Harper (1987) beskriver, som tidligere redegjort for, algebraens historiske utvikling i tre uliker historiske faser; retorisk algebra med problemer og løsninger beskrevet i ord og setninger, synkopert algebra med problemer og løsninger beskrevet med forkortelser og
forsiktig bruk av symboler for ukjente størrelser, og symbolsk algebra med problemer og løsninger beskrevet med utstrakt symbolbruk, der symbolets betydning knyttes til ulike betydninger - variabelbegrepet.
I sin forskning fant Harper at elever på tross av flere års undervisning med algebraisk symbolbruk foretrakk mer retoriske strategier og løsninger til problemer, selv når den
symbolske løsningen var ”enklere”. Dette mente Harper indikerte at elever også må gå gjennom disse tre fasene i sin forståelse av algebra. Teorien er da at hvert individs utvikling i algebra, dvs. den ontogenetiske utvikling, vil følge algebraens historiske utvikling, den fylogenetiske utviklingen og det å nå ny erkjennelse er en tidkrevende prosess som for mange elever stopper uten at de når den fulle og endelige algebraforståelsen. Harper påpeker også viktigheten av å vektlegge bokstavers ulike roller eller betydninger i algebraen i
undervisningssammenheng, siden en god del av algebraens historiske utvikling kan knyttes til nettopp endring i forståelse og bruk av bokstavsymboler.
Andre matematikkdidaktikere, som blant annet Kieran, påpekte at akkurat som det historisk tok lang tid å nå nivået symbolsk algebra, med bruk av variabelbegrepet, virker det som nettopp denne overgangen er problemfylt for mange elever også (Bjørnstad, 2002).
”Overgangen til symbolsk algebra fjernet meningen til de enkelte bestanddelene. Et symbolsk språk øker anvendeligheten, men siden det er svakt semantisk sett, tilhører det ingen spesiell og konkret kontekst, og det abstrakte kan skape problemer for elevene”
(Bjørnstad, 2002)
At skolens algebraundervisning bør ta hensyn til algebraens historiske utvikling er det som tidligere nevnt, flere forskere som har grepet tak i. I artikkelen ”The development of algebra” (Sfard, 1995) redegjør professor Anna Sfard for algebraens historiske utvikling. I likhet med Harper deler hun inn emnets historiske utvikling i faser eller epoker. I tiden fram til Viete skiller Sfard ut 3 faser i den greske algebraens utvikling; synkopert algebra, retorisk algebra og geometrisk algebra. Hun påpeker at den Vietanske algebraen, som for mange undervisere i algebra er uløselig knyttet til algebraisk tankegang, er en forholdsvis ny
oppfinnelse og ikke umiddelbart tilgjengelig for alle elever. Viktig for å sikre utviklingen av symbolsk algebraforståelse blir da god grunnleggende retorisk forståelse av emnet, siden denne skal støtte den videre forståelsen i emnet.
Den norske matematikkdidaktikeren Marit Jonhsen Høines gjør i sin forskning bruk av begrepene 1.ordens språk og 2. ordens språk for å forklare elevers problemer med den
algebraiske notasjonen (Hovik, 2007). Språk av 1. orden omfatter familiære begreper som eleven selv opplever at de forstår godt, vi kan si begrepene og deres betydning er internalisert, mens språk av 2. orden er dem fjernere og oppleves som mer abstrakt, vi kan si at det ennå ikke er godt internalisert. I tillegg skiller den algebraiske formelle representasjonen lag med
dagligtale med hensyn til kravet til presisjonsnivå i bruk. Disse faktorene kan bidra til at det algebraiske språket oppfattes som fremmed og abstrakt av elever.
I en annen artikkel ”On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the same Coin”, forklarer Sfard (1991) hva det er som skiller matematisk abstraksjon fra annen abstraksjon. I sitt forsøk på å besvare dette spørsmålet peker hun på at matematikken, som mange andre universitetsemner, er hierarkisk oppbygget, men at det i tillegg er slik at matematikken preges av en dualitet, kalt prosess og produkt, ved at ulike matematiske forestillinger har ett todelt fundament eller en tosidig natur.
Man kan møte denne dualiteten hos mange ulike matematikkdidaktikere, i beskrivelsen og vurderingen av kunnskapens karakter som for eksempel figurativ kontra operativ,
instrumentell kontra relasjonell, abstrakt kontra algoritmisk eller forklarende kontra prosedyremessig. Det er allikevel forskjell mellom mye av denne tenkningen og Sfards dualitet, i den forstand at Sfard er opptatt av at de to kunnskapstypene eller oppfatningene er komplementære, begge er nødvendige byggeklosser for god forståelse.
Matematiske forstillinger eller konsepter er altså på den ene siden dynamiske prosesser eller handlinger som kan foretas, på den andre siden evige strukturer, helheter, objekter og ideer utilgjengelig for alle våre sanser (Sfard, 1991). Matematiske fenomener kan altså ”angripes”, begripes og forklares operasjonelt og strukturelt, men det er ifølge Sfard ett stort gap mellom operasjonell og strukturell forståelse av ett matematisk konsept og det er vanligvis slik at den praktisk operasjonelle forståelsen av konseptet, utvikles før den mer teoretiske abstrakte strukturelle oppfatningen (Sfard, 1991).
Ett godt eksempel her kan være funksjonsuttrykk. Funksjonsuttrykk kan oppfattes som prosedyrer, forvandlingsmaskiner, som til hver gitt x-verdi tilordner en tilpasset y-verdi.
Dersom ikke eleven også klarer å se funksjonsuttrykket som ett uttrykk for objektet; en funksjon, vil det gi liten mening for eksempel å derivere funksjonsuttrykket.
”Without an ability to think structurally, the learner would often feel lost: he or she would have to perform manipulating on nothing, because from her or his point of view the objects in question do not exist”
(Sfard, 1992)
I algebraens tilfelle påpeker Sfard at algebraen hadde en svært operasjonell karakter i tusener av år (Sfard, 1991), i retorisk og synkopert periode. Først ved overgangen til Vietansk algebra fikk algebraen mindre prosedyrebasert karakter. Viete ga algebraen ett kraftig
symbolverktøy, og tegnsystem, noe som var en nødvendig forutsetning for å utvikle en strukturell karakter. For å gå fra operasjonell til strukturell algebra må man være i stand til å generalisere og å kunne tenke abstrakt. Innføringen av symboler som kunne manipuleres med ga mulighet for å generalisere og tenke mer abstrakt og er dermed årsaken til at algebraiske begreper kan oppfattes som objekter (Bjørnstad, 2002). God begrepsforståelse og da særlig av
variabelbegrepet blir vesentlig for algebralæringen, og for utviklingen av god strukturell algebraforståelse.
I en av sine artikler (Sfard, 1991), beskriver Anna Sfard overgangen mellom prosedyremessig og strukturell kunnskap. Uten å gå i detalj i Sfards teori fremhever hun at sentralt i utviklingen, er graden av løsriving fra den konkrete situasjonen. Den
prosedyremessige forståelsen utvikles på sett og vis gradvis, med stigende grad av oversikt over prosessen, mens full strukturell forståelse av ett matematisk konsept forutsetter ett kvalitativt sprang i forståelse. Når ett matematisk konsept er fult ut forstått, også strukturelt, vil det å bruke prosedyrer på denne kunnskapen kunne bringe fram nye konsepter og ideer som også må gjennomgå en tilsvarende utvikling, før disse nye ideer igjen er fult ut forstått og utviklet. Strukturell eller helhetlig forståelse av fenomenet holdes frem som målet og som ett kvalitativt sprang i forståelse. Sfard påpeker som tidligere forklart nødvendigheten av begge typene forståelse siden de er utfyllende og siden den strukturelle forståelse avhenger av den prosedyremessige. Forklaringsmodellen har slik jeg ser det en del felles med Piagets syn på læring da begge forutsetter at helhetsforståelsen, er noe kvalitativt annerledes enn summen av
”delforståelser”.
Med bakgrunn i Sfards forklaringsmodell med hensyn til utvikling av matematisk og algebraisk kunnskap og egen klasseromsopplevelse av elever som gir uttrykk for opplevelse av meningsløshet i faglig sammenheng, er det fristende å påpeke at det å drive videre i undervisningssammenheng uten å oppnå forståelse av lavere nivåers matematiske konsepter vil være meningsløst. En følge for undervisningen er at det å utføre prosesser må ses på som viktig for utvikling av forståelse, ikke bare som en følge av forståelsen. Dette vil igjen ifølge Sfard (1991) bety en oppgradering av synet på betydningen av tekniske ferdigheter, etter at disse i en periode ble betraktet som behavioristisk arv og i for stor grad ble neglisjert som assimilasjon (oppgaver uten utfordring, kun rutine), uten særlig betydning for
læringsutviklingen.