Formalia versus realia

Uma das preocupações que tivemos na pesquisa da literatura existente sobre o tema traduziu-se no conhecimento e compreensão das diretivas do MEC para o Ensino da Matemática a nível do Ensino Secundário. Após a consulta ao documento oficial, verificámos que o programa ainda em vigor para o Ensino da Matemática A, encara esta temática de forma transversal estipulando a sua introdução gradualmente, não carecendo de grande rigor matemático ou linguagem simbólica. Apesar de incentivar a elaboração de demonstrações matemáticas em sala de aula recorrendo a linguagem simbólica, desincentiva o excesso de formalização colocando a silaba tónica na formação de uma ideia sobre as estruturas dedutivas que dão origem aos teoremas que os alunos utilizam na resolução das tarefas. Por

17 outras palavras, mais do que o rigor matemático do processo demonstrativo como uma finalidade em si, o objetivo é que os alunos percebam o raciocínio lógico e dedutivo subjacente ao mesmo.

A aprendizagem matemática dos estudantes passa por fases intuitivas e informais, mas, desde muito cedo, mesmo estas não podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de demonstrações concretas, bem como não podem passar sem um mínimo de linguagem simbólica. Na aprendizagem da matemática elementar dos ensinos básico e secundário são absolutamente necessárias as demonstrações matemáticas, mas estas não podem confundir-se com demonstrações formalizadas (no sentido de deduções formais em teorias formais). (…) não se pretende que a matemática ou matemáticas sejam introduzidas axiomaticamente, mas pretende-se que os estudantes fiquem com a ideia de que as teorias matemáticas são estruturadas dedutivamente. Defende-se que os conceitos fundamentais e as suas propriedades básicas sejam motivados intuitivamente, mas defende-se que os alunos possam trabalhá-los até chegarem a formulações matemáticas precisas, sem que, em algum momento, se confunda o grau de precisão de um conceito matemático com qualquer grau de “simbolização”. Um conceito matemático pode estar completa e rigorosamente compreendido expresso em língua natural ou em linguagem matemática ordinária (MEC, 2001, p.19).

As diretivas do MEC (2001) realçam a preocupação com o cálculo numérico e a aplicação de atividades práticas, nomeadamente de modelação referentes a situações tão próximas da realidade quanto possível.

Por outro lado, não definindo especificamente diretrizes sobre o tema, permite um espaço de liberdade considerável ao professor que, de acordo com os seus conhecimentos e experiência profissional, tem a possibilidade de introduzir gradualmente novos conceitos matemáticos e abordar estruturas demonstrativas na sala de aula, introduzindo assim conceitos de raciocínio hipotético-dedutivo e/ou indutivo ou até mesmo a generalização por analogia à realização de exemplos concretos (MEC, 2001). Ainda de acordo com o documento oficial emanado do MEC os métodos de demonstração, nomeadamente por redução ao absurdo e os contra exemplos, devem ser referidos gradualmente à medida que vão sendo utilizados em demonstrações. Neste processo, os estudantes devem ser encorajados a expor oralmente ou por escrito a sequência lógica que aplicaram na resolução da tarefa. Encontramos no documento uma preocupação com a exposição oral e/ou por escrito dos raciocínios dos alunos, devendo estes conseguir defender os processos de resolução das tarefas de forma coerente justificando a sequência dos mesmos, recorrendo ou não a linguagem simbólica.

No ensino secundário, o estudante deverá ser solicitado frequentemente a justificar processos de resolução, a encadear raciocínios, a confirmar conjeturas, a demonstrar fórmulas e alguns teoremas. Noções muito elementares de lógica devem ser introduzidas à medida que se revelam uteis à clarificação de processos e de raciocínios. A axiomática das probabilidades (muito simples) visa dar aos estudantes alguma cultura sobre a construção hipotético-dedutiva de uma ciência. Alguns problemas de Geometria no Espaço podem ser excelentes oportunidades para praticar o raciocínio dedutivo (MEC, 2001, p.11) Apesar do programa não especificar quais os teoremas que devem ser demonstrados e quais as técnicas de demonstração que devem ser apresentadas aos alunos, não deixa de providenciar algumas indicações metodológicas sobre os métodos de demonstração que devem ser utilizados, entre os quais a indução matemática que, de acordo com o documento, deve ser apresentada “como um exemplo particular do raciocínio dedutivo” (p.21) e os contra exemplos.

Costa e Tadeu (2006) elaboraram um estudo em que analisaram a forma como a demonstração é considerada nos programas de matemática do Ensino Básico e Secundário em Portugal concluindo que “as demonstrações são pouco trabalhadas no ensino não superior” (p.1), e realçando que não sendo a

18 demonstração em matemática obrigatória, as diretrizes do MEC podem não ser levadas em consideração pela maioria dos professores. Os autores concluem que “nos documentos curriculares analisados, a demonstração não é entendida como um fim em si mesmo, mas como fazendo parte de um processo mais lato que, em última análise, se aproxima do que se entende por ‘fazer matemática’” (p.6).

O NCTM (2000, p.4) tem recomendado a enfatização da importância das demonstrações matemáticas no ensino.

As pessoas que argumentam e pensam analiticamente tendem a notar padrões, estruturas ou regularidades tanto no mundo real como em situações matemáticas. (…) Elas desenvolvem e avaliam argumentos matemáticos e de demonstrações, que são maneiras formais de expressar justificações. Explorando fenómenos, justificando resultados, e utilizando conjeturas matemáticas em todas as áreas _{– com diferentes graus de sofisticação} – em todos os níveis de ensino, os alunos devem conseguir ver que a matemática faz sentido.

No site do NCTM podemos encontrar as normas para o desenvolvimento do raciocínio e demonstrações: (1) Reconhecer o raciocínio e a demonstração como aspetos fundamentais da matemática;

(2) Formular e investigar conjeturas matemáticas;

(3) Desenvolver e avaliar argumentos e provas matemáticas;

(4) Selecionar e usar diversos tipos de raciocínio e métodos de demonstração.

O ensino da matemática em Portugal não se carateriza pelo hábito de ensinar os alunos ao longo do percurso escolar a desenvolver um raciocínio abstrato. No presente trabalho partilhamos a opinião de Freitas (2011, p.1) ao defender que “sem deduções, a matemática pode tornar-se uma simples coleção de resultados interessantes e úteis, mas desconexados, sem uma visão clara de quais são os pontos de pa_{rtida e quais as conclusões que deles se podem tirar”. Poder-se-á atribuir – não só mas também –} à falta de desenvolvimento do raciocínio abstrato as dificuldades que maioritariamente os alunos apresentam na disciplina?

Ainda de acordo com Freitas (2011, p.3) “ninguém deve ficar convencido da veracidade de uma afirmação matemática geral a partir do exame de casos particulares, por muito numerosos que eles sejam, pois essa análise nunca é equivalente a uma demonstração”.

O programa e metas curriculares da disciplina de Matemática A que entrará em vigor no ano-letivo 2015/16 estipula _{como uma das finalidades do ensino da matemática “a estruturação do pensamento e} o desenvolvimento do raciocínio _{abstrato” (MEC, 2014, p.5), e estabelece o raciocínio hipotético-} dedutivo como um meio através do qual os alunos podem “melhorar a capacidade de argumentar, de justificar adequ_{adamente uma dada posição”.}

Neste documento as demonstrações em matemática são encaradas como essenciais no processo de desenvolvimento do raciocínio dos alunos, entendendo-se que “o raciocínio matemático é por excelência o raciocínio hipotético-dedutivo” (MEC, 2014, p.6). Indo ainda mais longe afirma que

a apreensão e hierarquização de conceitos matemáticos, o estudo sistemático das suas propriedades e a argumentação clara e precisa, própria desta disciplina, têm um papel primordial na organização do pensamento, constituindo-se como uma gramática basilar do raciocínio hipotético-dedutivo. O trabalho desta gramática contribui para alicerçar a capacidade de elaborar análises objetivas, coerentes e comunicáveis. Contribui ainda para melhorar a capacidade de argumentar, de justificar adequadamente uma dada posição e de detetar falácias e raciocínios falsos em geral. Tratando-se de uma capacidade indispensável a um bom percurso escolar ou profissional, em qualquer área do

19 conhecimento, o desenvolvimento do raciocínio abstrato deve ser considerado como uma finalidade em si. (…) os desempenhos requeridos para o cumprimento dos descritores preveem que os alunos da disciplina de Matemática A consigam, no final do Ensino Secundário, elaborar algumas demonstrações com segurança (MEC, 2014, pp.5-7).

Outro aspeto importante neste programa para o ensino da Matemática A refere-se ao nível de rigor da demonstração em sala de aula. Não definindo exatamente o nível de rigor matemático que deve ser exigido ao aluno antevê que este “deve apresentar uma demonstração matemática tão rigorosa quanto possível” (MEC, 2014, p.6), levantando o véu sobre a utilização da linguagem simbólica e a formalização no processo evolutivo das demonstrações. Com efeito, a organização do pensamento e a capacidade de proferir uma argumentação clara e precisa são importantes para o desenvolvimento do aluno enquanto ser humano e são capacidades que ao serem desenvolvidas lhe trarão certamente muitas mais-valias ao longo da sua vida pessoal e profissional. Considerando este aspeto o documento encara que “o desenvolvimento do raciocínio abstrato deve ser considerado como uma finalidade em si” (p.5). A memorização/mecanização e o desenvolvimento do raciocínio matemático são encarados como complementares. Se por um lado os alunos devem mecanizar procedimentos e memorizar definições, percebe-se ser igualmente necessário que desenvolvam a destreza de raciocínio necessário à aplicação dos conceitos e procedimentos bem como a sua compreensão e a capacidade de expor oralmente e por escrito (MEC, 2014).

No contexto deste estudo, defendemos que desenvolver a capacidade de argumentação do aluno no início do Ensino Secundário é essencial para uma correta compreensão da disciplina.