III. Sammendrag
2. Teori og verktøy
2.3 Parametrisk geometri
Et mål med bruk av parametrisk design er at det muliggjør modellering av kompleks geometri.
Årsaken til at dette er forskning på metoder for programmering og lagring av geometri på en slik måte at de blir lettere for datamaskiner å behandle.
En sentral og mye brukt teknikk er «Non-uniform rational B-spline» (NURBS).
Utviklingen av NURBS startet på 50-tallet av ingeniører som ønsket en nøyaktig og redigerbar metode for å tegne og analyse krumme og
dobbeltkrumme former. For fly- og skipsdesign var det ønskelig å utvikle slike metoder. Før NURBS ble utviklet måtte ingeniørene selv lage fysiske modeller.
En overflate er kontrollert ved hjelp av punkter, også kalt kontrollpunkter. En matematisk funksjon styrer krumningen mellom kontrollpunktene. (Robert McNeel & Associates 2012b). NURBS er altså en parametrisk metode for å kontrollere kompleks geometri ved hjelp av en liten datamengde.
Figur 10 viser en NURBS kurve. Denne er
matematisk generert i et dataprogram. Definisjonen eller rekkefølgen punktene er satt ut i er avgjørende for kurvens form.
Figur 10. NURBS kurve Hentet fra:
http://www.web3d.org/files/specifications/19775-1/V3.0/Part01/components/nurbs.html
(13.02.2012)
Figur 11. NURBS overflate
Hentet fra:
http://www.web3d.org/files/specifications/19775-1/V3.0/Part01/components/nurbs.html
(13.02.2012)
18 2.4 Oppdeling av geometri
Komplekse konstruksjoner med krumme overflater har lett for å bli svært kostbare å bygge.
Mye av grunnen til dette er at det benyttes bygningsdeler som er vanskelig å fremstille. Så langt har heller ikke komplette digitale
designprodukter for å planlegge å dimensjonere konstruksjoner med et organiskformspråk blitt kommersielt utviklet. Den mest brukte måten å realisere denne typen strukturer på har hittil vært å triangulere overflatepanelene for å danne en overordnet krum form. Dette er en tungvint og kostbar metode å benytte sammenlignet med å lage plane rektangulære oppdelinger. Plane rektangulære flater vil gi færre og mindre
komplekse forbindelser enn triangulerte. Når slike krumme flater rasjonaliseres er det to ting som bør tas hensyn til. Panelene som sammen utgjør krum flate bør være plane. Dette gjør produksjon vesentlig mer økonomisk og mindre komplisert.
En metode for å dele opp en overflate med hensyn til dette er «Subdivision». Metoden er sentral for å rasjonalisere og modellere organiske strukturer. En metode for å gjøre dette er
«Catmull-Clark subdivision» (Figur 12). Teknikken er utviklet av Edvin Catmull og Jim Clark i 1978(Catmull & Clark 1978). Algoritmen går ut på at man deler inn en overflate i flere mindre deler. Denne teknikken og flere andre teknikker er i dag tilgjengelige som
funksjoner i parametriske-DAK-programmer. En kontroll for å finne ut hvor plane flatene blir er sentralt å foreta etter en slik oppdeling for å finne ut hvor mange av panelinndelingene som faktisk ble plane, om se på mulighetene for å optimalisere dette. En slik kontroll refereres videre til som en «planaritetskontroll. Eksempel på bruk av kvadratiskoppdeling er Benjamin Schneiders modell vist i Figur 9.
2.5 Performance-based design
«Performance-based design» (Oxman 2010) er i denne sammenhengen en sammenkobling av design og analyseegenskaper som lenge har vært benyttet i digitale verktøy. Denne typen verktøy vil koble sammen design og analysefunksjoner, som miljøanalyser og
Figur 12. Catmull-Clark subdivision av en kube Hentet fra:
http://www.sceneengine.org/-images_news/news_20080917.jpg
19 strukturanalyser og vil generere design ut fra analysen. Forskjellen blir at vi vet betingelser for designet, deretter genererer programmet designet ut fra hvilken løsning som er
tilgjengelige. Dette snur designprosessen på hodet. Fra at designet vanligvis bestemmes for deretter å bli analysert og tilpasset, vil en «Performance-based» fremgangsmåte generere form ut fra hvordan formen vil yte med gitte forutsetninger.
For å kunne designe konstruksjoner på en optimal måte må vi kunne se på hvordan konstruksjoner
oppfører seg etter gitte betingelser.
Vi må vite noe om hvilke forutsetninger vi kan sette for beregningen vår. Vi kan se på forutsetninger som kraftlinjer i en rammestruktur og lage former som optimaliserer strukturen for dette.
Et enkelt eksempel som tydeliggjør
dette er en kabelstruktur (Figur 13), som får en unik form når den blir utsatt for strekk forårsaket av tyngdekraften. Denne formen kan beskrives ved en matematisk ligning. En tilsvarende fastholdt duk med ulike eller ikke symmetriske fastholdninger blir vanskeligere å beskrive, og krever av den grunn at designeren benytter en formgenereringsprosess (Lewis 2003).
Generelt bør en slik formgenereringsprosess generere optimale strukturformer, former som også bør tilfredsstille krav til funksjonalitet. Dette kan føre til et paradigmeskifte, der bygningsdesign går fra å være «å designe former» til «å finne former» ved hjelp av gitte grensebetingelser og gitte vurderingskriterier. Relevante forutsetninger for bygningsdesign kan være geometri, naturlaster, struktur, akustikk, energiforbruk og solforhold.
Figur 13. Modell av kabel Hentet fra: https:docs.google.com/View?id=ddpv99dx_44f88c75fh
20
3. Metode
I dette kapittelet skal det gjennomgås noen praktiske eksempler med bruk av parametrisk design på et konkret eksempel.
3.1 Standarder for stabilitetsberegning
Konstruksjonens stabilitet og laster beregnes etter følgende standarder:
Pålitelighet NS-EN 1990:2002+NA:2008 Prosjektering av konstruksjoner
Last NS-EN 1991-1-1:2002+NA:2008 Egenlaster og nyttelaster NS-EN 1991-1-3:2003+NA:2008 Snølaster
NA-EN 1991-1-4:2005+NA:2009 Vindlaster
Stålkonstruksjoner NS-EN 1993-1-1:2005+NA:2008 Prosjektering av stålkonstruksjoner Del 1-1: Allmenne regler og regler for bygninger
NS-EN 1993-1-8:2005+Na:2009 Prosjektering av stålkonstruksjoner Del 1-8: Knutepunkter og forbindelser
21 3.2 Anvendte Digitale verktøy
3.2.1 Rhino
Rhinoceros 3D (Rhino) (Figur 14) er et digitalt,
kommersielt modelleringsverktøy for designere som har mulighet til å visualisere, editere, analysere, animere, oversette og lese NURBS kurver, overflater og volumer (Robert McNeel & Associates 2012b). Programmet benyttes av industridesignere, arkitekter, skipsdesignere, bildesignere og industridesignere. Programmet inneholder
derfor mange muligheter og svært mange utvidelsespakker laget av programleverandøren selv eller tredjepartspartsutviklere. Filformatet som Rhino benytter er «The Rhino file formate»
(.3dm), men programmet er i stand til å lese, lagre, importer og eksporter en rekke andre filformater som.dwg, .dgn .dxf, .stl, .3ds, .skp, .str med mer.
I denne oppgaven benyttes versjon 4.0 av programmet sammen med plug-in-programmet Grasshopper (Robert McNeel & Associates 2011). Grunnen til at Grasshopper er valgt å benyttes i denne oppgaven er at programmet er kostnadsfritt og har mange tredjepartstillegg.
Interessen for programmet er økende. En av fordelene er også at det er en del av
modelleringsprogrammet Rhino og vil av den grunn være svært kompatibelt med dette.
3.2.2 Grasshopper
Grasshopper (GH) (Figur 15) er en plug-in til Rhino utviklet av David Rutten og Robert McNeel &
Associates. Programmet tilbyr et enkelt og visuelt brukergrensesnitt for å programmere og redigere generiske algoritmer. Programmet er utformet slik at Grasshopper lastes inn i Rhino fra kommandolinjen.
Når programmet er lastet inn kommer Grasshopper opp som et eget vindu med funksjoner og arbeidsområde (figur Figur 17). Geometrien er altså synlig som en
forhåndsvisning i Rhino, mens det er i GH relasjonene og matematikken defineres.
Figur 14. Rhino logo Hentet fra:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en-/d/d0/Rhinoceros3d-logo.png
(13.02.2012)
Figur 15. Grasshopper Logo Hentet fra:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Grasshopper ApplicationBanner.png (13.02.2012)
22 Grasshopper sitt grensesnitt er laget slik at brukeren enkelt kan finne frem til funksjoner, definisjoner, kommandoer med mer uten å kunne programmeringsspråk. En viss forståelse for overordnet programmering er allikevel påkrevd. GH er lett å forstå og komme inn i på den
måten at paletten (Figur 16) i programmet er utstyrt med mange ferdig definerte komponenter med ulike funksjoner som kan kobles sammen.
GH oppfyller kravet til parametriskdesign om at brukeren får en direkte forhåndsvisning av generert geometri. Når brukeren trykker på en GH-definisjon vil disse forhåndsvises med en annen farge. I denne oppgaven er denne fargen satt til grønt.
Figur 16. Figurpaletten i Grasshopper
Figur 17. Rhino på venstreskjerm og Grasshoppervinduet på venstreskjerm
23 Kommandoer og funksjoner i GH blir i teksten referert til som definisjoner. Disse er
komponenter som settes ut i programmet og kobles av hensiktsmessig sammen av brukeren for å sette sammen og utføre kommandoene. Definisjonene utføres i den sekvensen de er koblet sammen uavhengig av plassering i vinduet.
3.2.3 Tredjeparts Grasshopper definisjoner
Følgende tredjeparts GH-definisjoner benyttes i denne oppgaven Geometry Gym: (Geometry Gym Pty Ltd), WeaverBird (Piacentino) og Kangaroo (Piker). Geometry Gym benyttes for å gi den generative modellen
bygningsinformasjonsegenskaper som kan benyttes i strukturanalyse. Utgaven som benyttes i denne oppgaven gir mulighet for en direkte eksport til Autodesk Robot Structure Analysis. Funksjonaliteten beskrives gjerne som en «Smart Structure Interpreter» (SSI)(Geometry Gym Pty Ltd)
Weaverbird (Piacentino 2012) (Figur 18) benyttes for å lage grid-system for oppdeling og analyse av paneler.
Programmet støtter flere inndelingsteknikker som
«Catmull-Clark subdivision». Rutene i et slikt oppdelt grid, refereres til som «mesh».
Kangaroo benyttes for å simulere fysikk i Rhino og GH.
Dette gjøres ved å simulere Newtons lover (Piker).
Newtons 3. lov sier at når det virker en kraft på et legeme, virker det en like stor og motsatt rettet kraft fra
legemet. En velkjent måte å vise dette i praksis på er Newtons vugge (Figur 19). For modellering av strukturer kan det være nyttig. Forårsaket av friksjon vil en struktur i likhet med Newtons vugge falle til ro etter en stund og befinne seg i en likevektstilstand.
Kangaroo består av en hoveddefinisjon. I denne kobles objektet kraften virker på («Force Objekt»). Objektet kan forankres ved hjelp av «Anchor points». Kangaroo sine definisjoner muliggjør blant annet «form-finding» som designprosess i Grasshopper.
Flere andre tredjepartsprogramtillegg finnes, men er ikke benyttet i denne oppgaven.
Figur 18. Weaver Bird logo.
Hentet fra:
http://www.giuliopiacentino.com/weaverbir d
Figur 19. Newtons vugge Hentet fra:
http://www.geekeshop.com/unique-gifts-4008.html
24 3.2.4 Autodesk Robot Structural Analysis (RSA)
Autodesk Robot Structural Analysis (RSA) er en kommersiell programvare fra programvareleverandøren Autodesk. Programvaren benyttes for å gjøre
strukturanalyser og stabilitetskontroll av konstruksjoner.
Programvaren støtter flere internasjonale standarder.
Blant disse er Eurocode med de nasjonale tilleggene.
Programvaren baserer seg på elementmetoden og har flere ulike løsningsmetoder.
3.2.5 Autodesk Revit
Autodesk Revit er et objektsbasert DAK-program.
Programmet baserer seg på at brukeren bygger opp en virtuell tredimensjonal bygningsmodell. Programvaren har vært på markedet noen år benyttes av arkitekter og ingeniører til store og store prosjekter. Ut fra
bygningsmodellen kan brukeren selv ta ut planer, snitt, perspektiver, mengder og annen dokumentasjon som
er lagt inn i modellen. Programmet har altså et verktøy med full bygningsinformasjonsfunksjonalitet (BIM).
Figur 20. Autodesk Robot
Hentet fra Programvaren: Autodesk Robot Structural analysis.2012
Figur 21. Autodesk Revit
Hentet fra Programvaren: Autodesk Revit 2012.
25
4. Modellering
For å sette seg inn i mulighetene for parametrisk design er det nærliggende å se på hvordan man kan ta tak i en designutfordring og modellere dette ved hjelp av parametrisk DAK.
Planområde er ganske stort og jeg utformer selv hvilke forutsetninger jeg legger til grunn for modellen. Oppgaven er å modellere tre parametrisk takkonstruksjoner.
Grunnen til dette er at det er interessent å studere parametrisk modellering med ulike forutsetninger og sammenligne.
4.1 Skisse og design
I dette kapittelet ses det på utgangspunktet for parametrisk modellering i oppgaven.
4.1.1 Planområde
Som utgangspunkt for modellering velges det ut et område som skal dekkes med takkonstruksjon. Dette området ser vist i plan i Figur 22.
Figur 22. Planområde
26 4.1.2 Design
Disse to takkonstruksjonene blir videre omtalt som tak 1 og tak 2 (Figur 22). For tak 1 utformes det i oppgaven to alternativer. Med utgangspunkt i en overordnet modell av området utarbeides det en ide som skisseres av hvordan jeg ønsker å løse denne utfordringen. Disse skissene blir utgangspunktet for parametrisk modellering.
Begge takene planlegges med samme bæreretning som vist i Figur 23. Målet med designet er å lage slanke konstruksjoner slik at mest mulig av takarealet blir lysgjennomslipp.
En utfordring med objektsbasert DAK er at repeterende oppgaver er svært arbeidskrevende. Av den grunn velges det en form med flere ulike og repeterende objekter. Et repeterende objekt er Glasspanelene skissert i Figur 25.
For å bære dette modelleres et romfagverk med svært mange staver. Fagverket som velges er benytter KK-knutepunkter (Figur 26).
Tak 1 er i utgangspunktet tenkt flatt (Alternativ A). Et annet alternativ der «form-finding» benyttes, modelleres også (Alternativ B).
Ideen bak tak 2 er at det skal få en kompleks dobbeltkrummet form. Samme typen fagverk og glasspanel som i tak 1 benyttes.
Skissene presentert i dette kapittelet er utgangspunkt for videre parametrisk modellering. I oppgaven videre ses det på hvordan fagverket kan modelleres med modellerte panelene til å fordele last i strukturanalyse.
Figur 23. Skisse med bjelkeretning
Figur 24. Fasadeskisse inngang
Figur 25. Detalj skisse
Figur 26. KK-knutepunkt Hentet fra: NS-EN 1993-1-8:2005+NA:2009
27 4.2 Parametrisk modellering
4.2.1 Utgangspunkt for modellering
Dette modellutsnittet (Figur 27) fra DAK-programmet Revit benyttes videre for parametrisk modellering.
Figur 27. Revit-modell utsnitt
4.2.2 Mål for modell
For å klare å programmere eller designe en parametrisk modell går det tidlig frem at er det viktig at det finnes et overordnet plan og et mål for designet. Når målet er avklart for modellen bør man se på hvordan modellen kan rasjonaliseres: Må den mye parametriske modellering til? Hvilke input data ønsker man å definere senere? Hvilke betingelser i
modellen skal være avhengige av hverandre og hvordan er forholdene mellom dem definert?
Dette er noen av spørsmålene som bør stilles før man går i gang med modelleringen..
Målet her for det parametriske designet er å lage en fagverksmodell ut fra skissen. Resultatet skal inneholde tilstrekkelig informasjon til at et strukturanalyseverktøy kan forstå dette og foreta strukturanalyse.
4.2.3 Referansemodell
Revit-DAK-modellen blir eksportert fra Revit til Rhino (Figur 28). Modellen vises slik som den blir importert i programmet uten videre redigering. Farger og visning er ikke justert og
28 følger programvarens forhåndsdefinerte innstillinger. Enheten i Rhino er satt til meter.
Målsetting i Rhino viser at modellen er riktig skalert.
Figur 28. Importert utsnitt av Revit-modellen i Rhino
Forutsetningen som legges til grunn for modellering av denne modellen er at området taket skal dekke kan variere underveis i prosjektets gang.
29 4.2.4 Modellering av tak 1 alternativ A
Denne modellen refererer seg til den overordnede modellen ved hjelp av referansepunkter i takets geometriske hjørner. Punktene er tegnet i Rhino og manuelt definert i GH (Figur 29).
Uttrykt på en annen måte, refererer GH til punkter tegnet i Rhino. Generelt er det mulig og referere til annen geometri med bruk av andre definisjoner for dette.
Fra overflatekomponenten (Srf4Pt.) generer programmet ut en overflate (Figur 30) med et areal gitt av definisjonen av punktene flaten dekker. Denne overflaten brukes som
referanseoverflate for parametrisk fagverksmodellering.
Figur 29. Referansepunkter for modellering
30
Figur 30. Overflatedefinisjon for Tak 1
Figur 31. Overflateareal
.
Figur 32. Inndelt/meshet overflate
31 Overflaten er nå kun definert som en overflate uten noen andre data enn at dette er en
overflate med et areal. Areal, volumer og annen informasjon kan vises når som helst i GH.
Ved å plassere ut en måledefinisjon og et visningspanel vises dette (Figur 31). Vi deler
overflaten inn i ruter i x-og y-retning ved hjelp av "Mesh UV-definisjonen". Senteravstandene er definert numerisk som antall oppdelinger ved hjelp av en "number slider". Disse kan justeres som en bryter til ønsket verdi. Her bestemmes disse som hele tall (Figur 32) GH har nå generert en overflate med et bestemt antall ruter som bestemmes av brukeren.
4.2.5 Planaritetskontroll
Videre er det nyttig å få ut mer informasjon av disse rutene. Her er det benyttet en offentlig tilgjengelig GH-definisjon (Planar Quad Mesh definition for Grasshopper). Denne fungerer på den måten at den dekomponerer meshets hjørner og lage nye overflater av disse. Ved hjelp av «list item» definisjonen kan samtlige hjørnepunkter finnes og videre defineres til nye overflater. Disse kan ved hjelp av "Planar" definisjoner kontrolleres for planaritet. Plane og ikke-plane overflater kan sorteres, listes og visuelt lokaliseres. Arealet av de oppdelte rutene kan finnes ved å sette inn en "Area" definisjon og et visningspanel for å vise resultatene(Figur 33). I dette tilfelle ser vi at alle rutene i gridet er plane og at vi til sammen har 48 ruter.
Figur 33. Planaritetskontroll for mesh
32 4.2.6 Generativt fagverk
Fagverkets høyde, gurter og diagonaler blir definert ved hjelp av vektorer fra hver enkelt flate (Figur 34). Først blir meshets ruter, sidekanter og hjørner utskilt, slik at hver enkelt rute kan ses på hver for seg av en overflate-evalueringskomponent. Ut ifra et punkt definert på overflaten i uv eller tilsvarende xy i overflatens lokale koordinatsystem blir nye
retningsvektorer komponert for hver enkelt rute. Ved hjelp av en punktdefinisjon (Pt.), her satt til A dividert på B og koblet til x- og y-koordinatene gir det et punkt i planet som videre ved hjelp av en vektorlengdekomponent (Amp) definerer høyden på punktet ut fra planet.
Vektorlengden styres av en «Slider» som numerisk kan justeres for å angi fagverket høyde.
For å kunne bestemme høyderetningen defineres også en multiplikator (AxB). Multiplikatoren er tenkt for å multiplisere fagverket -1,0 og 1,0 ettersom hvilken retning fagverket skal
genereres. Her settes den lik -1.0. Punktene i enden av vektorene og punktene evaluert på hver enkelt overflate kobles sammen som linjer ved hjelp av en topunktslinje-definisjon.
Dersom fagverket retning legges i underkant av referanseoverflaten vil det utformes bedre med hensyn til kraftfordeling i strukturen. Disse blir deretter evaluert og startpunktene tas med videre. De fire «Item-komponentene» lister alle rutenes definerte hjørnepunkter. Det er fire hjørner for hver rektangulære rute. Disse er nummerert fra 0-3. Årsaken til dette er at GH starter nummerering på null.
Det er med dette generert tilstrekkelig antall punkter og linjer for å begynne å definere disse som segmenter. Først må disse defineres til gurter og diagonaler som sammen utgjør
fagverkskonstruksjonen. For videre å defineres gurtene og diagonalstavene i fagverket, gjøres dette ved å finne relevante linjer, som nå er definerte. For overgurtene (Figur 35) kobles de øverste punktene(pt.) sammen med polylinjer. Disse linjene blir deretter delt opp ved
krysningspunktene mellom diagonallinjene ved hjelp av sdrCS-definisjonen. Dette gjøres for å få delt dette inn i hensiktsmessige segmenter for strukturmodellering. Tilsvarende gjøres for undergurtene(Figur 36) og diagonalene (Figur 37).
33
Figur 34. Parametrisk modell
34
Figur 35. GH definisjon av overgurter
Figur 36. GH definisjon av undergurter
Figur 37. GH definisjon av diagonaler
35 Segmentene tildeles så tverrsnittsegenskaper som geometri og materialegenskaper. Til dette benyttes noen tredjepartstilleggsdefinisjoner fra programvarepakken Geometry
Gym(Geometry Gym Pty Ltd). Funksjonene i denne pakken er blant annet å omdefinere enkle streker til å bli tverrsnitt med material- og geometriske egenskaper, enten fra et ferdig definert tverrsnittsbibliotek eller egendefinerte tverrsnitt. I første omgang benyttes rektangulære I-profiler valgt fra et bibliotek. Profilene her følger flere internasjonale standarder. Europeiske profiler har flere utgaver å velge mellom der mange samsvarer med
standardprofiler(Stålkonstruksjoner: profiler og formler 2003). Det er også mulighet til å velge fra flere andre internasjonale profiler. Deretter kles disse på definerte linjer(Figur 38).
Samme definisjon kopieres for å bli benyttet på over- og undergurtene. Ved å kopiere disse forstår modellen at det er ønskelig å definere en type tverrsnitt på alle segmentene som er definerte som diagonaler, og en annen type for de to resterende definisjonene.
Ved å benytte hulprofiler blir det et mer effektivt bæresystem med hensyn på materialbruk.
Forsøk viser at gevinsten for dette minker når lasten på tverrsnittet øker (Wardenier 2001).
Figur 38. Tverrsnittsdefinisjoner med GeometryGym
36 Det viser seg fort at en del tverrsnittsprofiler ikke finnes i modellen. Derfor lages det en definisjon som gjør det mulig å definere egne hulprofiler (Figur 39). Inntil videre beholdes standardprofilene i modellen og velger å endre dette i strukturanalysen.
Det er ved hjelp av denne funksjonaliteten at modellen får tildelt BIM-funksjonalitet. Inntil disse definisjonene ble tatt i bruk var dette bare en trådmodell bestående av
strekrepresentasjoner av konstruksjonen. Nå har linjene fått tverrsnittsinformasjon som sier noe om materialet og profilet.
For å kunne gjøre en strukturanalyse kreves det litt mer informasjon i modellen.
Opplagringsbetingelser er fortsatt ikke satt. Fastholdninger er ikke bestemt. Det kan være fordelaktig å bestemme dette i GH. I denne definisjonen gjøres dette i GH (Figur 40).
Definere opplagrings-betingelser ved bare å benytte parametriske design krever noen definisjoner. Først sorteres overflatens kantlinjer ut. Deretter må kanten og linjene som representerer undergurtene sorteres ut. Når dette er gjort med hjelp av «List Item»- komponenten kan endene der det er ønskelig med opplagring defineres. Disse punktene
Figur 39. Egendefinerte hulprofiler
37 kobles så sammen med en GeometryGym-komponent (ssiNode). For at nodene skal få
fastholdninger må de defineres i en egen komponent (ssiNR). Her velges det å holde endene fast i x-y-og z-retning. Forbindelsene er altså definert som momentfrie.
Figur 40. Grasshopper definisjon av opplagerbetingelser
4.2.7 Parametere for Tak 1 alternativ A
I utformingen av fagverket gjør jeg en forenkling for å finne en fornuftig høyde på fagverket.
Fra enklere
plane fagverk vet vi at en fornuftig fagverkshøyde i forhold til spennets lengde oppgis som
plane fagverk vet vi at en fornuftig fagverkshøyde i forhold til spennets lengde oppgis som