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O programa de Matemática A que vigorou até ao ano letivo 2015/16 para o 11.º ano de escolaridade contemplava a introdução do conceito de limite nesse ano de escolaridade, mas de forma intuitiva e informal. No programa disponível no sítio da DGE é indicado que

O conceito de limite, a ser formalizado mais tarde, deve ser utilizado de forma intuitiva (incluindo o de limite lateral esquerdo e direito). Neste contexto devem ser introduzidos os símbolos +∞ e −∞, devendo chamar-se a atenção para o facto de não serem números reais, mas apenas símbolos com um significado preciso. Este conceito deve ser abordado de uma forma experimental. (p. 6)

Somente no 12.º ano se procede à formalização do conceito do limite, com base na definição de Heine, mas considerando na definição 2.12 que os valores de 𝑋 são distintos de 𝑎. No programa em vigor, até ao final do presente ano letivo, no 12.º ano de Matemática A pode ler- -se “Aqui são estudados de forma mais rigorosa conceitos já utilizados antes de forma intuitiva:

limite, continuidade e derivada.” (p. 4)

O programa de Matemática A para o 11.º ano que começou a vigorar no ano letivo 2016/17 inclui a definição de limite segundo Heine, mas com uma diferença fundamental. De entre as sequências consideradas no domínio da função, que tendem para o valor 𝒂, passam a ser incluídas aquelas que assumem valor 𝒂. Ou seja, a definição é equivalente às definições 2.7*, de Cauchy, e 2.12 de Heine, já anteriormente referidas.

Definição 2.13 (Heine, de acordo com o novo programa de Matemática A)

1. Identificar, dado um conjunto 𝐴 ⊂ ℝ e 𝑎 ∈ ℝ , 𝑎 como “ponto aderente a 𝐴 ” quando existe uma sucessão (𝑥𝑛) de elementos de 𝐴 tal que lim 𝑥𝑛= 𝑎.

2. Identificar, dada uma função real de variável real 𝑓 e um ponto 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ como “limite de 𝑓(𝑥) quando tende para 𝑎” quando 𝑎 for aderente ao domínio 𝐷𝑓 de 𝑓 e

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justificar que um tal limite, se existir, é único, representá-lo por “ lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥)”,

referir, nesta situação, que “ 𝑓(𝑥) tende para 𝑏 quando tende para 𝑎” e estender esta definição e propriedade ao caso de limites infinitos.

A este propósito, o documento Programa e Metas Curriculares - Ensino Secundário – Matemática

A (Bivar et al, 2014), disponível no sítio da DGE, dedica várias considerações sobre as vantagens

e desvantagens de se considerar o próprio ponto no cálculo de limites.

A noção de limite é introduzida de forma cuidada. Uma abordagem puramente intuitiva dos limites leva rapidamente a insuficiências concetuais graves. É, pois, exigida, em situações muito simples, a justificação da convergência de certas sucessões recorrendo diretamente à definição. É também desenvolvida, de forma bastante completa, a álgebra dos limites, incluindo uma análise das situações ditas indeterminadas, devendo os alunos justificar igualmente alguns destes resultados.

No domínio Funções Reais de Variável Real, do 11.º ano, utilizam-se os conceitos introduzidos no domínio Sucessões, para, pelo processo atribuído a Heine, ficar definida a noção de limite de uma função, num dado ponto 𝑎 ou em mais ou menos infinito. Neste contexto, são essencialmente duas as opções que classicamente se consideram para a definição de limite num ponto 𝑎 real, consoante o domínio em que se tomam as sucessões a tender para 𝑎, para o efeito de testar a existência do referido limite. A opção privilegiada desde há bastante tempo no Ensino Secundário em Portugal tem sido a que consiste em considerar, de entre as sequências no domínio da função, apenas aquelas que nunca tomam o valor 𝑎. Ou seja, tem-se optado pelo que vulgarmente se designa por “limite por valores diferentes de 𝑎”. Neste programa optou-se pela versão alternativa que consiste em admitir, com o mesmo objetivo, sucessões que podem tomar o valor 𝑎 ; considera-se, com efeito, que esta opção apresenta diversas vantagens. Em primeiro lugar por ser mais simples de formular (e permitir também uma formulação mais simples da noção de continuidade) e em segundo lugar porque a própria noção de “limite por valores diferentes” (como outras afins, como a de “limite à esquerda” e “à direita”) passa a poder ser encarada como caso particular da noção de limite, quando considerada a restrição da função inicial a um subconjunto do respetivo domínio.

A definição de limite segundo Heine – que já é comum no Ensino Secundário – permite, de forma bastante imediata estender ao caso de funções reais a álgebra de limites estudada a propósito das sucessões, bem como os teoremas de convergência por comparação, como o Teorema das funções enquadradas, que é uma consequência direta, com esta abordagem, do Teorema das sucessões

enquadradas e que são estudados no 12.º ano. Apresenta-se em seguida a noção de continuidade e, como uma aplicação da noção de limite de uma função, o estudo das assíntotas, em particular no caso do gráfico de uma função racional.

(pp. 15 e 16)

Analisando o texto acima transcrito, é notória a preocupação do Ministério da Educação em redefinir a forma de cálculo de limites no ensino secundário. Por um lado, desaparece a referência ao conceito intuitivo de limite, apostando-se claramente na formalização deste com recurso à definição de Heine logo no 11.º ano, e por outro lado, pretende-se que o ponto 𝑎 onde é calculado o limite passe a ser considerado na definição das sucessões 𝑥𝑛 de elementos

de 𝐷𝑓 convergentes para 𝑎. Esta definição implica que os limites laterais sejam simples de

calcular, passando a poder ser tratados como um caso particular da noção de limite, ou seja um limite calculado num subconjunto 𝐷𝑓 de valores convergentes para 𝑎. Mais uma vez, as

diferenças fundamentais prendem-se com o valor do limite em pontos isolados ou de descontinuidade.

Como exemplo, e retomando novamente o gráfico exposto na Figura 2.1, lim

𝑥→3𝑓(𝑥) não existe o

lim

𝑥→1𝑓(𝑥) = 1 com base na definição atual de limite. Por outro lado, com base na definição que

irá vigorar a partir de 2016/17, lim

𝑥→3𝑓(𝑥) = 3 e lim𝑥→1𝑓(𝑥) não existe.