M ILITARY T RANSFORMATION AND A LLIANCE A DAPTABILITY

Os números inteiros são abstrações do processo de contar coleções de objetos. No entanto, em problemas da vida real nos deparamos com a necessidade não apenas de contar objetos individualmente, mas medir quantidades, tais como tempo, comprimentos e áreas. Em um grande número de situações a aritmética dos números naturais não é suficiente para dar solução a uma vasta quantidade de problemas que envolvem medidas. Com base nesta idéia, propusemos uma situação-problema em que as medidas solicitadas envolviam não só números naturais, mas também frações próprias e impróprias. Para tanto, fornecemos aos alunos uma seqüência de cinco réguas com tamanhos diferentes, cujo comprimento de cada uma podia ser determinado por uma escala, conforme desenho a seguir. O problema consistia em dar a medida de uma determinada régua tomando-se uma outra como unidade de medida. Trata-se de uma situação simples que pode ser apresentada a alunos do Ensino Fundamental, com o auxílio de barras de Cuisinaire ou até mesmo em forma de desenho, com o objetivo de trabalhar o conceito de medida compreendendo números racionais.

Observe as réguas abaixo e responda as perguntas: Régua 1: Régua 2: Régua 3: Régua 4: Régua 5: |____|____|____|____|____|

a) Quanto mede a régua 2 tomando-se a régua 1 como unidade? Resp.:______ b) Quanto mede a régua 1 tomando-se a régua 4 como unidade? Resp.:______ c) Quanto mede a régua 3 tomando-se a régua 5 como unidade? Resp.:______ d) Quanto mede a régua 4 tomando-se a régua 3 como unidade? Resp.:______

Resumidamente, os dados extraídos do Instrumento 3 mostram os seguintes percentuais de acertos:

Tabela 8: As frações como medida

Iniciantes Concluintes

Item Acertos Não Responderam Acertos Não Responderam

a 155 (82,0%) 08 (4,2%) 105 (77,8%) 10 (7,4%)

b 153 (80,9%) 09 (4,8%) 109 (80,7%) 10 (7,4%)

c 147 (77,8%) 11 (5,8%) 105 (77,8%) 10 (7,4%)

d 121 (64,0%) 17 (9,0%) 89 (65,9%) 13 (9,6%)

Fonte: Instrumento 3.

À exceção do item a, iniciantes e concluintes apresentaram percentuais de acerto bastante próximos. Os alunos não devem ter encontrado grandes dificuldades nos três primeiros itens, uma vez que mais de 75% dos estudantes para professores responderam acertadamente cada um deles. O último item (d) parece ter causado um pouco mais de dificuldade, pois observam-se uma nítida diminuição dos percentuais de acertos e um leve aumento das abstenções.

Entre os 15 alunos concluintes pesquisados, 8 deles acertaram todos os itens e nos forneceram uma explicação satisfatória para o procedimento que utilizaram. Um exemplo característico desta situação pode ser observado pela solução apresentada pelo aluno A124:

Pesq.: Nesta questão era pra dar as medidas das réguas... da [inaudível]. A124: Nossa! Eu fiz um monte de rabiscos.

Pesq.: Não, não têm problema os rabiscos. Os rabiscos não têm problema. Mas é que aqui você colocou no item a dois, né. Tomando a régua um como referência... quanto mede a régua dois?

A124: Olha, se tomar esse [régua 1] como medida, aqui vai ter duas vezes um. Pesq.: Quer dizer que cabem duas vezes?

A124: Duas vezes a régua um. Isso.

Pesq.: Tá. Eh... aqui na ... no item d você colocou um mais um terço.

A124: Hã... quanto mede a régua quatro tomando a régua três. A régua três dá um inteiro... Pesq.: Hum, hum.

A124: ...e esse pedacinho eu contei como se fosse dividir a régua três. Cada pedacinho cabe três na régua três, então seria um inteiro mais um terço da régua...

Pesq.: Entendi (A124, concluinte, Instrumento 4).

Nesta questão, no item d, em que podíamos ter como resposta 3 4 ou

3 1 1 , observamos que a fração mista foi a forma de representação preferida pela maioria dos alunos que acertaram este item.

Pesq.: No item d você colocou um e um terço, que seria a régua quatro...

A253: Quatro... eh... péra aí.... De quanto mede a régua quatro tomando-se a três como unidade? Certo. Então seria a régua quatro, né, se a régua três mede e... usando o termo assim ela... cabe dentro da régua quatro e sobra ainda um terço (A253, concluinte, Instrumento 3).

Esta constatação nos leva a uma comparação com os dados obtidos no Instrumento 1. Observando as frações fornecidas como dados em todos os problemas criados pelos alunos concluintes, verificamos que 495 (39,4%) continham frações impróprias, ao passo que em apenas 24 (1,9%) forneciam como dados frações mistas. Isto é um indicativo de que frações mistas não fazem parte de um repertório comum dos estudantes. É possível que o tipo de problema apresentado no item d seja um indicativo de situação facilitadora para geração de frações mistas. Ao realizar a comparação entre o comprimento de uma régua menor sobre uma maior, de forma que a menor não caiba um número inteiro de vezes na maior, propiciou a visualização da medida como o número de vezes que a régua menor cabe na maior, acrescido de uma fração própria, ou seja, uma fração mista.

Também é digno de registro o fato de que as entrevistas mostraram que 7 alunos entre os 15 entrevistados tiveram dificuldades para encontrar as medidas solicitadas. Os erros normalmente aconteciam quando o aluno introduzia um outro elemento para realizar a comparação, diferente daquele que foi explicitado no problema ou invertia a régua a ser medida com a régua tomada como a unidade de medida. Vejamos, por exemplo, a solução apresentada pelo aluno A348:

Pesq.: Então, era pra dar a medida da régua dois tomando a régua um como unidade. A348: Hum, hum.

Pesq.: Você colocou dois quintos. Como que você pensou aqui pra dar dois quintos?

A348: Olha, eu vou na régua um, é... Se você for analisar aqui [mostra a régua dois] daria... eu estaria ocupando duas casas, né?

Pesq.: Que seria dois, né? A348: Isso.

Pesq.: Tá.

A348: Daria dois terços.

Pesq.: Esse... eh... então, o significado desse dois? É o quê?

A348: Você, você ter cinco, cinco barras dividido pra duas pessoas (A348, concluinte, Instrumento 4).

O aluno apresenta uma idéia bastante confusa. Inicialmente pensamos que ele teria comparado a régua 2 com a escala que era composta por 5 unidades. Assim, a comparação da régua 2 (2 unidades) com a escala (5 unidades) geraria a fração 2/5. Na finalização de sua idéia, o entendimento fica ainda mais difícil, quando surge a fração 2/3 como resposta. Ao solicitarmos a explicação sobre o significado do numerador (2) da fração, o aluno complementa: “Você... você ter cinco... cinco barras ... dividido pra duas pessoas”.

Na seqüência da entrevista prosseguimos na tentativa de entendimento da resposta dada para o item b:

Pesq.: Quanto mede a régua um tomando a régua quatro como unidade? A348: Hum.

Pesq.: Você colocou um quinto. A348: Não, tá errado.

Pesq.: [inaudível] A348: Eu errei esse aí. Pesq.: Daria o quê?

A348: Régua quatro, né? Como... como... como base, né? Pesq.: Isso.

A348: Daria quatro quintos. Não é quatro quintos?

Pesq.: Aqui [mostrando a resposta do aluno no Instrumento3] tá um quinto. A348: É ... então, é... seria quatro quintos.

Pesq.: Seria quatro quintos. A348: Isso.

Neste trecho da entrevista o aluno retifica a resposta dada no Instrumento 3 e volta a fazer uma comparação errônea entre a régua a ser medida e a escala colocada após a última régua.