Um certo conjunto de dados segue uma tendência linear. Sua representação gráfica é mostrada no gráfico da Figura 6.3.1.
Figura 6.3.1: Representação gráfica de um conjunto de s dados que obedecem a uma relação linear.
Definindo-se
‡ = m + q (6.2)
‹ = 1 (6.3)
A Eq. (6.1) pode ser reescrita como ˆ = , ‹
j
` − m − q (6.4)
Para minimizar ˆ e, consequentemente, encontrar a reta que mais se aproxima de todos os pontos, deriva-se parcialmente a Eq. (6.4) em relação aos parâmetros m e q e iguala-se a zero:
~ ˆ ~m = 2 , ‹ ` − m − q ∙ − = 0 j (6.5) ~ ˆ ~q = 2 , ‹ ` − m − q ∙ −1 = 0 j (6.6) Deste modo, obtém-se um sistema de duas equações e duas incógnitas:
Œ, ‹ • ∙ m + Œ, ‹ • ∙ q = Œ, ‹ `• (6.7)
Œ, ‹ • ∙ m + Œ, ‹• ∙ q = Œ, ‹`• (6.8)
Ao solucionar o sistema, obtém-se as seguintes equações para m e q:
m = ∑ ‹ ∙ ∑ ‹ ` − ∑ ‹` ∙ ∑ ‹Δ (6.9)
q = ∑ ‹` ∙ ∑ ‹ − ∑ ‹ ` ∙ ∑ ‹
Onde
Δ = Œ, ‹• ∙ Œ, ‹ • − Œ, ‹ • (6.11)
E cada uma das variâncias (quadrado da incerteza) associados a m e q são dados por:
Ž = ∑ ‹Δ (6.12)
r = ∑ ‹Δ (6.13)
As Eqs. (6.9) a (6.13) são válidas quando todos os valores são conhecidos, independentemente de serem distintos ou iguais entre si. Somente para o caso em que todas as incertezas de ` são constantes e iguais a , pode-se fazer uso das expressões simplificadas de (6.14) a (6.18). m = ∑ ` − ∑ ∙ ∑ `Δ (6.14) q = ∑ ` ∙ ∑ − ∑ ` ∙ ∑ Δ (6.15) Δ = Œ, • − Œ, • (6.16) Ž = Δ (6.17) r = ∑Δ
onde é o número de medições efetuadas.
(6.18)
Existe uma outra situação onde a incerteza é desconhecida (não é dada no problema). Neste caso, faz-se uma estimativa da mesma através da Eq. (6.19).
=∑j − 2Δ“ (6.19) onde
Δ“ = ` − m + q (6.20)
Neste caso, é calculado uma incerteza estimada (Δ“ ) para cada uma das medidas ` através da Eq. (6.20) (note que esta depende dos valores m e q, devendo os mesmos já terem sido calculados de antemão). Faz-se a soma dos quadrados de cada um dos erros estimados e aplica-se a Eq. (6.19), encontrando o valor de que será usado no cálculo das incertezas dos coeficientes m e q (Eqs. (6.17) e (6.18)).
Observação: No fim de alguns roteiros e nos formulários de prova das disciplinas de Física Experimental da faculdade:
As Eqs. (6.9) a (6.13) são chamadas de “Mínimos Quadrados (erros
diferentes)”;
As Eqs. (6.14) a (6.20) são chamadas de “Mínimos Quadrados (erros
iguais)”;
Não confunda o dos Mínimos Quadrados com o de desvio padrão, são coisas diferentes.
Exemplo 6.3.1: Em um experimento de movimento retilíneo uniforme foram obtidos os dados da tabela a seguir. Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para obter, na forma padrão, os valores da velocidade … e da posição inicial k„.
d s g ± ”g m 0,2 2,3 ± 0,1 0,4 4,7 ± 0,2 0,6 6,9 ± 0,3 0,8 9,1 ± 0,1 Resolução:
i. Encontrar uma equação para o movimento:
Como o movimento é retilíneo uniforme, deve-se utilizar a seguinte equação linear: k = k„+ …l
ii. Relacionar os termos da equação aos coeficientes e variáveis de uma reta: ` = q + m
Logo, tem-se que:
k = ` k„ = q
… = m l =
Nota: Note que, como ` = k e os erros de cada k são diferentes entre si, deverá ser usado o conjunto de equações com o ‹ (erros diferentes).
iii. Calcular os valores de ‹ : Como ‹ = 1⁄ , tem-se que:
‹ = 100 ‹ = 25 ‹ = 11,1111
‹S = 100 iv. Construir uma tabela auxiliar:
* (* –* —* —*(* —*–* —*(*–* —*(*+ 1 0,2 2,3 100 20 230 46 4 2 0,4 4,7 25 10 117,5 47 4 3 0,6 6,9 11,11 6,67 76,67 46 4 4 0,8 9,1 100 80 910 728 64 ∑ - - 236,11 116,67 1334,17 867 76
v. Substituir os somatórios nas equações correspondentes para encontrar os valores de m e q e suas respectivas incertezas:
m = 11,32051 m/s q = 0,05692 m Ž = 0,23342 m/s
r = 0,13243 m
Como a velocidade … corresponde ao coeficiente angular m e a posição inicial k„ ao coeficiente linear q (conferir item ii da resolução), tem-se os seguintes valores na forma padrão:
… = 11,32 ± 0,23 m/s k„ = 0,06 ± 0,13 m
Nota: Em alguns casos é necessário linearizar a equação de movimento (passo i da resolução) para sempre trabalhar com a equação de uma reta, ou seja, com dados lineares.
Exemplo 6.3.2: Considere o mesmo exemplo anterior, agora com os dados abaixo. Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para obter, na forma padrão, os valores da velocidade … e da posição inicial k„.
d s g ± c, ˜ m 0,2 2,3 0,4 4,7 0,6 6,9 0,8 9,1 Resolução:
i. Equação (linear) para o movimento: k = k„+ …l
ii. Relação de termos da equação com os coeficientes e variáveis de uma reta:
k = ` k„ = q
… = m l =
Nota: Note que, como ` = k e os erros de cada k são todos iguais entre si, qualquer um dos dois conjuntos de equações poderia ser usado. Para fins didáticos, será usado o conjunto de equações com o (erros iguais).
iii. Construção da tabela auxiliar: * (* –* (*+ –*(* 1 0,2 2,3 0,04 0,46 2 0,4 4,7 0,16 1,88 3 0,6 6,9 0,36 4,14 4 0,8 9,1 0,64 7,28 ∑ 2 23 1,2 13,76
iv. Substituição dos somatórios na equações correspondentes para encontrar os valores de m e q:
m = 11,3 m/s q = 0,1 m
v. Para calcular as incertezas dos coeficientes, lembre-se que = Δ`. Como = Δ` = 0,3, aplicando as equações correspondentes:
Ž = 0,67082 m/s r = 0,36742 m
Conforme as relações do item ii da resolução, tem-se os seguintes valores na forma padrão:
… = 11,30 ± 0,67 m/s k„ = 0,10 ± 0,37 m
Exemplo 6.3.3: Considere o mesmo exemplo anterior, agora com os dados abaixo. Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para obter, na forma padrão, os valores da velocidade … e da posição inicial k„.
d s g m
0,2 2,3
0,4 4,7
0,6 6,9
Resolução:
i. Equação (linear) para o movimento: k = k„+ …l
ii. Relação de termos da equação com os coeficientes e variáveis de uma reta:
k = ` k„ = q
… = m l =
Nota: Note que, como ` = k e os erros de cada k são desconhecidos, deverá ser usado o conjunto de equações com o (erros iguais).
iii. Construção da tabela auxiliar:
* (* –* (*+ –*(* 1 0,2 2,3 0,04 0,46 2 0,4 4,7 0,16 1,88 3 0,6 6,9 0,36 4,14 4 0,8 9,1 0,64 7,28 ∑ 2 23 1,2 13,76
iv. Substituição dos somatórios na equações correspondentes para encontrar os valores de m e q:
m = 11,3 m/s q = 0,1 m
v. Para calcular as incertezas dos coeficientes, lembre-se que agora é desconhecido, por isso deverá ser estimado através da Eq. (6.19).
* (* –* ™š* ™š* + 1 0,2 2,3 − 0,06 0,0036 2 0,4 4,7 0,08 0,0064 3 0,6 6,9 0,02 0,0004 4 0,8 9,1 − 0,04 0,0016 ∑ - - - 0,012
= 0,006
Aplicando às equações das incertezas dos coeficientes, encontramos: Ž = 0,17321 m/s
r = 0,094868 m
Conforme as relações do item ii da resolução, tem-se os seguintes valores na forma padrão:
… = 11,30 ± 0,17 m/s k„ = 0,100 ± 0,095 m
Compare os resultados destes três exemplos. Que diferença fez a alteração das incertezas de k e, consequentemente, na mudança do conjunto de equações utilizadas? Refaça o Exemplo 6.3.2, agora aplicando o conjunto de equações para erros diferentes. Houve diferença nos resultados? Se sim, foram significativas?
BIBLIOGRAFIA
DE ALMEIDA, R. M.; HÉLIO, O. Física Experimental I. Física VCE, 2011. Disponivel em: <https://sites.google.com/site/fisvce/fisexp1>. Acesso em: Jan. 2015.
DE ARAÚJO, L. E. E. Lei de Potência. [S.l.], p. 4.
MARCONI, J. D. Introdução à Teoria de Erros e Medidas. [S.l.], p. 4.
MARCONI, J. D.; RODRIGUES, V. Experimento 4: Mínimos Quadrados. [S.l.], p. 3.
MARCONI, J. D.; RODRIGUES, V.; DE ARAÚJO, L. E. E. Tabelas e Gráficos. [S.l.].
RODRIGUES, V. Experimento 4: Propagação de Erros. [S.l.].
STEWART, J. Cálculo Volume II. 5ª. ed. São Paulo: Thomson Learning, v. II, 2007.
VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. 2ª. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.
WIKIPEDIA. Gráfico. Wikipedia, 2015. Disponivel em:
APÊNDICE A – Derivação Parcial
A derivada parcial de uma função de várias variáveis consiste em derivar esta função em relação a cada uma de suas variáveis por vez, mantendo as demais como se fossem constantes numéricas. Para uma função ‡ , , , … , j , a qual depende de s variáveis, sua derivada parcial é representada por:
~‡ , , , … , j
~ (A.1)
Note a simbologia da derivação parcial. Enquanto a derivada ordinária é representada pela letra ‘d’, a parcial é representada por uma letra ‘›’ arredondada, o ‘∂’. Veja a seguir alguns exemplos de derivação parcial.
Exemplo A.1.1: Seja ‡ , ` = + ` − 2` , calcule as derivadas parciais em relação a e `.
Resolução:
→ Para realizar o cálculo de uma derivada parcial em relação a , deriva-se somente em relação a este, mantendo a variável ` como uma constante.
~‡ , `
~ = 3 + 2 `
→ Para o cálculo em relação a `, realiza-se o mesmo processo descrito acima, no entanto, mantendo-se como uma constante.
~‡ , `
~` = 3 ` − 4`
Exemplo A.1.2: Calcule a derivada parcial com relação a , ` e • da função ‡ , `, • = 5 S` + ` + 4• + 1.
Resolução:
→ Para o caso de uma função de 3 variáveis, deriva-se com relação à variável pretendida e mantém-se as outras duas como constantes.
~‡ , `, • ~ = 20 ` + ` ~‡ , `, • ~` = 10 S` + 3 ` ~‡ , `, • ~• = 4
Tenha mais informações sobre derivação parcial no livro Cálculo, volume 2, de James Stewart (Editora Thomson Learning), ou qualquer outro livro de Cálculo Diferencial e Integral II.