3 Metode
3.9 Studiens kvalitet
3.9.4 Refleksivitet
Nesta se¸c˜ao provamos o resultado central para a constru¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de Lyapunov para um semigrupo de tipo gradiente. Tal resultado assegura a existˆencia de uma fun¸c˜ao cont´ınua, com propriedades bastante particulares, associada a um par atrator-repulsor. A demonstra¸c˜ao que daremos, ainda que esteja fortemente inspirada na que se encontra em [12], ´e distinta por v´arias raz˜oes. Estas distin¸c˜oes, em geral, se originam no fato de que n˜ao trabalhamos, necessariamente, com grupos em espa¸cos de fases compactos.
Por outro lado, ainda que em [20] todas as propriedades das decomposi¸c˜oes de Morse estejam apresentadas para semigrupos, l´a n˜ao se encontra uma constru¸c˜ao de qualquer tipo de fun¸c˜ao de Lyapunov para um par atrator-repulsor de um semigrupo. Para cumprir nosso objetivo, ´e necess´ario introduzir os efeitos da fun¸c˜ao dada no lema a seguir.
Lema 4.2.1. Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X := (X, d)
possuindo atrator global A. A fun¸c˜ao h : X → R definida por h (x) := sup
t≥0
d (T (t) x,A) , x ∈ X,
est´a bem definida, ´e cont´ınua e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes de T (·) com h(x) = 0
se, e somente se, x∈ A.
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, como para todo x∈ X existe tx > 0 tal que T (t) x ∈
O1(A) sempre que t ≥ tx e a fun¸c˜ao real [0, tx] ∋ t 7−→ d (T (t) x, A) ∈ R ´e cont´ınua
definida em um compacto, segue-se que a fun¸c˜ao h est´a bem definida, ou seja, assume valores reais em todos os pontos de X.
Por outro lado, dado ε > 0 seja 0 < ε′ < ε tal que γ+(O
ε′(A)) ⊂ Oε(A) , o que
prova a continuidade de h nos pontos de A.
Consideremos agora x0 ∈ X\A um ponto qualquer, ent˜ao h (x0) > 0. Consideremos
tamb´em Oµ(A) para algum 0 < µ < h (x0) e, pela continuidade da fun¸c˜ao distˆancia
ao conjuntoA, seja V uma vizinhan¸ca limitada de x0 tal que d (x,A) > µ sempre que
x∈ V . Finalmente, seja τ > 0 de modo que γ+
τ (V )⊂ Oµ(A) .
Da´ı conclui-se facilmente a continuidade de h em x0, uma vez que para x∈ V temos
h (x) = sup
0≤t≤τ
d (T (t) x,A) , e como a fam´ılia de aplica¸c˜oes {T (t) : 0 ≤ t ≤ τ} ´e equi- cont´ınua em todos os pontos de V e a fun¸c˜ao distˆancia ao conjuntoA ´e uniformemente cont´ınua, a fun¸c˜ao h|V: V → R resulta cont´ınua, completando a prova da continuidade
Para ver que h ´e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes, dados x∈ X e t1 > 0 tem-se h (T (t1) x) = sup t≥0 d (T (t) T (t1) x,A) = sup t≥0 d (T (t + t1) x,A) = sup t≥t1 d (T (t) x,A) ≤ sup t≥0 d (T (t) x,A) = h (x) , como quer´ıamos demonstrar.
Com a ajuda deste ´ultimo resultado e das ferramentas desenvolvidas na se¸c˜ao an- terior, podemos provar o resultado fundamental deste cap´ıtulo, o qual est´a contido na seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 4.2.2. Seja (A, A∗) um par atrator-repulsor para um semigrupo{T (t) : t ≥ 0}
em um espa¸co m´etrico X possuindo atrator global A.
Existe uma fun¸c˜ao f : X → R satisfazendo as quatro propriedades seguintes: (i) f : X → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua (em todo o espa¸co X).
(ii) f : X → R ´e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes de T (·). (iii) f−1(0) = A e f−1(1)∩ A = A∗.
(iv) Dado x ∈ X, tem-se f (T (t) x) = f (x) para todo t ≥ 0 se, e somente se, x ∈
(A∪ A∗) .
Um fun¸c˜ao f : X → R com as propriedades listadas acima denomina-se fun¸c˜ao de
Lyapunov do par atrator-repulsor (A, A∗) .
Demonstra¸c˜ao: Em primeiro lugar, observemos que sendo A e A∗ fechados disjuntos
relativos deA e sendo A um fechado de X, deduz-se que A e A∗ s˜ao fechados disjuntos
de X, donde a fun¸c˜ao de Uryshon canˆonica associada ao par de fechados disjuntos (A, A∗) , l : X → [0, 1] , dada por
l (x) := d (x, A)
d (x, A) + d (x, A∗), x∈ X,
est´a bem definida, ´e uniformemente cont´ınua em X (pois, pondo d0 := d (A, A∗) >
0, ´e f´acil comprovar que |l (x) − l (y)| ≤ 2
d0d (x, y) , quaisquer que sejam x e y em X)
e, al´em disso verifica-se l−1(0) = A e l−1(1) = A∗.
Definindo agora a fun¸c˜ao k : X → R por k (x) := sup
t≥0
provemos que k : X → R ´e cont´ınua, n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes de {T (t) : t ≥ 0} , com imagem contida no intervalo [0, 1] e tal que k−1(0) = A e k−1(1)∩ A = A∗.
Com efeito, que a imagem de k : X → R est´a contida no intervalo [0, 1] segue do
fato de que l (T (t) x)∈ [0, 1] para todo x ∈ X e todo t ≥ 0. Por outro lado, dados x∈ X e 0 ≤ t1 ≤ t2 vemos que
k (T (t1) x) = sup t≥0 l (T (t) T (t1) x) = sup t≥0 l (T (t + t1) x) = sup t≥t1 l (T (t) x) ≥ sup t≥t2 l (T (t) x) = sup t≥0 l (T (t + t2) x) = k (T (t2) x) ,
provando que ´e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes.
Claramente, k (A) ={0} e k (A∗) ={1} , simplesmente pelo fato de que A e A∗ s˜ao
invariantes e a pela defini¸c˜ao de l.
Agora, seja x ∈ X tal que k (x) = 0, ent˜ao l (T (t) x) = 0 para todo t ≥ 0. Em
particular, 0 = l (T (0) x) = l (x) e, portanto, x ∈ A, ou seja k−1(0) ⊂ A, provando
a igualdade k−1(0) = A. Por outro lado, seja x ∈ A tal que k (x) = 1, se x /∈ A∗,
ent˜ao ω (x)⊂ A. Pela continuidade de l e do fato de que ω (x) atrai x pelo semigrupo, conclui-se que lim
t→∞l (T (t) x) = 0. Logo existe t0 > 0 tal que 1 = k (x) = sup0≤t≤t0l (T (t) x) ,
portanto, existe t′ ∈ [0, t
0] com l (T (t′) x) = 1, isto ´e, T (t′) x ∈ A∗, e por isso,
ω (x) = ω (T (t′) x) ⊂ A∗, contradizendo ω (x) ⊂ A e assim, se k (x) = 1 para al-
gum x∈ A, obrigatoriamente x ∈ A∗, resultando destes c´alculos que k−1(1)∩ A ⊂ A∗
e, consequentemente, k−1(1)∩ A = A∗.
Provemos agora que, se x ∈ A e k (T (t) x) = k (x) para todo t ≥ 0 ent˜ao x ∈
(A∪ A∗) . Suponhamos, caso contr´ario, que isso n˜ao se verifica, ou seja, que existe
x∈ A\ (A ∪ A∗) com k (T (t) x) = k (x) para todo t≥ 0. Ent˜ao, pelo item (i) do Lema
4.1.7, ω (x)⊂ A. Da difini¸c˜ao de k e do fato de que ω (x) atrai x pelo semigrupo temos k (x) = lim
t→∞k (T (t) x) = 0, logo x deve pertencer a A, pois como vimos, k
−1(0) = A, o
que est´a em contradi¸c˜ao com o fato de que x /∈ (A ∪ A∗) .
Agora, provemos a continuidade da fun¸c˜ao k : X → R, dividindo a demonstra¸c˜ao
nos trˆes seguintes casos:
Caso 1) Continuidade de k : X → R nos pontos de A∗.
Como para todo x ∈ X vale l (x) ≤ k (x) ≤ 1, dados x0 ∈ A∗ e x ∈ X, quaisquer,
temos
|k (x) − k (x0)| = 1 − k (x) ≤ 1 − l (x) ,
donde se vˆe que a continuidade de k : X → R em x0segue diretamente da continuidade
de l : X → R neste ponto.
Neste caso, dado ε > 0, pela continuidade da fun¸c˜ao l : X → R no conjunto compacto A, seja δ > 0 de maneira que l (Oδ(A))⊂ [0, ε). Pelo Lema 4.1.2, ao δ > 0
acima corresponde δ′ ∈ (0, δ) tal que γ+(O
δ′(A)) ⊂ Oδ(A) , donde conclui-se que
k (Oδ′(A))⊂ [0, ε] , pois dado x ∈ Oδ′(A) tem-se que T (t) x ∈ Oδ(A) para todo t≥ 0,
logo l (T (t) x) ∈ [0, ε) para todo t ≥ 0 e assim k (x) = sup
t≥0
l (T (t) x) ∈ [0, ε], o que estabelece a continuidade de k nos pontos de A.
Caso 3) Continuidade de k : X → R nos pontos de X\ (A ∪ A∗) .
Dado x0 ∈ X\(A ∪ A∗), usando o item (ii) do Lema 4.1.7 tem-se que,
ou lim
t→∞d(T (t)x0, A) = 0 ou limt→∞d(T (t)x0, A
∗) = 0.
Suponhamos primeiramente que se tenha lim
t→∞d (T (t) x0, A
∗) = 0. Ent˜ao, em par-
ticular, k (x0) = 1. Agora, dado ε > 0 escolhamos, pela continuidade da fun¸c˜ao
l : X → R no conjunto compacto A∗, uma vizinhan¸ca V de A∗ em X tal que
l (V )⊂ (1 − ε, 1]. Seja tamb´em, t0 > 0 de maneira que T (t0) x0 ∈ V. Agora, pela conti-
nuidade da aplica¸c˜ao T (t0) : X → X, seja U uma vizinhan¸ca de x0tal que T (t0) U ⊂ V,
donde segue-se que para todo x ∈ U tem-se k (x) > 1 − ε (pois T (t0) x ∈ V e ent˜ao
1−ε < l (T (t0) x)≤ k (x)), o que nos mostra a continuidade de k em x0 quando ocorrer
lim
t→∞d (T (t) x0, A
∗) = 0.
Caso seja lim
t→∞d (T (t) x0, A) = 0, como x0 ∈ X\ (A ∪ A
∗), vem que l (x
0) > 0. Ent˜ao,
seja δ > 0 tal que l (Oδ(A))⊂ [0, l(x20)) e, novamente pelo Lema 4.1.2, seja δ′ ∈ (0, δ)
de modo que γ+(O
δ′(A))⊂ Oδ(A). Sejam tamb´em t0 tal que T (t) x0 ∈ Oδ′(A) para
todo t≥ t0 e mais uma vez, pela continuidade da aplica¸c˜ao T (t0) : X → X, seja U1
uma vizinhan¸ca de x0 em X com T (t0) U1 ⊂ Oδ′(A) , donde segue-se que para todo
x ∈ U1 temos T (t0) x ∈ Oδ′(A) e por isso tem-se T (t) x ∈ Oδ(A) para todo t ≥ t0.
Finalmente, seja, tamb´em pela continuidade de l, U2 uma vizinhan¸ca de x0 em X tal
que l (x) > l(x0)
2 para todo x∈ U2e ponhamos U := U1∩U2, logo para todo x∈ U temos
k (x) = sup
0≤t≤t0
l (T (t) x) , pois para x ∈ U, k (x) ≥ l (x) > l(x0)
2 e T (t) x ∈ Oδ(A) para
todo t ≥ t0. Consequentemente l (T (t) x) < l(x20) < k (x) para todo t ≥ t0. E usando
argumentos j´a utilizados anteriormente conclui-se que k |U: U → R ´e cont´ınua em x0,
o que termina a prova do terceiro caso e, portanto, conclui-se a prova da continuidade da fun¸c˜ao k : X→ R.
Finalmente, seja h : X → R a fun¸c˜ao definida por h (x) := sup
t≥0
d (T (t) x,A) , x ∈ X,
dada no Lema 4.2.1. Nossa fun¸c˜ao f : X → R buscada ser´a dada por
f (x) := k (x) + h (x) , x∈ X.
A continuidade de f : X → R segue simplesmente da continuidade de k, estudada
O fato de que f ´e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes segue do fato de que a mesma propriedade verifica-se tanto para k quanto para h, provando (ii) .
Agora, claramente, f (A) = {0} e se, reciprocamente, f (x) = 0 para algum x ∈
X tem-se, em particular, que tanto h (x) quanto k (x) s˜ao nulos, por isso, x ∈ A
e, pela correspondente propriedade para k estudada anteriormente, vem que x ∈ A,
provando que f−1(0) = A. Por outro lado, como f |
A= k |Atemos, pela correspondente
propriedade de k, que f ´e tal que f−1(1)∩ A = k−1(1)∩ A = A∗, terminando a prova
do item (iii) .
Agora, a propriedade (iv) pode ser provada assim:
Seja x∈ X tal que f (T (t) x) = f (x) para todo t ≥ 0. Se x ∈ A, esta ´ultima igual- dade ´e a mesma que k (T (t) x) = k (x). Como vimos acima, isto implica x∈ (A ∪ A∗)
e ent˜ao n˜ao h´a o que provar. Suponhamos ent˜ao que x ∈ X\A. Afirmamos que
lim
t→∞d (T (t) x, A
∗) = 0, porque se fosse lim
t→∞d (T (t) x, A) = 0, ter´ıamos, em particular,
que
f (x) = lim
t→∞f (T (t) x) = limt→∞k (T (t) x) + limt→∞h (T (t) x) = 0 + 0 = 0, (4.2.4)
obrigando x a estar em A⊂ A, contrariando que x ∈ X\A, e assim ´e certo que
lim
t→∞d (T (t) x, A
∗) = 0.
Nestas condi¸c˜oes, afirmamos tamb´em que f (x) = 1, pois aplicando o mesmo raci- oc´ınio que nos deu (4.2.4) , conclu´ımos que
f (x) = lim
t→∞f (T (t) x) = limt→∞k (T (t) x) + limt→∞h (T (t) x) = 1 + 0 = 1.
Mas, este fato ´e uma contradi¸c˜ao, uma vez que, sendo k (x)≥ k (T (t) x) para todo t ≥ 0, vem que 1 = lim
t→∞k (T (t) x) ≤ k (x) ≤ 1, consequentemente k (x) = 1. Entretanto,
f (x) = k (x) + h (x) , for¸cando h (x) ser igual a zero, o que ´e um absurdo, pois estando x fora deA devemos ter 0 < d (x, A) ≤ h (x) e esta contradi¸c˜ao nos faz concluir que, se f (T (t) x) = f (x) para todo t≥ 0, ent˜ao x ∈ A e portanto x ∈ (A ∪ A∗) , completando
a demonstra¸c˜ao do item (iv) e tamb´em da proposi¸c˜ao.
Observemos que o papel da fun¸c˜ao h : X → R (introduzida no Lema 4.2.1) na prova da ´ultima proposi¸c˜ao ´e reconhecer os pontos de X sobre os quais f : X → R ´e constante sobre suas semi´orbitas positivas, como sendo apenas os pontos de A. Propriedade que a fun¸c˜ao k : X → R, sozinha, pode n˜ao possuir1.
1Com efeito, se existir x∈ X \ A tal que limt→∞d(T (t)x, A∗) = 0, ent˜ao k(T (t)x) = k(x) para
todo t≥ 0, com x 6∈ A ∪ A∗
Devemos destacar tamb´em que, a hip´otese de que cada T (t) : X → X ´e um homeo- morfismo ´e fortemente usada na prova da continuidade da fun¸c˜ao de Lyapunov de um par atrator-repulsor que se encontra em [12]. Por exemplo, por meio desta hip´otese, l´a obt´em-se que, dada uma vizinhan¸ca aberta U de um atrator local A, tem-se imedi- atamente que T (t)U ´e tamb´em uma vizinhan¸ca aberta de A para todo t. Como neste trabalho n˜ao assumimos esta hip´otese de grupo, usamos o Lema 4.1.2 para substituir esta propriedade como, por exemplo, na prova do Caso 2 acima.
Finalmente, notemos que a prova do Caso 3 da proposi¸c˜ao anterior n˜ao aparece em [12], uma vez que l´a o autor n˜ao considera a continuidade em pontos que est˜ao fora do
atrator A , pois sua fun¸c˜ao de Lyapunov ´e definida apenas em conjuntos compactos
invariantes e n˜ao em espa¸cos de fases arbitr´arios como fazemos aqui. Nestas condi¸c˜oes, para incluirmos a continuidade em pontos fora do atrator foi necess´ario estabelecer a conclus˜ao (ii) do Lema 4.1.7.
4.3
Decomposi¸c˜ao de Morse
Agora, apresentamos a no¸c˜ao de decomposi¸c˜ao de Morse para um atrator de um semigrupo em um espa¸co m´etrico. Este conceito funciona como uma ponte que nos permite passar de um semigrupo de tipo gradiente para um semigrupo gradiente.
Comecemos observando que, se A1e A2s˜ao atratores locais para T (·) com A1 ⊂ A2,
ent˜ao, simplesmente aplicando a defini¸c˜ao de repulsor complementar, conclui-se que A∗
2 ⊂ A∗1.
Defini¸c˜ao 4.3.1. Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X pos-
suindo atrator global A .
Dada uma cadeia crescente formada por n + 1 atratores locais da forma ∅=: A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ An−1 ⊂ An:=A,
e considerando a cadeia decrescente de seus repulsores complementares ∅= A∗n⊂ A∗
n−1 ⊂ · · · ⊂ A∗1 ⊂ A∗0 =A,
pondo, para cada j = 1, 2,· · · , n, Mj := Aj ∩ A∗j−1, a n-upla ordenada
D := (M1, M2,· · · , Mn)
chama-se uma decomposi¸c˜ao de Morse do atratorA e os conjuntos Mj’s chamam-
As considera¸c˜oes que seguem nos mostram como construir uma decomposi¸c˜ao de Morse para o atrator de um semigrupo de tipo gradiente. Para isso, o lema a seguir desempenha um papel fundamental.
Lema 4.3.2. Sejam {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X de tipo
gradiente com respeito `a fam´ılia disjunta Ξ ={Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn} de conjuntos invarian-
tes isolados limitados e A seu atrator global. Ent˜ao, algum dos conjuntos invariantes isolados pertencentes a Ξ ´e um atrator local para T (·) .
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, em primeiro lugar, afirmamos que existe j = 1, 2,· · · , n tal que para todo δ∈ (0, δ0) existe δ′ ∈ (0, δ) de maneira que
γ+(Oδ′(Ξj))⊂ Oδ(Ξj) ,
onde δ0 ´e tal queOδ0(Ξi)∩ Oδ0(Ξr) = ∅ sempre que i6= r e Ξi ´e o invariante maximal
contido em Oδ0(Ξi) para i = 1, 2,· · · , n.
Caso contr´ario, existiriam δ > 0 e para cada j = 1, 2,· · · , n uma sequˆenciat(j)k
k∈N
de n´umeros positivos e x(j)k
k∈N de pontos de X tais que para todo j e todo k
dx(j)k , Ξj < 1 k, dTt(j)k x(j)k , Ξj = δ. e dT (t) x(j)k , Ξj < δ sempre que t∈ [0, t(j)k ).
Ent˜ao, pondo, para cada j = 1, 2,· · · , n e cada natural k, ξk(j)(t) := Tt + t(j)k x(j)k para t∈ [−t(j)k ,∞), como t(j)k →
k→∞ ∞, pelo Lema 3.2.3, podemos supor que para cada
j = 1, 2,· · · , n existe uma solu¸c˜ao global ξj : R → X para T (·) tal que ξ (j)
k →
k→∞ ξj
uniformemente sobre compactos da reta e do fato de que (T (·) , Ξ) ´e de tipo gradiente seguiria que para cada j = 1, 2,· · · , n
lim
t→−∞d (ξj(t) , Ξj) = 0.
Logo, novamente pelo fato de que (T (·) , Ξ) ´e de tipo gradiente, cada solu¸c˜ao ξj
deveria convergir, quando t→ ∞, para algum invariante isolado em Ξ, o que produziria
uma estrutura homocl´ınica em A contradizendo que (T (·) , Ξ) ´e de tipo gradiente,
completando a prova de nossa afirma¸c˜ao.
Agora, levando em conta que nossa afirma¸c˜ao ´e correta, seja Ξj ∈ Ξ para o qual
ela ´e v´alida. Ent˜ao, dado δ∈ (0, δ0) escolhamos δ′ ∈ (0, δ) de maneira que
γ+(O
donde segue-se trivialmente que
ω (Oδ′(Ξj))⊂ Oδ(Ξj)⊂ Oδ0(Ξj) ,
logo, como Ξj ´e o invariante maximal contido em Oδ0(Ξj) e sendo ω (Oδ′(Ξj)) um
conjunto invariante, resulta
ω (Oδ′(Ξj))⊂ Ξj
e como Ξj ⊂ ω (Oδ′(Ξj)) , obt´em-se a igualdade ω (Oδ′(Ξj)) = Ξj, mostrando que Ξj ´e
um atrator local, como quer´ıamos.
Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo de tipo gradiente generalizado com respeito `a
fam´ılia disjunta Ξ ={Ξ1, Ξ2· · · , Ξn} de conjuntos invariantes isolados e A seu atrator
global. Pelo lema anterior, seja Ξσ(1) ∈ Ξ um atrator local para T (·) e Ξ∗σ(1) := {x ∈
A : ω(x) ∩ Ξσ(1) = ∅} seu repulsor complementar, ent˜ao, como os elementos de Ξ s˜ao
fechados invariantes e disjuntos entre si, segue-se que para todo j6= σ(1), Ξj ⊂ Ξ∗σ(1).
Considerando {T1(t) : t≥ 0} a restri¸c˜ao de {T (t) : t ≥ 0} ao conjunto invariante
Ξ∗
σ(1), resulta imediatamente que {T1(t) : t≥ 0} herda de {T (t) : t ≥ 0} as propri-
edades que definem os semigrupos de tipo gradiente, ou seja, que {T1(t) : t≥ 0}
´e de tipo gradiente no espa¸co m´etrico Ξ∗
σ(1) com respeito `a fam´ılia finita disjunta
{Ξj : j 6= σ(1)} de invariantes isolados. Ent˜ao, novamente por aplica¸c˜ao do lema
anterior, seja Ξσ(2) ∈ {Ξj : j 6= σ(1)} um atrator local para {T1(t) : t≥ 0} em Ξ∗σ(1).
Seja, por simplicidade de nota¸c˜ao, Ξ∗
σ(2) := {x ∈ Ξ∗σ(1) : ω(x) ∩ Ξσ(2) = ∅} o re-
pulsor complementar de Ξσ(2) em Ξ∗σ(1). Como antes, temos que Ξj ⊂ Ξ∗σ(2) sempre
que j 6∈ {σ(1), σ(2)} e existe Ξσ(3) ∈ {Ξj : j 6∈ {σ(1), σ(2)}} um atrator local para
a restri¸c˜ao, {T2(t) : t≥ 0} , de {T (t) : t ≥ 0} ao conjunto invariante Ξ∗σ(2), o qual ´e
de tipo gradiente em Ξ∗
σ(2) com respeito `a fam´ılia {Ξj : j 6∈ {σ(1), σ(2)}}. Pondo
Ξ∗
σ(3) :={x ∈ Ξ∗σ(2) : ω(x)∩ Ξσ(3) = ∅} para indicar o repulsor de Ξσ(3) em Ξ∗σ(2), po-
demos prosseguir com o racioc´ınio at´e que se esgotem todos os elementos de Ξ, donde, ao final, obtemos que Ξσ(1) ´e um atrator local para {T (t) : t ≥ 0} em X e para cada
i≥ 2, Ξσ(i)´e um atrator local para a restri¸c˜ao de {T (t) : t ≥ 0} ao repulsor Ξ∗σ(i−1) (no
sentido da constru¸c˜ao acima).
Evidentemente, pondo In := {1, 2, · · · , n}, a aplica¸c˜ao σ : In → In, definida por
meio do procedimento acima (portanto dependendo tanto do semigrupo T (·) quanto
da fam´ılia de conjuntos invariantes isolados Ξ), ´e uma permuta¸c˜ao do conjunto In, ou
seja, uma bije¸c˜ao do conjunto In em si mesmo.
Sejam σ : In → Inuma permuta¸c˜ao como definida acima e D := (Ξσ(1), Ξσ(2),· · · , Ξσ(n))
σ. Ent˜ao, para toda solu¸c˜ao global limitada ξ : R→ X com lim t→−∞d ξ (t) , Ξσ(i) = 0 e lim t→∞d ξ (t) , Ξσ(j) = 0, (4.3.5) tem-se i≥ j.
Com efeito, observemos primeiramente que se A ´e um atrator local para T (·) e A∗
seu repulsor complementar, ent˜ao para toda solu¸c˜ao global ζ : R→ X com ζ (0) ∈ Ξ∗,
tem-se ζ (t) ∈ Ξ∗ qualquer que seja t real, simplesmente porque para todo real t vale
ω (ζ (t)) = ω (ζ (0)) .
Agora, notemos que se j = 1 n˜ao h´a nada o que demonstrar. Se j = 2, necessariamente ξ (0) ∈ Ξ∗
σ(1), porque, como ξ (0) ∈ A, se ξ (0) /∈ Ξ∗σ(1)
ent˜ao ω (ξ (0))∩Ξσ(1) 6= ∅ e portanto ω (ξ (0)) ⊂ Ξσ(1), o que contradiz σ(1)6= σ(2) (ou
seja, contradiz o fato de que σ ´e uma bije¸c˜ao). Desta forma, ξ (0)∈ Ξ∗
σ(1) e portanto,
como observamos acima, ξ (t) ∈ Ξ∗
σ(1) para todo t ∈ R. Pela defini¸c˜ao da permuta¸c˜ao
σ, Ξσ(k)⊂ Ξ∗σ(1) para todo k ≥ 2, logo i ≥ 2 = j.
Para provar o caso geral, primeiro provemos que, se j ≥ 3, 3 ≤ k ≤ j, (4.3.5) se
verifica e ξ (0)∈ Ξ∗
σ(k−2), ent˜ao ξ (0)∈ Ξ∗σ(k−1).
Observemos primeiramente que, se k = 3 e ξ (0) ∈ Ξ∗
σ(1) mas ξ (0) 6∈ Ξ∗σ(2) ent˜ao,
como ξ (t)∈ Ξ∗
σ(1) para todo real t e Ξ∗σ(2) ´e o repulsor de Ξσ(2) (em Ξ∗σ(1)) segue-se que
ω (ξ (0))⊂ Ξσ(2) o que contradiz j ≥ 3, j´a que ω (ξ (0)) ⊂ Ξσ(j) devido a (4.3.5) .
Se k > 3, ξ (0)∈ Ξ∗
σ(k−2) mas ξ (0) 6∈ Ξ∗σ(k−1), como ξ (t)∈ Ξ∗σ(k−2) para todo t real e
Ξ∗
σ(k−1) ´e o repulsor de Ξσ(k−1) (em Ξ∗σ(k−2)) segue-se que ω (ξ (0))⊂ Ξσ(k−1), obrigando
Ξσ(k−1) = Ξσ(j), ou seja, k− 1 = j contradizendo k ≤ j.
Destes fatos resulta que se (4.3.5) se verifica, 3 ≤ k ≤ j e ξ (0) ∈ Ξ∗
σ(k−2), en-
t˜ao ξ (0) ∈ Ξ∗
σ(k−1). Assim, em particular, vemos que ξ (0) ∈ Ξ∗σ(j−1) e portanto
ξ (t) ∈ Ξ∗
σ(j−1) qualquer que seja t ∈ R e como Ξσ(l) ⊂ Ξ∗σ(j−1) sempre que l ≥ j,
necessariamente i≥ j, estabelecendo o caso geral e a prova de nossa afima¸c˜ao.
A seguir provamos que a n-upla ordenada D = (Ξσ(1), Ξσ(2),· · · , Ξσ(n)), obtida
reordenando-se os elementos do conjunto Ξ por meio da permuta¸c˜ao σ, como explicamos
acima, determina uma decomposi¸c˜ao de Morse para o atrator global A do semigrupo
T (·) de tipo gradiente com respeito a Ξ. Primeiro fixemos algumas nota¸c˜oes. Definamos:
A0 := ∅, A1 := Ξσ(1) e para j = 2, 3,· · · , n
Aj := Aj−1∪ Wu Ξσ(j)
. (4.3.6)
Observemoe que, com estas defini¸c˜oes, para j = 1, 2,· · · , n Aj = j [ i=1 Wu Ξσ(i) ,
donde, em particular, obt´em-se ∅= A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ An= n [ i=1 Wu Ξ σ(i) =A.
O resultado a seguir pode ser provado usando-se o Teorema 1.8 em [20]. Contudo, resolvemos apresentar uma demonstra¸c˜ao alternativa que explora as propriedades dos semigrupos de tipo gradiente.
Teorema 4.3.3. Sejam{T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X de tipo
gradiente com respeito `a fam´ılia finita disjunta Ξ = {Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn} de conjuntos
invariantes isolados limitados e A seu atrator global.
Sejam tamb´em, σ : In→ In uma permuta¸c˜ao obtida por meio do procedimento que
explicamos acima e D = (Ξσ(1), Ξσ(2),· · · , Ξσ(n)).
Ent˜ao, para cada j = 0, 1,· · · , n o conjunto Aj como definido em (4.3.6) ´e um
atrator local para T (·) em X. Al´em disso, para todo j = 1, 2, · · · , n verifica-se que Aj ∩ A∗j−1 = Ξσ(j).
Ou seja, a reordena¸c˜ao D = (Ξσ(1), Ξσ(2),· · · , Ξσ(n)) dos conjuntos invariantes isolados
de Ξ ´e uma decomposi¸c˜ao de Morse para o atrator globalA.
Demonstra¸c˜ao: Em primeiro lugar, afirmamos que existe δ0 > 0 de maneira que
para todo j = 1, 2,· · · , n − 1 vale Aj∩ Oδ0 ! n [ i=j+1 Ξσ(i) " = ∅. (4.3.7)
Fa¸camos a prova desta afirma¸c˜ao por indu¸c˜ao em j.
O caso j = 1 segue dos fatos de que A1 = Ξσ(1) e que o conjunto Ξ ´e uma fam´ılia
finita disjunta de invariantes isolados.
Suponhamos que a afirma¸c˜ao ´e certa para j − 1 e a provemos para j. Caso nossa
afirma¸c˜ao seja falsa para j, podemos encontrar uma sequˆencia de pontos (xk)k∈N em
Aj tal que para todo natural k
d ! xk, n [ i=j+1 Ξσ(i) " < 1 k.
Do fato de que Ξ ´e finito podemos supor que, na verdade, para todo k tem-se d xk, Ξσ(i0)
< 1
k, (4.3.8)
Como Aj := Aj−1∪ Wu Ξσ(j)
e estamos supondo a afirma¸c˜ao v´alida para j − 1,
podemos tamb´em supor que xk∈ Wu Ξσ(j)
para todo natural k.
Assim, para cada k ∈ N existe uma solu¸c˜ao global de T (·) , ξk : R → X com
ξk(0) = xk, tal que
lim
t→−∞d ξk(t) , Ξσ(j)
= 0. (4.3.9)
Levando em conta (4.3.8) ´e poss´ıvel, para cada natural k, encontrar um par de n´umeros reais t′
k e tk, com t′k< 0 ≤ tk, de maneira que
d ξk(t′k) , Ξσ(i0) = δ e d ξk(t) , Ξσ(i0) < δ sempre que t∈ (t′ k, tk],
onde δ > 0 ´e tal que as δ-vizinhan¸cas dos elementos de Ξ s˜ao disjuntas entre si. Ent˜ao, definamos, para cada k, ζk : R→ X pondo ζk(t) := ξk(t + t′k), t∈ R.
Agora, observemos que, se (passando para uma subsequˆencia se necess´ario) tk −
t′
k →
k→∞ ∞, ent˜ao d ζk(t) , Ξσ(i0)
< δ para todo t > 0 sempre que k ∈ N ´e suficiente- mente grande.
Por outro lado, se a sequˆencia (tk − t′k)k∈N ´e limitada, podemos supor que existe
τ0 ∈ R de modo que tk− t′k →
k→∞ τ0 e, por isso, a sequˆencia (t ′
k)k∈N deve tamb´em ser
limitada pois, caso contr´ario, poder´ıamos supor t′
k →
k→∞−∞ e portanto
t′k = tk− (tk− tk′)≥ −(tk− t′k) → k→∞−τ0,
contradizendo τ0 ∈ R. Assim, podemos assumir t′k → k→∞ t
′ 0.
Agora, nestas condi¸c˜oes, ´e f´acil ver que a sequˆencia (ζk)k∈Npossui uma subsequˆencia
convergindo uniformemente sobre compactos da reta para uma solu¸c˜ao global ζ(1) : R→
X que n˜ao est´a contida em Ξσ(i0) e satisfaz
lim t→∞d ζ (1)(t) , Ξ σ(i0) = 02.
2Isto pode ser visto assim:
(1) No caso onde tk − t′
k k→∞→ ∞, temos que dado t > 0 existe k(t) ∈ N tal que 0 < t < tk − t ′ k sempre que k ≥ k(t), isto ´e, t′
k < t+ t ′
k < tk sempre que k ≥ k(t) e por isso d ζk(t) , Ξσ(i0)
< δ sempre que t > 0 e k≥ k(t) donde, passando ao limite, obt´em-se d ζ(1)(t) , Ξσ(i0)
≤ δ toda vez que
t≥ 0, e agora usando o fato de que o semigrupo ´e de tipo gradiente e a forma com a qual escolhemos
δ >0 conclu´ımos que lim
t→∞d ζ (1)(t) , Ξ σ(i0) = 0. (2) No caso onde tk − t′ k → k→∞ τ0, podemos supor t ′ k → k→∞ t ′ 0, e ent˜ao, de ζk(−t′k) = ξk(0) = xk , gra¸cas a (4.3.8), resulta que ζ(1)(
−t′
0)∈ Ξσ(i0),donde ζ
(1)(t)
∈ Ξσ(i0)sempre que t≥ −t
′ 0,e portanto, evidentemente, lim t→∞d ζ (1)(t) , Ξ σ(i0) = 0.
Sendo (T (·) , Ξ) um semigrupo de tipo gradiente, obt´em-se a existˆencia de Ξσ(i1) ∈
Ξ, com i1 6= i0, de modo que
lim t→−∞d ζ (1)(t) , Ξ σ(i1) = 0. (4.3.10)
Pelo que demonstramos acima, obrigatoriamente i1 > i0.
Por outro lado, para cada natural r podemos encontrar um real τr de maneira que
d ζ(1)(τr) , Ξσ(i1)
< 1
r. Seja ζr(1) : R→ X dada por ζr(1)(t) := ζ(1)(t + τr), t∈ R.
Levando em conta (4.3.10) conclu´ımos que, para cada natural r, existe um par de n´umeros reais s′
r e sr, com s′r < 0 ≤ sr, de modo que
d ζr(1)(s′r) , Ξσ(i1) = δ e d ζr(1)(t) , Ξσ(i1) < δ sempre que t∈ (s′ r, sr],
logo, definindo, para cada r ∈ N, φr : R → X por φr(t) := ζr(1)(t + s′r) , t ∈ R, como
antes, podemos supor a existˆencia de uma solu¸c˜ao ζ(2) : R → X que n˜ao est´a contida
em Ξσ(i1) de maneira que φr →
r→∞ζ
(2) uniformemente sobre compactos de R, com
lim t→∞d ζ (2)(t) , Ξ σ(i1) = 0
e, novamente pelo fato de que (T (·) , Ξ) satisfaz (G1) e pelo que provamos com rela¸c˜ao a ordem determinada pela permuta¸c˜ao σ : In → In, conclui-se a existˆencia de um
elemento Ξσ(i2) ∈ Ξ, com i2 > i1, de modo que lim
t→−∞d ζ
(2)(t) , Ξ σ(i2)
= 0.
Agora, observando que o conjunto Ξ ´e finito, este racioc´ınio dever´a parar em um n´umero finito de etapas e na etapa final estaremos obrigados a ter, ou uma estrutura homocl´ınica em A associada a Ξ ou contradizer a ordem definida por σ : In → In, as
quais s˜ao duas situa¸c˜oes imposs´ıveis, terminando a prova de nossa afirma¸c˜ao.
Por outro lado, observemos que (4.3.7) tamb´em nos diz que para o δ0 > 0, obtido
acima, tem-se para cada j = 1, 2,· · · , n − 1 que
! n [ i=j+1 Ξσ(i) " ∩ Oδ0(Aj) = ∅. (4.3.11)
Agora, afirmamos que para todo j = 1, 2,· · · , n e todo δ ∈ (0, δ0) existe δ′ ∈ (0, δ)
com
γ+(O
Com efeito, em primeiro lugar, o caso em que j = n vemos que An= n [ i=1 Wu Ξ σ(i) = A e portanto a afirma¸c˜ao resulta verdadeira gra¸cas ao Lema 4.1.2.
Suponhamos agora que a afirma¸c˜ao seja falsa para um certo j = 1, 2,· · · , n−1, logo existem δ ∈ (0, δ0) e sequˆencias (tk)k∈N de n´umeros positivos com tk→ ∞ e (xk)k∈N de
pontos de X tais que
d (xk, Aj) < 1 k, d (T (tk) xk, Aj) = δ. e d (T (t) xk, Aj) < δ sempre que t∈ [0, tk).
Da´ı, por argumentos usuais, obt´em-se uma solu¸c˜ao global ξ0 : R → X para T (·)
satisfazendo
d (ξ0(t) , Aj)≤ δ para todo t ≤ 0 (4.3.12)
com
d (ξ0(0) , Aj) = δ. (4.3.13)
Como (T (·) , Ξ) satisfaz (G1) existe Ξσ(i) ∈ Ξ tal que
lim
t→−∞d ξ0(t) , Ξσ(i)
= 0
e como δ ∈ (0, δ0) , onde δ0 satisfaz (4.3.11) , levando em conta (4.3.12) , resulta que
i ≤ j, mostrando que ξ0(0) ∈ Wu Ξσ(i)
⊂ Aj, o que contradiz (4.3.13) e por isso
nossa segunda afirma¸c˜ao tamb´em ´e correta.
Nestas condi¸c˜oes, dado qualquer j = 1, 2,· · · , n, levando em conta que nossa se- gunda afirma¸c˜ao ´e certa, fixemos δ∈ (0, δ0) e δ′ ∈ (0, δ) de modo que
γ+(Oδ′(Aj))⊂ Oδ(Aj) ,
o que implica
ω (Oδ′(Aj))⊂ Oδ(Aj),
logo se x∈ ω (Oδ′(Aj)), devido a invariˆancia de ω (Oδ′(Aj)), existe uma solu¸c˜ao global
ξ : R → X com ξ (0) = x de modo que ξ (t) ∈ ω (Oδ′(Aj)) para todo real t. Logo
ξ (t)∈ Oδ(Aj)⊂ Oδ0(Aj) para todo t real, donde vemos, segundo a escolha de δ0 em
conjunto com a propriedade (G1) , que obrigatoriamente ξ (t)∈ Aj para todo t real, e
em particular x = ξ (0)∈ Aj, provando que ω (Oδ′(Aj))⊂ Aj.
Reciprocamente, simplesmente pela invariˆancia de Aj, conclu´ımos que Aj ⊂ ω (Oδ′(Aj)) ,
Finalmente, para provar que para todo j = 1, 2,· · · , n tem-se a igualdade Ξσ(j) =
Aj∩ A∗j−1, observemos que para cada j
Aj = j [ i=1 Wu Ξ σ(i) ,
portanto, dado x∈ Aj∩ A∗j−1 obt´em-se a existˆencia de uma solu¸c˜ao global ξ : R→ X,
passando pelo ponto x, que deve cumprir lim t→−∞d ! ξ (t) , j [ i=1 Ξσ(i) " = 0 e lim t→∞d ! ξ (t) , n [ i=j Ξσ(i) " = 0, (4.3.14)
sendo a convergˆencia indicada `a direita devida `a propriedade (G1) em conjunto com o fato de que x∈ A∗
j−1 e a da esquerda devida ao fato de que x∈
Sj
i=1Wu(Ξσ(i)).
Pela maneira com a qual est˜ao ordenados os elementos da n-upla D, de acordo com a permuta¸c˜ao σ : In→ In, a ´unica maneria de (4.3.14) ser verdadeiro ´e quando
lim t→−∞d ξ (t) , Ξσ(j) e lim t→∞d ξ (t) , Ξσ(j) ,
mostrando que x ∈ Ξσ(j), porque ξ n˜ao pode ser uma solu¸c˜ao homocl´ınica, assim
Aj∩ A∗j−1 ⊂ Ξσ(j).
Reciprocamente, se x∈ Ξσ(j)ent˜ao, como Ξσ(j)´e fechado e invariante, segue-se que
ω (x) ⊂ Ξσ(j), donde, em virtude da separa¸c˜ao dada em (4.3.11), ω (x)∩ Aj−1 = ∅,
portanto x ∈ A∗
j−1 e como Ξσ(j) ⊂ Aj deduz-se que x ∈ Aj, completando a prova do
teorema.
Terminamos esta se¸c˜ao provando a proposi¸c˜ao abaixo, que ´e de grande ajuda quando usamos a decomposi¸c˜ao de Morse, dada no teorema anterior, com a fun¸c˜ao de Lyapunov dos pares atrator-repulsor correspondentes, a fim de construir uma fun¸c˜ao de Lyapunov para os semigrupos de tipo gradiente, como explicamos na pr´oxima se¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 4.3.4. Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X pos- suindo atrator globalA. Ent˜ao, seja qual for a decomposi¸c˜ao de Morse D = (M1,· · · , Mn)
de A, com Mj := Aj∩ A∗j−1 para j = 1,· · · , n, tem-se n [ j=1 Mj = n \ j=0 Aj ∪ A∗j , (4.3.15) onde ∅= A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ An−1 ⊂ An=A,
´e a cadeia crescente de atratores locais e ∅= A∗n⊂ A∗
n−1 ⊂ · · · ⊂ A∗1 ⊂ A∗0 =A
´e a cadeia decrescente de seus repulsores correspondentes.
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, se x ∈
n
[
j=1
Mj, consideremos j0 ∈ {1, 2, · · · , n} tal que
x∈ Mj0 = Aj0∩ A ∗ (j0−1), ent˜ao x∈ Aj0 ⊂ A(j0+1)⊂ · · · ⊂ An e x∈ A ∗ (j0−1) ⊂ A ∗ (j0−2) ⊂ · · · ⊂ A∗ 0, logo x∈ ! n \ j=j0 Aj " ∩ !j\0−1 j=0 A∗j " ⊂ # n \ j=j0 Aj∪ A∗j $ ∩ #j\0−1 j=0 Aj∪ A∗j $ = n \ j=0 Aj ∪ A∗j , demonstrando a inclus˜ao n [ j=1 Mj ⊂ n \ j=0 Aj∪ A∗j . Reciprocamente, se x∈ n \ j=0 Aj∪ A∗j , pondo K :={0, 1, 2, · · · , n}, definamos I :={i ∈ K : x ∈ Ai} e J := {i ∈ K : x ∈ A∗i}.
Da´ı resulta imediatamente que I∪ J = {0, 1, 2, · · · , n} com I ∩ J = ∅.
Claramente, os dois conjuntos I e J s˜ao n˜ao vazios, ent˜ao pondo i := min I resulta que I = {i, i + 1, i + 2, · · ·, n} e J = {0, 1, · · ·, i − 1} , logo, em particular, x ∈ Ai
e x ∈ A∗
i−1, isto ´e, x ∈ Ai ∩ A∗i−1 = Mi, donde conclui-se a inclus˜ao que faltava n \ j=0 Aj ∪ A∗j ⊂ n [ j=1
Mj, completando a prova da proposi¸c˜ao.