De seguida, apresentam-se as principais conclusões referentes a cada uma das questões de investigação propostas para o estudo, tendo como referência os dados obtidos, assim como a análise do quadro teórico.
4.1.1. Que atividades desenvolvem os alunos no estudo sobre a circunferência com recurso ao GeoGebra?
Christiansen e Walther (1986) enfatizam que, na escola, a Matemática deve assentar mais na atividade pessoal dos alunos, dando prioridade a atividades do tipo construir e explorar. Os autores sugerem que o processo de ensino e aprendizagem de tópicos matemáticos inclua tarefas que apoiem o desenvolvimento de estratégias cognitivas: exploração, questionamento, construção. Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) reforçam que a atividade de ensino-aprendizagem que ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína é a que chama o aluno a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjeturas como também na realização de provas, apresentação de resultados, discussão e argumentação das suas estratégias e processos com os colegas e o professor. Da análise dos dados recolhidos no estudo da circunferência com recurso ao GeoGebra, os alunos desenvolveram atividades de exploração, estabelecer conjeturas, discussão de processos e resultados. O desenvolvimento
destas atividades contribuiu para envolver os alunos na formalização de conceitos e no estabelecimento de relações no estudo da circunferência.
Na tarefa sobre o estabelecimento da relação entre a amplitude de um ângulo inscrito e a amplitude do arco correspondente numa circunferência, os alunos registaram algumas amplitudes, observaram os valores recolhidos e estabeleceram a respetiva conjetura. O facto de poderem ‘manipular’ a figura construída com estes elementos geométricos, os alunos puderam recolher valores através do GeoGebra e identificar regularidades entre esses valores (Viseu, Nogueira & Santos, 2009). A constatação de que a alteração dos dados da figura mantinha essa regularidade ajudou a que a maioria dos alunos estabelecesse a relação pretendida. Os alunos foram também desafiados a provar a conjetura obtida, embora somente quatro alunos o tenham conseguido.
Quando desafiados a estabelecer a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência, os alunos recolheram e registaram algumas amplitudes do ângulo e dos arcos, assim como a sua soma, identificaram regularidades e assim conjeturaram a relação. A prova desta conjetura apenas foi realizada, por dois alunos.
Os dados indiciam confirmar que o software de geometria dinâmica possibilita a exploração de conjeturas e a investigação de relações, tal como é referido por Ponte, Brocardo e Oliveira (2003). Também Fernandes (2011) constatou que práticas apoiada em recursos tecnológicos, especificamente o GeoGebra, promovem uma melhor comunicação entre o professor e os alunos, permitindo aos últimos construir o seu próprio conhecimento sobre as relações e propriedades no estudo da circunferência. Desta forma, foi possível verificar que o GeoGebra contribuiu de forma significativa para o estabelecimento de tais relações, tendo sido um recurso fundamental na realização das tarefas de carácter exploratório.
Atendendo aos resultados observados é recomendável que o professor, na sua prática pedagógica, procure envolver os alunos em tarefas que permitam o seu envolvimento na elaboração de definições, propriedades e regras de conceitos matemáticos. Por outro lado, no estudo da Geometria, a utilização do GeoGebra facilita a compreensão dos conceitos geométricos, permitindo aos alunos formularem conjeturas e estabelecerem relações entre elementos geométricos.
4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos na aprendizagem do estudo da circunferência? Qual o contributo do GeoGebra na clarificação dessas dificuldades?
Ponte, Matos e Abrantes (1998) concluíram que os recursos tecnológicos motivam os alunos a formularem e a testarem as suas conjeturas. No entanto, o facto de ser necessário tempo e a intervenção do professor, leva a que os alunos apresentem dificuldade em compreender a importância de produzirem justificações e provas, comunicarem ideias e argumentarem as suas estratégias e as suas formas de pensar. A dificuldade que a maior parte dos alunos revelou em provar os resultados a que chegaram parece dever-se à pouca frequência em que se envolvem nesta atividade. Os alunos tendem a ver os conceitos matemáticos como entes estáticos, sem conexão com outros conceitos, o que tende a impedi-los a articular os conhecimentos adquiridos anteriormente na prova de um resultado matemático. Esta dificuldade também foi observada no estudo que Fernandes (2011) realizou com alunos do 9.º ano de escolaridade. Entre as atividades de exploração, estabelecer conjeturas e provar as conjeturas, esta autora constatou que a atividade de prova é aquela em que os alunos mostram ter mais dificuldades.
Das atividades realizadas nas aulas foi observado que aquela em que os alunos apresentaram maior dificuldade de realização foi a atividade de prova. Apenas um número reduzido de alunos é que a conseguiu efetuar com a ajuda das sugestões da professora. É de salientar que os alunos não procuram justificar os passos efetuados, o que revela lacunas ao nível da argumentação e comunicação escrita. Também oralmente os alunos parecem revelar dificuldades em exporem ideias, justificarem e argumentarem, aguardando de forma passiva a partilha de informação por parte do professor ou dos melhores alunos. Outro aspeto a salientar é a dificuldade dos alunos no rigor da linguagem usada.
Os alunos referem como dificuldades no estudo da circunferência terem que decorar as propriedades estabelecidas. No uso do GeoGebra apontam ter dificuldades na construção de retas, dos ângulos, na realização de rotações, assim como em medir o comprimento dos raios e dos arcos, o que poderá dever-se à pouca utilização deste recurso nas aulas de Matemática.
No final da estratégia de ensino os alunos foram questionados relativamente ao contributo do GeoGebra na superação das suas dificuldades. Um número elevado respondeu ser este um recurso que facilitou a superação das mesmas visto que puderam praticar, explorar e construir. Estas atividades permitiu-lhes perceber melhor os conceitos abordados do que se as tivessem realizado somente com papel e lápis. Esta ideia é corroborada por Healy e Hoyles
(2001), que consideram o software de geometria dinâmica um recurso relevante para os alunos construírem, manipularem objetos geométricos e estabelecerem relações.
Tendo em consideração as dificuldades manifestadas pelos alunos, na prática pedagógica, o professor deverá promover atividades que permitam o desenvolvimento da capacidade de comunicação, de justificação e de argumentação.
4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência?
Na intervenção pedagógica os alunos apresentaram a sua perceção sobre a estratégia de ensino delineada. Dessas perceções emerge a importância que atribuem à utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência, considerando-o um recurso vantajoso na compreensão de conceitos, contribuindo para uma melhor aprendizagem. Quanto às atitudes desenvolvidas, os alunos destacam a motivação para aprender outros tópicos de Matemática, assim como maior interesse pela Geometria.
No que diz respeito às capacidades desenvolvidas, as tarefas de exploração promoveram o estabelecimento de relações entre elementos da circunferência. O tipo de tarefas, exploratórias com recurso ao GeoGebra, foram consideradas, pelos alunos, aliciantes por permitirem aprender conteúdos matemáticos de forma autónoma, permitiu maiores possibilidades de exploração e de estabelecer as relações estudadas. Tal como defendem Ponte, Matos e Abrantes (1998), o recurso à tecnologia promove o desenvolvimento da autonomia, assim como o seu envolvimento, e que o software de geometria dinâmica facilita a exploração de conjeturas e relações.
Os momentos de discussão de processos e resultados foram igualmente vistos como positivos, assim como a possibilidade de manipulação e visualização dos diferentes resultados. Outros aspetos positivos reportados pelos alunos foram a maior facilidade em focarem-se nas tarefas e concentrarem-se nas atividades das aulas, o papel ativo dos alunos na sua aprendizagem e a possibilidade de trabalharem em grupo.
Utilizando o GeoGebra, o professor poderá favorecer o envolvimento dos alunos, nas atividades da aula, permitindo a exploração de conjeturas e o estabelecimento de relações. Os alunos podem ainda desenvolver a sua autonomia na forma como aprendem, assim como a comunicação através da discussão de processos e resultados. A realização de tarefas com recurso ao GeoGebra permite a manipulação e visualização de diversos resultados, possibilitando
aos alunos uma maior facilidade em se focarem nas atividades da aula, promovendo uma aprendizagem significativa e motivadora.