Problemløsning som perspektiv i matematikkopplæringen er gjerne knyttet til matematikeren Polaya (1887 – 1985), og vektlegger ever til å tilnærme seg problemer gjennom logisk tenkning og situasjonsanalysere. Til grunn for tankegangen ligger en tanke om at matematisk så vel som algebraisk tankegang, i bunn og grunn handler om å gripe og løse utfordringer. Dette innebærer dermed en tenkning der matematikken, og algebraen, på mange måter betraktes som ett problemløsningsverktøy og målet er samfunnsborgere med gode problemløsningsevner.
Problemløsningsprosessen kjennetegnes ifølge Polaya av ulike faser; å forstå problemet, å legge en plan, å gjennomføre en plan, å se tilbake (Solvang, 1991). I
problemløsningsprosessens første og siste fase vil generaliseringsaspekter kunne spille en rolle.
Det historiske utgangspunktet for algebraens utvikling var, som en kan se av det historiske tilbakeblikket, enkeltmenneskers refleksjon omkring problemer de opplevde ett ønske om å løse.
”In the beginning were the problems”
(Rojano, 1996)
Ønske om å forstå ble den viktige motivasjonsfaktoren som gjorde at de ikke oppga forsøk på å løse problemet i ”første motbakke”. Problemløsningsperspektivet tilhengere anklager gjerne skolen for å undervise slik at elevene ikke opplever problemer de ønsker å løse, men i stede for raskt møter;
“The finished version of instrumental algebra, with all its potential as a synthetic and formal language”
(Rojano, 1996)
Ett møte som kan virke fremmedgjørende og demotiverende, og som gjerne kun skaper en instrumentell forståelse av løsningsmetodene.
Flere andre matematikkdidaktikere har i sin forskning jobbet med
problemløsning som metode for algebrainnlæring. Disse forskerne peker på viktigheten av at problemer er egnede, og påpeker at mange av de oppgaver elver pålegges å løse ved bruk av algebra, lett kan løses aritmetisk og uten de algebraiske ”våpen” (Wheeler, 1996). Algebraen blir gjerne da betraktet som et ekstra problem eller en unyttig metode, og ikke som ett verktøy som letter problemløsningen. Som motivasjonsfaktor fremholder disse teoretikerne
viktigheten av å gjøre bruk av problemoppgaver av en slik vanskelighetsgrad, at tradisjonell aritmetisk løsning ville være vanskelig. Som eksempel på en slik oppgave vil jeg trekke fram matematikkdidaktikerne Bednarz og Janviers sportsoppgave:
”380 elever er registrert i tre sportsaktiviteter gjennom sesongen. Basketball har 3 ganger så mange elever som skøyter, og svømming har 114 flere elever enn basketball.
(Bjørnstad, 2002)
Som motivasjonsfaktor kan oppgaven være velegnet fordi den er komplisert å løse aritmetisk siden den inneholder både addisjon og multiplikasjon, mens den samtidig ikke er spesielt vanskelig å løse algebraisk. Oppgaven tar dessuten fatt i saker som kan ha med elevers hverdag å gjøre, ett reelt problem som bruk av algebra kan løse. Sportsoppgaven kan slik sett også oppfattes som ett forsøk på å knytte algebraen til det virkelige liv, slik
læreplanen og ett modelleringsperspektiv på algebraen vektlegger.
Modelleringsperspektivet.
Modelleringsperspektiv på begynneropplæringen i algebra knytter seg til en tenkning om at matematikk i bunn og grunn handler om å forklare og beskrive den kompliserte og av og til uforståelige virkeligheten. For å gjøre dette benyttes modeller, som lar oss forholde oss til den uforståelige og ukjente situasjonen, men som samtidig alltid også innebærer en
forenkling av denne virkeligheten (Sjøberg, 2004). At algebraen og matematikken modellerer virkeligheten er ifølge modelleringsperspektivet vesentlig å formidle til elevene, slik at de unngår unødvendige misoppfatninger og kjenner den matematiske modellens begrensninger, for eksempel at konklusjonene kun er gyldige med gitte forutsetninger.
Å knytte matematikken og algebraen til det virkelige liv og praktiske situasjoner er dermed også i dette perspektivet sentralt, både av hensyn til fagets begrunnelse, som kognitiv støtte i læring og forståelse av situasjoner, men også relatert til elevers læringsmotivasjon (Blomhøj, 2004). Matematiske modeller er på mange vis grunnlaget for vårt moderne teknologiske samfunn, slik at kompetanse relatert til matematiske modeller er etterspurt kompetanse, både av spesialister og legfolk, i arbeidslivet generelt og i utvikling av det demokratiske samfunn spesielt (Blomhøj, 2004).
Modelleringsperspektivet på algebraopplæringen henger på mange måter sammen med ett problemorientert opplæringsperspektiv, der utgangspunktet er problemene og algebraen utgjør representasjonen og matematiseringen av situasjonen. Gode algebrakunnskaper blir med ett slikt syn grunnlaget for gode modelleringsevner (Hovik, 2006).
Modelleringssituasjonen kan beskrives med ulike faser eller trinn, men Blomhøj (2004) fastholder at prosessen ikke bør forstås som en lineær prosess, men som en mer syklisk prosess der faser og utvikling er gjensidig avhengig. En fordel ved modeller er at de muliggjør sammenlikning av enkeltsituasjoner med andre, at de på sett og vis kan strukturerer problemet for oss, samt at de kan lede oss til nye ideer og tanker omkring problemet (Sjøberg, 2004).
Funksjonsperspektivet.
I sin artikkel “Critical considerations for the future of algebra” (Leitzel, 1989) tar matematikkdidaktikeren Leitzel til orde for å ha funksjoner som utgangspunkt i algebralæring.
En fordel av å ha funksjoner som utgangspunkt i algebraundervisningen vil ifølge forskeren kunne være større fokus på det problematiske algebrabegrepet, slik at elevene ikke kun utvikler forståelsen av at det algebraiske symbolet representerer en ukjent størrelse.
Artikkelen anbefaler at introduksjonen av likninger blir utsatt, mens det oppfordres til å gi eleven konkrete erfaringer med funksjoner i og på ulike former.
Funksjonsperspektiv på algebra har som utgangspunkt at algebraundervisningen i skolen har forandret seg forholdsvis lite fra tidlig etterkrigstid til det nittende århundrets sluttfase, mens matematikken, de teknologiske muligheter og samfunnet i samme periode endret seg mye (Thorpe, 1989). Bruken av grafisk fremstilling i informasjonsøyemed er for eksempel mangedoblet (Noss, 2002). Ifølge flere matematikkdidaktikeren er det på tide at algebraundervisningen i skolen reflekterer disse store endringene, ved å endre skolens algebraundervisning.
”Let us not just teach about functions in algebra; let us make functions the centrepiece of algebra instruction.”
(Thorpe, 1989)
Funksjonsperspektiv i algebratilnærmingen vektlegger til eksempel; bokstavsymboler forstått som variable størrelser snarere enn ukjente verdier, og likhetstegnet som et tegn på identitet mellom to regneprosesser” (Stephens, 2004).
Med et slikt undervisningsperspektiv bør læreren ha som utgangspunkt og
videreformidle at funksjoner er konkrete objekter, som kan representeres på ulike vis (Thorpe, 1989). En funksjonsbasert algebraundervisning vil dermed i større grad kunne fokusere på sammenhengen mellom ulike representasjonsformer av ett og samme objekt eller situasjon, slik at disse sammen og hver for seg utvikles og forsterkes. Funksjonsbaser
algebraundervisning vil også kunne nyttegjøre seg av mer visuelle fremstillinger av løsninger og sammenhenger i algebraen. En annen fordel ved et funksjonsbasert perspektiv i
undervisningen er ifølge Thorpe (1989) at det vil gi mening til symbolmanipulering og dermed øke motivasjonen for læring.