Brann- og ulykkesvern
7.3. Mulig avvikling av statistikk om eiendomsforvaltning og arbeidsgruppen
Neste item, apresentamos algumas definições e concepções de Equação e, também, métodos de resolução de uma Equação polinomial de primeiro grau constantes em diversos livros de Matemática.
Não vamos, contudo, analisar a forma de ensino proposta para o assunto Equações ao longo dos anos, mas sim, destacar dados ou extrair citações para que possamos ter uma visão geral das transformações ocorridas no ensino deste assunto que, segundo Chevallard (apud PAIS, 2002, p. 16), as define como
Transposição Didática:
Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar lugar entre os ‘objetos de ensino’. O ‘trabalho’, que de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é chamado de transposição didática.
Portanto, com relação à análise dos livros, buscamos identificar se os aspectos conceitual e metodológico, referentes às Equações, sofreram
transformações no decorrer dos anos, coletando, assim, informações para a elaboração de um instrumento diagnóstico.
Os livros, que serão apresentados, foram escolhidos levando-se em conta, principalmente, o fato de estarem disponíveis na Biblioteca da Instituição que oferece o Curso de Matemática para consulta de todos os alunos, inclusive os atuais alunos do referido Curso, que compõem a população estatística desta pesquisa.
Entendemos que, ao se propor atividades complementares sobre o assunto Equações, a Biblioteca escolhida será um dos primeiros lugares que buscarão os alunos do Curso de Matemática para consulta.
Em princípio, a seleção dos livros não obedeceu a critério algum de escolha. Foram escolhidos de acordo apenas com o ano de publicação, a partir da década de 60 do século passado.
A seguir, apresentamos, em primeiro lugar, as informações coletadas de livros do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, em ordem cronológica de publicação e, em segundo lugar, as informações coletadas dos livros de Matemática do Ensino Superior. Inserimos, também, um quadro para sintetizar as principais informações e conclusões obtidas.
Os livros são, então, descritos:
• Ensino Fundamental e Ensino Médio:
• FARIAS, Sinesio de. Equações trigonométricas. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1965.
Neste livro, destinado aos alunos do antigo Curso Secundário, o que equivale hoje ao Ensino Médio, o autor preocupa-se em distinguir as igualdades algébricas, mais especificamente as trigonométricas, em Equações e Identidades.
Há duas espécies de igualdades trigonométricas: a IDENTIDADE e a EQUAÇÃO.
IDENTIDADE TRIGONOMÉTRICA: é a igualdade entre expressões de linhas trigonométricas de um ou mais arcos ou ângulos variáveis ou de funções dêstes arcos ou ângulos, que é verdadeira para qualquer valor ou sistema de valores a êles atribuídos.
Assim, as igualdades x 2 tg 1 x 2 sec = + 2 x 2 sen 2 x 2 cos cosx = −
São identidades porque, qualquer que seja o valor atribuído a x, os dois membros têm valores numéricos iguais. Então a identidade é a igualdade entre duas expressões trigonométricas equivalentes de arcos ou ângulos variáveis.
EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA: é a igualdade entre expressões de linhas trigonométricas de um ou mais arcos ou ângulos incógnitos ou de funções dêstes arcos ou ângulos, que só é verdadeira para certos valores ou grupos de valores a êles atribuídos.
Assim, a igualdade
(
x 20º)
tg(
40º x)
tg − = −
é uma equação trigonométrica porque só é verdadeira para os valores de x compreendidos na fórmula x = k.90º + 30º, na qual k representa um número inteiro qualquer, positivo, nulo ou negativo. Qualquer outro valor atribuído a x dá valores numéricos diferentes para os dois membros. (FARIAS, 1965, p. 01)
Nota-se, pela transcrição acima, que o autor procura relacionar um ângulo (ou arco) variável a uma Identidade e um ângulo (ou arco) incógnito a uma Equação. Porém somente com uma leitura um pouco mais criteriosa, o que provavelmente se esperava de um aluno no Curso Secundário, é que se consegue distinguir uma incógnita de uma variável.
• SANGIORGI, Osvaldo. Matemática: curso moderno. Volume 2. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1968.
Este livro era destinado aos alunos do Curso Ginasial, o que equivale hoje aos terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental.
Em matemática você trabalha, freqüentemente, com sentenças numéricas abertas do tipo:
+ 3 = 5 8 ∆ 2× =− 4 x x 5× = + 3 × 2 = 75
que exprimem a igualdade entre duas expressões numéricas. Tais sentenças abertas são denominadas equações. (SANGIORGI, 1968, p. 181)
Como sentença aberta, Sangiorgi (1968, p. 173) define:
Considere as seguintes “sentenças”:
(1) Êle é aluno da 2.ª Série ‘A’ de nosso Ginásio (2) + 5 = 8
(3) x < 3 Serão V ou F?
Você, agora, não poderá responder tão prontamente, a menos que seja informado de quem é Êle, ou , ou x. Tais sentenças dizem-se abertas.
[...]
Os símbolos: Êle, , x, [...] usados nas sentenças abertas, são chamados de variáveis.
Quanto à resolução de uma Equação de primeiro grau, Sangiorgi (1968) considera a transposição de termos como técnica operatória, apresentando então alguns exemplos.
O processo geral de resolução de uma equação do primeiro grau com uma variável consiste, geralmente, em transformá-la, mediante o emprêgo das operações inversas das que figuram na equação, em equações equivalentes, cada vez mais simples, até chegar a uma equação sob a forma elementar, cuja raiz está, pràticamente, determinada. Como a equação dada e a equação sob a forma elementar em que foi transformada são equivalentes, o elemento do Conjunto-Verdade desta ultima será a raiz da equação proposta. (SANGIORGI, 1968, p. 185)
Sobre conjunto verdade, Sangiorgi (1968, p. 175) o define como “o conjunto dos valores de U para os quais a sentença é V”, em que U representa o conjunto universo e V a palavra verdadeira. “Os elementos do Conjunto-Verdade, quando
existem, são chamados: raízes, soluções ou valores-verdade da equação.” (SANGIORGI, 1968, p. 182)
Em relação às Equações equivalentes, o autor indica que são “equações que têm o mesmo Conjunto-Verdade” (SANGIORGI, 1968, p. 184). E sobre forma elementar de uma Equação, através de uma nota, Sangiogi (1968, p. 184) indica: “Tôda equação que esteja sob a mesma forma que a da equação: x = 2 (a mais simples possível!), diz-se que está sob forma elementar.”
No livro de Sangiorgi (1968), não há, no capítulo sobre Equações, o termo incógnita.
O livro a seguir, publicado também no ano de 1968, nos chamou muito a atenção pelo fato de apresentar alguns termos não identificados nos livros dos demais autores consultados. Além disso, também, dentre os demais livros consultados, esse mesmo livro foi o único que associou o termo incógnita ao valor desconhecido de uma variável em uma Equação.
• LEITE, J. d’Andrade; et al. Matemática: Curso Liceu. Volume 2. Rio de Janeiro: Liceu S.A., 1968.
Os autores deste livro também iniciam o capítulo sobre Equações abordando sentenças abertas e sentenças fechadas:
O pensamento matemático, quando expresso na linguagem simbólica peculiar à Matemática, usa sentenças abertas e sentenças fechadas. Já sabemos que 3 + 5 = 8, 5 > 2, 14 ≠ 3 + 9 são sentenças fechadas e que 4x = 12, 5x + 2 < 7, ou + 3 < 12 são sentenças abertas.
A presença do “guardador de lugar” identifica a sentença aberta. De outro lado, uma sentença aberta que apresente uma igualdade é uma equação e as desigualdades apresentadas sob a forma de sentenças abertas são as inequações.
Resolver uma equação ou uma inequação é procurar o valor (ou valôres) que substitua (am) o “guardador de lugar” (res) mantendo a igualdade. (LEITE; et al; 1968, p. 148)
O primeiro termo diferenciado, em relação aos demais livros, utilizado pelos autores é guardador de lugar. Num primeiro momento, podemos identificar este termo como associado ao termo incógnita. Porém, conforme mostramos a seguir, o termo “guardador de lugar” está sendo utilizado para designar uma variável:
Na sentença 3 . + 9 = 72, chamamos (ou qualquer outro símbolo geral – x, y, m, ∆ etc. – aí colocado) de “guardador de lugar”. Sabemos que seu valor de momento não é conhecido e que, portanto, êle pode variar, ao passo que o 3, o 9 e o 72 têm seus valores perfeitamente fixados.
De agora em diante, diremos que é variável e que 3, 9 e 72, no caso, são constantes. Dêste modo, nas sentenças 3x + 2 = 17, x + y = 15, ∆ - 3 = 27, os sinais x, y e ∆ são as variáveis. Enquanto desconhecido, o valor que uma variável deve assumir numa determinada sentença recebe o nome especial de incógnita.
Portanto, em 3x + 18 = 300, x é a variável e seu valor, enquanto não conhecemos, é a incógnita. É claro que serão tantas as incógnitas (valôres desconhecidos) quantas as variáveis (símbolos que as substituem). (LEITE; et al; 1968, p. 151)
No trecho acima verificamos que, para os autores, incógnita não é um objeto e sim uma qualidade do objeto que, no caso, é identificado como variável. Ou seja, a incógnita é vista como um adjetivo de uma variável.
Quanto aos tipos de igualdades, os autores apresentam:
Examinar a sentença 4x + 2 = 30.
A variável é x, cujo valor não conhecemos.
Você acha que poderíamos escrever: ∀ x, x ∈ Nq , 4x + 2 = 30.8
Claro que não. A relação de igualdade entre os dois membros só é mantida com x = 7, o que nos leva a dizer que a sentença apresenta uma igualdade condicional. Isto é: só se verifica a igualdade na condição de x = 7. Do mesmo modo na sentença x2 – 5x + 6 = 0 a igualdade só é mantida para x = 2 ou x = 3. São, portanto, igualdades condicionais.
8
As equações são igualdades condicionais. (LEITE; et al; 1968, p. 151)
Os autores, após definirem as Equações como igualdades condicionais, apresentam as Identidades como igualdades absolutas, as quais são verdadeiras para quaisquer variáveis do Conjunto dos Números Racionais. Diferenciam, portanto, uma Equação de uma Identidade.
Quanto à resolução de uma Equação, após abordarem a propriedade distributiva do produto em relação à adição e a unicidade das operações, mostrando que “operando valôres equivalentes, segundo uma mesma operação, com operadores equivalentes, chegamos a resultados equivalentes” (LEITE; et al; 1968, p. 156), os autores definem Equações equivalentes como “equações que têm as mesmas raízes” (LEITE; et al; 1968, p. 158) e propõem modelos de resolução de uma Equação polinomial de primeiro grau através do isolamento da variável em um dos membros da igualdade, frisando que isso geralmente acontece no primeiro membro através de operações aplicadas, simultaneamente, aos dois membros da igualdade.
• BÓSCOLO, Alcides e CASTRUCCI, Benedito. Matemática: Curso Moderno. Volume 2. São Paulo: FTD, 1972.
Após definirem sentença como “expressões do pensamento que têm sentido completo” e sentenças declarativas como sentenças “afirmativas ou negativas”, os autores indicam que as sentenças numéricas são as sentenças “relativas a números” e, dessa forma, “podem ser escritas de um modo sucinto, tendo em vista o simbolismo apropriado” (BÓSCOLO; CASTRUCCI; 1972, p. 116).
Consideremos as sentenças: 1. ‘Fulano’ morreu aos 30 anos.
2. O planeta ‘X’ é o maior planeta do Sistema Solar. 3. Em 1964, o mês ‘tal’ foi de 29 dias.
Pergunta-se: são V ou F essas sentenças?
Evidentemente, nada se pode responder sem que se diga o que se entende por ‘Fulano’, por ‘X’, por ‘tal’.
Sentenças como estas são chamadas sentenças abertas, e os símbolos ‘Fulano’, ‘X’, ‘tal’, constituem as variáveis.
São também sentenças abertas, as seguintes sentenças numéricas: 1. 2y – 1 > 4
2. x + 3 = 7 3. m – 5 = 9 – n
em que x, y, m, n são as variáveis. (BÓSCOLO; CASTRUCCI; 1972, p.119)
Definem, logo após, conjunto universo e conjunto verdade. O primeiro sendo “o conjunto de todos os valores da variável”, que também pode ser chamado de “conjunto das possibilidades lógicas da variável” e o segundo como “o conjunto dos valores da variável para os quais a sentença é verdadeira.” (BÓSCOLO; CASTRUCCI; 1972, p. 120-121).
No capítulo seguinte, os autores definem Equações como “sentenças abertas que exprimem a relação de igualdade entre duas expressões numéricas” (BÓSCOLO; CASTRUCCI; 1972, p. 125).
Quanto à resolução de Equações, Bóscolo e Castrucci (1972, p. 125) indicam que “resolver uma equação é determinar o seu Conjunto-Verdade.”
Os autores definem, ainda, Equações equivalentes como as que “têm o mesmo Conjunto-Solução num determinado Conjunto-Universo”, e apresentam um “processo geral de resolução” que consiste em transformar uma Equação em Equações equivalentes através de “operações” realizadas isoladamente ou combinadas.” (BÓSCOLO; CASTRUCCI; 1972, p. 127).
Em todos os exemplos apresentados aplicam-se as mesmas operações aos dois membros da igualdade da Equação, simultaneamente, indicando as propriedades utilizadas nas transformações, como mostra o seguinte exemplo:
Resolver:
2x = 9 + x, U=Z
2x – x = (9 + x) – x – aditiva da igualdade
(2 – 1)x = 9 + (+ x – x) – distr. mult. (1º m.) e ass. (2º m.)
1. x = 9 + 0 – adição (1ºm.) e el. inverso adição (2º m.)
x = 9 – elemento neutro mult. (1º m.) e adição (2º m.)
∴S = {9} Verificação: 2 . 9 = 9 + 9
18 = 18 (V) (BÓSCOLO; CASTRUCCI; 1972, p. 130)
Também neste livro, os autores não utilizam o termo incógnita.
Dos livros apresentados até agora, este é o primeiro que formaliza a verificação da raiz encontrada como parte da resolução de uma Equação.
• ZAMBUZZI, Orlando A.. Matemática com estudo dirigido. 6ª série do 1º grau. São Paulo: Ática, 1976.
Assim como os livros anteriormente pesquisados, o autor define sentenças abertas, variável, conjunto universo e conjunto verdade de modo bem semelhante.
Quanto à Equação, o autor escreve:
A sentença aberta x – 2 = 4 é uma igualdade. Ela se torna verdadeira para certos valores da variável. Esta sentença chama-se equação. Todas as sentenças que se comportam como x – 2 = 4 são equações.
Toda equação é uma igualdade. Ela traduz um problema a ser resolvido. Logo, achar o conjunto verdade de uma equação é resolver o problema traduzido por ela. (ZAMBUZZI, 1976, p.88)
No capítulo seguinte, Zambuzzi (1976, p. 93-95) define Equações equivalentes de modo semelhante aos livros anteriores e, através de exemplos,
conclui que “adicionando-se (subtraindo-se) a ambos os membros o mesmo número, obtêm-se equações equivalentes” e “multiplicando-se (dividindo-se) ambos os membros de uma equação por um mesmo número, diferente de zero, obtêm-se equações equivalentes.”
Ao apresentar a resolução de uma Equação polinomial de primeiro grau, o autor escreve:
Aplicando esses dois princípios [referindo-se às conclusões obtidas
nas equações equivalentes], vamos estabelecer certos passos para
a determinação do conjunto verdade de uma equação qualquer. Sendo que toda equação é uma igualdade, temos que considerar o 1º e o 2º membros. Cada membro é constituído de termos.
O 1º membro reservamos para os termos acompanhados da variável. [...]
O 2º membro reservamos para os termos que não apresentam a variável, chamados por isso de termos independentes.
[...]
Em certas equações, precisamos deslocar, levar, transportar um termo independente, que está no 1º membro, para o 2º membro, e um termo com a variável x, que está no 2º membro, para o 1º. Chamamos isso de transporte de um termo de um membro para outro na equação.
[...]
Pois bem, dada a equação x + 5 = 7 o termo (+5) deverá ser transportado para o segundo membro.
Para isso adicionamos em ambos os membros o simétrico de (+5), que é (– 5):
x + 5 – 5 = 7 –5 (P.A.) x + 0 = 7 – 5
x = 7 – 5 (o transporte de +5 com sinal trocado)
[…]
Praticamente, o transporte de um termo de um membro para outro se faz trocando-se-lhe o ………… [o autor deixa um espaço para o
aluno responder]. (ZAMBUZZI, 1976, p. 97-99)
O autor resolve, ainda, o seguinte exemplo: a Equação 5x – 5 = 2x + 16. Efetua os transportes possíveis, obtendo 3x = 21. Pede, então, para que se divida ambos os membros da igualdade por três e conclui:
Sempre que a variável está multiplicada por um numero qualquer, diferente de zero, basta dividir ambos os membros por esse número, obtendo-se, desse modo, a equação equivalente mais simples, que nos leva ao conjunto verdade V. (ZAMBUZZI, 1976, p. 101)
Nos exemplos de Equações em que figuram variáveis com denominadores conhecidos, Zambuzzi (1976, p. 109) escreve: “Temos que eliminar os denominadores, bastando, para isso, multiplicar ambos os termos por um mesmo número que seja múltiplo comum [dos denominadores] [...]”, sugerindo, então, que este número seja o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
Percebe-se, nesta obra, que na resolução de uma Equação, o autor procura dar receitas para facilitar o trabalho. No caso do transporte de um termo para outro membro da igualdade, ele indica que devemos aplicar as mesmas operações nos dois membros da Equação, porém, depois, apresenta a receita de que para efetuar o
transporte de um termo de um membro para outro basta trocar o sinal do termo
transportado.
O autor não utiliza o termo incógnita.
• BRANDÃO, Marcius. Matemática: conceituação moderna. Editora do Brasil S.A., 1978.
Destinado aos alunos do antigo Curso Ginasial, após definir sentenças abertas, conjunto universo e conjunto verdade, o autor escreve:
As sentenças abertas que exprimem uma relação de igualdade sôbre conjuntos numéricos podem ser classificadas em EQUAÇÃO ou IDENTIDADE.
1) – É uma identidade quando o seu conjunto verdade é o próprio conjunto universo.
[...]
2) – É equação quando o seu conjunto verdade é subconjunto próprio do conjunto universo. (BRANDÃO, 1978, p. 177)
Sobre a resolução de uma Equação, Brandão (1978, p. 179) indica que “resolver uma equação é procurar o seu conjunto-verdade num dado conjunto- universo. Emprega-se para êsse objetivo os princípios de equivalência.”, os quais apresenta:
P.1 – Somando-se (ou subtraindo-se) a mesma expressão* aos dois membros de uma equação obtém-se uma nova equação equivalente.
[...]
P.2 – Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma equação por uma expressão (ou um número) diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente. (BRANDÃO, 1978, p. 178-179)
Em uma nota de rodapé, o autor especifica: “(*) Em particular, um número” (BRANDÃO, 1978, p. 179).
Quanto às Equações equivalentes, Brandão (1978, p. 178) as define: “são as que admitem o mesmo conjunto-verdade.”
Ao exemplificar a resolução da Equação x – 5 = 3, o autor apresenta como conseqüência que: “Pode-se mudar um têrmo de um membro para outro numa equação. Para isso, suprime-se o têrmo nesse membro e escreve-se no outro, com o sinal trocado.” (BRANDÃO, 1978, p. 179). Já na Equação 4x = 16, utiliza o principio de equivalência P.2, procedendo da mesma forma quando exemplifica uma Equação com denominadores conhecidos.
O autor não utiliza o termo variável, mas sim o termo incógnita para expressar o x das Equações, não definindo, contudo, o que é uma incógnita.
Para Brandão (1978, p. 181), numa Equação, o que não é incógnita, é consoante: “aplicando o primeiro principio de equivalência, isolamos no primeiro membro a INCÓGNITA x e no segundo membro as CONSOANTES9 (os números)”, referindo-se à resolução do exemplo 6x + 2 = 3x + 8.
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• IEZZI, Gelson; et al. Matemática e realidade. 6ª série. São Paulo: Atual, 1984.
Assim como nos demais livros anteriores, os autores definem sentença aberta:
Sentença aberta é uma oração (tem sujeito e predicado) que tem alguma variável (uma ou mais). Dando um valor à variável, de uma sentença aberta, ela se transforma em uma sentença simples (verdadeira ou falsa) (IEZZI; et al; 1984, p. 110)
Como variável, os autores indicam como sendo uma letra que pode representar qualquer número racional.
Definem conjunto universo de uma sentença aberta, ou domínio da sentença, como sendo o “conjunto cujos elementos servem para substituir a variável de uma sentença aberta” e conjunto solução, ou conjunto verdade, como o “subconjunto V do conjunto-universo U, formado pelos valores da variável para os quais a sentença aberta é verdadeira”. (IEZZI; et al; 1984, p. 111)
Após essas definições, Iezzi et al (1984, p. 112) definem uma Equação como sendo “uma sentença aberta expressa por uma igualdade”.
Referindo-se à noção de incógnita, os autores apresentam: “Como sentença aberta que é, qualquer equação contém variáveis ou incógnitas. Variável ou incógnita é cada uma das letras que aparecem na equação.” (IEZZI; et al; 1984, p. 113).
Quanto a duas Equações serem equivalentes, Iezzi et al (1984, p. 116) as definem como sendo “duas equações sobre o mesmo conjunto-universo que têm o mesmo conjunto-verdade”. Em seguida, abordam os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade e afirmam:
Quando somamos um mesmo número aos dois membros de uma equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada.
Quando multiplicamos os dois membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada. (IEZZI; et al; 1984, p. 118-119)
Com relação à resolução de uma Equação polinomial do primeiro grau, os autores aplicam em exemplos, operações elementares baseadas nos princípios aditivo e multiplicativo da igualdade até reduzir a Equação proposta numa Equação equivalente da forma a.x = b, com a e b números racionais e a diferente de zero. Ao fazerem isso, indicam que a incógnita deve ficar isolada no primeiro membro da igualdade, conforme extrato abaixo:
1º exemplo: resolver 3x – 1 = 14, com U = Q
1º passo – com a finalidade de isolar no 1º membro o 3x (que apresenta a incógnita) e no 2º membro os termos sem incógnita, vamos somar 1 aos dois membros:
15 3x 1 14 1 1 3x 14 1 3x = + = + − = −
2º passo – com a finalidade de deixar só x no 1º membro, vamos multiplicar os dois membros por
3 1
(inverso de 3 que é o coeficiente de x) 5 x 5 5 1 . 3 1 x 3 . 3 1 15 3x = / / / = / / =
Fica evidente que 5 é a raiz da equação 3x – 1 = 14, portanto V = {5}. (IEZZI; et al; 1984, p. 122)
Após esse exemplo que exibe todas as passagens devidamente documentadas, Iezzi et al (1984, p. 122) indicam, como resumo da resolução, o seguinte procedimento:
{5} V 5 x 3 15 x 15 3x 1 14 3x 14 1 3x = = = = + = = −
Outros exemplos são apresentados na seqüência da mesma forma como no exemplo acima.
• GARCIA, Milton de Paula. Matemática: 6ª série. São Paulo: Editora do Brasil, 1987.
Como os demais autores, define-se sentença aberta. Sobre Equação, o autor escreve: “Toda sentença aberta expressa por uma igualdade é chamada de equação.” (GARCIA, 1987, p. 69).
Após alguns exemplos de Equação, o autor afirma que as letras que aparecem nas Equações recebem o nome de variáveis e identifica o primeiro e o segundo membro de uma igualdade nas Equações.
Seguindo a apresentação, Garcia (1987) define raiz de uma Equação como sendo o valor da variável que torna verdadeira a sentença aberta e propõe exercícios para verificar se um determinado número dado é ou não raiz de uma Equação correspondente.
Com relação à resolução de uma Equação polinomial do primeiro grau, o autor apresenta o princípio aditivo da igualdade e três exemplos de resolução de