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A definição e aplicação de uma correta metodologia de investigação é uma etapa fundamental na investigação em Didática da Matemática. Historicamente, a investigação portuguesa nesta área é baseada na escola anglo-saxónica, que produziu boa parte dos investigadores pioneiros na Educação Matemática (Ponte, 2008). Esta tradição de investigação é sustentada pela conceptualização teórica dos estudos, fazendo um balanceamento entre a relevância dos aspetos a estudar e o seu enquadramento teórico. As metodologias adotadas são essencialmente qualitativas e interpretativas, com recurso frequente a estudos-caso em contraponto com as abordagens positivistas que procuram obter generalizações e validações estatísticas (Ponte, 1994). São igualmente utilizados outros designs de investigação, como os estudos colaborativos, as experiências de ensino e de formação e as investigações dos professores sobre as suas próprias práticas de ensino.

Os estudos nesta área visam uma miríade de temas onde se incluem o conhecimento do professor, a sua formação e o seu desenvolvimento profissional, e também estudos sobre a aprendizagem da Matemática pelos alunos. Nestes são abordadas questões quer sobre a

construção de conhecimento, de uma forma geral, quer sobre a construção de conhecimentos

sobre conceitos e temas específicos (Ponte, 2008), como é o caso concreto deste trabalho em relação à aprendizagem de limites e continuidade. Existem ainda outros estudos não enquadráveis nas categorias anteriores, como os estudos sobre o desenvolvimento e adequação dos currículos. Este último campo é sempre pertinente, pois, a implementação curricular é um aspeto crucial no ensino e aprendizagem da Matemática e, também, atendendo às diversas reformas curriculares que ciclicamente são propostas, em todos os níveis de ensino.

Em relação aos estudos sobre a aprendizagem dos alunos, registam-se três grandes tendências. Uma primeira reporta-se aos estudos de matriz cognitivista, sociocultural ou antropológica. Neste campo inserem-se trabalhos como o de Carreira (1998), visando o estudo de processos de

metaforização na procura de significados para modelos e conceitos matemáticos. Esta autora obteve um modelo semiótico para a compreensão desse processo e estudou a sua aplicabilidade. Uma segunda tendência visa a aprendizagem de temas matemáticos específicos. Aqui inserem- -se, por exemplo, trabalhos como o de Monteiro e Pinto (2006) na procura de factos teóricos e empíricos para analisar a aprendizagem dos números racionais, nomeadamente em relação às frações e suas estratégias formais e informais de análise de problemas. Finalmente, uma terceira tendência aborda a aprendizagem quando o ensino é efetuado através de métodos inovadores. Jesus e Serrazina (2005) colocam o enfoque nas tarefas de natureza investigativa, estudando a respetiva inserção nos primeiros anos de escolaridade e procurando discernir a sua influência no aumento das capacidades dedutivas, indutivas e comunicativas dos estudantes. O presente trabalho tem traços das segunda e terceira tendências aqui elencadas – estuda a construção dos conceitos de continuidade e de limite, pelos alunos, através de uma sequência de ensino diferente da usual, onde primeiro se lecionou a continuidade e depois os limites. A metodologia qualitativa é habitualmente baseada numa perspetiva interpretativa dos fenómenos em estudo. Esta perspetiva assenta em dois conceitos basilares, a fenomenologia e a interação simbólica. A fenomenologia procura estudar os acontecimentos enquadrados nas interações sociais entre os indivíduos. Por sua vez, a interação simbólica defende que os acontecimentos não têm significado per si, antes sãos definidos pelas pessoas através da interação social entre indivíduos, constituindo um processo interpretativo que cada pessoa vive diariamente ao lidar com diversos símbolos (Ponte, 1994).

De acordo com Denzin (1989), a investigação qualitativa preocupa-se fundamentalmente com os processos e as dinâmicas, e está dependente do investigador. Baseia-se na descrição densa (thick description) dos fenómenos, apresentando com grande detalhe o contexto e as interações que ligam os diversos intervenientes no processo. Procura-se ir além dos factos e aparências, podendo o processo indutivo originar reformulações ao longo do processo investigativo.

Na investigação qualitativa, o investigador assume um papel de especial relevo. É ele que define não só os atributos que pretende estudar, mas igualmente os métodos a utilizar na recolha de dados e o ambiente em que esta recolha deve ser feita (Domingos, 2003). Em Bogdan e Bicklen (1994) são definidas cinco características que definem a investigação qualitativa. Estas não têm necessariamente de ser aprofundadas em todos os trabalhos, mas definem as traves mestras nas quais esta investigação deve assentar. Neste trabalho não se pretende fazer uma descrição exaustiva dessas características, mas sim introduzi-las e relacioná-las com o estudo prático realizado.

A principal fonte dos dados é o ambiente natural onde se desenrola o estudo. A comparência do investigador no ambiente natural é fulcral, com vista a compreender não só as ações observadas, mas também o contexto em que estas se inserem. No caso concreto do presente

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trabalho, o ambiente natural foi a sala de aula, tendo o investigador comparecido nas aulas ministradas sobre o assunto. Em virtude de as aulas não terem sido lecionadas por ele, mas sim por outro docente, existiram naturalmente interações estudante – professor – investigador. Se por um lado estas interações introduziram um novo sujeito no processo de aprendizagem, por outro lado permitiram ao investigador estar mais disponível para, em sala de aula, registar os processos de construção de conhecimento. No contexto educativo, o investigador tem como incumbência a observação e a condução da investigação, procurando recolher os dados com o máximo de precisão e detalhe, ao passo que o professor tem como preocupação primordial a lecionação e a aprendizagem dos alunos. Também ao nível dos objetivos existem diferenças, atendendo a que o investigador tem por missão a recolha dos “melhores” dados possíveis, e o professor procura que os alunos atinjam competências específicas e obtenham o sucesso académico. Neste sentido, parecem existir vantagens em que o investigador e o docente sejam diferentes (Domingos, 2003), tal como sucede no presente trabalho.

A observação participante ocorre quando o investigador se integra na população em estudo, o que, convenhamos, pode ser extremamente complexo de alcançar, principalmente quando o investigador tem um estatuto diverso dessa população, como um professor numa sala de aula. O investigador procura assim compreender as interações entre os diferentes membros da população em estudo, sem interferir nestas. Apesar de ser um processo naturalmente complicado, permite compreender com alto grau de exatidão as dinâmicas do grupo em análise e dessa forma extrair padrões de comportamento e aprendizagem.

Complementa as considerações anteriores a pesquisa bibliográfica que é também uma forma relevante de investigação qualitativa, a qual não pode ser descurada em qualquer trabalho. Um investigador bem preparado, com a noção do que é expectável suceder com, por exemplo, a realização de uma experiência de ensino, tem à partida mais hipóteses de ser bem-sucedido pois pode antecipar as dificuldades dos alunos, e prever as construções de conhecimento que estes deverão realizar. Além da consulta de trabalhos anteriores sobre o mesmo tema, ou sobre temas relacionados, a análise das produções anteriores dos alunos em estudo (como testes ou exercícios) aumenta a perceção do investigador quanto à problemática em análise e quanto às características concretas desse grupo específico de alunos.

A investigação qualitativa, por não ser quantitativa, não depende das técnicas usuais de estatística, nomeadamente as inferenciais. Não se pretende calcular intervalos de confiança ou testes de hipóteses, de forma a estimar ou prever características gerais da população. O objetivo é aproveitar toda a riqueza dos dados, respeitando as formas como estes foram recolhidos e a singularidade de cada resposta. Tenha-se em vista que a investigação qualitativa é essencialmente descritiva. Compreende-se assim que não se pretende utilizar as ferramentas da estatística inferencial, mas organizar a informação recolhida sobre a forma de tabelas, imagens e mesmo registos de vídeo e áudio. O objetivo não é a redução dos dados, pretendendo- -se que estes conservem toda a sua riqueza e diversidade. O enfoque é direcionado para a

diversidade e especificidade de cada indivíduo. Mais ainda, os processos são muitas vezes tão ou mais importantes que os resultados. As formas como os alunos organizam a construção do conhecimento (ver capítulo anterior) é vital em todo este processo. Procura-se descobrir em que momento e de que forma é atingida determinada noção, e se esta é integrada no discurso matemático dos discentes, funcionando posteriormente para cotejar problemas mais complexos e elaborar outras construções. Na investigação qualitativa em contexto educacional, é ainda relevante estudar a influência das expetativas do professor na construção do conhecimento dos alunos.

Bogdan e Bicklen (1994), numa das mais conhecidas obras sobre esta matéria, referem que as múltiplas formas de interpretar as experiências dependem das relações entre os diversos intervenientes no processo de aprendizagem. É necessário que o investigador procure compreender o processo de construção de conhecimento dos alunos envolvidos, sem, no entanto, prescindir do seu ponto de vista. Neste sentido, adotou-se uma metodologia de investigação qualitativa, inserida no paradigma interpretativo (Bogdan e Biklen, 1994). A experiência de ensino utilizada neste trabalho é comummente aplicada em estudos qualitativos no ensino, principalmente quando o investigador tem acesso à sala de aula. Procura descortinar os processos de desenvolvimento e construção de conhecimento matemático (ver Capítulo 3) e estudar os diferentes comportamentos dos alunos, bem como a influência que estes têm na dita construção de conhecimento. É expectável que o ensino influa sobre estes processos, e cabe ao investigador a tarefa de descobrir de que forma é que tal sucede. Existe neste caso uma interação entre professor e aluno, mas também entre alunos, o que permite obter múltiplos dados de interesse. Na situação em causa, é vantajoso que nas resoluções das tarefas os alunos expliquem à restante turma de que forma é que alcançaram determinados resultados, e que o professor corrija em voz alta as questões e debata as diferentes construções de conhecimento utilizadas pelos discentes. Embora tal estratégia possa ser aplicada em situações em que existem apenas um ou dois alunos, o ideal é a turma ter uma dimensão razoável para que existam diferentes abordagens às questões e para que o processo de construção de conhecimento seja não apenas individual, mas também conjunto e por via disso mais enriquecedor.