6. Analyse
6.1 Analyse 1: Tilpassing av talemål
6.1.4 L4nn sine tilpassingar
Ao avançarem nos estudos de integrais, os estudantes percebem que o cálculo de integrais pelo processo da determinação de antiderivadas é insuficiente e que, por isso, é preciso que as possibilidades de cálculo sejam ampliadas. Nesse contexto, são introduzidas as técnicas de integração para permitirem o cálculo de integrais de funções logarítmicas, de funções compostas, de funções trigonométricas inversas, de funções racionais, dentre outras.
As duas produções escritas de estudantes, que serão apresentadas, são resoluções de integrais propostas aos participantes do Grupo de Estudos com o objetivo de que fosse praticado o Método de Substituição (ou Mudança de Variáveis).
Integral proposta e solução:
∫ √ = ∫ √ = ∫ √ =
]
=
A solução usa a substituição .Figura 55 – Integral IV - Pietra
Fonte: relatório da pesquisa
Nesse protocolo, a substituição foi feita considerando como sendo a função de dentro da função composta que forma o integrando, ao invés de Mesmo sendo outra função, podemos observar que a estudante sabe usar a técnica de mudança de variável, porém tem problemas com os limites de integração. Em sua resolução, esses limites não são atualizados para os correspondentes a nova variável e são considerados como sendo os mesmos limites de integração para a variável x. Por fim, esses limites são desconsiderados e a resolução é concluída colocando-se como resposta uma função de x. A estudante Pietra indica não distinguir entre integral definida e indefinida, o que faz com que os limites não sejam levados em conta na resolução e na resposta final. Temos, portanto, um problema conceitual.
O segundo protocolo de resolução é relativo a uma integral indefinida, que pode ser resolvida pelo mesmo método do anterior.
Integral proposta e solução:
-
- , onde k representa uma constante real qualquer.
Essa solução usa a substituição , transformando a integral inicial em duas outras de resolução direta. A mesma integral também pode ser resolvida pelo Método da Integração por Partes.
Figura 56 – Integral V - Rocha
Fonte: relatório da pesquisa
O estudante chamado de Rocha, na primeira linha de sua resolução, faz a substituição indicada no canto superior direito do protocolo da Figura 56, mas por etapas. Inicialmente, ele substitui somente a função do integrando. Como consequência, ele tem uma integral com duas variáveis x e u. Na próxima etapa, segunda linha da resolução, é concluída a substituição e a integral resultante é função de u. Por não ter realizado a propriedade distributiva no produto √ , esse último produto é feito como se resultasse √ . A partir desse ponto, a resolução da integral é concluída devidamente.
Embora o estudante demonstre ter habilidade com a técnica de substituição, a dificuldade no uso da distributividade nessa operação levou-o a obter uma resposta incorreta. Mais uma vez, temos aqui evidenciada uma situação em que um processo operatório típico do Ensino Básico, gera uma desestabilização na produção do sujeito.
Para fechar essa seção e as apresentações de registros escritos de estudantes, mostramos uma resolução ocorrida em uma atividade do Grupo de Estudos em que o
estudante exercitava a técnica de integração por partes, usando a lista de exercícios semanal do curso. Neste caso, exercício 1, letra i, da Lista de Exercícios da Semana 14 (Anexo I). Exercício de cálculo de integral proposto e solução:
Use Integração por Partes para calcular a integral: ∫
Essa integral é apresentada como um dos exemplos típicos de aplicação do Método de Integração por partes. Em sua aplicação, para esse caso, faz-se a escolha para integrar a função constante 1 e, para derivar, a função arcos(x). Assim, considerando essa escolha e usando a fórmula de integração por partes, obtêm-se:
∫ = xarcos(x) + ∫
√
A integral que aparece para ser resolvida é solucionada pelo método da substituição fazendo
∫
√ ∫√ √ √ onde k representa uma constante real qualquer.
Substituindo esta última na integral anterior, temos
∫ = xarcos(x) + √
No protocolo da Figura 57, apresentamos uma tentativa de solução para essa integral. Figura 57 – Integral V - Ebenezer
Em sua solução, Ebenezer tem a intenção de usar o método de integração por partes ao escrever a fórmula em frente à integral. Ao colocá-la em prática, faz a escolha certa para u, mas usa a função v = √ . A partir daí, mescla o método da substituição com o de integração por partes, pois opera com os diferenciais, du e dx, pelos registros feitos no canto superior direito da resolução. Seu uso da fórmula não condiz com as escolhas feitas inicialmente, não segue a regra, e supomos que foram montadas a fim de se poder cair em uma integral que fosse possível de ser resolvida.
Apesar das inconsistências nas resoluções, não podemos afirmar que esse sujeito não tenha as técnicas ou que não as tenha aprendido. Pelo contrário, na resolução, ele aponta para vários saberes, mas que estão desestabilizados, em movimento. Essa situação é parte do processo de construção da aprendizagem (VERGNAUD, 2007).
As técnicas de integração são ferramentas efetivas de resolução, porém precisam ser devidamente colocadas em prática. Esse exemplo ilustra o fato de que não é suficiente saber uma fórmula de integração. Em primeiro lugar, deve-se saber o significado das funções e símbolos que a compõem, especialmente se ela é composta por simbologia tão particular, como o caso da fórmula de integração por partes.
5.5.3 Síntese das análises
O estudo de integrais demanda dos aprendentes domínio de elementos básicos da geometria e da álgebra em seus aspectos gráficos, interpretativos e procedimentais. Além desses, para resolver integrais deve-se ter domínio de derivadas, pois a integração pode ser considerada como o processo inverso da derivação.
Por ser um campo conceitual tão vasto e complexo, é compreensível que sejam encontrados um número expressivo de estudantes que manifestem dificuldades na compreensão e aplicação de seus conceitos (BARROSO et al, 2013; THOMPSON; SILVERMAN, 2008).
Os protocolos mostrados nesta seção ilustraram problemas conceituais e algébricos relacionados ao cálculo de integrais dentro de um contexto aplicativo ou fora dele. Em particular, os problemas conceituais estavam associados aos campos da função modular, determinação de área e de uso do TFC, na primeira atividade. Esses tópicos criaram dificuldades para a determinação das integrais. Foram também encontradas produções com dificuldades em operações com aparecimento da propriedade distributiva.
Pesquisas, como a de Tall e Schwarzenberger (1978) ressaltam a necessidade da construção intuitiva de novos conceitos, antes de sua definição e introdução na aprendizagem.
Essa deveria ser a prática nas salas de aula de Cálculo como um mecanismo não só de motivar, por exemplo, o ensino de Integrais, mas também de auxiliar na justificativa da notação de Leibniz nesse contexto.
Apesar dessa prática, e como foi aqui verificado, muitos estudantes apresentam dificuldades em cálculos de áreas, apresentando valores negativos para a área de uma região plana. Se eles têm problemas em cálculos de áreas de figuras planas, como poderão avançar nos cálculos de áreas de figuras limitadas por curvas?
A área de uma região é representada no contexto do Cálculo por integral do tipo ∫ O símbolo dt tem um papel importante nessa notação ao indicar a variável de integração da função considerada. Entretanto, para muitos ele não contém significado e desaparece quando a integral é resolvida. Por isso, muitos não o consideram, como vimos no protocolo de Pierre. Integrais podem ser definidas ou indefinidas. Essas duas concepções ocorrem simultaneamente na aprendizagem do Cálculo. O registro de Pietra sugere que essa coexistência dos dois conceitos não é tão óbvia para os estudantes iniciantes.
Considerando os outros significados da integral, encerramos este capítulo com a certeza de que um dos grandes desafios de educadores matemáticos do Ensino Superior é o desenvolvimento e a aplicação de ações pedagógicas e metodológicas que possibilitem aos estudantes superarem as dificuldades, os conflitos e os obstáculos surgidos no processo de transição de um conceito para outro (ARTIGUE, 1991). Caminhando para a finalização desta tese, abordaremos e discutiremos, no próximo capítulo, as concepções de professores e estudantes sobre as aprendizagens do Cálculo.
6 PERCEPÇÕES DE PROFESSORES E ALUNOS SOBRE O ENSINO E A