Methodology and Data
3.2 Discourse analytical approaches
3.2.3 Politeness theory
Outra forma de medir as variações de bem-estar é por meio da função utilidade com métrica monetária, conhecida também como função de compensação direta. É definida da seguinte maneira:
μ(q; p,m) ≡ e[q, v(p,m)]
(09) Em queμ(q; p,m) é a função de utilidade com métrica monetária, q e p são os vetores de preços e m a renda. Ela se comporta como a função gasto e, em relação a q. Ressalte-se quev(p,m) é a função de utilidade indireta com relação a “p” e “m” ee[q, v(p,m)]é a função despesa (gasto).
A função utilidade com métrica monetária permite medir o montante de renda necessária ao consumidor aos preços de referência qr para estar tão bem quanto estava ao vetor de preços p com renda m. De outra forma, mede o gasto mínimo necessário para que, aos preços q, o consumidor permaneça no mesmo nível de utilidade já alcançado com os preços p e a renda m. Portanto, pode ser utilizada como um indicador de padrão de vida da população, pois possibilita a captação da variação de bem-estar vinculada às variações de preços. Partindo da hipótese da existência de uma determinada cesta de bens x, pode-se perguntar:
Quanto dinheiro seria necessário dar para um consumidor aos preços p para que o mesmo esteja tão bem quanto ao vetor de preços q e a renda m? Assim, para determinado consumidor com renda “m”, dada a mudança de preços de p0 para p1, pode-se medir o impacto sobre o seu bem-estar por meio das diferenças resultantes das utilidades consumidas em razão da variação de preços. Desta forma, a variação de bem-estar pode ser expressa por:
μ (q; p1
Normalmente, adota-se p0 ou p1 como preço de referência de q. A partir da definição de q = p0, obter-se-á a medida de variação equivalente (VE). Se fizermos q = p1 obter-se-á a medida de variação compensatória (VC). Nesta seção p0 refere-se a um vetor de preços em um momento inicial e p1 em um momento final.
A variação equivalente corresponde ao montante de recursos monetária que deve ser fornecido (retirado) do consumidor antes de um acréscimo (decréscimo) de preços, para que ele obtenha o mesmo nível de utilidade (nível de bem-estar) que teria após a mudança de preços.
Trata-se de variação na renda (mantidos os preços constantes) equivalente à variação nos preços (mantida a renda constante). A variação deve ser de tal forma que a nova reta orçamentária tangencie a curva de indiferença representada pela cesta de consumo final. Admitindo-se a variação de preços de p0 para p1 temos:
VE= μ(p0
; p1,m1)− μ(p0 ;p0 ,m0)
(11) VE = μ
(
p0 ; p1,m1)
− m0(12)Graficamente pode-se representar a variação equivalente da seguinte maneira:
Gráfico 6– Variação Equivalente
Fonte: Adaptado de Varian (2006)
A variação compensatória corresponde ao montante de recursos monetária que deve ser dado (retirado) ao consumidor após um acréscimo (decréscimo) de preços, capaz de mantê-lo no mesmo nível de utilidade (nível de bem-estar) em que se encontrava antes da mudança de preços. Mede a quantidade de renda necessária para compensar os agentes econômicos pela variação de preços, de tal
VE
bem 2
bem 1
p1
forma que a nova reta orçamentária tangencie a curva de indiferença inicial. Considerando novamente a variação de preços de p0 para p1 temos:
VC = μ(p1; p1,m1)− μ(p1;p0 ,m0) (13)
μ(p1
;p1 ,m1)≡e(p1 , v(p1 ,m1)= m1 (14) VC = m1− μ(p1
;p0 ,m0) (15) Graficamente pode-se representar a variação compensatória do seguinte modo:
Gráfico 7 - Variação Compensatória
Fonte: Adaptado de Varian (2006)
Pelo exposto ao longo desta seção, verificou-se que o excedente do consumidor trata-se de uma boa aproximação para medir a variação equivalente e compensatória, no caso de funções quase-lineares12. O conceito de excedente do consumidor pode também ser utilizado a partir da identidade da função indireta com métrica monetária (μ) com a função dispêndio (e).
Supondo que os preços do bem X1 variem de p0 para p1 e que todos os outros preços e a renda sejam fixados, tem-se que:
= μ
(
p1; p1,m)
≡m≡ μ(
p0;p0 ,m)
(16) Além do fato que:μ
(
q; p,m)
≡ e[
q, v(
p,m)]
(17) Logo, podem-se reescrever as equações (12) e (15) da seguinte forma:12
Seja uma função definida como U(x1,x2) = v(x1) + x2. Esta função é definida como quase-linear e apresenta como principal característica o fato de que a demanda pelo bem (x1) independe da renda que o consumidor possui para gastar com o bem (x2).
bem 2
bem 1
VE= μ
(
p0; p1,m)
− μ(
p0 ;p0 ,m)
= μ(
p0; p1,m)
− μ(
p1 ;p1 ,m)
(18) VC = μ(
p1; p1,m)
− μ(
p1 ;p0 ,m)
= μ(
p0; p0,m)
− μ(
p1 ;p0 ,m)
(19) As variações compensatórias e equivalentes podem ser visualizadas conforme gráficos abaixo:Gráfico 8 - Variação compensatória e Variação Equivalente
Fonte: Adaptado a partir de Varian (1992)
Definindo:
u0= (p0, m), (20)
u1= (p1, m), (21)
Substituindo em μ, as equações 18 e 19 podem ser reescritas em função do dispêndio (e), ou seja,
VE = e(
p
0,u1)-e(p
1,u1)(22)
VC = e(
p
0,u0)-e(p
1,u0)(23) Sabendo-se que a função demanda hicksiana é a derivada da função dispêndio (e) com relação a “p”, ou seja:
∂e (p. u) = h (p. u) (24) ∂p
Logo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo e o lema de Shepard, pode-se reescrever as equações (22) e (23) como:
Y VE VC P0 P1 x U0 U1 Y VC VE P1 P0 x U0 U1
p¹
VE = e(pº. u¹) – e(p¹. u¹) = ∫ h(p. u¹) dp (25) pº
p¹
VC = e(pº. uº) – e(p¹. uº) = ∫ h(p. uº) dp (26) pº
Denota-se a partir das expressões (25) e (26) a variação equivalente é a integral da curva de demanda hicksiana calculada no nível final de utilidade u¹ e a variação compensatória é a integral da curva de demanda hicksiana associada ao nível inicial de utilidade uº.
As expressões (25) e (26) vinculam-se aos conceitos de variação compensatória e variação equivalente e que podem ser observados na área (hachurada) abaixo das demandas hicksianas entre as linhas de preço de p0 e p1, conforme mostrado no gráfico 9 abaixo:
Gráfico 9 - Excedente do Consumidor, VC e VE Fonte: Adaptado de Varian (1992)
Assim, por meio do gráfico 9 têm-se os excedentes do consumidor marshalliano e hicksiano definido pelas seguintes áreas:
• Variação Compensatória (VC): a • Variação Equivalente (VE): a + b + c • Medida Marshalliana (EM): a +b
Considerando a situação de aumento de preços (p1> p0) para um bem normal, observa-se que a variação equivalente (VE) é maior do que o excedente do
P P1 P0 h(p, u0)
A
B
C
h(p, u1) x x(p, m)consumidor (EC), que por sua vez, é superior a variação compensatória (VE). Se o bem for inferior, a relação é contrária, ou seja, VE<=∆EC<=VC. No caso de preferências quase-lineares, as medidas são iguais VE=∆EC=VC. Este resultado demonstra que as variações equivalentes e compensatórias são os limites inferiores e superiores do excedente do consumidor.
Isso pode ser demonstrado por meio da equação de Slustky:
∂e(p,u)= ∂x(p,m) + ∂x(p,m) x (p.m) (27) ∂p ∂p ∂p
A curva de demanda Marshalliana ∂xM(p,m) cruza as curvas xh(p, u0) e xh(p, u1) nos preços p0 e p1 (ver Gráfico 9 acima), pois:
xM(p0,m) = xh(p0,v(p0,m) = xh(p, u0) (28)
xM(p1,m) = xh(p1,v(p1,m) = xh(p, u1) (29)
A variação compensatória e a variação equivalente podem ser calculadas a partir das observações acerca da demanda do indivíduo, desde que, seja diferenciável e contínua e as demandas satisfaçam as condições impostas pela maximização de utilidade. No Gráfico 9, pode ser observado o excedente do consumidor representado pela área hachurada. Existe assim, um problema de integrabilidade, pois, como recuperar a função utilidade com métrica monetária (e, por conseguinte, a função utilidade indireta) observando as demandas e renda do consumidor.