Quando comparamos dois números reais a e b , somente uma das três afirmações é verdadeira: a < b ou a = b ou a > b
Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade.
Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas verdadeiras: 4 é menor que 7 4 < 7
32 é maior que 11 32 > 11 - 12 é menor que 0 - 12 < 0 7/2 é maior que 2/3 7/2 > 2/3
Vejamos agora algumas sentenças abertas representadas por desigualdades: O dobro de um número é maior que 8 2x > 8
O consecutivo do triplo de um número inteiro é menor que menos 14 3x + 1 < - 14
A metade do triplo de um número não é maior que 5 Se o número não é maior que cinco, ele pode ser menor ou igual a cinco
O quádruplo de um número adicionado a sua metade não é menor que 0 .
Se a expressão não é menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero A essas sentenças abertas denominamos INEQUAÇÃO.
Inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas expressões algébricas.
68 A letra x em cada uma das desigualdades é denominada incógnita ou variável e cada expressão algébrica são os membros da inequação. O membro à direita é o 1º membro e a expressão situada à esquerda é o 2º membro da inequação. Todas as quatro inequações apresentadas são Inequações do primeiro grau, já que o grau da variável x é 1.
Solução de uma Inequação
Consideremos, como exemplo, a inequação:
Se a expressão 3x + 7 precisa ser maior que 16 3x precisa ser maior que 9. E dessa forma, x precisa ser maior que 3.
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos naturais ou o conjunto dos números inteiros, x poderá ser qualquer inteiro maior que 3. { 4; 5; 6; 7; ... }
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números racionais, x poderá ser qualquer racional maior que 3.
{ 3,01; ... 3,012;..., 3,333...;.... 4;... 4, 3; .... }
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números reais, x poderá ser qualquer real maior que 3 { 3,01; ... 3,011 ;... 4;... ; ...7, 81; ... }
Propriedades das Desigualdades
Propriedade I - Uma desigualdade não se altera que quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número a ambos de seus membros.
Consideremos a desigualdade 7 > 4.
Se adicionarmos 3 unidades a cada membro, teremos : 7 + 3 > 4 + 3 10 > 7 Se diminuirmos 4 unidades de cada membro, teremos : 7 - 4 > 4 - 4 3 > 0 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Consideremos a desigualdade - 5 < 2.
Se adicionarmos 1 unidade a cada membro, teremos : - 5 + 1 < 2 + 1 - 4 < 3 Se diminuirmos 2 unidades de cada membro, teremos : - 5 - 2 < 2 - 2 - 7 < 0 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Propriedade II - Uma desigualdade não se altera que quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo número positivo.
Consideremos a desigualdade 6 > 4.
Se multiplicarmos cada membro por 8, teremos : 6 x 8 > 4 x 8 48 > 32 Se dividirmos cada membro por 2, teremos : 6 : 2 > 4 : 2 3 > 2
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido. Consideremos a desigualdade - 8 < 10.
Se multiplicarmos cada membro por 3, teremos : - 8 x 3 < 10 x 3 - 24 < 30 Se dividirmos cada membro por 4, teremos : - 8 : 4 < 10 : 4 - 2 < 2,5 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
69 Propriedade III - Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo número negativo.
Consideremos a desigualdade 12 > 5.
Se multiplicarmos cada membro por - 7 , teremos : 12 x (- 7) > 5 x (- 7) - 84 < - 35 Se dividirmos cada membro por - 2, teremos : 12 : (- 2) > 5 : (- 2) - 6 < - 2,5
Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido. Consideremos a desigualdade - 4 < 12.
Se multiplicarmos cada membro por - 2, teremos : - 4 x ( - 2 ) < 12 x ( - 2 ) 8 > - 24
Se dividirmos cada membro por - 1 , teremos : - 4 : ( - 1 ) < 10 : ( - 1 ) 4 > - 10 Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.
Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau.
73 Respostas dos Exercícios Propostos
74 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a, b e c com . Exemplos: Equação a b c x²+2x+1 1 2 1 5x-2x²-1 -2 5 -1 Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau incompleta: x² - 9 = 0 » x² = 9 » x = » x = 2º caso: c = 0
Considere a equação do 2º grau incompleta: x² - 9x = 0 » Basta fatorar o fator comum x. x(x-9) = 0 » x = 0 ou x = 9
3º caso: b=c=0 2x² = 0 » x = 0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima. Vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. Fórmula da resolução da equação do segundo grau.
Considerando a equação: ax²+bx+c=0. Multiplicamos os dois membros por 4a: 4a²x² + 4abx + 4ac = 0
4a²x² + 4abx = -4ac
75 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de (delta) b² - 4ac: (2ax+b)² = 2ax+b = 2ax = -b Logo: ou Resolver: 1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula: =
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
76 a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
» x=2
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 3) 5x² - 6x + 5 = 0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio
Propriedades:
Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes
Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:
77 A soma das raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: O produto das raízes será:
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a. Obtendo:
Substituindo por
:
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0 Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0
78 b) 2x² - 6x -8 =0 Sendo a=2, b=-6 e c=-8 c) 4-x² = 0 Sendo a=-1, b=0 e c=4:
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos:
a) Onde , pois senão anularia o denominador. Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: »
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}
b ) e
79 Então:
Eliminando os denominadores:
» » »
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1 » S={-1}
Resolução de equações biquadradas
Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
onde
Exemplo resolvido: 1)
Fazendo x² = y , temos
Substituindo os valores na equação, temos: y² - 5y + 4 = 0 Aplicando: Logo, y = 4 e y`= 1 Voltando a variável x: Como y = x², temos: x² = 4 » e x²=1 »
80 Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
EXERCÍCIOS