En sannhet som er vesentlig i fundamentet for tenkningen omkring diagnostisk undervisning i matematikk, er at av de mest betydningsfulle faktorene for innlæring av nytt fagstoff, er de erfaringer og kunnskaper elevene allerede har. Et vesentlig begrep i denne sammenheng er begrepet ”misoppfatninger”. Med begrepet misoppfatninger siktes det her til typer feil elever gjør i oppgaveløsning, som ikke skyldes slurv, men som er forholdsvis faste og stabile, samt at de går igjen hos flere elever. Matematikkdidaktikere antar disse
misoppfatningene bunner i mangelfullt utviklede kunnskaper og forståelse innen
matematikken generelt og algebraen spesielt (Brekke Grønmo, Rosen, 2000). Jeg vil nå kort gjøre rede for de mest typiske misoppfatninger elever viser innen algebratemaet.
Misoppfatninger i algebra.
Siden algebra henger så tett sammen med aritmetikk, er det bred enighet om at enkelt av de feilene elever gjør i løsning av algebraoppgaver, skyldes for dårlige forkunnskaper innen tallregning og tallforståelse. Typiske vansker her er problemer med prioritering av regneoperasjoner, korrekt bruk og oppløsning av parenteser, mangelfull forståelse av mengdebegrepet eller vansker med brøkregning (Hauge, 1997). Elevene er gjerne lite vant med å uttrykke seg like formelt og presist som en gjør med algebraisk symbolspråk, noe som virker å være et ”tilleggshinder” eller en ”sperre” i arbeidet med oppgaver i algebraisk språkdrakt. Selve bruken av symboler virker som det er ”fremmedgjørende” på elevene og bytte av representasjonsform for problemet eller sammenhengen, ser ut til å gjøre at mange elever ikke klarer å løse problemer som de uten symbolbruken mestret. En del elever vil også kunne la seg forvirre av at en i algebraen ofte jobber ”baklengs” sammenliknet med det de er vant med fra aritmetikken.
Også overgangen fra aritmetikk til algebra kan som tidligere omtalt, skape
misoppfatninger og dermed problemer for elever. Forståelsen av likhetstegnet betydning og funksjon har for eksempel vist seg å være kilde til mangelfull forståelse i algebra. Elever har en oppfattning, fra tidligere matematikkundervisning, av likhetstegnet som et signal eller en instruksjon om å utføre beregningene i oppgaven. De har da forstått likhetstegnets
transformerende funksjon, men kan samtidig ha gått glipp av likhetstegnets betydning som tegn på likeverdighet, noe som kan skape trøbbel i oppgaveløsningen;
- både ved symbolbruk i høyresiden av matematiske uttrykk. Eksempel: ”8 = X + 3”. Enkelte elever vil kunne ”settes ut” eller ha problemer med å finne en korrekt verdi av X når symbolet er oppført på ”svarsiden” i uttrykket.
- og dersom høresiden i ett matematikkuttrykk ikke ”lukkes” i form av ett bestemt tall, men gir ett uttrykk. Eksempel: ”a + a + b = 2a + b”. Mange elever vil oppleve oppgaven som uløst, siden svaret ikke har form av en bestemt verdi, den ukjente x er ikke ”funnet”.
Intuitive oppfatninger og løsningsmetoder som fungerte greit innen aritmetikken, kan vise seg å være hindre i utviklingen av algebraisk oppgaveforståelse. Matematikkdidaktikeren Kieran kaller dette som tidligere nevnt, diskontinuitet mellom aritmetikk og algebra
(Norstein, 1999).
Algebraen ”låner” dessuten språkopplæringens bokstaver, uten ”å låne”
språkopplæringens normer med hensyn til bruk og forståelse av algebraiske uttrykk. Fra leseopplæringen vet elevene at vi i ”skolearbeid” beveger oss ”fra venstre mot høyre” og at bokstavene skal trekkes sammen til ord sammensatt av flere bokstaver. Den matematiske konteksten gjør at normene med hensyn til bruk og forståelse av bokstavene er endret, men for noen elever vil språkfagets normer overføres til algebraopplæringen, der de kan være til hinder for gode algebrakunnskaper.
I matematikken brukes i tillegg bokstavene i ulike sammenhenger med klart ulikt meningsinnhold noe som kan bli en tilleggsforvirring for eleven med hensyn til "å få med
seg” hva bokstaven representerer (Brekke, 2000). En mer objektorientert forståelse av bokstavsymbolet har vært en av de vanligste misoppfattninger knyttet til bruk av algebraiske symboler (Nygård, Pettersen, 2000). Som Nygaard og Zernichow forklarer i sin artikkel ”Den blokkerende misoppfatning”, der de påpeker at dersom eleven oppfatter symbolene a og b i uttrykket ”6a + 8b”, som forkortelser for, for eksempel appelsiner og bananer, vil det kunne skape store problemer med å gi noe meningsfull kontekst, til oppgaver av typen ”6a • 8b”
(Nygaard, Zernichow, 2006).
Bokstavsymbolet forstått som utrykket for en ukjent størrelse vil også kunne skape problemer med hensyn til forståelse av symbolbruk i funksjonsuttrykk og bevis, siden eleven vil fokusere på å løse problemet snarer enn å betrakte relasjonene mellom de ulike faktorene det gjelder. Mangelfullt utviklet variabelforståelse kan dermed være blokkerende for videre utvikling av algebraisk og matematisk forståelse, og noen elever løser sitt problem med å forstå symbolets betydning ved å ignorere dette i oppgaveløsning (Brekke, 2000).
En annen typisk feil, ikke kun knyttet til algebraisk oppgaveløsning, oppstår når elever lærer seg prosedyrer eller oppskrifter knyttet til oppgaveløsning, for deretter å anvende disse
”trylleformlene” på alle ”liknende” oppgaver, selvfølgelig med varierende hell. Slike feil kombineres gjerne med mangelfull begrepsoppfatning, problemer med å gå fra en matematisk representasjon av problemet til en annen og vansker i å gjenkjenne mønstre eller generalitet i matematiske situasjoner (Brekke, Grønmo, Rosen, 2000).
Diagnostisk undervisning.
Som gjennomgangen hittil viser har ulike matematikkdidaktikere forsket på
misoppfatninger knyttet til algebra, samt kritiske overganger og faser i algebrainnlæringen.
Andre typiske feilforestillinger er påpekt hos flere forskere, og i den forbindelse lanserer blant andre matematikkdidaktiker Gard Brekke begrepet ”diagnostisk undervisning i
matematikk”,(Brekke, 1995). De ulike faser i diagnostisk undervisning kan skjematisk fremstilles slik:
”1. Identifisere misoppfatninger og delvis utviklede begreper hos elevene.
2. Tilrettelegge undervisningen slik at eventuelle misoppfatninger eller delvis begreper blir framhevet. En kaller dette å skape kognitiv konflikt.
3. Løse den kognitive konflikten gjennom diskusjoner og refleksjoner i undervisningen.
4. Bruke det utvidede (eller nye) begrepet i andre sammenhenger.”
(Brekke, 1995).
Diagnostisk undervisning i algebra og matematikk har, som leseren selv kan se, ett konstruktivistisk syn på læring, der hovedhensikten er å gi elevene anledning til å vinne erfaring som de kan tufte kunnskaper på, samt å legge til rette for refleksjon underveis i arbeidet. Viktige spørsmål i den forbindelse er;
Hva vil det si å kunne matematikk?
Hvordan utvikler elever sine ideer og begreper?
Tradisjonell klasseromsundervisning har i for stor grad fokusert på faktakunnskap og regnetekniske ferdigheter, samtidig som begrepslæringen og forståelsen er blitt neglisjert (Brekke, 1995). Brekke hevder at karakteristisk for de matematiske begreper er at de ikke har vokst fram isolert, men at de eksisterer i et nettverk av ideer – det vi kan kalle
begrepsstrukturer, som gjør matematikken meningsfull og støtter de regnetekniske
ferdighetene. Ett velkjent problem for matematikklærere er elever som kan gjøre beregninger korrekt, men som ikke selv klarer å se hvilke beregninger som skal til for å løse ett problem.
De underliggende relasjoner mellom delene i et problem, strukturene, er skjult for dem, samtidig som de kan alle regler til punkt og prikke. Elevene har da tydelig høyere
prosedyremessig forståelse enn strukturell forståelse av situasjonen og de har utviklet det vi kan kalle en ufullstendig oppfatning knyttet til ett matematisk begrep eller konsept.
Et vesentlig aspekt i ideen om diagnostisk undervisning i matematikk er som nevnt elevers misoppfatninger, forstått som ufullstendige, men gjerne konsekvente tanker, knyttet til et matematisk begrep. Utgangspunktet er at elever gjør feil i løsningen av ulike matematiske oppgaver, og at flere av disse feilene ikke skyldes slurv eller tilfeldigheter, men tvert imot er ett resultat av en bestemt ide eller tenkning. Siden nye ideer og konsepter i faget må fortolkes og forstås på grunnlag av eksisterende ideer og forståelse, vil elever få misoppfatninger innimellom, enten på grunnlag av overgeneralisering eller ved at de trekker feil slutninger i læring av nytt stoff.
I matematikkundervisningen blir det da vesentlig å bruke diagnostiske oppgaver der en bevist lar elevene møte problemer som er slik at de bringer misoppfatninger frem i dagen, det vil si avslører feiloppfatningene eller manglene i forståelse. Hensikten er å rydde
misoppfatningene av vegen ved hjelp av fremprovosert kognitiv konflikt og påfølgende konfliktdiskusjon. ”Metoden inneholder altså en ”destruktiv” fase, med det siktemål å gjøre det tydelig at gamle ideer er unøyaktige eller utilstrekkelige, og en løsningsfase, hvor diskusjoner og refleksjoner omkring det en har funnet ut, er det sentrale”(Brekke, 1995).
Sammenliknende studier har ifølge Brekke vist at diagnostisk undervisning har bedre langtidseffekt med hensyn til læringsutbyttet, enn tradisjonell undervisning (Brekke, 1995).
Oppsummering.
Universaloppskriften på læring, som lærere gjerne kunne ønske seg, lar seg ikke oppdrive, på tross for stor økning i forskning av matematikkdidaktisk karakter de siste 30 år. I
konstruktivistisk tankegang omkring matematikklæring vunnet terreng. Algebraens nære sammenheng med aritmetikken er tydeligere fremhevet og understreket i nyere læreverk og læreplaner, der sammenhengen mellom algebra og likninger før gjerne var mer i fokus.
Induktiv og retorisk tilnærming til algebraens fagstoff er blitt dominerende i dagens matematikklærebøker og den matematiske klassesamtalen og undringen over mønstre og generaliteter har blitt løftet mer frem. Samtlige av dagens lærebøker presenterer algebraen nært knyttet opp imot geometrien og i de matematikkdidaktiske miljøer er det gjort en del forskning på overganger mellom aritmetikk og algebra, samt overgangen mellom ulike former for forståelse og kunnskap omkring et tema eller et matematisk konsept. Forskningen har vært opptatt av å unngå mangelfullt utviklet forståelse av et matematisk konsept eller tema,
dualiteten mellom et begreps prosedyremessige og strukturelle aspekt, samt å få bukt med direkte feiloppfatninger en har funnet at elever ofte kan ha i algebraen og matematikken.