Fordeling mellom funksjonene 338 og 339

O segundo instrumento de pesquisa, assim como o primeiro, é de natureza diagnóstica. Foi aplicado em 04 de abril de 2005 em uma aula do componente curricular Complementos de Matemática do Curso de Matemática.

Seu principal objetivo foi coletar informações referentes aos conhecimentos matemáticos, isto é, conceitos, propriedades, definições, procedimentos etc., bem como os modos de pensar dos alunos sobre Equações.

Trata-se de um instrumento composto por nove questões diretamente ligadas às questões norteadoras deste Estudo de Caso, apresentadas no Capítulo 1, e que foram elaboradas baseando-se em:

(1) Conteúdos de Matemática e sugestões sobre o seu ensino, mais especificamente sobre o assunto Equações, propostos nos PCN; (2) Pesquisas em artigos e livros didáticos de Matemática;

(3) Resultados de dois Exames de Vestibular/2005 prestados pelos alunos do Curso de Matemática; e

(4) Experiências vividas em salas de aula no Ensino Superior.

No que se segue, apresentamos as nove questões propostas no segundo instrumento de pesquisa e seus respectivos objetivos6. Feito isso, estabelecemos relações existentes entre as questões elaboradas e as questões norteadoras deste Estudo, sintetizando-as num quadro. Comentamos, no final, sobre como ocorreu a aplicação em sala de aula deste segundo instrumento de pesquisa.

Questão 1. O que você entende por Expressão Algébrica? Dê um exemplo.

O objetivo específico desta questão foi identificar os modos de pensar dos alunos, fazendo uma sondagem sobre o que eles dizem, ao escreverem o que entendem por uma Expressão Algébrica.

6

O motivo para se propor tal questão reside no fato de que muitas vezes, ao se fazer uma revisão sobre Expressões Algébricas no Ensino Superior, alguns alunos, simplesmente, aplicam um procedimento de resolução de Equação, quando são solicitados a simplificar uma Expressão Algébrica, “determinando” então o valor da suposta incógnita que, na verdade, não existe. Partilhando da idéia de que conteúdos de natureza procedimental estão diretamente ligados a conteúdos de natureza conceitual, apesar de distintos, o engano nesse procedimento pode estar relacionado com o conceito que o aluno tem (ou não tem) sobre Expressão Algébrica. Sendo assim, identificar qual o entendimento do aluno quanto a uma Expressão Algébrica poderá justificar ou não o procedimento que será aplicado na questão a seguir.

Questão 2. Simplifique: a) 2

(

x+1

) (

−3 x+4

)

b)

(

2x−3y +1

) (

+4 −x+y−1

)

Envolvendo basicamente um conteúdo procedimental, uma questão como esta se justifica tendo em vista os PCN de Matemática de quinta a oitava séries do Ensino Fundamental. A obtenção de expressões equivalentes a uma outra expressão dada, através de aplicações de propriedades e simplificações, é um dos conteúdos sobre números e operações proposto para o ensino no quarto ciclo, conforme especificado na página 88 daquele documento. Além disso, pretendíamos, conforme já comentado, verificar se os alunos aplicariam o procedimento de resolução de Equações nos dois itens propostos.

Nesta questão, os objetivos específicos foram verificar se os alunos: (1) reconhecem e empregam a propriedade distributiva e, nesse caso, efetuam a redução dos termos semelhantes; (2) diferenciam a simplificação de expressões da resolução de Equações. Este último será identificado através do procedimento que o

aluno aplicará ao simplificar a expressão, ou seja, se ele apenas aplicar a propriedade distributiva e reduzir os termos semelhantes, é provável que ele saiba diferenciar a simplificação de uma Expressão Algébrica da resolução de uma Equação. Caso o aluno, além da simplificação e redução dos termos semelhantes, aplicar um procedimento para “determinar” o valor das variáveis, neste caso, com certeza, o aluno não sabe diferenciar a simplificação de uma Expressão Algébrica da resolução de uma Equação.

Com base nos objetivos (2) desta questão e nos das questões de números 1 e 3, optamos por enunciar esta questão da forma que fizemos, ao invés de enunciá- la como: “Simplifique as Expressões”, o que poderia evidenciar o procedimento a ser utilizado ou contribuir na resposta de outras questões.

Questão 3. O que é para você uma Equação?

Pretendíamos aqui fazer um mapeamento relacionado ao entendimento que os alunos trazem do Ensino Básico sobre o assunto Equação.

Assim como a Questão 1, esta questão abordou a natureza conceitual de um assunto. Além disto, visávamos também saber se os futuros professores mencionariam algum tipo de relação existente entre uma Equação e a idéia de igualdade entre dois membros ou, ainda, com a noção de incógnita.

O motivo para não solicitarmos um exemplo, neste caso, será abordado no Capítulo 4, quando analisarmos o segundo instrumento de pesquisa.

( )

x 5x 6 a) 2 _{− +}

( )

3 x 2 3x b) + = − c)

( )

x+2

( ) (

2 x

)

4 d) + 2 = e)

( )

5 =2 x +3

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = x 1 2 1 P(x) f)

O objetivo nesta questão, que envolve conteúdo de natureza conceitual, foi diagnosticar se os futuros professores reconhecem ou identificam as Equações dentre algumas Expressões Algébricas e Função Polinomial. Levamos em conta que: “Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas – expressões, igualdades e desigualdades – , identificando as equações” (BRASIL, 1998b, p. 81) é um dos objetivos de Matemática para o quarto ciclo do Ensino Fundamental apontado pelos PCN.

Cabe ressaltar que a inclusão de uma Identidade, do tipo x + 5 = x + 5, nos itens propostos foi descartada pelo fato de que não há um consenso entre os autores dos livros didáticos de Matemática pesquisados sobre as Identidades serem consideradas como Equações, conforme veremos no próximo capítulo. Contudo, esse fato pode nos levar a uma discussão interessante e importante, mas que, tendo em vista o objetivo deste Estudo de Caso, desviaria nossa atenção.

Questão 5. Resolva:

3x 7 2x

a) − = + b) 4 =2x+5 c) x2 ₋49₌0

Bem como na questão de número 2, optamos aqui por não enunciar esta questão como “Resolva as Equações” para não fornecer detalhes que pudessem interferir nas respostas das questões de números 1 e 3.

Envolvendo um conteúdo de natureza procedimental, os objetivos nesta questão foram: (a) verificar se os alunos resolvem Equações polinomiais de primeiro grau e Equações do tipo x2 – c = 0, com c > 0; (b) identificar se há predominância de algum procedimento de resolução, sobretudo nas Equações de primeiro grau; e (c) coletar os erros procedimentais que, porventura, serão apresentados.

Conforme observamos no item 2.1 deste capítulo, uma parte expressiva dos alunos, identificada através do primeiro instrumento de pesquisa, cometeu um erro que, possivelmente, pode ser causado pela regra passa pra lá muda de sinal. Através das respostas obtidas nesta questão, esperamos também confirmar, ou não, o possível erro de procedimento identificado nos Exames de Vestibular.

Questão 6. Nos itens abaixo, pede-se:

a) Em 3 2 1 2 2 3− + − x x x , o x representa:

( ) uma incógnita ( ) uma variável ( ) não sei

b) Em P(y)= y2 +3, o y representa:

( ) uma incógnita ( ) uma variável ( ) não sei

c) Em 2x+5=0, o x representa:

( ) uma incógnita ( ) uma variável ( ) não sei

Nesta questão buscávamos verificar se os futuros professores diferenciam uma incógnita de uma variável.

De acordo com os PCN de Matemática de quinta a oitava séries do Ensino Fundamental, as concepções das letras, em Matemática, estão diretamente ligadas às dimensões da Álgebra que aquele documento cita: Aritmética Generalizada, Funcional, Equações, e Estrutural (BRASIL, 1998b).

Isto significa que identificar as concepções das letras pode contribuir para a correta aplicação do conteúdo de natureza procedimental em cada situação.

Levando em conta, entre outras, duas das várias competências e habilidades esperadas de um aluno egresso do Ensino Básico, expressas nos PCN de Matemática do Ensino Médio, a saber: “selecionar estratégias de resolução de problemas” e “transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para a linguagem simbólica” (BRASIL, 2002b, p. 114), foram propostas, neste segundo instrumento de pesquisa, as três questões a seguir que tratam de situações- problema envolvendo o conceito de Equação.

Questão 7. Qual é o número que, após ser acrescido em três unidades, é divido por

nove e resulta em menos quatro? (Justifique sua resposta)

A questão acima visava identificar que estratégias seriam utilizadas pelos futuros professores ao resolverem problemas de cálculo algébrico envolvendo incógnita.

Questão 8. Um determinado estudante, após receber seu salário, pagou R$ 380,00

de mensalidade da faculdade, recebeu de um colega R$ 100,00 referente ao empréstimo que lhe havia feito no mês anterior, gastou R$ 120,00 com a compra de

alguns livros e guardou o que restou, R$ 235,00, para ajudar na despesa da casa e utilizar durante o mês. Qual o salário que o estudante recebeu? (Indique o processo utilizado na resolução)

O objetivo nessa questão de número 8, tal como o da questão anterior, foi verificar qual é o encaminhamento utilizado pelo aluno na resolução de um problema envolvendo uma incógnita. Porém, tendo em vista o grupo eleito da pesquisa, optamos em propor uma situação envolvendo a administração do salário.

Questão 9. Ao vender um veículo por R$ 10.000,00, uma determinada pessoa

perdeu o equivalente a ¼ do que investiu em sua compra. Se associarmos o valor investido na compra do veículo a k, o único item, dos relacionados abaixo, que poderá ser utilizado na determinação do valor que a pessoa investiu na compra do veículo será:

( )

k k 4 1 10.000 a) − +

( )

k 10.000 4 1 b) − =

( )

k 4 1 k 10.000 c) = −

( )

k 10.000 4 1 k f(k) d) = − − e)

( )

não sei

Aqui, pretendeu-se verificar se os alunos conseguem identificar a tradução de um problema enunciado na língua natural para a linguagem algébrica. Diferencia-se dos dois problemas anteriores pelo fato de direcionar o aluno para a linguagem simbólica, enquanto que os dois problemas anteriores possibilitam que os alunos escolham entre as estratégias aritmética ou algébrica.

As questões elaboradas para o segundo instrumento de pesquisa podem ser divididas em três grandes grupos: o grupo de questões conceituais, o grupo de questões procedimentais e o grupo de questões contextualizadas. Neste último, os alunos poderiam escolher uma estratégia de resolução (aritmética ou algébrica).

As questões de números 1, 3, 4 e 6 pertencem ao grupo de questões conceituais. As questões de números 2 e 5 são procedimentais. As questões de números 7, 8 e 9 são questões contextualizadas.

As nove questões elaboradas para o segundo instrumento de pesquisa relacionam-se com as questões norteadoras deste Estudo de Caso da seguinte forma:

• As questões de números 1, 2 e 3 respondem à primeira questão norteadora do Estudo: os futuros professores de Matemática, ingressantes no Curso de Matemática em 2005, sabem diferenciar uma Equação de uma Expressão Algébrica?

• As questões de números 3, 4 e 6 respondem à segunda questão norteadora do Estudo: o que os futuros professores de Matemática, ingressantes no Curso de Matemática em 2005, entendem por Equação?

• A questão de número 5 e, também, as questões de números 7 e 8 respondem à terceira questão norteadora do Estudo: como, ou quais são os procedimentos, que os futuros professores de Matemática, ingressantes no Curso de Matemática em 2005, empregam para resolver as Equações polinomiais?

• As questões de números 7, 8 e 9 respondem à quarta questão norteadora do Estudo: os futuros professores, ingressantes no Curso de Matemática em

2005, utilizam Equações como ferramenta para resolver certos problemas propostos em língua natural envolvendo um valor desconhecido?

Sintetizamos, no quadro abaixo, a relação entre o grupo de questões norteadoras e o grupo de questões elaboradas para este instrumento de pesquisa.

Quadro 1: Relação entre o grupo de questões norteadoras do Estudo de Caso e o grupo de questões elaboradas para o segundo instrumento de pesquisa

Questões norteadoras do estudo de caso Indicação das questões do segundo instrumento_{de pesquisa}

Os futuros professores de Matemática, ingressantes em 2005 no Curso de Matemática, sabem diferenciar uma Equação de uma Expressão Algébrica?

Questão 1 Questão 2 Questão 3

O que os futuros professores de Matemática, ingressantes em 2005 no Curso de Matemática, entendem por Equação?

Questão 3 Questão 4 Questão 6

Como, ou quais são os procedimentos, que os futuros professores de Matemática, ingressantes em 2005 no Curso de Matemática, empregam para resolver as Equações polinomiais?

Questão 5 Questão 7 Questão 8

Os futuros professores, ingressantes em 2005 no Curso de Matemática utilizam Equações como ferramenta para resolver certos problemas propostos em língua natural envolvendo um valor desconhecido?

Questão 7 Questão 8 Questão 9

A aplicação, em sala de aula, deste segundo instrumento de pesquisa, foi realizada através do pesquisador, contando com a presença do professor que ministra as aulas do componente curricular Complementos de Matemática, nas duas

primeiras aulas do dia 04 de abril do corrente ano, com uma duração máxima fixada em 100 minutos.

Os alunos do Curso de Matemática manifestaram-se surpresos, pois não esperavam fazer uma atividade naquela data. Foi necessário, então, antes da aplicação do instrumento diagnóstico, fornecer algumas explicações. Esclarecemos que se tratava de um teste com a finalidade de se obter informações sobre os conhecimentos dos alunos da classe, com relação às Expressões Algébricas e Equações. Destacou-se a relevância de se coletar tais informações, pois contribuiriam para um futuro planejamento de atividades complementares que seriam desenvolvidas, durante o Curso, com os alunos que apresentassem algum tipo de dificuldade com relação ao assunto Equações. Também foi ressaltada a importância e a seriedade nas respostas a serem dadas, ainda que essa atividade não estivesse vinculada a uma nota de avaliação.

Sem mais comentários, às 19 horas e 30 minutos iniciou-se o teste diagnóstico.

O desenvolvimento do teste transcorreu normalmente notando-se, discretamente, que certos alunos optaram por utilizar uma calculadora para auxiliá- los em algumas das operações propostas. Não houve outro tipo de comentário, entre os professores e os alunos. Nossa impressão é que os alunos participaram ativamente e responderam ao teste com seriedade.

Após 30 minutos do início, dois alunos entregaram o teste resolvido. O último aluno entregou seu teste após 65 minutos do inicio.

A análise sobre os resultados obtidos nesse segundo instrumento de pesquisa é apresentada no Capítulo 4 com os devidos comentários específicos a cada questão.

CAPÍTULO 3

EQUAÇÕES: OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS E OS LIVROS DE MATEMÁTICA

Neste capítulo, tratamos como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) abordam o assunto Equações.

Apresentamos também alguns enfoques relativos à investigação sobre como se define Equação, além de procedimentos de resolução de uma Equação polinomial de primeiro grau, constantes em livros didáticos do Ensino Básico de épocas variadas, desde a década de 60 do século passado. O intuito desse estudo foi verificar se ocorreram transformações no ensino de conteúdos ligados ao tema Equações, tanto os de natureza conceitual como os de naturezas procedimental e atitudinal, buscando identificar visões e tendências que, de alguma forma, influenciaram o ensino e a aprendizagem deste tema.

Além disso, apresentamos ainda certos enfoques e definições constantes em alguns livros do Ensino Superior ao abordarem assuntos envolvendo Equações.

Tanto a pesquisa nos PCN, quanto a pesquisa nos livros didáticos de Matemática do Ensino Básico e do Ensino Superior, foram utilizadas como instrumentos para coletar informações para este trabalho que, conforme exposto na Introdução, utiliza-se também de pesquisa documental.

In document KOSTRA. Arbeidsgrupperapporter 2016 (sider 173-179)