Specification of the Purpose
3.6 Locating the gills
Sejam as seguintes especifica¸c˜oes para as distribui¸c˜oes de probabilidade a pri- ori, para o ajuste do modelo de tempo de promo¸c˜ao Pareto:
1) ϕ ∼ U(0;100), E(ϕ)=50, Var(ϕ)=250/3; p ∼ exp(0.25), E(p)=4, Var(p)=16;
k ∼ exp(0.25), E(k)=4, Var(k)=16, 2) ϕ ∼ exp(0.5), E(ϕ)=2, Var(ϕ)=4; p ∼ exp(0.25), E(p)=4, Var(p)=16; k ∼ exp(0.25), E(k)=4, Var(k)=16, 3) ϕ ∼ exp(3), E(ϕ)=1/3, Var(ϕ)=1/9; p ∼ Gama(1;2), E(p)=1/2, Var(p)=1/4; k ∼ Gama(1;2), E(k)=1/2, Var(k)=1/4.
Para a estima¸c˜ao via Laplace utilizou-se as especifica¸c˜oes 1) e 2). Observe, Tabela 5.9, que as estimativas da fra¸c˜ao de cura divergiram bastante, segundo os m´etodos de estima¸c˜ao. O m´etodo de MV apresentou desvios padr˜oes de p e k elevados em rela¸c˜ao a OpenBugs e Laplace, sendo que, neste ´ultimo houve um ganho no desvio padr˜ao de θ, por´em sobrestimou sua estimativa, quando comparado com os outros m´etodos. Al´em disso o m´etodo de MV forneceu intervalos de confian¸ca inconsistentes.
A especifica¸c˜ao 3), via OpenBugs, mostrou resultados mais aceit´aveis quanto as estimativas (pontuais e intervalares) dos parˆametros. As especifica¸c˜oes 1) e 2) subestimou a fra¸c˜ao de cura, via OpenBugs. As mesmas especifica¸c˜oes mostraram autocorrela¸c˜oes elevadas, e na tentativa de reduzir a influˆencia dos valores iniciais optou-se por utilizar um aquecimento de 20000 simula¸c˜oes e saltos de 50, obtendo uma amostra final de 50000 observa¸c˜oes para a especifica¸c˜ao 1). No entanto ´e poss´ıvel observar (Figura 5.22, coluna 1) que, mesmo com este procedimento, n˜ao foi poss´ıvel reduzir a autocorrela¸c˜ao dos valores simulados. Na especifica¸c˜ao 2) fez-se um aqueci- mento de 50000, com saltos de 50 obtendo uma amostra final de 80000 observa¸c˜oes. J´a na especifica¸c˜ao 3) descartou as 10000 primeiras simula¸c˜oes com saltos de 10 e tamanho amostral final de 50000 observa¸c˜oes. Nas especifica¸c˜oes 2) e 3) ´e poss´ıvel observar a redu¸c˜ao das autocorrela¸c˜oes dos valores simulados.
5.2 Diferentes modelos de fra¸c˜ao de cura 70
na Figura 5.21. As densidades a posteriori mostraram-se assim´etricas (Figura 5.20) para as especifica¸c˜oes 1) e 2), bem como os hist´oricos das cadeias (Figura 5.21) apresentando um platˆo no zero, criando uma barreira n˜ao permitindo a oscila¸c˜ao da cadeia.
Tabela 5.9 Estimativas dos parˆametros para o MTPpar.
Estimativas DP Especif./M´etodo θ p k θ p k BFGS-MV 0,258 10,914 11,296 0,294 53,189 55,842 1) (Laplace) 0,313 10,754 11,846 0,062 4,332 5,861 1) (Gibbs-OB) 0,127 3,212 3,896 0,219 2,664 2,956 2) (Laplace) 0,301 12,387 11,842 0,027 5,036 5,870 2) (Gibbs-OB) 0,199 3,728 4,204 0,588 2,737 2,995 3) (Gibbs-OB) 0,263 2,267 2,186 0,745 1,050 1,046
Tabela 5.10 Intervalos das estimativas dos parˆametros para o MTPpar.
Intervalos Intervalos Intervalos
Especif./M´etodo LI-θ LS-θ LI-p LS-p LI-k LS-k
BFGS-MV 0,145 0,460 0 26,284 0 27,433 1) (Laplace) 0,191 0,435 2,263 19,244 0,360 23,333 1) (Gibbs-OB) 0,001 0,364 0,145 10,03 0,514 11,590 2) (Laplace) 0,248 0,355 2,517 22,257 0,337 23,347 2) (Gibbs-OB) 0,053 0,381 0,446 10,730 0,665 11,89 3) (Gibbs-OB) 0,135 0,422 0,749 4,802 0,704 4,716
A Figura 5.20 apresenta a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perfilada, onde a mesma indica uma poss´ıvel corre¸c˜ao.
A Figura 5.23 mostra as curvas de sobrevivˆencia dadas as estimativas por Kaplan-Meier, pelo modelo probabil´ıstico Pareto e pelos modelos de mistura padr˜ao Pareto e de tempo de promo¸c˜ao Pareto. Observe que, que o modelo probabil´ıstico Pareto est´a mais pr´oximo da curva de Kaplan-Meier do que o modelo de mistura padr˜ao e de tempo de promo¸c˜ao Pareto. O modelo de mistura padr˜ao Pareto apre- sentou resultado mais satisfat´orio do que o modelo de tempo de promo¸c˜ao.
5.2 Diferentes modelos de fra¸c˜ao de cura 71
Figura 5.20 Densidades a priori, a posteriori e verossimilhan¸ca perfilada dadas as especi- fica¸c˜oes 1), 2) e 3), respectivamente (por linha), para o MTPpar.
5.2 Diferentes modelos de fra¸c˜ao de cura 72
Figura 5.21 Hist´orico das itera¸c˜oes dadas as especifica¸c˜oes 1), 2) (superiores) e 3) (infe- rior), respectivamente, para o MTPpar.
Figura 5.22 Autocorrela¸c˜oes das itera¸c˜oes dadas as especifica¸c˜oes 1), 2) e 3), respectiva- mente (por coluna), para o MTPpar.
5.2 Diferentes modelos de fra¸c˜ao de cura 73
Figura 5.23 Curvas de sobrevivˆencia dos modelos de mistura padr˜ao e tempo de promo¸c˜ao Pareto.
Cap´ıtulo 6
Considera¸c˜oes Finais
6.1 Conclus˜oes
As distribui¸c˜oes exponencial e Weibull merecem destaque quanto ao ajuste, tanto para os modelos de mistura padr˜ao como nos de tempo de promo¸c˜ao, pois quando utilizadas, na referida base de dados, as estimativas via MV, Laplace e Gibbs (OpenBugs) foram bem pr´oximas. Al´em disso, quando utilizado o software OpenBugs obteve-se convergˆencia das cadeias, bem como a r´apida redu¸c˜ao nas au- tocorrela¸c˜oes dos valores simulados. Vale salientar que, apesar de modelar bem os dados atrav´es do modelo probabil´ıstico, a distribui¸c˜ao Pareto n˜ao mostrou estima- tivas pr´oximas para os modelos de mistura padr˜ao e de tempo de promo¸c˜ao. Uma poss´ıvel causa deste comportamento pode ser atribu´ıda a escolha das distribui¸c˜oes de probabilidade a priori. No modelo de tempo de promo¸c˜ao Pareto, n˜ao est´a claro o porque das estimativas discrepantes, no que se refere ao obtido via OpenBugs. Vale destacar que os modelos de tempo de promo¸c˜ao se mostraram mais sens´ıveis `a mudan¸cas nas distribui¸c˜oes a priori.
Por fim, o estudo mostrou a limita¸c˜ao de utilizar apenas uma base de dados e a n˜ao possibilidade de um estudo de simula¸c˜ao controlando a propor¸c˜ao de curados, bem como a quantidade de censuras. As estimativas encontradas pelas duas aborda- gens se mostraram pr´oximas, no entanto o enfoque Bayesiano oferece mais suporte quanto a aplica¸c˜ao de m´etodos computacionais e de simula¸c˜ao, principalmente em casos onde h´a pequenas amostras. Al´em disso, ´e uma boa alternativa na resolu¸c˜ao de m´etodos anal´ıticos de dif´ıcil solu¸c˜ao. Em modelos com covari´aveis pode-se observar dificuldades nos procedimentos num´ericos de otimiza¸c˜ao, quanto a implementa¸c˜ao do m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca, o que n˜ao se espera no m´etodo Bayesiano.
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Apˆendice A
A.1 M´etodo de Laplace
• Demonstra¸c˜ao de 4.17 e 4.18
Desenvolvendo Ψ(θ) em s´erie de Taylor, temos: Ψ(θ) = Ψ(θ∗) + Ψ′(θ∗)(θ − θ ∗)1 1 + Ψ ′′(θ∗)(θ − θ∗)2 2 + Ψ ′′′(θ∗)(θ − θ∗)3 6 + ...
Sendo θ∗ ponto de m´ınimo, ent˜ao: Ψ′(θ∗) = 0 e Ψ′′(θ∗) > 0.
Usando o desenvolvimento at´e o segunda derivada ´e poss´ıvel obter uma boa aproxima¸c˜ao da integral. Logo, exp(−nΨ(θ)) = exp −nΨ(θ∗) − nΨ′′(θ∗)(θ − θ ∗)2 2 = exp(−nΨ(θ∗)) exp −nΨ′′(θ∗)(θ − θ ∗)2 2 = exp(−nΨ(θ∗)) exp −12 (θ − θ ∗)2 [nΨ′′(θ∗)]−1 Ent˜ao, Z exp(−nΨ(θ))dθ = Z exp(−nΨ(θ∗)) exp −12 (θ − θ ∗)2 [nΨ′′(θ∗)]−1 dθ = exp(−nΨ(θ∗)) Z exp −12 (θ − θ ∗)2 [nΨ′′(θ∗)]−1 dθ
A.1 M´etodo de Laplace 80 teremos: Z exp −12 (θ − θ ∗)2 [nΨ′′(θ∗)]−1 dθ = Z exp −12(θ − µ) 2 σ2 dθ = √ 2πσ √ 2πσ Z exp −12(θ − µ) 2 σ2 dθ = √2πσ Z 1 √ 2πσexp −12(θ − µ) 2 σ2 dθ = √2π.σ.1 = √2πσ. Portanto, Z exp(−nΨ(θ))dθ = √2πσ exp(−nΨ(θ∗)) = √2π[nΨ′′(θ∗)]−1/2exp(−nΨ(θ∗)) = √2πn−1/2[Ψ′′(θ∗)]−1/2exp(−nΨ(θ∗)). Como quer´ıamos mostrar!