Qual o processo mais adequado para que a introdução/aprofundamento do raciocínio dedutivo em sala de aula seja facilitador da aprendizagem? Como poderão os alunos encarar a necessidade de demonstrar uma proposição como um aspeto essencial para o desenvolvimento da sua perceção em relação à disciplina? Qual deve ser o papel do professor neste processo?
Autores como Boavida (2011) têm dedicado algumas das suas pesquisas na área da educação, tentando responder a estas questões. O ideal seria talvez a criação de um ambiente em sala de aula propício ao desenvolvimento na mente do aluno da necessidade da demonstração como processo único de validar determinada afirmação:
É fundamental que o professor torne todos os alunos responsáveis tanto por articularem o seu raciocínio como por procurarem compreender o raciocínio dos colegas. Igualmente importante é que o professor crie oportunidades frequentes para que os alunos se envolvam em discussões genuínas de ideias matemáticas e que fomente a apresentação de modos de justificação que estejam ao alcance destes mas que os apoie de modo a que vão, gradualmente, incorporando nessas justificações, propriedades e relações matemáticas. Criar esta cultura em sala de aula não é tarefa fácil e cria muitos dilemas ao professor. Mas é seguramente um desafio quando se pretende que os alunos desenvolvam a capacidade de demonstrarem e sintam prazer nesta atividade (Boavida, 2001, p.15).
Talvez a primeira preocupação deva ser como os alunos encaram as demonstrações em matemática e qual o processo que lhes permite passar de um raciocínio empírico e indutivo para um raciocínio dedutivo. Por outras palavras, qual o processo mental e intelectual que lhes permite fazer essa passagem e quais as condições propícias para que tal aconteça. Não existem muitos estudos sobre a forma como os alunos desenvolvem a capacidade de raciocinar por dedução. Brown (2014) concluiu no seguimento da sua pesquisa, que o empirismo é um processo de argumentação muito utilizado em sala de aula e que a base dos conhecimentos empíricos que os alunos têm manifesta-se como um entrave ao desenvolvimento do raciocínio dedutivo, pois na maioria das situações o aluno opta por justificar a veracidade de uma afirmação com base em argumentos empíricos em detrimento da dedução de um processo encadeado de afirmações coerentes e lógicas. No entanto, “pouco se sabe sobre o processo através do qual os alunos passam dessa forma de argumentação (empírica) para práticas mais avançadas” (Brown, 2014, p.312).
15 Boavida (2001, p.14) retrata a situação de uma forma mais simples atestando que “a demonstração ganha sentido e relevância quando os alunos sentem necessidade de a fazer”. Há outras atividades matemáticas que estão intimamente ligadas ao desenvolvimento do processo demonstrativo que são explorar, investigar, generalizar, conjeturar e argumentar.
A enfase que lhes é dada (nos currículos de matemática) bem como ao raciocínio indutivo que lhes está associada não significa, contudo, uma diminuição da importância da outra faceta fundamental da atividade matemática, a atividade de demonstrar. (…) O trabalho que o aluno desenvolve nas fases de formulação e exploração de uma conjetura e seu teste é frequentemente inspirador dos argumentos a encadear lógica e dedutivamente para produzir a demonstração dessa conjetura (Boavida, 2001, p.14).
A opinião de autores que dedicaram as suas pesquisas a esta problemática diverge entre si na forma como deve ser criado em sala de aula um ambiente propício ao surgimento no aluno da necessidade da demonstração matemática. Alguns autores, como De Villiers (2001), defendem que um ambiente indagador é o mais adequado. Quando os alunos observam um determinado padrão e questionem sobre o motivo de tal ocorrência, poderemos estar perante o início de uma argumentação matemática. Brown (2014) discorda defendendo que o ato de questionar, apesar de importante, não leva necessariamente à construção de uma demonstração.
No âmbito deste trabalho desenvolvemos uma pesquisa sobre três perspetivas diferentes para criar em sala de aula um ambiente propício ao surgimento da demonstração em matemática de uma forma natural: indagador; o ceticismo; e incerteza.
Brown (2014) analisou o estudo que Zaslavsky desenvolveu em 2005 no qual procurou demonstrar que o sentimento de necessidade de demonstração em sala de aula poderia surgir através de conflitos cognitivos, na medida em que tais conflitos levantem situações de dúvida que se manifestam sob a forma de incerteza. A noção de ‘incerteza’ refere um estado mental relacionado com uma situação específica, concluindo que “durante as atividades matemáticas nem sempre é possível criar um sentimento de incerteza; especialmente, quando o aluno já formou um sentimento pessoal de convicção baseado em evidencias empíricas” (p.314). Mas vai mais longe ao questionar sobre - admitindo que esse período de incerteza exista - a forma como se mantém para que esteja na base do conhecimento dedutivo. Para Brown (2014, p.315) afigura-se necessário criar um ambiente de ceticismo em relação às evidências empíricas e só esse estado de ceticismo pode manter a incerteza na mente do aluno: “o ceticismo contra as evidências empíricas não é caraterizado por experiências involuntárias de incerteza mas pela capacidade de manter a incerteza levando os alunos a questionarem as suas crenças”.
O autor identifica dois métodos para levar os alunos a um sentimento de ceticismo: - Método experimental que se manifesta em três fases distintas:
1. O aluno depara-se com informação que contraria as suas crenças empíricas;
2. Essa informação é reconhecida pelo aluno como um contra exemplo da afirmação em estudo; 3. Os alunos colocam em causa as suas crenças.
- Método não experimental ou cultural caraterizado pela desmistificação das crenças do aluno por uma autoridade, por exemplo, o professor, estabelecendo uma base de argumentação.
Todavia existem poucos estudos sobre a forma como os alunos passam de um estádio de empirismo indutivo para o ceticismo e a questão contínua em debate na comunidade científica: “Como é que os alunos desenvolvendo a capacidade de explorar situações de forma empírica, ganham confiança e em
16 seguida, mudam o modo de pensar e de trabalhar a partir de uma nova base de crenças, em situações de demonstração?” (Brown, 2014, p.321). Em algum ponto do percurso deve ocorrer uma transição no processo de raciocínio do aluno que lhe permite começar a desenvolver a capacidade de dedução… Mas como acontece essa transição? “Uma hipótese é que essa transição ocorra duranta a aula (…) outra possibilidade é que essa transição ocorra num processo gradual de sofisticação” (Brown, 2014, p.320). Para o autor o desejável é que o aluno conseguindo lidar com as suas intuições e crenças, sobreponha o processo mental ao empirismo e consiga trabalhar através de uma nova base de crenças que representa uma alteração fundamental – rutura – na sua forma de argumentação.
Quando um aluno explora um conjunto de casos concretos, reconhecendo neles um padrão e o utiliza para validar a afirmação, diz-se que “argumentou empiricamente em situação de demonstração” (Brown, 2014, p.315). Estes processos de demonstração empíricos podem ser indutivos ou percetuais. No caso indutivo o aluno demonstrou aquela situação específica para uma determinada quantidade de casos concretos. Segundo o autor “a demonstração empírica é inaceitável para a comunidade matemática” (p.316). Mas se o aluno testou a veracidade da afirmação para uma quantidade de casos e posteriormente deduziu um argumento genérico, o processo realizado não foi empírico. A demonstração em matemática é um processo de validação de um facto matemático e o processo demonstrativo deve ser apoiado em factos matemáticos comprovados.
De Villiers (2001, p.31) procura relacionar a motivação do aluno com as funções da demonstração matemática em ambiente educativo, procurando perceber “que funções tem a demonstração na própria matemática que podem ser utilizadas na sala de aula para tornar a demonstração mais significativa para os alunos?”, identificando as seguintes funções da demonstração em matemática:
Verificação (diz respeito à verdade da afirmação).
Explicação (fornece explicações quanto à razão porque é verdadeira).
Sistematização (organiza os vários resultados num sistema dedutivo de axiomas, conceitos principais e teoremas).
Descoberta (descobre ou inventa novos resultados). Comunicação (transmite o conhecimento matemático).
Desafio intelectual (a realização pessoal/gratificação resultantes da construção de uma demonstração).