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A questão a seguir foi projetada para avaliar a habilidade dos alunos no que se refere à localização de frações em uma semi-reta numerada dada.

A tabela abaixo mostra o número de alunos e respectivo percentual de acertos obtidos pelos alunos iniciantes e concluintes nesta tarefa.

Tabela 9: Localização de frações na semi-reta numerada

2/3 4/5 4/3 6/4 15/4 2 ¾ Confundiram _{2 ¾ com 6/4 Respondeu}Não Iniciantes _74,1%140 _77,2%146 _76,7%145 _77,2%146 _79,9%151 _38,6%73 _28,0%53 _5,8%11 Concluintes _75,6%102 _74,8%101 _74,8%101 _74,1%100 _73,3%99 _54,1%73 _13,3%18 _11,8%16

Fonte: Instrumento 3.

O resumo dos dados mostra que, à exceção da fração 2 ¾, algo em torno de 75% dos alunos iniciantes e concluintes conseguem localizar com facilidade frações na reta numérica. Registra-se um pequeno aumento de acertos, em pontos percentuais, dos alunos iniciantes em relação aos concluintes. A maior dificuldade foi encontrada no caso da fração mista 2 ¾, em que 13,3% dos alunos confundiram 2 inteiros e ¾ com 2 vezes ¾, além de alunos que não recordavam a forma de trabalhar com este tipo de representação de fração.

Mais do que simplesmente conhecer o número de acertos neste tipo de questão, interessava-nos entender o tipo de raciocínio utilizado pelos universitários para chegar ao acerto ou, também, entender o tipo de estratégia utilizada que os conduziu ao erro. Para tanto, buscamos este entendimento por intermédio da análise das entrevistas concedidas pelos alunos concluintes.

O Instrumento 4 revela que quase a totalidade dos alunos entrevistados (13 entre 15) utilizou a técnica de dividir o numerador pelo denominador, transformando a fração em decimal para, assim, “facilitar” a localização na semi-reta numerada. A fala do aluno A160 é representativa desta tendência:

Marque na semi-reta numerada abaixo a localização aproximada dos pontos correspondentes a: 3 2 ; 5 4 ; 3 4 ; 4 6 ; 4 15 e 4 3 2 . | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6

Pesq.: Tá. Aqui pedia pra localizar ... eu tô vendo que você fez algumas contas aqui, não é? A160: Isso.

Pesq.: Como é que você fez pra localizar?

A160: Eu calculei no caso [inaudível] ... fração, né? Procurei em decimais pra poder localizar na reta onde que tava exatamente aquela fração. Que eu não consigo visualizar só visualizando a fração, não consigo enxergar quanto vale.

Pesq.: Ah... tá. Então, pra localizar na reta, necessariamente você... A160: Eu passei em decimais.

Pesq.: Você sente mais facilidade?

A160: Isso. Eu não consigo enxergar vendo a fração. Algumas, né! Não consigo enxergar quanto que vale a melhor fração (A160, concluinte, Instrumento 4).

No tocante à localização da fração 2 ¾, alguns alunos (6 entre 15) entrevistados disseram não saber como proceder para localizar esta fração na reta numérica. A alegação predominante foi a de que faz muito tempo que estudaram este tipo de representação ou, até mesmo, que não aprenderam este assunto. Esta é mais uma evidência de que as frações mistas não parecem ser objeto de estudo no curso universitário, quer seja como tópico relacionado ao ensino de frações, quer seja como tipo de representação fracionária presente nos problemas abordados nas diferentes disciplinas que compõem o curso.

Pesq.: Agora, dois... dois e três quartos, você colocou depois do quatro e um pouquinho antes aqui do cinco. É... o que significa pra você dois e três quartos?

A124: Ah, faz muito tempo que eu não vejo isso. Mas eu tava vendo na escola, acho que multiplica pelo número de baixo e soma com o de cima? Acho que era isso.

Pesq.: [inaudível]

A124: Faz muito tempo que eu não faço fração mista.

Pesq.: Tá, então é... fração... essa... esse tipo de fração colocada desse jeito você não tem muito contato...

A124: Ah, eu aprendi, mas faz muito tempo. Eu tive acho que [incompreensível] contato na última vez como aluna, mas eu me esqueci.

Pesq.: Tá.

A124: Faz muito tempo que eu não mexo. Pode ser até que esteja errado (A124, concluinte, Instrumento 4).

Ou, ainda, o caso do aluno A161 que alega desconhecimento sobre esta forma de representação das frações:

Pesq.: Tá. E aqui eu percebi que essa fração, dois inteiros e três quartos, você não colocou. Você não sabia o que era?

A161: Eu acho... Não sabia. Não sabia... Não sabia responder por isso eu não coloquei. Não sabia. Pesq.: Você não tem hábito de trabalhar com fração assim?

A161: Não.

Pesq.: Que é o que a gente chama de fração mista. A161: Não.

Pesq.: Não? A161: Não tenho.

Levando-se em consideração as evidências observadas anteriormente, concernentes às dificuldades encontradas por quase metade dos alunos entrevistados, é razoável supor que os alunos que acertaram este item demonstraram uma recuperação de conhecimentos construídos na escolarização anterior à universitária, uma vez que a fala do aluno A124 deixa claro que faz muito tempo que não trabalha com este tipo de fração.

Os alunos que não tiveram dificuldades para efetuar a localização das frações na semi-reta numerada utilizaram a técnica de transformar primeiro a fração mista em fração imprópria, multiplicando o denominador 4 pelo inteiro 2, somando a seguir com o numerador 3, obtendo a fração 11/4. Depois, dividiram o numerador 11 pelo denominador 4, obtendo a decimal 2,75, para depois efetuar a localização na semi-reta numerada, como nos mostra o aluno A151:

Pesq.: E a fração representada assim,dois e três quartos, é uma coisa comum pra você isso? Você lidou várias vezes com isso? Tem entendimento do que seja dois e três quartos?

A151: Sim. Dois inteiros e três quartos. Para localizar ele na reta, eu fiz quatro vezes dois, mais três, oito ... oito... Não, onze quartos; onde dividi por quatro, deu dois vírgula setenta e cinco e localizei na reta.

Identificamos dois casos entre os 15 alunos entrevistados que erraram todos os itens. O primeiro deles considerou o intervalo de 0 a 6 da semi-reta numerada como o “todo”.

Pesq.: Nesta questão que pedia pra localizar estas frações aqui na reta. A175: Certo. Eu considerei um inteiro...

Pesq.: Por exemplo, você colocou...

A175: Eu considerei seis, um inteiro. Seis é um inteiro. Pesq.: Seis é o todo?

A175: É o todo. Aí eu fui fazendo os pedaços, né?

Pesq.: Ah... agora que eu entendi o que você fez, porque você colocou o dois terços... A175: Isso.

Pesq.: ... colocou o dois terços um pouco depois do dois. A175: Isso. Exatamente.

Esta situação mostra que o aluno associou o modelo da reta numérica com o modelo parte-todo, ou seja, considerou o segmento de [0, 6] como o todo e as subdivisões: [0, 1]; [2, 3], etc., como partes deste todo.

Os resultados por nós obtidos, neste caso, são idênticos aos alcançados por Novillis (1980). Estes pesquisadores apresentaram às crianças de 7ª série diversas tarefas que envolviam a localização de frações na reta numérica. Os

resultados atingidos indicaram que a associação de frações com pontos sobre a reta era significativamente mais fácil quando apenas eram apresentadas frações próprias para serem localizadas em segmentos unitários [0, 1]. Os pesquisadores também observaram que, quando a reta numérica era apresentada com duas unidades, quase 25% dos alunos da amostra usaram o segmento [0, 2] como o “todo” ou a unidade.

No segundo caso, o aluno confundiu a representação

b

a dos números

racionais, com notação decimal a, b; por exemplo: 3

2 foi confundido com 2, 3. Par realizar, por exemplo, a localização da fração

3

2 , o aluno dividiu o intervalo [2, 3] da semi-reta numerada em 10 partes, como se fosse uma régua, e localizou a fração 2/3 no ponto correspondente a 2,3, como pode ser evidenciado pela sua fala:

Pesq.: Nesta questão era pra localizar dois terços, quatro quintos na... nessa semi-reta aqui. A280: É.

Pesq.: Como é que... como é que você pensou?

A280: Ah, eu dividi, fui dividindo tipo em milímetros assim, né, e peguei dois terços. Pesq.: Tá. Então, dois terços ficou um pouco depois do dois?

A280: É. Foi esses dois terços. Pesq.: Hã.

A280: De dois, aí vamos supor, se fosse dois vírgula um, vírgula dois... dois terços. Tá ok? Pesq.: Tá. A mesma coisa você fez com as outras contas?

A280: É.

O conjunto dos dados coletados em relação a este subconstruto nos mostra que alguns problemas relacionados com o modelo da reta numérica ainda são evidenciados, mesmo entre os alunos concluintes. Para Pinto e Tall (1996), no sistema universitário tradicional, o entendimento informal dos estudantes sobre os sistemas numéricos normalmente é superestimado, na medida em que é assumida uma aparente intuição ligada a sua representação na reta real, o que na realidade não existe em estudantes típicos. Parece ser uma convicção implícita que logo o estudante adquirirá o significado da representação simbólica trabalhando formalmente nisto, e assim não se dedica tempo para uma discussão satisfatória sobre números concernente ao significado matemático da reta real.

3.2 Unidade de análise 2: o PCK dos futuros professores em relação ao ensino