Um dos maiores matemáticos de todos os tem- pos, Sr. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), para expressar a relação entre carga elétrica e campo elétrico, formulou a denominada lei de Gauss. Essa lei foi formulada em termos do conceito de fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada.
Friedrich Gauss
Conversando com um guarda de trânsito acer- ca da quantidade de carros que passam numa determinada via de um bairro em Manaus num dado intervalo de tempo, estaremos exatamente considerando o fluxo de veículos que passam naquele lugar. Pronto, já temos a idéia de fluxo. Agora vamos pensar em como calculá-lo.
Para determinar o fluxo do campo elétrico através de uma superfície precisamos dividi-la em pedacinhos de área ∆Si, calcular o fluxo
através de cada pedacinho e por fim, somar as contribuições de todos os pedacinhos. O fluxo do campo elétrico através de um elemento de área ∆Sié em geral dado por:
Φ∆Si= Ei∆Sicosθi
Onde θié o ângulo entre os vetores que repre-
sentam o campo elétrico e a normal N→ à super- fície ∆Si.
Então podemos determinar o fluxo do campo elétrico de uma carga puntiforme Q através de uma superfície fechada que envolve essa carga.
Observando a figura (a) temos a normal saindo da superfície irregular forma um ângulo
φ
com o vetor campo elétrico. Na figura (b) temos a projeção do elemento de área dA sobre a superfície esférica.Por questão de ser mais fácil escolheremos uma superfície esférica de raio r e com a carga
exatamente em seu centro.
Observe que a escolha da superfície gaussiana deve sempre satisfazer a condição de simetria, sendo assim, poderíamos usar também uma superfície cilíndrica ou até mesmo cúbica. O importante é saber que no uso da Lei de Gauss, a questão não é usar a simetria apenas para facilitar a solução, a aplicação dessa lei de- pende fundamentalmente da simetria e se não pudermos usar a simetria não podemos usar a lei de Gauss para obter a solução.
omo podemos observar, o vetor campo elétrico E→i e a normal N
→
i são paralelos de modo que
cosθi= 1 e
Φtotal= Ei∆Si
Usando a lei de Coulomb, onde ,
podemos escrever:
∆Si
Onde ricorresponde à distância entre as car-
gas e ponto em que se quer medir o campo. A lei de Coulomb e a lei de Gauss elétrica estab- elecem uma relação entre o campo elétrico e as cargas elétricas que são fontes desse campo.
Neste caso em que a carga se encontra posi- cionada no centro de esfera, a distância para qualquer elemento de área é igual ao raio r da
esfera, então nossa equação fica assim:
Φtotal= ∆Si
O valor da somatória dos elementos de área ∆Si
para uma esfera de raio r é igual à área da super-
fície esférica, é dado matematicamente por:
∆Si = Stotal= 4πr², o que corresponde a área
da superfície esférica escolhida.
Daí, Φtotal= 4πr² = , ou seja, o fluxo
elétrico é independente do raio da esfera. Ele depende apenas da carga Q existente no inte- rior da esfera.
Logo, podemos concluir que a expressão:
Φtotal= representa a lei de Gauss e podemos
descrevê-la assim:
“o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional às cargas elétricas situadas no interior dessa superfície dividida por
ε
0”.A lei de Gauss nos dá uma nova visão para os campos e para as cargas elétricas. Uma con- seqüência dessa lei é a constatação de que as cargas de um condutor se distribuem sobre sua superfície e não em seu interior.
Bem, se pararmos para pensar em algumas apli- cações tecnológicas que derivam das forças elétricas, podemos nos lembrar do tubo de raios catódicos de uma televisão; monitores de com- putador; osciloscópio, que mostra a variação de um sinal elétrico em um dado intervalo de tempo através de visualização gráfica (também usado no diagnóstico de peças defeituosas em equipa- mentos eletrônicos, regulagem de equipamentos de som, etc.). E se tomarmos como exemplo a luz que vem de uma estrela distante, veremos que o conceito de campo elétrico não é mera- mente ilustrativo. O campo elétrico é uma enti- dade física real, o que fica bem evidente ao anal- isarmos as ondas eletromagnéticas (será estuda- do mais adiante, aguardem!). O campo elétrico transportado pela onda é capaz de carregar ener- gia, momento linear e momento angular.
EXEMPLO
A figura abaixo indica o campo elétrico pro- duzido por duas cargas puntiformes de mesmo módulo e sinais diferentes q e –q (um dipolo
elétrico). Determine o fluxo elétrico através das superfícies fechadas
A, B, C e D.
Solução:
Pela definição de fluxo elétrico teríamos que usar a seguinte integral para esse cálculo:
No entanto, a lei de Gauss nos diz que o fluxo total através de qualquer superfície fechada é igual ao valor da carga elétrica total no interior da superfície, dividido por
ε
0.Sendo assim:
• a superfície A engloba a carga positiva; então, Q = +q;
• a superfície B engloba a carga negativa; então, Q = –q;
• a superfície C engloba ambas as carga; então, Q = +q +(–q)=0;
• a superfície D não possui nenhuma carga em seu interior; então, Q = 0.
Com esse artifício fica claro a conveniência em aplicar a lei de Gauss. E podemos concluir que • o fluxo elétrico total para a superfície A é
dado por ΦE= +
• o fluxo elétrico total para a superfície B é dado porΦE= –
• o fluxo elétrico total para as superfícies C e D é dado por ΦE= 0.
Observe que esses resultados só dependem das cargas existentes no interior da superfície gaussiana.
1. Pode-se afirmar que, numa placa condutora plana infinita e eletricamente carregada, as cargas elétri- cas se distribuem uniformemente por simetria. Como conseqüência a densidade superficial de carga é uniforme, as linhas de força são perpen- diculares à superfície e o vetor campo elétrico ge- rado por essa carga é constante em qualquer ponto. Podemos considerar a placa infinita ao re- lacionar a distancia do ponto à placa como muito menor que a área da placa que esta a sua volta. Supondo que a placa esteja carregada positi- vamente.
Calcule o fluxo do campo elétrico que atraves- sa o cilindro da figura.
2. Está representada na figura uma partícula de massa m = 5,0 x10–4kg, com carga elétrica posi-
tiva q = 2,0 x10–9C, flutuando acima de uma placa
condutora positivamente carregada, no vácuo, na superfície da terra. Utilizando os valores de
ε
0=8,9 x10–12C2/N.m2e g = 10N/kg. Determine:
a) o modulo do vetor campo elétrico gerado por essa placa;
b) a densidade superficial de cargas da placa.
3.2CAMPO ELÉTRICO NUMA ESFERA OCA E
MACIÇA
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas di- ferentes de abordar o mesmo problema. Portanto, o cálculo do campo elétrico para determinada dis- tribuição de carga fornece o mesmo resultado, quer seja realizado através de uma ou outra lei. Então, quando e por que usar uma ou outra lei? Como regra, o uso de uma ou outra lei é determinado pelas seguintes circunstâncias: • Distribuição de cargas com alta simetria
Lei de Gauss
• Distribuição de cargas com baixa simetria Lei de Coulomb