Generelt om ferdsel

O processo de emergência de novo conhecimento matemático é a parte central da AiC e é habitualmente analisado à luz de três ou quatro ações epistémicas — reconhecer (Ação-R),

construir (Ação-B) e construção (Ação-C), a que se pode juntar a consolidação (Co) — que

compõem o modelo teórico RBC+Co (“Recognizing”, “Bulding-with”, “Constructing” e “Consolidation”).

Com base no trabalho de Hershkowitz, R; Schwarz, B; Dreyfus, T (2001), Kidron e Dreyfus (2008) afirmam que:

... escolheram usar ações epistémicas para modelar o segundo estágio central do processo de abstração. As três ações epistémicas que eles encontraram relevantes e úteis para os seus propósitos são reconhecer (R), construir com (B) e construir (C). Reconhecer ocorre quando o aluno reconhece que uma construção de conhecimento anterior específica é relevante para o problema com o qual ele está a lidar. Construir com é uma ação que compreende a combinação de construções reconhecidas, com o fim de atingir um objetivo localizado, tal como a atualização

de uma estratégia ou uma justificação ou a solução de um problema. O modelo sugere construir com como a ação epistémica central da abstração matemática. Construir consiste em montar e integrar constructos anteriores através de uma matematização vertical para produzir um novo constructo. Refere-se à primeira vez em que a nova construção é expressa pelo aluno, seja através da verbalização, seja através da ação. No caso da ação, o aluno pode, mas não precisa, estar totalmente consciente do novo constructo. (p. 304)

Este modelo epistémico não é rígido, pois pode existir sobreposição das ações epistémicas, mas é sempre iniciado pelo reconhecer (que designaremos por Ação-R). Nesta fase o estudante compreende que um determinado conhecimento matemático específico (construção anterior) é relevante para a resolução de um novo problema — como a ideia de continuidade para a noção de derivada ou, no nosso caso concreto, a noção de vizinhança para estudar a continuidade e os limites, e a representação gráfica de funções para o mesmo efeito.

Na fase do construir com (que nomearemos por Ação-B), o estudante combina os conhecimentos anteriores que considera relevantes para lidar com o problema em análise, e procura construir mais conhecimento através da construção vertical deste. Por construção vertical de conhecimento entende-se o processo de abstração que compreende a reorganização das construções matemáticas anteriores por forma a obter uma nova construção, ou seja, quando o aluno junta as “peças” de informação que possui para fazer uma nova construção, como na montagem de um puzzle. Surge, por exemplo, quando o aluno reconhece, através da representação gráfica de uma função, que as imagens dos pontos situados na vizinhança de um determinado objeto têm de se concentrar numa única vizinhança para a função ser contínua neste, e procura discernir o comportamento da continuidade em pontos isolados.

A construção (que denominaremos por Ação-C) ocorre quando a construção vertical de novo conhecimento é efetivada. Refere-se à primeira vez que o estudante utiliza ou expressa a nova

construção, independentemente de o fazer de forma rudimentar e muito ligada ao problema

em análise. Esta fase do processo RBC é considerada de grande importância e é o núcleo de toda a AiC. Por exemplo, quando o aluno reconhece que se uma função for contínua num certo ponto então ela terá limite nesse ponto. É de alertar, no entanto, que não se espera que nesta fase a nova construção esteja já consolidada, pois esse passo só ocorre na última fase da AiC. Por vezes o aluno nem se apercebe que está a utilizar uma nova construção nos seus processos de aprendizagem, ou utiliza-a ainda de forma incipiente ou mesmo deficiente e depende do contexto. É importante conseguir distinguir entre “construir” (Ação-B) e “construção” (Ação-

-C). Enquanto o termo construir se refere ao processo, a construção refere-se aos resultados

de tal ação.

Muitas vezes não é fácil discernir as diferentes etapas do modelo RBC, até porque este se auto alimenta. Por vezes os alunos realizam construções, mas regressam ao reconhecimento e ao

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construir de forma interativa. Dado que o RBC se refere à segunda etapa do modelo AiC, a

consolidação (Co) não se engloba nesta metodologia. Quando queremos contemplar igualmente a terceira etapa do AiC (Hershkowitz, 2009), como sucede no presente estudo, recorremos então ao modelo RBC+Co. Segundo esta autora,

De facto, a investigação deixou claro que o modelo RBC+C pode ser estendido para processos de abstração e consolidação numa escala de tempo de médio prazo, onde Consolidação é um processo pelo qual a construção se torna cada vez mais evidente, a consciência do aluno sobre a construção aumenta e o uso da construção torna-se mais flexível. (p. 4)

Assim, a consolidação é um processo nunca terminado através do qual os alunos se tornam conhecedores da sua construção, e conseguem usá-la de forma assertiva e abrangente (Dreyfus e Tsamir, 2004). Uma forma de comprovar que o processo de consolidação ocorre é quando o utilizador verifica que necessita da construção numa nova atividade, ou seja, através de um novo reconhecimento.

Conforme acima referido, no processo de abstração as ações epistémicas estão aninhadas de acordo com uma hierarquia flexível. A construção depende de reconhecer e de construir, mas a construção é mais do que a coleção de todos os reconhecimentos e do construir, atendendo que integra ainda as conexões entre todos estes blocos de conhecimento. De igual modo, as ações de reconhecimento estão aninhadas no construir. Por exemplo, um aluno pode

reconhecer a necessidade de limites e continuidade para o cálculo da derivada, pode construir

esta noção, mas não é por isso que saberá derivar.

Mais ainda, uma construção simples pode estar aninhada numa outra mais abrangente, de forma sucessiva. Esta situação origina o modelo RBC+Co, no sentido de indicar a importância da

consolidação, pois este aninhamento sucessivo só é possível quando o aluno domina a construção realizada e desta forma alcança a consolidação. O modelo RBC é a lente teórica

através da qual observamos e analisamos a dinâmica da abstração em contexto, permitindo fazer sucessivas aproximações consoante o grau de detalhe que se pretende.

A interligação entre as ações epistémicas é também evidenciada em Pimenta (2016). Esta investigadora realizou uma investigação com alunos de dez anos de idade (5.º ano de escolaridade), e no estudo da aritmética com a perspetiva early álgebra (a qual defende que se pode trabalhar a aritmética conduzindo os alunos mais novos a interpretar relações, expondo-os a ideias e ao uso de uma linguagem progressivamente mais formal), usou o modelo

RBC+Co e concluiu que o processo de abstração se iniciou com o desenvolvimento de Recognizing. Porém, reforça a ideia de que esta ação epistémica e a de Building with foram

A consolidação manifestou-se através do desenvolvimento da ação epistémica Recognizing, quando os alunos adquiriram a perceção do conhecimento concebido com a resolução das tarefas aplicadas e que lhes poderia ser útil para conceberem a nova construção, ocorrendo durante o desenvolvimento das ações epistémicas Recognizing e Building with, ou durante o desenvolvimento destas duas ações. (p.

374)

Esta interligação entre as ações epistémicas é realçada por Dreyfus e Kidron (2006), ao afirmarem que a “Ação-C está intimamente ligada à Ação-R (a qual pode conduzir à

interrupção, e posterior reassunção, dos processos de construção) e à Ação-B” (p. 333).

Pimenta (2016) considerou subcategorias das ações epistémicas,

Face à necessidade de se conseguir identificar a presença de cada ação epistémica, durante a resolução das tarefas, e de se efetuar uma leitura mais precisa das mesmas. (p. 69)

Com as subcategorias, a autora pretendia alcançar de forma mais precisa o surgimento da cada ação epistémica. O significado que Pimenta (2016) deu das subcategorias que considerou

“resultou do ajustamento da definição de cada ação epistémica à realidade do estudo apresentado” (p. 70), tendo em linha de conta os próprios conceitos matemáticos que pretendia

estudar. Assim, e para o seu estudo, e como exemplo, para a ação epistémica Recognizing considerou as subcategorias Interpretação, Estruturas adquiridas e Regularidades. Com elas, a autora almejava identificar melhor a interpretação dos enunciados que os alunos faziam, bem como o reconhecimento da utilidade de conhecimentos já adquiridos, ou seja, observar melhor a ação epistémica Recognizing.

Este estudo de Pimenta realça a ideia de que identificar subcategorias das ações epistémicas pode ser muito útil. Com elas pode-se observar melhor as ações epistémicas, logo, alcançar de forma mais precisa a construção do conhecimento matemático pelos alunos. Dreyfus e Kidron (2006) já haviam aberto o caminho para as subcategorias das ações epistémicas. Segundo estes autores, em muitas ocasiões tiveram dificuldade em identificar se um determinado acontecimento era parte da Ação-R ou da Ação-B, por exemplo. Isto levou-os a observar que “estas ações exibiam uma grande variedade relativamente ao que até ali havia sido

considerado.” (p. 302), conduzindo-os a um refinamento da categorização das ações

epistémicas. Concluíram, do estudo que realizaram, que as ações epistémicas surgiram de forma mais variada e com maior complexidade do que aquilo que era previsto no modelo RBC existente. Constataram o aparecimento de um novo tipo (type) significativo da Ação-R – o registo (mais do que simplesmente reconhecer) de informação não esperada obtida pela aluna participante do estudo a partir de fontes exteriores. Ao nível da Ação-B fizerem duas distinções (type) relacionadas com a natureza matemática do que estava a ser estudado (o fenómeno da

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bifurcação associado ao estudo dos sistemas dinâmicos). A primeira distinção foi a de “problem-

-solving” e a segunda a de “organizing the problem space” (p. 319). Ainda para Dreyfus e Kidron

(2006), as componentes da Ação-C foram numerosas, paralelas e interagindo de modos complexos, tendo-as associado em quatro grupos. Afirmam ainda que “a complexidade da Ação-

-C deve-se também à complexidade da situação matemática que constitui o objeto de aprendizagem” (p. 333). Estes autores referem também que é importante identificar a

categorização refinada das ações epistémicas.

Os investigadores que recorrem ao RBC defendem que a teoria é construída através da análise dos dados recolhidos através da experimentação, e que esses dados servem igualmente para validar a teoria desenvolvida (Hershkowitz, 2009). Neste particular, surge como especialmente relevante a recolha e análise de dados sobre as produções dos alunos, que será discutida nos capítulos seguintes. Hershkowitz (2009) apresenta ainda um exemplo prático da aplicação da metodologia RBC, onde ressalva a importância de se alocarem aulas para a componente Ação-

-B da metodologia, para que os alunos consigam consolidar conceitos anteriores, refinando e

modificando a Ação-R e a Ação-B de forma a obter diferentes e mais assertivas ações de

construção (Ação-C).

Em Hershkowitz et al (2007) é também realçada a importância do “conhecimento partilhado”, em que diversos indivíduos contribuem para a construção do conhecimento comum. Estes autores referem-se a este aspeto da seguinte forma:

Embora tenhamos demonstrado que o conhecimento era altamente diversificado e subjetivo, poderíamos definir o conhecimento partilhado do conjunto de forma analítica e objetiva. O facto de os alunos no conjunto continuarem a trabalhar em colaboração para construir conhecimento e construir com ele em atividades futuras, levou-nos a identificar este conhecimento partilhado não apenas ad hoc mas também post hoc, isto é, através da observação da consolidação do conhecimento partilhado. Pode ter sido a existência desse conhecimento partilhado que permitiu aos alunos continuarem a intervir de forma produtiva numa sucessão de atividades de aprendizagem. (p. 65)

Esta situação é a habitual em sala de aula, pelo menos nas aulas (como as que integram a parte de obtenção de dados deste trabalho) em que os alunos têm um tempo para realizar tarefas e podem interagir entre si, e não somente com o professor. Segundo aqueles autores, o conhecimento total produzido pela turma é habitualmente superior à soma dos conhecimentos individuais.

Nas secções seguintes são apresentadas outras metodologias teóricas habitualmente utilizadas na investigação em Didática da Matemática. Apesar destas não serem explicitamente utilizadas neste trabalho, merecem uma referência neste texto já que correspondem a outras abordagens

igualmente válidas no contexto da investigação em Didática da Matemática.