5. Proposta d’aplicació a l’aula
5.8. Activitats ludificades
5.8.1. Nivell 1: Els fars
Quando eu era crian¸ca, me disseram que se eu cavar um buraco bem fundo eu iria sair no Jap˜ao. Fiquei com aquela ideia de t´unel martelando em minha cabe¸ca. Seria verdade? Mas independente de minhas d´uvidas infantis, h´a alguns aspectos gravitacionais acerca da constru¸c˜ao de um t´unel at´e o Jap˜ao. No interior do planeta h´a tamb´em a a¸c˜ao de for¸cas gravitacionais. Mas quais? Como isso funciona? Essas e outras quest˜oes, vamos responder nesta se¸c˜ao.
Newton estudou essa quest˜ao e suas conclus˜oes est˜ao no Teorema das Cascas, que abordaremos aqui. Preste aten¸c˜ao nas duas afirma¸c˜oes que seguem:
1. Um corpo esfericamente sim´etrico atrai outros corpos como se toda a sua massa estivesse localizada em seu centro.
2. Se um corpo ´e uma casca esfericamente sim´etrica, esta casca n˜ao exerce for¸ca sobre um corpo localizado interiormente `a casca, qualquer que seja sua posi¸c˜ao dentro dela.
A demonstra¸c˜ao dessas conclus˜oes necessita de ferramentas de calculo integral, por isso, iremos simplificar esta demonstra¸c˜ao para um melhor entendimento de como
Newton chegou a essa conclus˜ao.
Imagine uma casca esf´erica homogˆenea e um corpo de massa m em seu interior, em uma posi¸c˜ao qualquer. Duas por¸c˜oes da casca esf´erica exercem cada uma, uma for¸ca gravitacional neste corpo. A por¸c˜ao m1 exerce uma for¸ca F1, enquanto a por¸c˜ao m2
exerce uma for¸ca F2. As duas for¸cas s˜ao opostas e podem ser calculadas como.
F1 = Gm1m d2 1 F2 = Gm2m d2 2
A for¸ca resultante sobre o corpo fica:
FR= Gm2m d2 2 − Gm1m d2 1 FR= Gm m2 d2 2 − m1 d2 1
Mas quanto vale m1 e m2? Quanto vale d1 e d2?
Vamos apelar para a geometria. Se vocˆe prestar aten¸c˜ao, m1, m2 e m formam
Sendo triˆangulos semelhantes, (se vocˆe n˜ao sabe o que s˜ao triˆangulos semelhan- tes, vocˆe precisa buscar este conhecimento em um livro de matem´atica, antes de prosseguir nesta demonstra¸c˜ao), podemos aplicar as propor¸c˜oes entre as medidas dos triˆangulos. Para ficar mais claro, iremos redesenhar a figura anterior.
As rela¸c˜oes que podem ser extra´ıdas s˜ao: d1 d2 = r1 r2 d1 = r1d2 r2
Vamos guardar est´a rela¸c˜ao no bolso, para usarmos mais tarde.
Sendo a casca de homogˆenea, esta tem uma densidade ρ. As massas m1 e m2 podem
ser calculadas com essa densidade.
m1 = ρV1
Como as por¸c˜oes s˜ao circulares, podemos aproximar por cilindro muito finos tal qual a casca. O volume de um cilindro ´e V = πr2
h. Aplicando ao nosso problema fica: m1 = ρV1 = ρπr 2 1h m2 = ρV2 = ρπr 2 2h
Vamos escolher massa m1 como referencia, vamos fazer as substitui¸c˜oes:
FR= Gm m2 d2 2 − m1 d2 1 FR= Gm ρπr2 2h d2 2 − ρπr 2 1h d2 1 FR= Gmρπh r2 2 d2 2 − r 2 1 d2 1
Agora se prepara para mandar ver na ´algebra. Vamos buscar aquela rela¸c˜ao que t´ınhamos guardado no bolso.
FR = Gmρπh r2 2 d2 2 − r2 1 r1d2 r2 2 FR= Gmρπh r2 2 d2 2 − r2 2 d2 2 = 0
Ou seja, a for¸ca resultante do cabo de guerra entre as duas por¸c˜oes ´e nulo. Como temos in´umeros pares dessas por¸c˜oes e esses pares todos formam a casca inteira, o efeito geral de todos esses pares ´e nulo. Note algo muito importante: n˜ao ´e que n˜ao exista gravidade no interior da casca, mas sim que a resultante das atra¸c˜oes gravitacionais ´e nulo.
Primeiro vamos supor que a Terra ´e formada por um material homogˆeneo e com densidade constante (na realidade sabemos que a Terra ´e formada por diversos tipos de minerais e que seu interior tem uma grande por¸c˜ao de material met´alico em fase liquida em altas temperaturas. Por isso que h´a erup¸c˜oes vulcˆanicas, mas para este estudo nossa considera¸c˜ao ´e v´alida). Usando a densidade, podemos determinar a massa de uma esfera.
m = ρV1 = ρ
4 3πr
3 1
Onde r1 pode ir de 0 (centro da esfera) a R raio da Terra.
A gravidade ´e a da casca esf´erica de raio r1. Usando a equa¸c˜ao da acelera¸c˜ao
gravitacional, temos: g = Gm r2 1 g = G r2 1 · ρ4 3πr 3 1 g = 4 3πρGr1
Chegamos `a conclus˜ao que g no interior da Terra varia linearmente com o raio da esfera formada pela profundidade com que se penetra na Terra. Podemos usar uma constante k para evidenciar esta conclus˜ao:
k = 4 3πρG
g = kr1
Para a situa¸c˜ao em que um corpo est´a a uma altura h acima da superf´ıcie da Terra, calculamos a acelera¸c˜ao em fun¸c˜ao da acelera¸c˜ao pr´oxima `a superf´ıcie. Para isso precisaremos expressar a acelera¸c˜ao na superf´ıcie com os mesmo parˆametros da equa¸c˜ao anterior, isto ´e, levando em considera¸c˜ao a densidade. Depois verificamos a compatibilidade.
Na superf´ıcie da Terra, o r1 = R, assim a massa da Terra fica:
M = 4 3πρR
3
E a gravidade na superf´ıcie gs fica:
gs= GM R2 = G R2 · 4 3πρR 3 gs = 4 3πρGR
Se dividirmos a gravidade no interior de raio r1 pela gravidade na superf´ıcie (de raio
R), a conta fica assim:
g gs = 4 3πρGr1 4 3πρGR = r1 R g = gs r1 R
Havendo a profundidade do buraco h, podemos eliminar r1 e deixar tudo em fun¸c˜ao
de R e h.
R = h + r1
g = gsR − h
R
Para finalizar, vamos mostrar graficamente como se comporta a gravidade desde o centro da terra at´e ao infinito. Que foda hein?
Lembraram-se da discuss˜ao sobre os corpos homogˆeneos? Foi essa considera¸c˜ao que fizemos para a Terra para chegar a esse resultado. Esse resultado ´e apenas te´orico e para fins did´aticos.
Movimento Orbital
O movimento de corpos celestes ´e determinado por intera¸c˜oes gravitacionais. Essas intera¸c˜oes definem as velocidades e a forma das trajet´orias descritas por tais corpos. Estudos de Newton e Kepler formam a base da mecˆanica celeste. As observa¸c˜oes de Tycho Brahe permitiram a Kepler criar trˆes leis b´asicas para o movimento de sat´elites, sejam eles naturais ou artificiais. As Leis de Kepler s˜ao leis cinem´aticas, isto ´e, se preocupam com aspectos de velocidades, trajet´orias e tempos. Kepler n˜ao chegou a conclus˜oes sobre for¸cas e energia relativas ao movimento orbital. Coube a Newton introduzir conceitos de dinˆamica, isto ´e, considera¸c˜oes sobre for¸cas gravita- cionais. Com os avan¸cos nesta mecˆanica, foguetes e sat´elites puderam ser desenvol- vidos permitindo assim explorar ainda mais outros aspectos da mecˆanica orbital.
4.1
For¸ca centr´ıpeta e centr´ıfuga
Um conceito importante em mecˆanica orbital ´e a for¸ca que surge nos movimentos curvil´ıneos. H´a muitas d´uvidas sobre essa for¸ca que hora se chama de centr´ıpeta e hora de centr´ıfuga. ´E importante elucidar essa diferen¸ca. Mas ´e mais f´acil saber o que ´e o que, do que saber se ´e biscoito ou bolacha.
Primeiro que um corpo em movimento curvil´ıneo s´o realiza esse movimento por que alguma for¸ca muda a dire¸c˜ao da velocidade. ´E estranho pensar por que n˜ao pensamos em for¸ca agindo em uma velocidade geralmente pensamos nela atuando sobre o m´odulo e n˜ao sobre a dire¸c˜ao do vetor. Em um movimento circular uniforme, a velocidade de giro do corpo tem seu modulo constante. O que muda ´e a dire¸c˜ao do vetor velocidade.
O que faz essa velocidade mudar de dire¸c˜ao ´e uma for¸ca perpendicular ao vetor velocidade.
Suponha que temos uma pista circular e temos um carro percorrendo essa pista. Um observador parado do lado de fora do carro vˆe o carro realizar um movimento circular e para ele a for¸ca que atua no carro ´e a for¸ca necess´aria para mudar a dire¸c˜ao do movimento da velocidade do carro. Sem essa for¸ca essa trajet´oria circular n˜ao seria poss´ıvel. Nesse caso a for¸ca respons´avel ´e o atrito entre os pneus com a pista. Se essa pista fosse lisa o carro iria deslizar e n˜ao faria o movimento de rota¸c˜ao. Para ele existe uma for¸ca centr´ıpeta, que tende a puxar a velocidade para o centro. Para o piloto do carro, ele sente que algo quer jog´a-lo para fora do carro, como se algo lhe puxasse para longe do centro, como se fosse uma for¸ca de fuga do centro, e ent˜ao ele chamaria essa for¸ca de for¸ca centr´ıfuga.
Estamos tratando do mesmo efeito sob pontos de vistas distintos. De um cara dentro do carro e de um cara fora do carro. Os dois descreveriam essa for¸ca com a mesma intensidade F
F = ma = mv
2
R
Como a velocidade tangencial pode ser escrita em fun¸c˜ao da velocidade angular v = ωR, d´a para descrever tamb´em assim:
F = mv 2 R = m (ωR)2 R = mω 2 R = m 2π T 2 R
Onde v ´e a velocidade tangencial do carro, T ´e o per´ıodo de rota¸c˜ao e R o raio da circunferˆencia descrita.
Eles descreveriam a dire¸c˜ao como igual para as duas, ou seja, uma dire¸c˜ao radial. Dire¸c˜ao radial ´e dire¸c˜ao do raio da circunferˆencia. No entanto, os sentidos seriam opostos. Para a for¸ca centr´ıpeta seria em sentido ao centro e a for¸ca centr´ıfuga seria para longe do centro.
Mas por que tudo isso? Por causa dos referenciais. O cara fora do carro est´a em repouso e n˜ao acelerado, est´a em um Referencial Inercial. O piloto dentro do carro est´a em um Referencial N˜ao-Inercial. Mas quando ´e que eu tenho um Referencial Inercial e um Referencial N˜ao-Inercial? O Referencial N˜ao-Inercial ´e aquele referen- cial que est´a acelerado. Mas como que o piloto est´a em Referencial N˜ao-Inercial se ele est´a em um carro de velocidade constante? Meu caro, nem sempre a um m´odulo constante quer dizer n˜ao acelera¸c˜ao. Lembre-se que h´a uma for¸ca mudando o sen- tido da velocidade do carro, ent˜ao, o piloto est´a em um referencial acelerado, n˜ao inercial. A for¸ca centr´ıfuga ´e descrita a partir de um Referencial N˜ao- Inercial. Um juiz federal, em repouso olhando o movimento conclui que ´e centr´ıpeta.
J´a o piloto dentro do carro discorda e descreveria toda essa situa¸c˜ao da seguinte maneira.
Em ambos os casos, se dividirmos a for¸ca centr´ıpeta ou centr´ıfuga pela massa, teremos a acelera¸c˜ao centr´ıpeta ou centr´ıfuga.
Se a velocidade variar em m´odulo, durante o movimento circular, teremos ent˜ao uma acelera¸c˜ao tangencial que tem a mesma dire¸c˜ao da velocidade. Assim, se quiser calcular a acelera¸c˜ao resultante total do corpo ´e s´o fazer a composi¸c˜ao da acelera¸c˜ao tangencial com a acelera¸c˜ao centr´ıpeta, como ´e o caso da figura abaixo.
Atotal =
q A2
tan+ A2cp
Para concluir: minha opini˜ao ´e que biscoito ´e doce e bolacha ´e salgada.