O João tem 15 anos. Ao longo do ano-letivo tem revelado capacidade de elaborar um raciocínio lógico e sequencial, podendo obter melhores resultados na disciplina se dedicasse mais tempo aos estudos e assumisse uma postura atenta em sala de aula. Enquadra-se na categoria de alunos que se dedica somente aos conteúdos da sua preferência, nomeadamente Geometria em detrimento das Funções. Tem consciência das suas capacidades e sabe que recupera facilmente a matéria perdida, o que o leva a distrair-se constantemente em sala de aula, ainda que não perturbe o bom funcionamento da mesma. Nem sempre faz os trabalhos de casa e só em algumas aulas regista no caderno diário o conteúdo das mesmas. O João nunca repetiu um ano e terminou o 3.º ciclo do Ensino Básico com nível 4 a Matemática, classificação que manteve no Exame Nacional. No final do 1.º período do corrente ano-letivo obteve 14 valores à disciplina, classificação que não manteve nas avaliações escritas do 2.º período registando 5 e 8 valores respetivamente na ficha e no 1º teste de avaliação, facto que justifica por não gostar do conteúdo de funções.
5.4.1.1 Conhecimento Empírico de Algumas Noções em Matemática
No preenchimento do questionário o João escolheu a correspondência correta para definição matemática e teorema. Em relação à demonstração matemática optou pela hipótese “processo pelo qual se confirma determinada afirmação para uma quantidade razoável de casos e depois se generaliza” e entendeu que um axioma é uma “verdade que mesmo sendo muito óbvia carece de explicação”. Em momento posterior, ao reproduzir oralmente os conceitos referidos, mostrou alguma confusão entre teorema e demonstração: “O Teorema de Pitágoras é basicamente uma fórmula lógica e coerente que vai dar origem a um resultado”. Ao ser questionado sobre qual a denominação do processo que decorre até chegar à fórmula que referiu permaneceu em silêncio optando por ler novamente as hipóteses da segunda coluna da pergunta 9 do questionário, tal como apresentamos na figura 5.1, optando pela resposta correta.
Perceber o conceito de axioma foi difícil para este aluno. Mesmo depois de ter realizado o questionário e a professora da turma ter falado desta noção, não conseguiu encontrar a correspondência correta. Salientamos que o aluno começou por manifestar que para provar determinada afirmação bastava fazê- lo para uma determinada quantidade de casos. No decorrer do diálogo defendeu a necessidade de, no processo demonstrativo, se particularizar e em momento posterior se generalizar, revelando uma certa dificuldade em entender a necessidade de abstração. Mesmo após o diálogo, continuou a defender não ter sentido generalizar sem previamente particularizar.
33
Figura 5. 1 - Questionário do João
5.4.1.2 Tarefa 1
O João delineou uma estratégia de resolução da primeira tarefa logo após a leitura do enunciado, optando pela aplicação do Teorema de Pitágoras, mas não conseguiu iniciar a resolução devido à inexistência de valores. O aluno percebeu que atribuindo valores ao comprimento e largura da figura geométrica provaria que as diagonais daquele retângulo, em particular, tinham o mesmo comprimento, mas não demonstraria essa afirmação para qualquer retângulo, continuando a apresentar muita dificuldade no desenvolvimento do raciocínio abstrato necessário para a realização da tarefa.
Posso fazer pelo Teorema de Pitágoras. Mas eu não tenho os valores… posso sugerir valores? Eu sei o que fazer, mas preciso de valores… se eu tiver os valores consigo saber a hipotenusa. Mas como não tenho os valores… se os atribuir só faço para estes valores, mas não faço para todos! Ou então…é lógico que os lados… o comprimento e a largura são o mesmo (lados opostos são iguais) portanto é lógico que as diagonais também sejam…
O João começou por pensar numa estratégia baseada no Teorema de Pitágoras, mas optou subitamente por outra estratégia baseada na congruência de triângulos, apesar de não referir especificamente nenhum critério e manifestando alguma confusão no desenvolvimento do raciocínio, provocada pela inexistência de valores.
Seguidamente tentou explicar por extenso o raciocínio que desenvolveu (figura 5.2). Ao ser questionado sobre qual o conteúdo que sustentava a sua resposta, mencionou o critério de semelhança de triângulos LLL ou LAL, mas ao recorrer a um exemplo optou pela aplicação do Teorema de Pitágoras, tal como tinha referido no início da resolução da tarefa.
34
Figura 5. 2 – Raciocínio desenvolvido pelo João na tarefa 1
Ao ser questionado sobre se já tinha terminado a tarefa, o João optou por apresentar outra forma de resolução, utilizando o conceito de distância entre dois pontos (figura 5.3), sentindo ainda a necessidade de reforçar que os valores que atribuiu aos segmentos são apenas um exemplo aleatório.
35 O João, apesar de não entender a necessidade de generalização, sentia que algo estava em falta e continuou pensativo, acabando por concluir a tarefa procedendo à demonstração solicitada, através do Teorema de Pitágoras, como podemos observar na figura 5.4.
Figura 5. 4 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo João na tarefa 1
Mesmo depois de concluir a tarefa o João continuou a defender que para demonstrar uma afirmação seria suficiente testá-la para uma quantidade de casos concretos, apesar de não conseguir quantificar os casos necessários para tal.
I - Na tua opinião, caso atribuíssemos diversos valores ao comprimento e à largura do retângulo e chegássemos sempre à conclusão que as diagonais são iguais, seria suficiente para provar que são iguais para qualquer caso?
A - Deixe-me pensar na sua pergunta… na minha opinião… basta. I - Não achas necessário fazer com letras?
A - Acho que não. Mas se alguém desconfiar posso arranjar outra maneira de explicar! I - Quantos casos práticos seria razoável fazer, para ficares convencido?
A - Tantos quanto forem precisos.
5.4.1.3 Tarefa 2
Na segunda tarefa o João continuou a manifestar as mesmas dificuldades sentidas na realização da tarefa anterior, devido à inexistência de valores. Para ultrapassar esta dificuldade, aceitou realizar um exemplo (figura 5.5), justificando que, apesar de a professora da turma ter explicado o processo demonstrativo da fórmula do vértice da parábola, ele apenas a decorou.
36
Figura 5. 5 – Caso concreto desenvolvido pelo João na tarefa 2
O aluno determinou facilmente a abcissa do vértice da função através da semissoma dos zeros para 𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥. Depois de concluir o caso prático procedeu à dedução por analogia da fórmula do cálculo da abcissa do vértice da parábola, não deixando de mencionar que “com letras é um pouco estranho”. Concluiu facilmente sobre a condição geral dos zeros, mas apresentou muita dificuldade em proceder ao cálculo genérico da semissoma entre os zeros da função (figura 5.6). Quando questionado sobre as dificuldades que sentia, respondeu que sabia “fazer o cálculo, mas com valores”.
Figura 5. 6 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo João na tarefa 2
Salientamos que o aluno hesitou na altura de pôr a variável em evidência, necessitando de um passo intermedio (𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑥 = 0), que não utilizou em 𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥, como podemos observar na figura 5.6. Após a realização da tarefa o João admitiu que para ele não é motivante conhecer o processo de dedução das fórmulas que utiliza nos exercícios, e que apesar do reduzido grau de dificuldade das tarefas, trabalhar “com letras” é difícil.
37 A - Com um exemplo prático, é sempre mais fácil. A professora Rosário explicou, mas
eu decorei a fórmula. Nunca tive o interesse de pensar como se chega a essa fórmula.
I - Porque nunca tiveste esse interesse? A - Porque não me motiva.
I - Achaste esta tarefa difícil?
A - Não. O meu problema é que não gosto de funções. E com números é mais fácil. Não estou habituado com letras. Eu vejo letras e pergunto: então como é isso? I - Bloqueias?
A - Não é bem bloquear. Se eu pensar eu consigo. Mas fico a pensar…
5.4.1.4 Comentário Final
Apesar de ter uma noção empírica de teorema, o João manifestou não perceber o significado de demonstração matemática. No início da sessão de trabalho, que durou aproximadamente 60 minutos, mostrou-se inseguro referindo “já estou a pensar que estou a fazer mal…”. Para a realização da primeira tarefa optou por desenvolver diversas formas de resolução, manifestando que não compreendia a sua natureza, e achando ser um procedimento suficiente para demonstrar a afirmação. Quando questionado sobre se tinha realmente provado o que pretendia, respondeu: “se alguém desconfiar, posso arranjar outra maneira de explicar”.
O João manifestou dificuldade em perceber a noção de demonstração matemática. Em consonância, durante a realização das tarefas a dificuldade de abstração que sentiu deveu-se a um sentimento de inutilidade nas mesmas, mais do que à dificuldade em desenvolver o raciocínio dedutivo necessário à sua realização.
Na segunda tarefa não avançou sem um exemplo prático, conseguindo deduzir o caso geral, por analogia, mas sem efetuar de forma autónoma o cálculo da semissoma dos zeros da função, apesar de o ter feito sem dificuldade no exemplo fornecido. A dificuldade que sentiu prendeu-se com o facto de “ser com letras”. Ao terminar a tarefa disse: “ah! Agora já conseguia fazer logo com letras”.
Em ambas as tarefas o aluno percebeu o processo de resolução após a leitura do enunciado, porém não conseguiu ultrapassar a lacuna da inexistência de valores.
Segundo o João as tarefas “foram fáceis” de resolver, mas a de natureza geométrica pareceu-lhe “mais lógica”, manifestando novamente a sua preferência por conteúdos geométricos em detrimentos das funções.
I - Achaste difícil?
A - Não é difícil. É uma questão de raciocínio. I - Qual a tarefa que foi mais fácil de realizar?
A - As duas são fáceis, mas a primeira é mais lógica. Alias, agora é lógico! I - Nunca tinhas feito este tipo de tarefas?
A - Não.
I - Neste momento achas que serias capaz de fazer sozinho? A - Sim. É só achar a abcissa do vértice!