4 Presentasjon av funn
4.1.3 Bedret livskvalitet
Terminemos o cap´ıtulo estabelecendo nosso principal resultado no contexto dos semigrupos, que consiste em provar a equivalˆencia entre os dois conceitos de sistemas dinˆamicos autˆonomos que estudamos at´e agora, isto ´e, a equivalˆencia entre as no¸c˜oes de sistemas gradientes e sistemas de tipo gradiente.
O fato surpreendente nesta constru¸c˜ao ´e que a fun¸c˜ao de Lyapunov ´e obtida como uma consequˆencia da dinˆamica do sistema, evidenciando assim a “rigidez” que possui a
dinˆamica dos semigrupos gradientes. Al´em disso, tamb´em neste cap´ıtulo, provamos que a fun¸c˜ao de Lyapunov pode ser constru´ıda de modo que seja diferenci´avel ao longo de solu¸c˜oes e, mais tarde, no pr´oximo cap´ıtulo, que esta fun¸c˜ao ´e, sob condi¸c˜oes bastante razo´aveis, est´avel por perturba¸c˜ao.
Teorema 4.4.1. Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo num espa¸co m´etrico X possuindo
atrator global A e fam´ılia disjunta Ξ = {Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn} de conjuntos invariantes
isolados limitados.
Ent˜ao, {T (t) : t ≥ 0} ´e um semigrupo gradiente generalizado com respeito `a Ξ se, e somente se, ´e de tipo gradiente generalizado com respeito `a Ξ.
Demonstra¸c˜ao: Como vimos na Proposi¸c˜ao 2.2.2, todo semigrupo gradiente gene-
ralizado ´e de tipo gradiente generalizado com respeito `a mesma fam´ılia de invariantes isolados, ent˜ao precisamos apenas provar que todo semigrupo de tipo gradiente ´e, efe- tivamente, um semigrupo gradiente.
Com efeito, suponhamos que (T (·), Ξ) seja um semigrupo de tipo gradiente e seja σ : In→ In uma permuta¸c˜ao do conjunto In de maneira que a n-upla ordenada
D := (Ξσ(1), Ξσ(2),· · · , Ξσ(n))
determine, segundo o Teorema 4.3.3, uma decomposi¸c˜ao de Morse para o atrator A.
Nestas condi¸c˜oes, sejam
∅= A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ An−1 ⊂ An =A, (4.4.16)
a cadeia de atratores locais e
∅= A∗
n⊂ A ∗
n−1 ⊂ · · · ⊂ A∗1 ⊂ A∗0 =A (4.4.17)
a de seus repulsores correspondentes, de modo que para cada j = 1, 2,· · · , n Ξσ(j) = Aj∩ A∗j−1.
Agora, sejam, para cada j = 0, 1, 2,· · · , n, fj : X → R a fun¸c˜ao de Lyapunov asso-
ciada ao par atrator-repulsor Aj, A∗j
, de acordo com a Proposi¸c˜ao 4.2.23, e definamos
V : X→ R como V (x) := n X j=0 fj(x) , x∈ X.
Afirmamos que V : X → R, assim definida, cumpre todas as condi¸c˜oes da Defini¸c˜ao
3.1.1.
3Nos casos especiais (A0, A∗
0) = (∅,A) e (An, A∗n) = (A, ∅), convencionamos que f0(x) := 1 + h(x)
De fato, em primeiro lugar, ´e evidente que V ´e cont´ınua, por ser uma soma finita de fun¸c˜oes cont´ınuas e ´e tamb´em n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes de T (·) porque assim o s˜ao cada uma das fun¸c˜oes fj : X → R.
Agora, suponhamos que x ∈ X seja tal que V (T (t) x) = V (x) para todo t ≥ 0.
Ent˜ao, como cada fj : X → R ´e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes de T (·) , esta
situa¸c˜ao implica que, para cada j = 0, 1, 2,· · · , n, fj(T (t) x) = fj(x) sempre que
t ≥ 0 e, portanto, a Proposi¸c˜ao 4.2.2 nos diz que para cada j = 0, 1, 2, · · · , n, x deve pertencer a Aj ∪ A∗j, consequentemente x ∈ n \ j=0 Aj∪ A∗j , mas a Proposi¸c˜ao 4.3.4 afirma que n \ j=0 Aj ∪ A∗j = n [ j=1
Ξj, o que nos d´a x ∈ Ξj para algum j = 1, 2,· · · , n,
estabelecendo a propriedade (iii) da Defini¸c˜ao 3.1.1.
Finalmente, para provar a propriedade (iv) fixemos um conjunto invariante qualquer Ξσ(k) ∈ Ξ e um ponto x ∈ Ξσ(k). Devido ao fato de que Ξσ(k) = Ak∩ A∗k−1 junto com
(4.4.16) e (4.4.17), tem-se
x∈ Ak ⊂ Ak+1 ⊂ · · · ⊂ An
e
x∈ A∗
k−1 ⊂ A∗k−2 ⊂ · · · ⊂ A∗0,
donde segue, tamb´em pela Proposi¸c˜ao 4.2.2, que fj(x) = 0 se j = k, k + 1,· · · , n e
fj(x) = 1 se j = 0, 1,· · · , k − 2, k − 1, e ent˜ao V (x) = n X j=0 fj(x) = k−1 X j=0 fj(x) + n X j=k fj(x) = k−1 X j=0 1 + n X j=k 0 = k, completando a demonstra¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 4.4.2. ´E importante notarmos que a fun¸c˜ao de Lyapunov V : X → R
obtida no teorema anterior ´e tal que, para k = 1, 2,· · · , n, V (x) = k qualquer que seja x∈ Ξσ(k).
Provamos a seguir, com base na Proposi¸c˜ao 4.2.2 e utilizando-se algumas id´eias encontradas em [12], que ´e poss´ıvel obter uma fun¸c˜ao de Lyapunov para um par atrator- repulsor, que ´e diferenci´avel ao longo de solu¸c˜oes de T (·), donde, repetindo todos os passos da prova do teorema anterior, conclu´ımos a existˆencia de uma fun¸c˜ao de Lyapunov para os semigrupos de tipo gradiente que ´e diferenci´avel ao longo de solu¸c˜oes.
Proposi¸c˜ao 4.4.3. Seja (A, A∗) um par atrator-repulsor para um semigrupo {T (t) :
t≥ 0} em um espa¸co m´etrico (X, d) possuindo atrator global A.
Ent˜ao, existe uma fun¸c˜ao g : X → R satisfazendo todas as propriedades enunciadas na Proposi¸c˜ao 4.2.2 e, al´em disso, sendo decrescente ao longo de solu¸c˜oes de T (·) por pontos de X\ (A ∪ A∗) e diferenci´avel ao longo de solu¸c˜oes.
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, seja g : X → R a fun¸c˜ao dada por
g (x) :=
Z ∞
0
e−tf (T (t) x) dt, x∈ X,
onde f : X→ R ´e a fun¸c˜ao de Lyapunov associada ao par (A, A∗) dada pela Proposi¸c˜ao
4.2.2.
Observemos que para todo x∈ X esta integral ´e convergente, porque a fun¸c˜ao f ´e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes e R0∞e−tdt < ∞, donde a fun¸c˜ao g : X → R est´a
bem definida.
Provemos que g : X → R possui as propriedades enunciadas na proposi¸c˜ao.
Em primeiro lugar, a continuidade de g pode-se provar assim:
Por um lado, usando a defini¸c˜ao de f, vemos que f (x) ≤ 1 + h (x) para todo
x ∈ X, onde h : X → R ´e a fun¸c˜ao definida no Lema 4.2.1. Dado x0 ∈ X, seja B
uma vizinhan¸ca limitada de x0 e, usando o fato de que T (·) possui atrator global, seja
t1 > 0 de modo que γt+1(B)⊂ O1(A). Ent˜ao pondo
MB := sup{f (T (t) x) : x ∈ B, t ≥ t1} ,
resulta que MB ´e finito, podendo ser nulo.
Por outro lado, dado ε > 0, gra¸cas `a convergˆencia da integralR0∞e−tdt, escolhamos
t2 ≥ t1 tal que Z ∞ t2 e−tdt < ε 4 (MB+ 1) . (4.4.18)
Agora, como a fam´ılia{T (t) : t ∈ [0, t2]} ´e equicont´ınua no ponto x0 e f ´e cont´ınua,
´e f´acil ver que existe δ > 0 tal que se x∈ X satisfaz d (x, x0) < δ ent˜ao
Z t2
0
e−t|f (T (t) x) − f (T (t) x0)| dt ≤
ε 2,
donde, levando em conta (4.4.18) e a defini¸c˜ao de MB, vemos que para todo x ∈ B
com d (x, x0) < δ verifica-se |g (x) − g (x0)| ≤ Z t2 0 e−t|f (T (t) x) − f (T (t) x0)| dt + 2MB Z ∞ t2 e−tdt ≤ ε 2+ ε 2 = ε,
o que justifica a continuidade de g no ponto x0, terminando a prova de continuidade
de g nos pontos de X.
Claramente, g : X → R ´e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes de {T (t) : t ≥ 0} ,
simplesmente porque assim o ´e f : X → R e o processo de integra¸c˜ao ´e monˆotono
crescente.
Agora, se x ∈ A temos que T (t) x ∈ A para todo t ≥ 0, logo, pela correspondente
propriedade de f , f (T (t) x) = 0 para todo t ≥ 0, mostrando que g (x) = 0. Analo-
gamente, se x∈ A∗ temos que T (t) x ∈ A∗ para todo t ≥ 0, portanto f (T (t) x) = 1
para todo t ≥ 0, implicando que g (x) = R0∞e−t · 1dt = 1. Destes fatos vemos que
g (A) ={0} e g (A∗) ={1} .
Reciprocamente, se x ∈ X ´e tal que 0 = g (x) = R0∞e−tf (T (t) x) dt, ent˜ao
e−tf (T (t) x) = 0 para todo t ≥ 0 o que d´a f (T (t) x) = 0 para todo t ≥ 0, logo
x ∈ A, gra¸cas propriedades da fun¸c˜ao f dadas na Proposi¸c˜ao 4.2.2, mostrando que
g−1(0) = A. Se agora x ∈ A ´e tal que g (x) = 1, deve existir t′ ≥ 0 tal que
f (T (t′) x) = 1, pois, de outro modo, f (T (t) x) < 1 para todo t ≥ 0, e por isto,
g (x) = R0∞e−tf (T (t) x) dt < R∞
0 e−t · 1dt = 1, contradizendo a escolha de x. Da´ı,
se t′ ≥ 0 for tal que f (T (t′) x) = 1, teremos, pelas propriedades da fun¸c˜ao f , que
T (t′) x ∈ A∗, donde x ∈ A∗ (pois ω (x) = ω (T (t′) x)) e assim g−1(1)∩ A ⊂ A∗, ou
seja, g−1(1)∩ A = A∗, provando a propriedade (iii) da Proposi¸c˜ao 4.2.2.
Dado x ∈ X\ (A ∪ A∗) provemos que f ´e estritamente decrescente ao longo da
solu¸c˜ao por x. Com efeito, dado t > 0 temos que g (T (t) x)− g (x) = Z ∞ 0 e−sf (T (s) T (t) x) ds− Z ∞ 0 e−sf (T (s) x) ds = Z ∞ 0 e−s[f (T (s + t) x)− f (T (s) x)] ds,
donde vemos que se g (T (t) x)− g (x) = 0 ent˜ao, como f (T (s + t) x) − f (T (s) x) ≤ 0 para todo s ≥ 0, obrigatoriamente tem-se f (T (s + t) x) − f (T (s) x) = 0 para todo s ≥ 0. Em particular, f (T (t) x) = f (x) e por isto, f (T (t) x) = f (T (s) x) = f (x) para todo s ∈ [0, t] . Repetindo este racioc´ınio, do fato de que t > 0, conclui-se que f (T (s) x) = f (x) para todo s≥ 0 o que obriga, pela Proposi¸c˜ao 4.2.2, x ∈ (A ∪ A∗) ,
que ´e uma contradi¸c˜ao com a maneira com a qual x foi escolhido e da´ı conclui-se que g (T (t) x) < g (x) .
Finalmente, para ver a diferenciabilidade ao longo de solu¸c˜oes, dados x∈ X, t0 > 0
e t∈ R com t 6= 0 e t + t0 > 0, um c´alculo simples nos d´a
g (T (t0+ t) x)− g (T (t0) x)
et0 t et− 1 Z ∞ t0+t e−sf (T (s) x) ds− Z t0+t t0 e−sf (T (s) x) ds , donde vˆe-se, fazendo t→ 0, que o quociente anterior converge para
et0
Z ∞
t0
e−sf (T (s) x) ds− f (T (t0) x)≤ 0,
completando a demonstra¸c˜ao.
Os resultados obtidos neste cap´ıtulo nos permite enunciar condi¸c˜oes suficientes que assegurem a estabilidade dos semigrupos gradientes por perturba¸c˜ao.
Corol´ario 4.4.4. Seja {Tη(·) : t ≥ 0}η∈[0,1] uma fam´ılia de semigrupos num espa¸co
m´etrico X satisfazendo as condi¸c˜oes do Teorema de Carvalho e Langa. Ent˜ao, existe η0 > 0 tal que para todo η ∈ [0, η0] o semigrupo Tη(·) ´e um semigrupo gradiente com
5
Estabilidade da fun¸c˜ao de Lyapunov
Neste cap´ıtulo, estudamos a estabilidade por perturba¸c˜ao da fun¸c˜ao de Lyapunov dos semigrupos de tipo gradiente que constru´ımos no cap´ıtulo anterior. Para isso, ´e necess´ario entender as no¸c˜oes de semicontinuidade superior e inferior como definimos a seguir.
5.1
Continuidade da fam´ılia de atratores
Defini¸c˜ao 5.1.1. Seja (Aη)η∈[0,1] uma fam´ılia de subconjuntos em um espa¸co m´etrico
X com distˆancia d : X × X → R.
Diz-se que esta fam´ılia ´e semicont´ınua superiormente (s.c.s.) em η = 0 quando lim
η→0+dist (Aη, A0) = 0.
Por outro lado, diz-se que ela ´e semicont´ınua inferiormente (s.c.i.) em η = 0 quando
lim
η→0+dist (A0, Aη) = 0.
Finalmente, (Aη)η∈[0,1] diz-se cont´ınua em η = 0 quando ´e semicont´ınua superior e
inferiormente em η = 0, ou em s´ımbolos, quando lim
η→0+dH (Aη, A0) = 0.
Dadas estas defini¸c˜oes ´e poss´ıvel estender, com demonstra¸c˜ao semelhante, a con- clus˜ao do Lema 4.1.2 para fam´ılias de atratores locais, mais precisamente tem-se o seguinte resultado.
Lema 5.1.2. Seja {Tη(t) : t≥ 0}η∈(0,1] uma fam´ılia coletivamente assintoticamente
compacta de semigrupos em um espa¸co m´etrico X convergindo uniformemente sobre compactos ao semigrupo{T0(t) : t≥ 0} , de modo que, para cada η ∈ [0, 1] , {Tη(t) : t≥ 0}
possui atrator global Aη com
[
η∈[0,1]
Aη limitada em X.
Seja tamb´em (Aη)η∈[0,1] uma fam´ılia de subconjuntos de X tal que cada Aη ´e subcon-
junto deAη e (sup˜oe-se apenas que) A0´e um atrator local para o semigrupo{T0(t) : t≥ 0}
com ω (Oε(A0)) = A0, para um certo n´umero positivo ε.
Nestas condi¸c˜oes, se (Aη)η∈[0,1] ´e cont´ınua em η = 0, ent˜ao dado δ ∈ (0, ε) existem
δ′ ∈ (0, δ) e η
0 > 0 tais que para todo η ∈ [0, η0] vale
γη+(Oδ′(Aη))⊂ Oδ(Aη) ,
onde, por simplicidade, para cada η ∈ [0, 1] , γ+
η (Oδ′(Aη)) representa a semi´orbita
positiva do conjunto Oδ′(Aη) segundo o semigrupo {Tη(t) : t ≥ 0} .
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, se esta conclus˜ao n˜ao fosse v´alida, existiriam δ > 0 e sequˆencias (xj)j∈Nem X, (ηj)j∈Nem [0, 1] e (tj)j∈Nem R tais que, ηj →
j→∞0 +, t j → j→∞ ∞, d xj, Aηj < 1j para todo j, d Tηj(t) xj, Aηj
< δ para todo t∈ [0, tj) e todo j ∈ N
e
d Tηj(tj) xj, Aηj
= δ para todo j ∈ N.
Ent˜ao, definindo, para cada natural j, ξj : [−tj,∞) → X por ξj(t) := Tηj(t + tj) xj,
usando as hip´oteses de compacidade assint´otica coletiva e de convergˆencia uniforme em compactos, do Lema 3.2.3 seguiria a existˆencia de uma solu¸c˜ao global limitada ξ0 : R → X para o semigrupo {T0(t) : t≥ 0} e uma subsequˆencia de (ξj)j∈N, que
indicar´ıamos com a mesma nota¸c˜ao, tal que para todo real t, ξ0(t) = lim j→∞ξj(t) .
Por outro lado, dado t < 0 para todo j suficientemente grande ter´ıamos d (ξj(t) , A0)≤ d ξj(t) , Aηj
+ dist Aηj, A0
,
donde obter´ıamos, pela semicontinuidade superior de (Aη)η∈[0,1], que para todo t < 0
d (ξ0(t) , A0)≤ δ
e de δ = d ξj(0) , Aηj
≤ d (ξj(0) , A0) + dist A0, Aηj
, pela semicontinuidade inferior de (Aη)η∈[0,1], obter´ıamos d (ξ0(0) , A0) = δ.
Mas, como δ < ε, A0 atrairia o conjunto K := {ξ0(t) : t ≤ 0}, contradizendo
A seguir provamos que a semicontinuidade superior da fam´ılia de repulsores pode ser obtida como uma consequˆencia da semicontinuidade inferior dos atratores locais correspondentes.
Observemos que o problema dual, ou seja, o problema de se deduzir a semicontui- dade inferior da fam´ılia dos repulsores a partir da superior dos atratores, ´e uma quest˜ao para a qual ainda n˜ao sabemos a resposta.
Lema 5.1.3. Seja {Tη(t) : t≥ 0}η∈[0,1] uma fam´ılia coletivamente assintoticamente
compacta de semigrupos num espa¸co m´etrico X convergindo uniformemente em com- pactos ao semigrupo{T0(t) : t≥ 0} , tal que, para cada η ∈ [0, 1] , {Tη(t) : t≥ 0} possui
atrator global Aη de modo que
[
η∈[0,1]
Aη ´e limitada em X.
Seja tamb´em, (Aη)η∈[0,1] uma fam´ılia de subconjuntos de X tal que cada Aη ´e um
atrator local para o semigrupo{Tη(t) : t≥ 0} e seja A∗η
η∈[0,1] a fam´ılia de seus repul-
sores complementares correspondentes.
Suponhamos que existam µ > 0 e um ´ındice ˜η > 0 tais que d Aη, A∗η
≥ µ sempre que η ∈ [0, ˜η] , e al´em disso que a fam´ılia (Aη)η∈[0,1], dos atratores globais, seja cont´ınua
em η = 0.
Nestas condi¸c˜oes:
Se (Aη)η∈[0,1] ´e cont´ınua em η = 0, ent˜ao A∗η
η∈[0,1] ´e semicont´ınua superiormente
em η = 0.
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, suponhamos que lim
η→0+dist (A0, Aη) = 0 mas que n˜ao se
tenha lim
η→0+dist A
∗ η, A∗0
= 0. Da´ı resulta a existˆencia de um ε > 0 e uma sequˆencia (ηj)j∈N em (0, 1] com ηj → j→∞0 + tais que distA∗ηj, A ∗ 0 ≥ ε para todo j ∈ N.
Donde segue a existˆencia de uma sequˆencia (xj)j∈N de pontos de X com xj ∈ A∗ηj ⊂
Aηj e d (xj, A
∗
0) > 2ε para todo j.
Como a fam´ılia de atratores globais (Aη)η∈[0,1]´e cont´ınua em η = 0, podemos supor,
passando a uma subsequˆencia caso seja necess´ario, que xj →
j→∞ x0 para algum x0 ∈ A0,
e ent˜ao devemos ter d (x0, A∗0)≥ ε2, o que nos d´a ω (x0)⊂ A0.
Por um lado, seja 0 < δ < µ
2 e, pelo lema anterior, associado a ele consideremos
δ′ ∈ (0, δ) e η
0 ∈ (0, ˜η] tais que
γη+(Oδ′(Aη))⊂ Oδ(Aη) , (5.1.1)
Como ω (x0)⊂ A0, existe t0 > 0 tal que T0(t0) x0 ∈ Oδ′ 4 (A0) .
Por outro, da semicontinuidade inferior de (Aη)η∈[0,1] obt´em-se a existˆencia de η1 ∈
(0, η0] tal que para todo η∈ [0, η1] tem-se
A0 ⊂ Oδ′
2 (Aη) . (5.1.2)
Mas, da hip´otese de convergˆencia dos semigupos, conclui-se a existˆencia de um η2 ∈ (0, η1] para o qual Tηj(t0) xj ∈ Oδ′
2 (A0) para todo natural j com ηj ∈ [0, η2] .
Agora, de (5.1.2) resultaOδ′
2 (A0)⊂ Oδ
′(Aη) sempre que η ∈ [0, η2] , donde se infere
Tηj(t0) xj ∈ Oδ′ Aηj
toda vez que ηj ∈ [0, η2] .
Finalmente, (5.1.1) nos diz que sempre que ηj ∈ [0, η2] , temos
γη+j Tηj(t0) xj ⊂ Oδ Aηj , logo ωηj(xj)⊂ Oδ Aηj
sempre que ηj ∈ [0, η2] (onde, evidentemente, ωηj(xj) representa o conjunto ω-limite
do ponto xj segundo o semigrupo {Tηj(t) : t ≥ 0}), mas, da invariˆancia de A
∗ ηj por {Tηj(t) : t ≥ 0}, conclui-se que ωηj(xj) ⊂ A ∗ ηj, contradizendo a escolha de δ < µ 2 e
provando assim o lema.
5.2
Convergˆencia das fun¸c˜oes de Lyapunov
Provemos agora a convergˆencia uniforme sobre compactos das fun¸c˜oes de Lyapunov dos semigrupos de tipo gradiente.
Proposi¸c˜ao 5.2.1. Seja {Tη(t) : t≥ 0}η∈[0,1] uma fam´ılia coletivamente assintotica-
mente compacta de semigrupos num espa¸co m´etrico X convergindo uniformemente em compactos ao semigrupo {T0(t) : t ≥ 0}, de maneira que cada {Tη(t) : t ≥ 0} possui
atrator global Aη.
Seja tamb´em, (Aη)η∈[0,1] uma fam´ılia de subconjuntos de X tal que cada Aη ´e um
atrator local para o semigrupo{Tη(t) : t≥ 0} e seja A∗η
η∈[0,1] a fam´ılia de seus repul-
sores complementares correspondentes.
Suponhamos que a fam´ılia de atratores locais (Aη)η∈[0,1], a fam´ılia de seus repulsores
A∗ η
η∈[0,1] e a fam´ılia (Aη)η∈[0,1] de atratores globais sejam cont´ınuas em η = 0.
Finalmente, sejam, para cada η∈ [0, 1], fη : X → R a fun¸c˜ao de Lyapunov associ-
ada ao par atrator-repulsor Aη, A∗η
como est´a definida na Proposi¸c˜ao 4.2.2. Nestas condi¸c˜oes, fη →
η→0+ f0 uniformemente sobre compactos de X.
Em outras palavras, se os pares atrator-repulsor se comportam continuamente, en- t˜ao as fun¸c˜oes de Lyapunov destes pares tamb´em se comportam continuamente.
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, em primeiro lugar, para cada η ∈ [0, 1] a fun¸c˜ao de Lyapunov fη : X → R ´e definida por
fη(x) := hη(x) + kη(x) , x∈ X,
onde para cada x∈ X,
hη(x) := sup t≥0 d (Tη(t) x,Aη) , kη(x) := sup t≥0 lη(Tη(t) x) e lη(x) := d (x, Aη) d (x, Aη) + d x, A∗η . Fa¸camos a demonstra¸c˜ao em trˆes etapas:
Etapa 1: lη →
η→0+ l0 uniformemente em X.
Com efeito, simplesmente aplicando a desigualdade triangular para a semidistˆancia
de Hausdorff vemos que para todo η∈ [0, 1] e todo x ∈ X tem-se
|d (x, Aη)− d (x, A0)| ≤ dH(Aη, A0) (5.2.3) e d x, A∗η − d (x, A∗ 0) ≤ dH A∗η, A∗0 . (5.2.4) Dados η ∈ [0, 1] e x ∈ X escrevamos lη(x)− l0(x) = d (x, Aη) d (x, A∗0)− d (x, A0) d x, A∗η d (x, Aη) + d x, A∗η [d (x, A0) + d (x, A∗0)]
e agora, somando e subtraindo o termo d (x, A0) d (x, A∗0) , a igualdade acima fica
lη(x)− l0(x) = [d (x, Aη)− d (x, A0)] d (x, A∗0) + d (x, A0)d (x, A∗0)− d x, A∗η d (x, Aη) + d x, A∗η [d (x, A0) + d (x, A∗0)] . Como d (A0, A∗0) > 2µ para algum µ > 0, n˜ao ´e dif´ıcil provar, levando em conta a
continuidade das fam´ılias de atratores locais e seus repulsores, a existˆencia de ˜η ∈ (0, 1] de maneira que para todo η∈ [0, ˜η] temos d Aη, A∗η
> µ. Da´ı, pelo que fizemos acima, conclui-se que para todo x∈ X e todo η ∈ [0, ˜η]
|lη(x)− l0(x)| ≤ [d (x, Aη)− d (x, A0)] d (x, A∗0) + d (x, A0) d (x, A∗ 0)− d x, A∗η d (x, Aη) + d x, A∗η [d (x, A0) + d (x, A∗0)] ≤ 1 d (x, Aη) + d x, A∗η dH(Aη, A0) + dH A∗η, A∗0 ≤ 1 µ dH(Aη, A0) + dH A∗η, A∗0 ,
portanto, para todo x∈ X e todo η ∈ [0, ˜η] de (5.2.3) e (5.2.4) segue-se que |lη(x)− l0(x)| ≤ 1 µ dH(Aη, A0) + dH A∗η, A∗0 donde conclui-se a convergˆencia lη →
η→0+ l0 uniforme em X, simplesmente aplicando a
continuidade das fam´ılias (Aη)η∈[0,1] e A∗η
η∈[0,1] em η = 0.
Etapa 2: kη →
η→0+ k0 uniformemente em compactos de X.
Com efeito, dado um ponto qualquer x∈ X consideremos os seguintes trˆes casos:
Caso 1 : T0(t) x →
t→∞A0 com l0(x) > 0. Neste caso, escolhamos 0 < θ < l0(x).
Pela continuidade da fun¸c˜ao l0 : X → R, seja σ1 > 0 tal que l0(Oσ1(x)) ⊂ (
θ 2, 1] e,
pela etapa anterior, η0 ∈ (0, 1] tal que lη(Oσ1(x))⊂ (θ, 1] para todo η ∈ [0, η0] .
Por um lado, usando mais uma vez a continuidade de l0 : X → R, dado 0 < α < θ2
seja δ > 0 tal que l0(Oδ(A0))⊂ [0, α).
Por outro, sejam, segundo o Lema 5.1.2, δ′ ∈ 0,δ 2
e η1 ∈ (0, η0] tais que para cada
η∈ [0, η1] temos
γ+
η (Oδ′(Aη))⊂ Oδ
2 (Aη) . (5.2.5)
Agora, pela semicontinuidade inferior de (Aη)η∈[0,1] em η = 0, seja η2 ∈ (0, η1] tal
que para cada η∈ [0, η2] vale
A0 ⊂ Oδ′
2 (Aη) . (5.2.6)
Pelo fato de que T0(t) x →
t→∞ A0, seja t0 > 0 tal que T0(t0) x ∈ Oδ′4 (A0) e
usando a continuidade do operador T0(t0) : X → X, escolhamos σ2 ∈ (0, σ1] de
maneira que T0(t0) (Oσ2(x)) ⊂ Oδ′
4 (A0) . Da hip´otese de convergˆencia dos semigru-
pos ´e poss´ıvel encontrar σ3 ∈ (0, σ2] e η3 ∈ (0, η2] de modo que para todo η ∈
[0, η3] tem-se Tη(t0) (Oσ3(x)) ⊂ Oδ′
2 (A0) , donde, levando em conta (5.2.6) , obt´em-
se Tη(t0) (Oσ3(x)) ⊂ Oδ′(Aη) sempre que η∈ [0, η3] e de (5.2.5) conclui-se que
γη+(Tη(t0) (Oσ3(x))) ⊂ Oδ2 (Aη) sempre que η ∈ [0, η3] . (5.2.7)
Observemos agora que, da convergˆencia lη →
η→0+ l0 uniforme em X, obt´em-se η4 ∈
(0, η3] com a propriedade de que para cada η ∈ [0, η4] lη(Oδ(A0)) ⊂ [0, 2α) e da
semicontinuidade superior de (Aη)η∈[0,1] em η = 0 obt´em-se a existˆencia de η5 ∈ (0, η4]
tal que toda vez que η ∈ [0, η5] tem-se Aη ⊂ Oδ
2 (A0) e portanto O δ
2 (Aη) ⊂ Oδ(A0)
sempre que η ∈ [0, η5] . Logo lη
Oδ
2 (Aη)
⊂ [0, 2α) sempre que η ∈ [0, η5] , donde
segue-se de (5.2.7) que para cada η∈ [0, η5] e cada z ∈ Oσ3(x)⊂ Oσ1(x) vale
sup
t≥t0
mostrando que kη(z) = sup 0≤t≤t0
lη(Tη(t) z) para todo η∈ [0, η5] e todo z∈ Oσ3(x).
Finalmente, dado ε > 0, pela conclus˜ao da Etapa 1, existe η6 ∈ (0, η5] tal que para
todo z∈ X
|lη(z)− l0(z)| <
ε
2 sempre que η∈ [0, η6] ,
pela continuidade uniforme da fun¸c˜ao l0 : X → R, consideremos β > 0 tal que para
z, z′ ∈ X com d (z, z′) < β tem-se |l
0(z)− l0(z′)| < ε2 e usando a convergˆencia dos
semigrupos podemos escolher η7 ∈ (0, η6] e σ4 ∈ (0, σ3] tais que
sup
z∈Oσ4(x)
sup
0≤t≤t0
d (Tη(t) z, T0(t) z) < β.
Logo para todo z ∈ Oσ4(x) , todo t∈ [0, t0] e todo η ∈ [0, η7]
|lη(Tη(t) z)− l0(T0(t) z)| ≤
|lη(Tη(t) z)− l0(Tη(t) z)| + |l0(Tη(t) z)− l0(T0(t) z)| < ε,
donde facilmente vemos que sup
z∈Oσ4(x)|k
η(z)− k0(z)| ≤ ε sempre que η ∈ [0, η7] , (5.2.8)
onde σ4 > 0 e η7 > 0 dependem apenas de x∈ X e de ε > 0 dados.
Caso 2 : l0(x) = 0. Nestas condi¸c˜oes, em primeiro lugar, observamos que x ∈ A0,
logo k0(x) = 0.
Dado ε > 0 escolhamos, pela continuidade de l0 : X → R, δ > 0 tal que l0(Oδ(A0))⊂
[0,ε 4).
Agora, da convergˆencia uniforme em X de (lη)η∈[0,1] para l0 obt´em-se a existˆencia
de η0 ∈ (0, 1] tal que
lη(Oδ(A0))⊂ [0,
ε
2) para cada η∈ [0, η0] . (5.2.9)
Usando a semicontinuidade superior de (Aη)η∈[0,1] em η = 0 conclui-se a existˆencia
de η1 ∈ (0, η0] de maneira que para todo η ∈ [0, η1] temos Aη ⊂ Oδ
2 (A0) , donde vem
que Oδ
2 (Aη) ⊂ Oδ(A0) sempre que η ∈ [0, η1] e de (5.2.9) conclui-se que para todo
η∈ [0, η1] lη Oδ 2 (Aη) ⊂ [0,ε 2). (5.2.10)
Pelo Lema 5.1.2, sejam tamb´em η2 ∈ (0, η1] e δ′ ∈ (0,δ2) tais que
γη+(Oδ′(Aη))⊂ Oδ
Finalmente, considerando a semicontinuidade inferior de (Aη)η∈[0,1] em η = 0, seja
η3 ∈ (0, η2] de maneira que
A0 ⊂ Oδ′
2 (Aη) para todo η∈ [0, η3] , (5.2.12)
donde conclui-se de (5.2.12) e de (5.2.11) que para todo η ∈ [0, η3], todo t≥ 0 e todo
z∈ Oδ′
2 (A0)⊂ Oδ′(Aη) tem-se Tη(t) z ∈ O δ
2 (Aη) e levando em conta (5.2.10) deduz-se
que para todo η∈ [0, η3] e todo z ∈ Oδ′
2 (A0) vale kη(z) = sup t≥0 lη(Tη(t) z)≤ ε 2, donde vemos, em particular, que
sup z∈Oδ′ 2 (A0) |kη(z)− k0(z)| ≤ ε para todo η ∈ [0, η3] , (5.2.13) com δ′ > 0 e η 3 > 0 dependendo somente de ε > 0 e de A0. Caso 3 : T0(t) x → t→∞A ∗
0. Neste caso temos k0(x) = 1.
Pela continuidade da fun¸c˜ao l0 : X → R, dado ε > 0 seja δ > 0 tal que
l0(Oδ(A∗0))⊂ (1 −
ε 4, 1] e usando a convergˆencia lη →
η→0+ l0 uniforme em X escolhamos η0 ∈ (0, 1] tal que
lη(Oδ(A∗0))⊂ (1 −
ε
2, 1] para todo η ∈ [0, η0] . (5.2.14)
Por outro lado, consideremos t0 > 0 tal que T0(t0) x∈ Oδ
2 (A
∗
0) e, pela continuidade
do operador T0(t0) : X → X, escolhamos σ1 > 0 tal que T0(t0) (Oσ1(x)) ⊂ Oδ2 (A
∗ 0) .
Usando a hip´otese de convergˆencia dos semigrupos, sejam η1 ∈ (0, η0] e σ2 ∈ (0, σ1] tais
que Tη(t0) (Oσ2(x)) ⊂ Oδ(A
∗
0) para todo η∈ [0, η1] .
Finalmente, levando em conta (5.2.14) , obt´em-se lη(Tη(t0) (Oσ2(x))) ⊂ (1 −
ε 2, 1]
para todo η ∈ [0, η1] , donde vemos que para todo z ∈ Oσ2(x) e para todo η ∈ [0, η1]
tem-se 1− ε
2 < lη(Tη(t0) z) ≤ kη(z) ≤ 1, da´ı infere-se que |kη(z)− k0(z)| ≤ ε para
cada η∈ [0, η1] e cada z ∈ Oσ2(x) , provando que
sup
z∈Oσ2(x)|k
η(z)− k0(z)| ≤ ε sempre que η ∈ [0, η1] , (5.2.15)
onde σ2 > 0 e η1 > 0 dependem somente de A∗0 e do ε > 0 dado.
Agora, unindo as conclus˜oes obtidas nos casos 1, 2 e 3 podemos concluir a Etapa 2 da seguinte maneira:
Dados K ⊂ X um subconjunto compacto de X e ε > 0, das desigualdades (5.2.8) , (5.2.13) e (5.2.15) e a compacidade de K, obt´em-se um subconjunto aberto U = U (ε, K)⊂ X com K ⊂ U e um ´ındice η′ = η′(ε, K) > 0 de maneira que
sup
z∈U|k
η(z)− k0(z)| ≤ ε sempre que η ∈ [0, η′] ,
donde conclui-se facilmente que lim
η→0+sup z∈K|kη (z)− k0(z)| = 0, completando a prova da Etapa 2. Etapa 3: hη → η→0+ h0 uniformemente em compactos de X.
Com efeito, dado x∈ X, consideremos os seguintes dois casos:
Caso 1 : d (x,A0) > 0. Neste caso, dado α > 0 com 0 < α < d (x,A0) sejam, pelo
Lema 5.1.2, α′ ∈ (0, α) e η
0 ∈ (0, 1] tais que para todo η ∈ [0, η0]
γη+(Oα′(Aη))⊂ Oα(Aη) . (5.2.16)
Escolhamos t0 > 0 tal que T0(t0) x ∈ Oα′
4 (A0) e pela continuidade do operador
T0(t0) : X → X seja σ1 > 0 tal que T0(t0) (Oσ1(x))⊂ Oα′ 4 (A0) .
Agora, gra¸cas `a convergˆencia dos semigrupos, sejam η1 ∈ (0, η0] e σ2 ∈ (0, σ1]
tais que Tη(t0) (Oσ2(x)) ⊂ Oα′
2 (A0) para cada η ∈ [0, η1] e pela semicontinuidade
inferior da fam´ılia (Aη)η∈[0,1] em η = 0, seja η2 ∈ (0, η1] tal que A0 ⊂ Oα′
2 (Aη) para
todo η ∈ [0, η2] , logo Oα′
2 (A0) ⊂ Oα
′(Aη) toda vez que η ∈ [0, η2] , donde vemos
que para todo η ∈ [0, η2] tem-se Tη(t0) (Oσ2(x)) ⊂ Oα′(Aη) e de (5.2.16) obt´em-se
γ+
η (Tη(t0) (Oσ2(x)))⊂ Oα(Aη) para todo η∈ [0, η2] , donde
sup
t≥t0
d (Tη(t) z,Aη)≤ α para todo η ∈ [0, η2] e todo z ∈ Oσ2(x) . (5.2.17)
Por outro lado, ´e f´acil ver que para todo z ∈ X e todo η ∈ [0, 1] temos
|d (z, Aη)− d (z, A0)| ≤ dH(Aη,A0) , (5.2.18)
ent˜ao, podemos escolher η3 ∈ (0, η2] e σ3 ∈ (0, σ2] tais que d (z,Aη) > α para todo
η∈ [0, η3] e todo z ∈ Oσ3(x), donde, levando em conta (5.2.17) , obt´em-se
sup
t≥t0
d (Tη(t) z,Aη)≤ α < d (z, Aη) para todo η ∈ [0, η3] e todo z ∈ Oσ3(x) ,
mostrando que hη(z) = sup
0≤t≤t0
d (Tη(t) z,Aη) para cada η ∈ [0, η3] e cada z ∈ Oσ3(x) .
Observemos agora que para todo z∈ X, todo η ∈ [0, 1] e todo t ≥ 0 tem-se
donde conclui-se, levando em conta o que fizemos acima, que para todo η∈ [0, η3] sup z∈Oσ3(x)|h η(z)− h0(z)| ≤ dH(Aη,A0) + sup z∈Oσ3(x) sup 0≤t≤t0 d (Tη(t) z, T0(t) z) .
Assim, ´e f´acil ver que, dado ε > 0 existem σ ∈ (0, σ3] e η4 ∈ (0, η3] tais que
sup
z∈Oσ(x)
|hη(z)− h0(z)| ≤ ε, sempre que η ∈ [0, η4] .
Caso 2 : d (x,A0) = 0, isto ´e, x∈ A0.
Neste caso, dado ε > 0, novamente aplicando o Lema 5.1.2, sejam ε′ ∈ 0,ε2 e η0 ∈ (0, 1] tais que para todo η ∈ [0, η0]
γη+(Oε′(Aη))⊂ Oε
2 (Aη) . (5.2.19)
Por outro lado, usando a semicontinuidade inferior da fam´ılia (Aη)η∈[0,1] em η = 0,
seja η1 ∈ (0, η0] tal que A0 ⊂ Oε′
2 (Aη) sempre que η ∈ [0, η1] . Portanto, O ε′
2 (A0) ⊂
Oε′(Aη) sempre que η∈ [0, η1] , e assim (5.2.19) nos diz que
γη+Oε′ 2 (A0)
⊂ Oε
2 (Aη) , toda vez que η ∈ [0, η1] ,
donde segue-se que hη(z) = sup
t≥0 d (Tη(t) z,Aη) ≤ 2ε, sempre que η ∈ [0, η1] e z ∈ Oε′ 2 (A0), concluindo-se que sup z∈Oε′ 2 (A0) |hη(z)− h0(z)| ≤ ε, sempre que η ∈ [0, η1] .
Vemos assim que, dado ε > 0, cada ponto x de X possui uma vizinhan¸ca Oσ(x) ,
com σ = σ (ε, x) > 0 e associado a esta vizinhan¸ca existe um ´ındice η′ = η′(ε, x) > 0
de modo que
sup
z∈Oσ(x)
|hη(z)− h0(z)| ≤ ε, toda vez que η ∈ [0, η′] ,
donde conclui-se a convergˆencia hη →
η→0+ h0, uniforme sobre compactos de X, da mesma
maneira que fizemos no final da Etapa 2, completando a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 5.2.2. Seja {Tη(t) : t≥ 0}η∈[0,1] uma fam´ılia de semigrupos em um es-
pa¸co m´etrico X := (X, d) satisfazendo as hip´oteses do Teorema 3.2.4 (de Carva- lho e Langa) com fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados dada por Ξη :={Ξ1,η,· · · , Ξn,η}.
Conforme foi estabelecido naquele Teorema, para cada η suficientemente pequeno {Tη(t) : t≥ 0} ´e um semigrupo de tipo gradiente generalizado com respeito `a fam´ılia
Ξη e, pelo Teorema 4.3.3, cada fam´ılia Ξη determina (ap´os uma poss´ıvel reordena¸c˜ao
que, a priori, pode depender de η) uma decomposi¸c˜ao de Morse para o atratorAη.
Seja σ : In → In uma permuta¸c˜ao (fixada) tal que, segundo o Teorema 4.3.3, a
n-upla ordenada D0 := (Ξσ(1),0, Ξσ(2),0,· · · , Ξσ(n),0) ´e uma decomposi¸c˜ao de Morse para
o atrator A0 do semigrupo limite T0(·) e consideremos, para as demais fam´ılias Ξη, a
mesma reordena¸c˜ao determinada por σ : In → In, definindo, para η ∈ (0, 1], a n-upla
ordenada Dη := (Ξσ(1),η, Ξσ(2),η,· · · , Ξσ(n),η).
Consideremos agora, imitando a constru¸c˜ao em (4.3.6), para η ∈ (0, 1] o conjunto A0,η := ∅ e para cada j = 1, 2,· · · , n Aj,η := j [ i=1 Wu η Ξσ(i),η .
Ent˜ao, para η > 0 suficientemente pequeno, Aj,η ´e, para todo j = 1, 2,· · · , n, um
atrator local para Tη(·) com
Ξσ(j),η= Aj,η∩ A∗j−1,η,
para todo j = 1, 2,· · · , n1.
Em outras palavras, a reordena¸c˜ao da fam´ılia Ξ0, definida por σ : In → In, de-
terminando a decomposi¸c˜ao de Morse D0 = (Ξσ(1),0, Ξσ(2),0,· · · , Ξσ(n),0) do atrator A0
tamb´em determina, para η > 0 suficientemente pequeno, uma decomposi¸c˜ao de Morse Dη = (Ξσ(1),η, Ξσ(2),η,· · · , Ξσ(n),η) para o atrator Aη com conjuntos de Morse sendo,
precisamente, os elementos da fam´ılia Ξη. Em particular, esta decomposi¸c˜ao de Morse
se comporta continuamente.
Al´em disso, para η suficientemente pequeno, aplicando diretamente a defini¸c˜ao de repulsor complementar, vemos facilmente que a cadeia correspondente de repulsores vem dada por:
A∗ n,η := ∅ e para cada j = 0, 1,· · · , n − 1 A∗j,η := n [ i=j+1 Ws η Ξσ(i),η,
onde aqui, estes conjuntos est´aveis est˜ao sendo considerados restritos a seus atratores globais correspondentes, ou seja, para todo η ∈ [0, 1] e todo j = 1, 2, · · · , n
Wηs(Ξj,η) := n x∈ Aη : lim t→∞d(Tη(t) x, Ξj,η) = 0 o .
1Veja a Se¸c˜ao 7.5 para uma demonstra¸c˜ao destes fatos no contexto mais geral de perturba¸c˜oes n˜ao
Sendo assim, qualquer condi¸c˜ao suficiente para que os conjuntos est´aveis (restritos aos atratores globais) e inst´aveis se comportem continuamente ser´a tamb´em, segundo o que vimos na Proposi¸c˜ao 5.2.1 em conjunto com o Teorema 4.4.1, uma condi¸c˜ao suficiente para garantir a convergˆencia uniforme em compactos das fun¸c˜oes de Lyapunov dos semigrupos de tipo gradiente.