Os mitos que foram criados a respeito do conhecimento, ligando-os à ideia de acumulação e linearidade dos conteúdos pré-determinados em sequências rígidas, não admitindo nenhuma modificação na sua forma de sucessão de etapas moldadas e rigorosamente estruturadas, podem ser apresentados através de três metáforas esclarecedoras:
A metáfora do balde, em que o conhecimento é acumulado ao longo do tempo de vida e a avaliação é como uma vareta que mede o quanto alguém conhece sobre algo, caracterizando a ideia impregnada em muitos ambientes escolares de que conhecimento é algo que pode ser transferido e estocado.
O papel do professor, nessa concepção, é de transmissor de um conhecimento que existe para poucos (saber científico) e, após sua apresentação aos alunos, cabe aos mesmos valorizarem-no e assimilá-lo. A não compreensão é vista como problema do estudante, que desvaloriza a oportunidade que teve de “receber” os conhecimentos “despejados” em sua mente. Ao professor sempre cabe a primazia de ser o detentor de um saber e ao aluno o privilégio de tomar ciência desses saberes. Não existe transformação, não existe valorização de conhecimentos espontâneos e experienciais, pois, como o líquido sendo despejado dentro de um balde, parte-se do zero. A avaliação é criteriosa, sendo comuns notas atribuídas com precisão de centésimos de ponto.
A metáfora do edifício apregoa a necessidade de uma boa base ou de um alicerce sólido para poder construir o “edifício do conhecimento”. É muito comum no discurso de educadores a ênfase dada a essa característica linear do currículo. Em geral, dizem que a Matemática é semelhante a um grande edifício, e a construção de cada andar depende da solidez do alicerce e da edificação dos andares precedentes. Como se não bastasse, outra comparação comum é a de que outras disciplinas, como a Língua Portuguesa, História e Geografia comparam-se a condomínios de casas cuja construção de uma não depende da outra.
Essa convicção, além de reforçar a ideia de linearidade dos conteúdos Matemáticos, ainda os desvinculam de suas possíveis relações e a impregnação mútua manifesta com a Língua Materna28. Pires (2000) destaca alguns
depoimentos colhidos entre professores de Matemática sobre o que é o conhecimento, revelando as características, mencionadas até aqui, de linearidade:
“Conhecimento é o acúmulo de informações que são passadas ao indivíduo durante toda a sua vida”.
“Conhecimento é como uma escala na qual vamos avançando no decorrer da vida, a partir da acumulação de experiências”.
“É tudo que aprendemos no decorrer de nossas vidas, não só nas matérias específicas, mas também no dia-a-dia”.
“É o domínio e o desenvolvimento pleno de atividades ligadas a um determinado assunto”.
“É a capacidade de retenção, acumulação, armazenamento e distribuição das informações dadas ao indivíduo, com o intuito de torná-lo capaz de absorver todas as experiências de vida”.
“É um conjunto de dados reais ou fictícios, acumulados por meio de uma experiência vivida pela pessoa ou adquiridos por leituras, teorias, etc.”.
“É por meio de conhecimento que acumula, que cada pessoa interpreta sua realidade”.
“Conhecimento é toda experiência acumulada adquirida”.
“É o acúmulo de dados que são guardados na memória a partir de experiências vividas pela pessoa”.
“É o que o indivíduo consegue acumular na mente, após experimentações”.
“Conhecimento é descobrimento, é contato com algo desconhecido”.
“Conhecimento é sabedoria, experiência de vida, intelectualidade, que se acumula vivendo”.
“Conhecimento é construído por cada indivíduo em interação com os outros membros da sociedade em que vive” (grifo nosso, p. 71).
Outros aspectos interessantes parecem brotar ao analisarmos as afirmações desses professores. Embora as ideias de conhecimento ligadas à acumulação, retenção e armazenamento são patentes, também encontramos muitas afirmações ligadas à concepção de conhecimento inerente ao cotidiano e à experiência e vivência pessoal. Parece que a palavra conhecimento está associada ao saber não-escolar e que os conteúdos tradicionalmente ensinados não se classificariam como tais. De qualquer modo, esse juízo característico no discurso destes professores reforça a tese de que a linearidade impera na prática e na reflexão docente.
A terceira metáfora, representativa do conhecimento linear, é a da cadeia de elos, na qual um conhecimento depende de outro e não é possível deixar um elo de fora, pois caso isso ocorra, será impossível continuar a construção de
novos conhecimentos sem que esse elo seja refeito. É evidente a ideia de pré- requisito nesse modelo, embora devamos esclarecer que acreditamos que é indiscutível o fato de alguns conteúdos respeitarem uma ordem pré-definida. Vejamos, por exemplo, como seria possível abordar gráficos de funções de qualquer tipo, sem que o aluno tenha obtido informações suficientes a respeito do que é um plano cartesiano e como um ponto pode ser representado no mesmo. Entretanto, é injustificável a maneira de pensar e de agir de certos professores que, ao se depararem com estudantes que jamais tiveram a oportunidade de saber o que significa um plano cartesiano, alegam ser impossível ensinar a representação gráfica de uma função. Embora seja indispensável abordar esses tópicos preliminares, é possível fazê-lo, desde que se coloque de lado o apego extremo ao cumprimento do planejamento do tempo para as aulas da semana, do mês, do bimestre ou, até mesmo, do ano letivo, e favoreça o conhecer profundamente o pouco em detrimento do nada conhecer o todo.
Pires (Ibid., p. 68) exemplifica esse condicionamento de alguns conteúdos constituintes de programas, inclusive oficiais, expressões claras da ideia de linearidade que pode ser rompida em uma visão que compreende o conhecimento como um enredar de significados e nós interligados por interesses e vivências pessoais.
→ Números menores que 10; números menores que 100; números menores que 1000.
→ Operações: adição, subtração, multiplicação e divisão (ou adição, multiplicação, subtração e divisão).
→ Geometria: ponto, reta, plano, espaço (ou espaço, plano, reta e ponto).
→ Medidas: comprimento, área, volume (ou volume, área, comprimento).
→ Conjuntos, relações, funções (ou conjuntos, funções e relações).
→ Representação fracionária dos racionais e, depois, representação decimal (ou vice-versa).
→ Monômios, binômios, trinômios, polinômios (ou outra ordem). → Grandezas discretas ou grandezas contínuas (ou vice-versa). → Triângulos, quadriláteros, polígonos (ou outra ordem).
→ Limites, derivadas, integrais (ou outra ordem). → Semelhança, Teorema de Pitágoras.
Estes onze temas poderiam ser trabalhados de maneira muito mais enriquecedora para os aprendizes, caso fossem exploradas as relações
existentes entre eles e ficassem claras as situações similares que provocariam generalizações e outras evidenciariam as exceções que, muitas vezes, parecem sem significado para o estudante que não compreende a Matemática como um todo.
Sobre a Geometria, por exemplo, é curioso perceber que o privilégio, até pouco tempo, era dado à Euclidiana Plana, deixando os estudos relativos à Geometria Espacial para um momento em que o aluno tivesse a experiência necessária no plano para “ampliar” seu conhecimento para o espaço. Ora, o que é mais natural, significativo e concreto: aprender Geometria Espacial ou Geometria Plana? Vivemos em um mundo tridimensional e, portanto, seria muito mais expressivo para o estudante perceber as formas existentes no mundo real e no seu cotidiano para poder, a partir delas, construir conceitos ligados à planificação desses objetos concretos que nada mais são que representações de conceitos matemáticos.
Ainda sobre a Geometria, é interessante observar que, muitas situações práticas não necessitam do “rigoroso mundo da Matemática” nem recorrem a ele. Por exemplo, na Geometria Euclidiana todo aluno sabe que a menor distância entre dois pontos é uma reta e ninguém contesta essa verdade matemática. No entanto, quando resolvemos aplicar essa ideia a problemas práticos, esbarramos em variáveis que não são previsíveis: como calcular a distância entre a origem e destino de um táxi que levará um turista do aeroporto local até um hotel localizado no centro de uma grande metrópole? Como calcular a distância percorrida por um avião que sai do Aeroporto Internacional de Guarulhos, em São Paulo, com destino ao Aeroporto Internacional Charles de Gaulle, em Paris? Certamente, a resposta para essas questões não está no simples cálculo da distância em linha reta, entre dois pontos, pois envolvem variáveis adicionais a serem consideradas. A intenção de relacionar esse pequeno fato nos ajuda a evidenciar que a Matemática, embora estruturalmente formal e fundamentada em axiomas e postulados, está sujeita às adaptações e variações necessárias quando confrontada com um problema real.
Poderíamos tornar esse problema mais complexo ainda e perguntar ao leitor como escolher a rota que possui a menor distância para percorrer dez cidades localizadas em um determinado estado brasileiro. Com uma boa dose de paciência e uma falta de ocupação enorme, poderíamos testar cada uma das três
milhões, seiscentos e vinte e oito mil e oitocentas rotas possíveis29. É evidente
que ninguém faria isso e parece mais evidente ainda que muitos especialistas buscam uma solução para que um computador realize todos esses testes e nos responda qual seria o melhor caminho para percorrer a menor distância, o que implicaria a economia de tempo e combustível. Na verdade, este problema ficou conhecido historicamente como “O Problema do Caixeiro-Viajante” e foi apresentado inicialmente na década de 1930, pelo matemático vienense Karl Menger (DEVLIN, 2004, p. 158). Esta questão de como encontrar uma rota ótima para qualquer número de cidades envolvidas inspirou a criação de um problema na Ciência da Computação e, por conseguinte, na Matemática, que permanece aberto até os dias de hoje e faz parte dos problemas do milênio30:
É uma pergunta sobre o quão eficientemente podem os computadores solucionar problemas. A ciência da computação divide as tarefas computacionais em duas categorias: tarefas do tipo P podem ser realmente efetuadas em uma máquina; tarefas do tipo E podem levar milhões de anos para serem terminadas. Infelizmente, a maioria das grandes tarefas computacionais que surgem na indústria e no comércio cai em uma terceira categoria, NP, que parece ser um meio termo entre P e E. Mas é realmente? Será que NP poderia ser uma versão disfarçada de P? Muitos especialistas acreditam que P e NP não são iguais (isto é, tarefas computacionais do tipo NP não são como tarefas computacionais do tipo P). Mas, após trinta anos de esforços, ninguém parece conseguir provar nem que NP e P são, nem que não são a mesma coisa. Uma solução positiva teria impacto significativo na indústria, no comércio e na comunicação eletrônica, incluindo a rede mundial de computadores (Id., Ibid., p.17-18).