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Com a intenção de encorajar os estudantes ao estudo, tanto docentes quanto os autores de livros didáticos têm frisado a importância do uso das ferramentas do Cálculo na resolução de situações-problema reais nos mais variados campos do saber (LACHINI, 2001). Nossa investigação priorizou a análise de atividades de resolução em que são destacadas regras e procedimentos, desconectados de contextos aplicados. Por isso, apresentamos uma questão de cálculo de derivadas dentro de uma situação-problema geométrica.

Não foi fácil encontrar uma atividade prática de algum participante do GE para ser usada. Isso ocorreu porque o centro das atividades dos GE foram as necessidades dos estudantes de praticarem e aprimorarem suas técnicas de resoluções de exercícios a fim de se sentirem mais seguros para as provas.

A questão a seguir é um típico problema de Otimização. No contexto do Cálculo, otimizar significa achar o ponto de máximo ou ponto de mínimo de uma função que é chamada de função-objetivo. Essa função deve cumprir algumas condições que são

estabelecidas pela situação-problema. Os problemas de Otimização são aplicações do uso das derivadas na determinação dos pontos ótimos, ou seja, os pontos que maximizam ou minimizam as funções-objetivo.

Na Figura 49 é apresentada a questão de otimização que consideraremos. Ela fez parte de uma prova de Cálculo e a resolução é de uma estudante que participou do GE. Para a resolução da letra a), são requeridos conhecimentos de tópicos geométricos como a equação de uma elipse, a área de um retângulo e a posição de pontos no plano cartesiano. Para construção da função área A(x), é necessário operar com a equação da elipse para isolar o valor de y . A figura dada é auxiliar na montagem da função área A(x).

Na letra b), calcula-se a derivada de primeira ordem da função A(x), usando a Regra da Cadeia para obtenção dos pontos críticos. Este é um item independente dos outros, já que a expressão de A(x) é disponibilizada no enunciado da letra a). Na letra c), tem-se um exercício de determinação de valores para a função A(x) e esse cálculo depende da solução encontrada no item anterior.

Figura 49 – Derivada VIII

Questão de Otimização com Solução esperada

A resolução ilustrada na Figura 50 foi realizada por uma estudante participante do GE no semestre anterior à realização da prova. Ela reprovou naquele semestre e quando a prova aconteceu, a estudante, que será chamada de Safira, fazia o curso pela terceira vez. Logo essa produção é a única neste trabalho que foi coletada após a realização da pesquisa de campo.

Figura 50 – Derivada IX - Safira

O registro da solução de Safira mostra-nos que a estudante não executa a letra a). Do ponto de vista de conteúdos, se comparado com a letra b), o item a) é mais simples por envolver o cálculo da área de um retângulo, ou seja, um tema do Ensino Básico. Contudo, Safira tem a técnica para resolver a letra b), mas sugere ter problemas de interpretação ou dificuldades com os conceitos exigidos.

Por ter encontrado pequenas dificuldades nos procedimentos algébricos da letra b), Safira não encontrou os pontos adequados para responder a letra c), não podendo concluí-la corretamente, mas escreveu uma possível solução, indicando que o valor escolhido satisfaz a restrição do problema que estabelece que x deve pertencer ao intervalo [0,3].

Após a primeira prova, em um questionário de Avaliação Inicial (Apêndice B), no item 2 foram explicitadas algumas dificuldades experimentadas nos estudos. Os estudantes deveriam marcar aquelas correspondentes às suas respostas. A última opção era um espaço em que podiam escrever outras dificuldades. Dos 27 respondentes, 12 expressaram, de diferentes modos, ter dificuldades na interpretação, especialmente nos exercícios de aplicação. Destacamos aqui duas dessas respostas:

Estudante Jade: Interpretação da linguagem matemática, bem como não entender

muito bem os enunciados, símbolos e por isso, não saber desenvolver as questões.

Estudante Cristal: Dificuldade em entender o enunciado das questões (principalmente

nas listas de aplicação).

Neste questionário, somente três explicitaram ter dificuldades em manipulações algébricas.

5.4.5 Síntese das análises

Os registros apresentados confirmam que ocorrências de erros procedimentais são frequentes em resoluções que exigem um certo número de habilidades algébricas e que são típicas situações de determinação de Limites e de Derivadas. Compete aos educadores levarem seus educandos a perceberem suas dificuldades durante o processo de aprendizagem e produção de conhecimento e, com eles, corrigi-los de tal forma que os percebam e para que sejam mais cuidadosos nos seus próximos cálculos algébricos, pois o resultado final satisfatório de uma questão depende deles, principalmente numa avaliação escrita.

Todos os protocolos desta seção têm em comum o fato de os alunos mostrarem familiaridade com técnicas elaboradas como a racionalização, com as regras de derivação, esse último um conteúdo específico do Ensino Superior. Porém, falham em mecanismos operatórios mais simples, relacionados aos saberes do Ensino Fundamental, tais como o uso

da distributividade, o cálculo de um quadrado perfeito ou ainda na determinação do valor de uma função, como, por exemplo, no cálculo de f(x+h).

Em particular, os protocolos das Figuras 42, 48 e 50 revelam dificuldades conceituais. No primeiro deles, a estudante Esmeralda sugere ter problemas no cálculo de f(a+h). No terceiro, o da estudante Safira, a não resolução da letra a) que envolve conceitos de área e geometria analítica e sugere fragilidade com relação a esses pontos do Ensino Básico, mesmo ela sendo capaz de aplicar a Regra da Cadeia.

A derivada é o Limite de uma taxa de variação, ou seja, envolve relação entre funções. A resposta desse Limite pode ser um número, porém, também pode ser uma função, a função derivada. Problemas na distinção entre essas duas concepções de derivada pode ser um dos motivos pelos quais nos protocolos das figuras 41 e 42 os estudantes não substituíram a variável x pelo 0 no cálculo de y’ .

Sobre as dificuldades de cálculo de derivadas com Limite em casos de funções formadas por elementos literais que representam constantes, podemos supor que o problema seja uma consequência da não compreensão do conceito de função. Pelos exemplos mostrados, verificamos que, quando há ocorrência de funções desse tipo, os estudantes não fazem distinção entre constantes e variáveis.

As respostas do questionário sobre as dificuldades dos estudantes revelaram dificuldades na interpretação e modelagem de situações-problema. Essa preocupação estava associada à primeira avaliação que havia ocorrido pouco antes e porque esse tipo de questão faz parte, e tem peso significativo, nas avaliações. Dificuldades de interpretação têm sido apontadas por pesquisadores como consequências da preferência de muitos estudantes pelo emprego de mecanismos procedimentais em lugar de uma compreensão conceitual (TALL, 1993).

Essa última dificuldade, que se revela já no ensino básico (COXFORD et al, 1995), é estendida ao Ensino Superior. Sendo assim, de que forma dificuldades de interpretação e modelagem poderiam ser trabalhadas no Ensino Superior? As metodologias de ensino de Matemática em todos os níveis educacionais deveriam privilegiar momentos de prática de resoluções de situações-problema como estratégia facilitadora da compreensão e assimilação de novos conceitos complexos, como os Limites e as derivadas.

Para concluir, assim como nas seções anteriores, evidenciamos, aqui nesta seção, que as dificuldades dos estudantes nos processos algébricos que integram as resoluções de Limites e Derivadas são causadoras de insucesso nas resoluções. Para complementar nossa afirmação,

traremos, na próxima seção, o estudo e a discussão de registros de estudantes em resoluções de Integrais, ocorridas nos encontros do Grupo de Estudos de Cálculo.

5.5 Integral: cálculo de áreas e processos algébricos associados aos métodos de