De acordo com Brown (2014) a problemática da introdução/aprofundamento das demonstrações matemáticas em contexto de sala de aula tem vindo a assumir um papel gradualmente mais central, nas últimas duas décadas, em que os “investigadores têm focado a sua atenção na argumentação e nas demonstrações matemáticas” (p.311). A comunidade científica tem manifestado preocupação em perceber qual a forma (ou formas) mais adequadas de fazer essa introdução/aprofundamento.
É globalmente aceite no seio da comunidade científica que as demonstrações devem ser parte integrante dos conteúdos lecionados no percurso de vida escolar dos alunos. Mas essa mesma comunidade está longe de chegar a um consenso sobre que demonstrações e de que forma devem ser introduzidas em sala de aula: “Enquanto poucos discordariam da ideia que a demonstração é importante, as reais implicações desta ser uma ‘parte natural das discussões em sala de aula’ está longe de ser óbvia” (Brown, 2014, p.312).
Brown (2014) defende que as pesquisas indicam que o raciocínio indutivo-empírico é muito utilizado por alunos e professores. Mas mesmo na situação em que se aceitam argumentos empíricos, é importante saber se os alunos reconhecem que existe uma lacuna entre os seus pontos de vista pessoais e os esperados pela comunidade matemática.
Num estudo bem conhecido com 400 alunos do Ensino Secundário sobre a construção de demonstrações por parte dos alunos, Fischbein (1982) descobriu que quando se perguntava se eles acreditavam que determinada demonstração era válida e se mais casos (com outros números) seriam necessários para aumentar a sua confiança no teorema, apenas 24% dos alunos concordaram que a demonstração era válida e que não era necessário mais casos que a verificassem (Brown, 2014, p.318).
O Ministério da Educação e Ciência (MEC, 2014), no documento oficial que estipula os conteúdos e metas curriculares para o próximo ano-letivo no estudo da matemática A refere em relação ao raciocínio indutivo que
os alunos devem ser capazes de estabelecer conjeturas, em alguns casos, após a análise de um conjunto de situações particulares, (…) que devem ser capazes de utilizar a intuição e o raciocínio indutivo baseado em padrões e em regularidades com vista à resolução de problemas não rotineiros, (…) deverão saber que o raciocínio indutivo não é apropriado para justificar propriedades e, contrariamente ao raciocínio dedutivo, pode levar a conclusões erradas a partir de hipóteses verdadeiras, razão pela qual as conjeturas formuladas mas não demonstradas têm um interesse limitado, devendo os alunos ser alertados para este facto e incentivados a justificá-las à posteriori (pp.6-7).
Polya (1945) defende outra perspetiva, salientando que diversos factos matemáticos foram primeiro encontrados por indução e demonstrados posteriormente.
Uma questão central que encontrámos na pesquisa que levámos a cabo foi a preocupação com a forma como os alunos encaram as demonstrações matemáticas em sala de aula. De acordo com De Villiers (2001, p.31) “a dificuldade que os alunos têm em compreender a necessidade da demonstração é bem conhecida dos professores do Ensino Secundário e é identificada em toda a investigação em educação, sem exceção, como um dos maiores problemas no ensino da demonstração”. Qual o processo de raciocínio que desenvolvem, identificando quais os fatores que interferem com a prática do raciocínio
10 dedutivo? Por outras palavras, qual a motivação e o processo que permite aos alunos ultrapassarem as barreiras existentes e desenvolverem um raciocínio dedutivo?
De Villiers e Hanna (2012) identificam três fases no desenvolvimento do raciocínio dedutivo:
1. O aluno consegue, a partir de alguns casos concretos, deduzir uma regra geral. Embora o processo de generalização não seja um processo de demonstração - e é essencial que o aluno perceba a diferença - é um processo muito importante no seu desenvolvimento cognitivo. 2. O aluno associa as generalizações a princípios e a normas matemáticos.
3. O aluno consegue utilizar simbologia matemática no processo demonstrativo.
Contudo, De Villiers (2001, p.33) não deixa de salientar que a convicção em matemática é muitas vezes inteiramente obtida por meios que não consistem em seguir uma demonstração: “Logicamente exigimos alguma demonstração dedutiva mas psicologicamente parece que precisamos ao mesmo tempo de alguma experimentação exploratória ou compreensão intuitiva”.
Stewart (2006, p.78) salienta que “há duas grandes questões sobre as demonstrações. Aquela com que os matemáticos se preocupam: O que é uma demonstração? E aquela com que os outros se preocupam: Porque precisamos de demonstrações?”. Talvez seja esta a questão que os alunos colocam: Porque precisamos de demonstrações?
A opinião dominante é que qualquer aluno, mais ou menos motivado, consegue entender uma demonstração, apesar das dificuldades intrínsecas e da dedicação necessária. O processo de aprendizagem da elaboração das demonstrações em matemática pode, de acordo com Freitas (2011, p.8):
Ser um treino para os alunos conseguirem alargar a sua capacidade de atenção e a sua tolerância à frustração, o que é uma aprendizagem muito importante, não só para a matemática mas para a sua formação como pessoas (…) O raciocínio dedutivo promove a autonomia pessoal e o espírito crítico. Aquando a conclusão do processo demonstrativo, o aluno percebe automaticamente que o resultado é verdadeiro. Quando um aluno entende que é preciso justificar uma afirmação e se propõe examinar essa justificação, desenvolve o espírito crítico. Este tipo de atitude é crucial na formação do cidadão e será talvez um dos maiores contributos que a matemática poderá dar às pessoas independentemente da profissão que venham a ter no futuro.
O diálogo que a seguir apresentamos, da autoria de Devlin (1993, pp.2-3), adaptado da descrição de uma conversa entre um professor e um aluno depois de uma aula em que o professor fez uma demonstração por dedução, parece-nos representar devidamente a complexidade do tema:
Estudante: Não percebo bem o que é ao certo uma demonstração.
Professor: Uma demonstração é um raciocínio lógico, sólido, que estabelece a verdade da afirmação em estudo.
E: Mas como é que se sabe que um raciocínio é lógico e sólido?
P: Com certeza que tu consegues reconhecer um raciocínio lógico quando o vês, não consegues?
E: Bem, eu fiquei convencido de que as demonstrações falsas que apresentou como exemplo eram realmente falsas. (…) Mas já não estou tão certo em relação aos exemplos que apresentou como sendo demonstrações válidas. Admito que não consegui encontrar nenhum erro lógico, e os raciocínios pareciam de facto bastante convincentes. Mas como é que podemos ter a certeza de que o raciocínio era sólido e de que não existia algum erro escondido que nos escapou a todos?
P: Bom, sabes, aquelas demonstrações já são conhecidas há centenas de anos, foram examinadas por montes de matemáticos muito inteligentes, e nunca ninguém descobriu nenhum erro. Com certeza que não podemos estar todos enganados, pois não?
11 E: Provavelmente não. Mas não significa isso que a noção de demonstração válida é uma
noção socialmente definida, que o que torna uma demonstração válida é que a maioria dos matemáticos concordam que ela é válida?
P: Para ser válida, uma demonstração tem que seguir as regras da lógica. Faz-se uma série de afirmações, cada uma das quais é consequência das anteriores de acordo com as regras da lógica.
E: Quais regras da lógica? Nunca nos disse quais são.
P: Bem, claro que, para vos ser mais fácil seguir a demonstração, eu não escrevi todos os passos. Mas isso poderia ser feito. Os lógicos (…) identificaram os axiomas básicos da lógica, especificaram as regras da dedução.
E: Portanto o que está a dizer é que qualquer uma das demonstrações vulgares que os matemáticos encontram todos os dias no seu trabalho pode ser reescrita de um modo formal que se enquadra nessa estrutura que os lógicos axiomatizaram.
P: Exato.
E: Então porque é que não fez isso na aula? Porque é que não nos disse quais são os axiomas e as regras da lógica?
P: Isso seria impraticável. Se eu tentasse tornar mesmo a mais simples das demonstrações assim tao precisa, ela ficaria incrivelmente comprida e absolutamente ilegível.
E: Quer dizer que nunca se escreve uma demonstração em lógica formal?
P: Sim, agora já estás a perceber. Em princípio, isso podia ser feito. Qualquer demonstração válida podia ser escrita completamente em lógica formal, e então estaria de acordo com a definição de demonstração dos lógicos.
E: Só que ficaria tão comprida que ninguém poderia realmente lê-la e verificar que estava correta.
P: Exatamente.
E: Deixe-me ver se percebi. O que está a dizer é que, estritamente falando, uma demonstração é válida se (...) tiver uma estrutura correta de acordo com as regras da lógica. Mas essas demonstrações são demasiado longas e complicadas para alguém as conseguir ler, e portanto ninguém faz isso. O que acontece na prática é que uma demonstração é declarada válida se pudesse, em princípio, ser escrita desta maneira formal.
P: Sim, é mais ou menos isso.
E: Mas como é que sabe à partida que a sua demonstração é válida?
O diálogo que acima transcrevemos mostra claramente a dificuldade de introdução da demonstração matemática em ambiente educativo.