6. Analyse
6.1 Analyse 1: Tilpassing av talemål
6.1.3 L3nn sine tilpassingar
Inicialmente, analisaremos uma situação-problema que diz respeito ao cálculo de áreas.
Enunciado da questão de cálculo de áreas: Responda às questões a seguir:
1) Calcule a integral definida
∫ | |
2) O que significa, em termos de área, o resultado obtido anteriormente?
3) Desenhe a região do plano cuja área é dada pela integral em 1) e calcule a área sem o uso da integral.
Solução: 1)
∫ | | ∫ ∫
]
]
( )-
02) O número representa a área da região plano limitada pelo eixo dos x, pelo gráfico da função y = |x| para x pertencente ao intervalo [-1,2].
Figura 51 – Atividade cálculo de área
Fonte: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/absolute-value-functions (com adaptações)
Chamemos de A área da região destacada na Figura 51 acima. A área A é igual à área de dois triângulos. O primeiro deles tem lados de comprimento 1 e 1 e situa-se no 2º quadrante. O segundo tem lados de comprimento 2 e 2 e situa-se no primeiro quadrante. Assim, A =
+
=
.
Apresentaremos a seguir três soluções para a atividade considerada. Figura 52 – Integral I - Pierre
Na solução da alternativa 1, Pierre desenvolve a integral da função módulo como duas integrais, porém não se atem à notação e ao invés de somar, subtrai as duas integrais. Seu registro indica que o estudante tem conhecimento associado às novas aprendizagens do Cálculo, como o uso da regra de integração de uma função polinomial. Ele não usa o símbolo em nenhuma das integrais que escreve e coloca a barra com os limites de integração na frente das primitivas, ao contrário da escrita usual que os posiciona após as primitivas.
O fato de estar subtraindo as integrais, um erro advindo do não entendimento do significado da integral, ou do desmembramento da função modular, fez com que se tivesse um menos antes de na segunda linha de sua resolução. Como consequência, chega à resposta final
Aqui, como ocorreu em outros registros das seções anteriores, temos um protocolo de resolução em que o estudante consegue aplicar os novos saberes, como a regra de derivação e o TFC, porém equivoca-se nas contas finais. Por não ter solucionado a segunda alternativa, juntamente com o fato de ter obtido uma resposta negativa na anterior, podemos supor que este estudante revela não ter compreensão do significado geométrico da integral definida, pois, do contrário, não poderia ter encontrado um valor negativo como resposta.
Apesar de ele ter indicado a região corretamente na alternativa c), Pierre não calcula as áreas dos dois triângulos da figura, ou seja, o item c) é uma atividade de um objeto curricular do Ensino Fundamental e não foi realizada pelo estudante.
Figura 53 – Integral II - Lana
A estudante Lana, na alternativa 1, escreve as primitivas da função modular no intervalo de definição dado, porém na ordem invertida e sem separar os limites de integração. Ela substitui as primitivas para os limites de integração -1 e 2, inferiores e superiores, respectivamente.
Seus registros estampam conflitos conceituais relativos à formação da função modular já que, de um lado na alternativa 3), a estudante escreve corretamente as sentenças que formam essa função nos intervalos correspondentes, além de esboçar seu gráfico, mas, por outro lado, não consegue associar essa definição ao cálculo da integral na alternativa 1 e não desmembra a integral em duas. Pelo modo que ela aplica o TFC, notamos que a estudante consegue colocá-lo em prática, mas não compreende seu significado geométrico ao deixar em branco o item b).
Na alternativa 3), Lana indica ter problemas no cálculo das áreas dos triângulos, apesar de ter desenhado a região. Em seu gráfico, ela destaca os dois triângulos denotando-os por e , respectivamente. Entretanto, usa a mesma notação para designar as áreas desses triângulos. Ao calcular a área do triângulo menor ( ), ela registra sua dúvida, por meio de um sinal de interrogação, relacionada a ter a uma medida de comprimento negativo para um dos lados. Ela encontra um valor negativo para a área e isso parece ser conveniente, porque a soma das áreas dos dois triângulos dá o mesmo valor encontrado na primeira alternativa. Esse fato é mais uma evidência de problemas na compreensão do módulo. Neste caso, ela deveria ter considerado a medida do lado como o valor absoluto de -1.
Figura 54 – Integral III - Jade
Nesse protocolo, a estudante Jade considera a primitiva da função módulo de x como
e aplica o TFC apropriadamente na solução do item 1). Logo, sua dificuldade reside na compreensão dessa função. Na alternativa dois, a estudante tentou expressar o significado da integral da alternativa anterior por meio da expressão “É a soma das áreas do gráfico”, sinalizando perceber que integrais e áreas têm alguma relação, porém não sabe precisar a região. A que gráfico ela estava se referindo? O gráfico da região foi solicitado somente no item subsequente.
Dos poucos respondentes que completaram a pergunta da alternativa 2), tivemos respostas como:
“Significa que área entre de -1 e 2 é de .”
“Significa que o resultado obtido é a área dentre os intervalos determinados. ” “Significa que se pegarmos cada parte dos pequenos retângulos, e somarmos, obteremos o resultado .”
“Que a soma das duas áreas resulta .”
Notamos, por essas justificativas e pela de Jade, uma dificuldade em expressar, por escrito, uma imagem de área construída mentalmente, a qual supomos seja a imagem da região que desenharam, pois fazem referências a elas.
Por fim, na alternativa 3), o gráfico e os cálculos de áreas foram executados de acordo, mas, ao final, há uma contradição entre a resposta ( ) e a resposta do item anterior em que foi dito que a área seria uma “soma” de áreas. Na resolução apresentada, o valor da área foi efetuado como uma diferença de áreas . Uma vez que o resultado dessa operação é incorreto, podemos supomos que ele tenha acontecido para que os valores encontrados nesse item e no item 1) fossem iguais. Na próxima seção, consideraremos para análise e discussão dois protocolos relacionados às técnicas de integração.