¸ca de P contida em S.
Desta forma, somos remetidos naturalmente ao estudo de uma taxa de varia¸c˜ao relacionada a um campo difer- enci´avel N : S→ S2 de vetores ortonormais a S (sendo S2 a esfera unit´aria bidimensional), ou seja, somos remetidos ao estudo da diferencial de N em P ∈ S. Sendo assim, precisamos de N definida, de fato, em toda a superf´ıcie S e, portanto, S deve ser orient´avel (Proposi¸c˜ao 4.15).
Um campo diferenci´avel N de vetores ortonormais sobre uma superf´ıcie regular S orient´avel ser´a chamado de Aplica¸c˜ao Normal de Gauss.
Se considerarmos uma orienta¸c˜ao para S (veja defini¸c˜ao na se¸c˜ao anterior), ou seja, se considerarmos que S est´a orientada, podemos encontrar uma express˜ao natural para uma Aplica¸c˜ao Normal de Gauss N sobre vizinhan¸cas coordenadas de S proveniente de parametriza¸c˜oes X da orienta¸c˜ao de S:
N : Im X ⊂ S ⊂ R3 −→ S2⊂ R3 X (u, v) 7−→ Xu(u,v)×Xv(u,v)
|Xu(u,v)×Xv(u,v)| .
Observemos que se tivermos duas parametriza¸c˜oes X e X provenientes da mesma orienta¸c˜ao de S tais que X (u, v) = X (u, v) = P, ent˜ao N (X (u, v)) = N¡X (u, v)¢ (pois esses dois vetores ortonormais a S em P dever˜ao ter o mesmo sentido, portanto, ser˜ao iguais). Com isso, temos que N n˜ao depende particularmente de cada parametriza¸c˜ao da orienta¸c˜ao mas sim da orienta¸c˜ao como um todo. Tamb´em ´e conveniente observar que h´a duas maneiras de definir N a partir da orienta¸c˜ao de S: uma delas ´e a maneira acima, e a outra ´e N (X (u, v)) = − Xu(u,v)×Xv(u,v)
|Xu(u,v)×Xv(u,v)|.
Quando escolhermos uma parametriza¸c˜ao X : U ⊂ R2 → Im X ⊂ S ⊂ R3 de uma orienta¸c˜ao de S ´e conveniente tomar N em fun¸c˜ao de (u, v) ∈ U. Neste caso, como j´a fizemos na se¸c˜ao anterior, escreveremos
n = N◦ X : U ⊂ R2 −→ S2⊂ R3 (u, v) 7−→ n (u, v) = N (X (u, v))
S y z x R3 N( )P3 P3 y z x u v R2 U P4 P1P2 N( )P4 N( )P2 N( )P1 N( )P4 N( )P3 N( )P2 N( )P1 S2 Q1 Q2 Q3 Q4 X N n=N
¿
XFigura 30: Aplica¸c˜ao Normal de Gauss. ´E comum representar os vetores N (P) sobre a pr´opria superf´ıcie S. Doravante trabalharemos apenas com superf´ıcies regulares S orientadas (ou seja, com uma orienta¸c˜ao fixada) e, toda vez que precisarmos expressar N em termos de alguma parametriza¸c˜ao local de S, esta parametriza¸c˜ao ser´a tomada da orienta¸c˜ao de S.
Exemplo 24.2. Seja o parabol´oide de revolu¸c˜ao S parametrizado localmente por X (u, v) =¡u, v, u2+ v2¢com (u, v) ∈ R2. Temos X
u(u, v) = (1, 0, 2u)e Xv(u, v) = (0, 1, 2v). Logo, (Xu× Xv) (u, v) = (−2u, −2v, 1)e |(Xu× Xv) (u, v)| = √
1 + 4u2+ 4v2. Assim,
n : R2 −→ S⊂ R3
(u, v) 7−→ √(−2u,−2v,1) 1+4u2+4v2 ´e Aplica¸c˜ao Normal de Gauss sobre S.
Sendo N campo diferenci´avel sobre S, podemos tomar a diferencial de N em P, dNP : TPS→ TN(P)S2,
sendo TN(P)S2 o plano tangente a S2 em N (P), ou seja, o plano ortogonal a Xu(Q)× Xv(Q) com X (Q) = P, considerando uma parametriza¸c˜ao local X de S em torno de P. Portanto, ambos os planos s˜ao paralelos. Desta forma, podemos fazer a identifica¸c˜ao TPS≡ TN(P)S2(pois vetores n˜ao dependem de posi¸c˜ao) e considerar
dNP : TPS→ TPS.
Vamos explorar alguns aspectos geom´etricos de dNP e, para isso, tomemos uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, α : I ⊂ R −→ Im X ⊂ S ⊂ R3tal que α (t
0) = P. Logo, N (t) = N (α (t)), t ∈ I, ´e uma curva em S2. O vetor tangente a α em P ´e α′(t
0)∈ TPS. Logo, N′(t0) = dNP(α′(t0))e podemos pensar que |dNP(α′(t0))| indica a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea da dire¸c˜ao dos vetores N (t) em t0, ou a velocidade com que os vetores N (t) mudam de dire¸c˜ao em t0, ao longo da curva α em uma vizinhan¸ca de P.
S y z x a R3 a ( )
¢
t0 T SP y x S2 P N P( ) TN P( )S2 N P( ) N z t0 a b t R a N=N¿
a dNP N t¢
( )0 =dNP(a ( ))¢
t0Figura 31: |dNP(α′(t0))|indica a a velocidade com que os vetores N (t) mudam de dire¸c˜ao em t0, ao longo da curva α em uma vizinhan¸ca de P.
Como α ´e uma curva pca arbitr´aria sobre S passando por P, podemos imaginar, portanto, que o operador linear dNP est´a relacionado, de alguma forma, com a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea da dire¸c˜ao dos vetores normais a S em uma vizinhan¸ca de P, ou seja, o qu˜ao r´apido S se afasta de TPSem uma vizinhan¸ca de P.
´
E o estudo de dNP que ir´a gerar o conceito de curvatura gaussiana de S em P, conforme veremos adiante. Exemplo 24.3. Seja S =©(x, y, z)∈ R3: ax + by + cz + d = 0, com a2+ b2+ c26= 0ªplano. Uma Aplica¸c˜ao Nor- mal de Gauss N pode ser tomada como sendo
N : S⊂ R3 −→ S2⊂ R3 (x, y, z) 7−→ √(a,b,c)
a2+b2+c2 .
Seja P ∈ S qualquer. Logo, a matriz de dNP em rela¸c˜ao `a base canˆonica do espa¸co ´e a matriz nula e, portanto, dNP : TPS⊂ R3 −→ TPS⊂ R3
w 7−→ 0
.
Observemos que dNP(w) = 0w, ou seja, 0 ´e autovalor de dNP e qualquer vetor de TPS ´e autovetor de dNP associado ao autovalor 0. Veremos adiante que o estudo de autovalores de dNP desempenha um papel importante na teoria de superf´ıcies.
Por fim, observemos que |dNP(w)| = |0w| = 0, ou seja, a velocidade com que os vetores da aplica¸c˜ao N mudam de dire¸c˜ao em uma vizinhan¸ca de P ´e nula.
Exemplo 24.4. Seja S =©(x, y, z)∈ R3: x2+ y2+ z2= r2, com r > 0ªesfera de raio r. Uma Aplica¸c˜ao Normal de Gauss N pode ser tomada como sendo
N : S⊂ R3 −→ S2⊂ R3 (x, y, z) 7−→ ¡x r, y r, z r ¢ .
De fato, se α (t) = (x (t) , y (t) , z (t)), t ∈ I ⊂ R, ´e curva regular pca sobre S, ent˜ao α′(t) = (x′(t) , y′(t) , z′(t))´e vetor tangente a S em α (t) e, portanto, α′(t)∈ Tα(t)S. Assim, de x2(t) + y2(t) + z2(t) = r2 temos
2x (t) x′(t) + 2y (t) y′(t) + 2z (t) z′(t) = 0⇒ h(x (t) , y (t) , z (t)) , (x′(t) , y′(t) , z′(t))i = 0 ⇒ D³ x(t) r , y(t) r , z(t) r ´ , (x′(t) , y′(t) , z′(t))E= 0⇒
e, como α ´e uma curva arbitr´aria em S, conclu´ımos que N (x (t) , y (t) , z (t)) ⊥ α′(t), ou seja, N (x (t) , y (t) , z (t)) ⊥ Tα(t)S, como quer´ıamos.
Seja P ∈ S qualquer. A matriz de dNP em rela¸c˜ao `a base canˆonica do espa¸co ´e a matriz 1rId3, sendo Id3a matriz identidade de ordem 3 e, portanto,
dNP : TPS⊂ R3 −→ TPS⊂ R3
w 7−→ w
r .
Observemos que dNP(w) = 1rw, ou seja, 1r ´e autovalor de dNP e qualquer vetor de TPS ´e autovetor de dNP associado ao autovalor 1
r. Como dito no exemplo acima, veremos adiante que o estudo de autovalores de dNP ´e importante.
Por fim, observemos que se w = α′(t), ent˜ao |dN
P(w)| = ¯ ¯w r ¯ ¯ = ¯¯¯α′ (t) r ¯ ¯
¯ = 1r, ou seja, a velocidade com que os vetores da aplica¸c˜ao N mudam de dire¸c˜ao em uma vizinhan¸ca de P ao longo de α ´e constante e igual a 1
arbitr´aria, conclu´ımos que a velocidade com que os vetores da aplica¸c˜ao N mudam de dire¸c˜ao em uma vizinhan¸ca de P´e constante e igual a 1
r.
Exemplo 24.5. Seja S =©(x, y, z)∈ R3: x2+ y2= r2, com r > 0ªcilindro circular de raio r e eixo z. Uma Aplica¸c˜ao Normal de Gauss N pode ser tomada como sendo
N : S⊂ R3 −→ S2⊂ R3 (x, y, z) 7−→ ¡x r, y r, 0 ¢ .
De fato, se α (t) = (x (t) , y (t) , z (t)), t ∈ I ⊂ R, ´e curva regular pca sobre S, ent˜ao α′(t) = (x′(t) , y′(t) , z′(t))´e vetor tangente a S em α (t) e, portanto, α′(t)∈ T
α(t)S. Assim, de x2(t) + y2(t) = r2temos 2x (t) x′(t) + 2y (t) y′(t) = 0⇒ h(x (t) , y (t) , 0) , (x′(t) , y′(t) , z′(t))i = 0 ⇒ D³ x(t) r , y(t) r , 0 ´ , (x′(t) , y′(t) , z′(t))E= 0
e, como α ´e uma curva arbitr´aria em S, conclu´ımos que N (x (t) , y (t) , z (t)) ⊥ α (t), ou seja, N (x (t) , y (t) , z (t)) ⊥ Tα(t)S, como quer´ıamos.
Seja P ∈ S qualquer. A matriz de dNP em rela¸c˜ao `a base canˆonica do espa¸co ´e a matriz [dNP] = 1 r 0 0 0 1r 0 0 0 0 e, portanto, dNP : TPS⊂ R3 −→ TPS⊂ R3 w = (a, b, c) 7−→ ¡a r, b r, 0 ¢ . Observemos que TPSsempre ser´a um plano ortogonal ao plano coordenado xy.
Seja P ∈ S qualquer. Observemos que, ao contr´ario dos exemplos anteriores, n˜ao h´a um autovalor de dNP tal que qualquer vetor de TPSseja autovetor de dNP associado a este autovalor.
Fa¸camos escolhas.
Se w = (0, 0, c) ∈ TPS(observe que, de fato, w desta forma est´a em TPS), ent˜ao dNP(w) = 0 = 0w e teremos que 0 ´e autovalor de dNP tal que os vetores da forma w = (0, 0, c) ∈ TPS s˜ao autovetores associados ao autovalor 0. Do ponto de vista geom´etrico, |dNP(w)| = 0 significa que n˜ao h´a varia¸c˜ao da dire¸c˜ao dos vetores de N em uma vizinhan¸ca de P na dire¸c˜ao de w.
Se w = (a, b, 0) ∈ TPS(observe que sempre ´e poss´ıvel encontrar a e b tais que w est´a em TPS), ent˜ao dNP(w) = 1rw e teremos que 1
r ´e autovalor de dNP tal que os vetores da forma w = TPSs˜ao autovetores associados ao autovalor 1r. Do ponto de vista geom´etrico, se tomarmos w = α′(t), ent˜ao |dN
P(w)| = ¯ ¯1 rα′(t) ¯ ¯ = 1
r, ou seja, a velocidade com que os vetores da aplica¸c˜ao N mudam de dire¸c˜ao em uma vizinhan¸ca de P ao longo de α ´e constante e igual a 1
r. Observemos que os autovetores associados ao autovalor 0 e os autovetores associados ao autovalor 1
r s˜ao ortogonais. O que est´a ocorrendo no exemplo acima ser´a sistematizado. Provaremos que dNP ter´a dois autovalores (n˜ao necessariamente distintos) que fornecer˜ao a maior e a menor velocidade de mudan¸ca de dire¸c˜ao dos vetores de N em uma vizinhan¸ca de P e, mais ainda, provaremos que essas taxas de varia¸c˜ao m´axima e m´ınima ocorrem em dire¸c˜oes ortogonais, ou seja, os respectivos autovetores s˜ao ortogonais.
Tamb´em ser´a bastante conveniente “diminuir uma dimens˜ao” no trato com dNP, ou seja, como TPS≡ R2, podemos fixar uma base B para TPSe considerar os vetores w de TPS com duas coordenadas nessa base. Assim,
dNP: ¡R2¢B −→ ¡R2¢B w 7−→ dNP(w)
e, com isto, a matriz do operador dNP em rela¸c˜ao `a base B ser´a do ordem 2. Veremos adiante que, al´em da “base natural” B1de TPS constitu´ıda pelos vetores Xu e Xv, sendo X parametriza¸c˜ao local de S, sempre existir´a uma base ortonormal B2 de TpS constitu´ıda por autovetores de dNP e, com isso, na base B2, a matriz [dNP]B2 ser´a diagonal com os dois autovalores citados acima na diagonal principal. Como veremos, este enfoque trar´a ´otimas vantagens no desenvolvimento do conceito de curvatura de superf´ıcies.
Por fim, um exemplo para enfatizar que, de fato, precisamos desenvolver mais a teoria. Quando a superf´ıcie n˜ao ´e t˜ao simples quando `as que tratamos nos exemplos acima, o estudo da taxa de varia¸c˜ao do campo N pode n˜ao ser trivial.
Exemplo 24.6. Seja S = ©(x, y, z)∈ R3: z = y2− x2ªo parabol´oide hiperb´olico. Aqui, ao contr´ario dos exemplos anteriores, percebemos que encontrar uma express˜ao para uma Aplica¸c˜ao Normal de Gauss N : S→ S2n˜ao ´e tarefa trivial.
Sendo assim, vamos considerar uma parametriza¸c˜ao local de S, que pode ser dada por X (u, v) =¡u, v, v2− u2¢ com (u, v) ∈ R2, e a Aplica¸c˜ao Normal de Gauss associada a esta parametriza¸c˜ao, n = N ◦ X, ´e dada por
n : R2 −→ S2 (u, v) 7−→ Xu×Xv |Xu×Xv|(u, v) , ou seja, n (u, v) = µ u √ u2+v2+1 4 ,√ −v u2+v2+1 4 , 1 2√u2+v2+1 4 ¶ .
Vamos restringir nosso estudo a um ´unico ponto de S: o ponto de sela P = (0, 0, 0) = X (0, 0).
Neste caso Xu(0, 0) = (1, 0, 0)e Xv(0, 0) = (0, 1, 0)formam uma base para TPS(que ´e o pr´oprio plano xy). Seja w = (a, b, 0) ∈ TPS qualquer e α : I→ S, α (t) = X (u (t) , v (t)), curva regular em S tal que α (t0) = P e α′(t0) =w. Logo, α (t0) = P⇒ X (u (t0) , v (t0)) = X (0, 0)⇒ ¯ u (t0) = 0 v (t0) = 0 e α′(t0) =w⇒ Xu(u (t0) , v (t0)) u′(t0) + Xv(u (t0) , v (t0)) v′(t0) = (a, b, 0)⇒ Xu(0, 0) u′(t0) + Xv(0, 0) v′(t0) = (a, b, 0)⇒ (u′(t0) , 0, 0) + (0, v′(t0) , 0) = (a, b, 0)⇒ ¯ u′(t 0) = a v′(t 0) = b . Assim, N (α (t)) = N (X (u (t) , v (t))) = n (u (t) , v (t))⇒ dNP(w) = nu(u (t0) , v (t0)) u′(t0) + nv(u (t0) , v (t0)) v′(t0)⇒ dNP(a, b, 0) = nu(0, 0) a + nv(0, 0) b⇒ dNP(a, b, 0) = (2a, −2b, 0).
Se fizermos w1 = (a, 0, 0)∈ TPS temos dNP(w1) = 2w1 e, se fizermos w2= (0, b, 0) ∈ TPS temos dNP(w2) = −2w2, ou seja, 2 e −2 s˜ao autovalores de dNP.
Observemos que Xu(0, 0)e Xv(0, 0)s˜ao autovetores associados aos autovalores 2 e −2 e formam uma base ortonor- mal de TPS. Em rela¸c˜ao a esta base, a matriz de dNP ´e dada por
[dNP] = · 2 0 0 −2 ¸ .
PRELIMINARES DAAPLICAC¸ ˜AONORMAL DE GAUSS
Dizemos que um operador linear L : V→ V, sendo V espa¸co vetorial munido de produto interno, ´e um operador linear auto-adjunto quando hL (v) , wi = hv, L (w)i, ∀v, w ∈ V.
Com respeito `a Aplica¸c˜ao Normal de Gauss N temos a seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 4.17 Sejam S superf´ıcie regular orientada e N : S→ S2 Aplica¸c˜ao Normal de Gauss definida sobre S e P∈ S. Ent˜ao, dNP: TPS−→ TPS´e um operador linear auto-adjunto.
Demonstra¸c˜ao.
A diferencial dNP´e linear, logo, basta tomarmos uma base B1= {e1,e2}de TPSe mostrarmos que hdNP(e1) ,e2i = he1, dNP(e2)i.
Seja P = X (Q) para alguma parametriza¸c˜ao local X cuja vizinhan¸ca coordenada est´a na orienta¸c˜ao de S. Como os vetores Xu(Q)e Xv(Q)formam uma base para TPS, basta mostrar que hdNP(Xu(Q)) , Xv(Q)i = hXu(Q) , dNP(Xv(Q))i.
Sejam α : I −→ Im X curva regular tal que α(t0) = P e α : I −→ U tal que α (t) = X (α (t)), sendo α (t) = (u (t) , v (t)). Logo, α (t0) = (u (t0) , v (t0)) = Q. Desta maneira, α(t) = X(u(t), v(t))⇒ α′(t) = Xu(u (t) , v (t)) u′(t) + Xv(u (t) , v (t)) v′(t)⇒ α′(t0) = Xu(u (t0) , v (t0)) u′(t0) + Xv(u (t0) , v (t0)) v′(t0)⇒ α′(t0) = Xu(Q) u′(t0) + Xv(Q) v′(t0), ou seja, α′(t 0) = (u′(t0) , v′(t0))na base {Xu(Q) , Xv(Q)}de TPS. Seja a Aplica¸c˜ao Normal de Gauss
N : Im X ⊂ S −→ S2
X (u, v) 7−→ n (u, v) = N (X (u, v)) . Fazendo N restrita a α temos
N (α (t)) = n (u (t) , v (t))⇒ N′(α (t)) = n′(u (t) , v (t))⇒ dNα(t)(α′(t)) = nu(u (t) , v (t)) u′(t) + nv(u (t) , v (t)) v′(t)⇒ dNα(t0)(α ′(t 0)) = nu(u (t0) , v (t0)) u′(t0) + nv(u (t0) , v (t0)) v′(t0)⇒ dNP(Xu(Q) u′(t0) + Xv(Q) v′(t0)) = nu(Q) u′(t0) + nv(Q) v′(t0)⇒ dNP(Xu(Q)) u′(t0) + dNP(Xv(Q)) v′(t0) = nu(Q) u′(t0) + nv(Q) v′(t0)⇒ (dNP(Xu(Q)) − nu(Q)) u′(t0) = (nv(Q) − dNP(Xv(Q))) v′(t0). Notemos que, como a curva regular α passando por P ´e arbitr´aria e u′(t
0) e v′(t0) s˜ao as coordenadas do vetor velocidade α′(t
0) na base {Xu(Q) , Xv(Q)} de TPS, dependendo de α, u′(t0) e v′(t0) podem assumir quaisquer valores reais. Como os vetores dNP(Xu(Q)) − nu(Q)e nv(Q) − dNP(Xv(Q))n˜ao dependem de α, a ´unica maneira da ´ultima equa¸c˜ao acima ficar satisfeita ´e quando os vetores dNP(Xu(Q)) − nu(Q)e nv(Q) − dNP(Xv(Q))forem
nulos. Logo, ¯
dNP(Xu(Q)) = nu(Q) dNP(Xv(Q)) = nv(Q) .
Desta forma, para mostrar que dNP ´e auto-adjunta, basta mostrar que hnu(Q) , Xv(Q)i = hXu(Q) , nv(Q)i.
Temos que hn(Q), Xu(Q)i = 0 e hn(Q), Xv(Q)i = 0 (pois ambos s˜ao ortogonais em P). Derivando em rela¸c˜ao a v e a u, respectivamente, temos ¯
hnv(Q), Xu(Q)i + hn(Q), Xuv(Q)i = 0 hnu(Q), Xv(Q)i + hn(Q), Xvu(Q)i = 0 . Como Xuv= Xvu, pois X ´e diferenci´avel, temos
hnu(Q), Xv(Q)i = hnv(Q), Xu(Q)i = hXu(Q) , nv(Q)i ,
como quer´ıamos. ¤
Antes de avan¸carmos mais nas propriedades da Aplica¸c˜ao Normal de Gauss, ´e conveniente ter em vista alguns resultados de ´Algebra Linear.
Seja S superf´ıcie regular orientada, P ∈ S e N : S → S2Aplica¸c˜ao Normal de Gauss sobre S.
O fato de dNP ser um operador linear auto-adjunto permite-nos associar a dNP a forma bilinear sim´etrica B : TPS× TPS −→ R
(w, z) 7−→ hdNP(w) , zi
. (4.2)
(podemos checar facilmente que B (w, z) = B (z, w) e, assim, conclu´ımos que B ´e, de fato, sim´etrica). Podemos tamb´em associar a B a forma quadr´atica
Q : TPS −→ R
w 7−→ B (w, w) = hdNP(w) , wi
. (4.3)
Lema 4.1 Se
T : S1 −→ R
(x, y) 7−→ ax2+ 2bxy + cy2 possui um ponto cr´ıtico de m´aximo em (1, 0), ent˜ao b = 0.
Demonstra¸c˜ao.
Em uma vizinhan¸ca V de (1, 0) em S1podemos expressar x em fun¸c˜ao de y, ou seja, x = x (y). Assim, se derivarmos T (y) = T (x (y) , y) em rela¸c˜ao a y em V, temos
T′(y) = 2a x (y) x′(y) + 2b x (y) + 2by x′(y) + 2cy. (4.4) Como em V, x (y) =p1 − y2, temos
x′(y) = − y
x (y). (4.5)
Substituindo (4.4) em (4.5) temos
T′(y) = −2ay + 2b x (y) − 2b y 2
x (y)+ 2cy. No ponto (x (y) , y) = (1, 0), temos
T′(0) = 2b.
Mas pela hip´otese, temos que (1, 0) ´e ponto cr´ıtico de m´aximo de T . Logo, T′(0) = 0⇒ 2b = 0 ⇒ b = 0,
como quer´ıamos. ¤
Proposi¸c˜ao 4.18 Sejam S superf´ıcie regular orientada, P ∈ S, N : S → S2 Aplica¸c˜ao Normal de Gauss sobre S e Q : TPS → R forma quadr´atica associada a dNP (ou seja, Q (w) = B (w, w) = hdNP(w) , wi). Ent˜ao, existe B1= {e1,e2}, base ortonormal de TPS tal que se w ∈ TPS, w = xe1+ ye2, ent˜ao Q (w) = λ1x2+ λ2y2, para algum λ1, λ2∈ R. Al´em disso, λ1e λ2 s˜ao valores m´aximo e m´ınimo de Q em S1⊂ TPS.
Demonstra¸c˜ao.
Devido ao fato de Q ser cont´ınua e S1⊂ T
PSser compacto, temos que Q possui m´aximo e m´ınimo em S1. Sejam λ1um valor m´aximo de Q em S1e e1 ponto de m´aximo de Q em S1associado a λ1, ou seja, Q (e1) = λ1.
Seja e2um vetor unit´ario ortogonal a e1 e seja Q (e2) = λ2. Mostremos que B1= {e1,e2}satisfaz ao enunciado. Seja w ∈ TPS, w = xe1+ ye2. Logo, recordando que B (w, z) = hdNP(w) , zi, temos
Q(w) = B (w, w)
= B (xe1+ ye2, xe1+ ye2) = x2B (e
1,e1) + 2xyB (e1,e2) + y2B (e2,e2).
Como e1´e escrito com coordenadas (1, 0) na base B = {e1,e2} e ´e ponto de m´aximo de Q em S1, temos, pelo lema anterior, que B(e1,e2) = 0. Logo,
Q (w) = Q (e1) x2+Q (e2) y2 = λ1x2+ λ2y2.
Resta mostrar que λ2´e valor m´ınimo de Q em S1. Mas λ1≥ λ2, assim, para qualquer w = xe1+ ye2∈ TPStemos Q (w) = λ1x2+ λ2y2
≥ λ2x2+ λ2y2 = λ2(x2+ y2)
= λ2(pois x2+ y2= 1),
o que conclui a demonstra¸c˜ao. ¤
Proposi¸c˜ao 4.19 Sejam S superf´ıcie regular orientada, P ∈ S, N : S → S2 Aplica¸c˜ao Normal de Gauss sobre S e Q : TPS → R forma quadr´atica associada a dNP (ou seja, Q (w) = B (w, w) = hdNP(w) , wi). Ent˜ao, existe uma base ortonormal B1 = {e1,e2} de TPS tal que dNP(e1) = λ1e1 e dNP(e2) = λ2e2, sendo λ1≥ λ2 valores m´aximo e m´ınimo de Q em S1⊂ T
Demonstra¸c˜ao.
Observa¸c˜ao: e1e e2s˜ao autovetores e λ1e λ2s˜ao autovalores de dNP.
Com base na proposi¸c˜ao anterior, existe B = {e1,e2}, base de TPSconstitu´ıda de vetores unit´arios ortogonais tais
que ¯
Q (e1) = λ1 Q (e2) = λ2 , sendo λ1≥ λ2 valores m´aximo e m´ınimo de Q em S1.
Precisamos, portanto, mostrar que dNP(e1) = λ1e1e dNP(e2) = λ2e2. Ainda pela proposi¸c˜ao anterior temos
hdNP(e1) ,e2i = B (e1,e2) = 0, o que implica dNP(e1) =0 ou dNP(e1)´e paralelo a e1, ou seja,
dNP(e1) = βe1
e, neste caso, λ1= B (e1,e1) =hdNP(e1),e1i = hβe1,e1i = β, o que resulta dNP(e1) = λ1e1.
No caso dNP(e1) =0, basta fazer λ1= 0.
Para concluir que dNP(e2) = λ2e2, basta observar que B (e2,e1) = B (e1,e2)e aplicar o mesmo racioc´ınio acima. Notemos tamb´em que a matriz do operador linear dNP : TPS → TPS em rela¸c˜ao `a base B1 = {e1,e2} de TPS ´e diagonal, com os autovalores λ1e λ2na diagonal, ou seja,
[dNP]B1= · λ1 0 0 λ2 ¸ . (4.6) ¤