No século XVII, Blaise Pascal (1623-1662) e Gottfried Leibnitz (1646-1716), talvez conscientes de que o tempo ocupado na rotina do cálculo poderia ser melhor aproveitado, consagraram muito do seu trabalho e engenho à invenção de máquinas de calcular.No entanto, ao que parece, a primeira máquina de calcular foi construída por Wilhelm Schickard (1592-1635), amigo do matemático e astrónomo Kepler, pois este último, na correspondência que trocava com Schickard queixava-se da falta de meios que lhe permitissem aliviar o fastidioso trabalho dos cálculos na Astronomia. Procurando ajudar o amigo, Schickard, em 1631, deu-lhe a boa notícia de que já havia efectuado esses mesmos cálculos por meio de mecânica. Contudo, embora pudesse realizar alguns cálculos, esta não terá sido a ferramenta que Kepler desejava, pois não permitia efectuar operações com os grandes números indispensáveis à Astronomia.
Com apenas 18 anos, Pascal, em 1642, consegue que a sua máquina, a
Pascalina, seja divulgada com sucesso. Após o registo do invento, foram produzidas
cerca de 30 unidades dessa “máquina” que vieram a ser utilizadas nos serviços administrativos da época, em particular, no cálculo de impostos que era a actividade do seu pai. Apesar do avanço que veio permitir, era ainda considerada lenta a efectuar as multiplicações.
Outro nome que ficou na História, pelo seu interesse e empenho no desenvolvimento da calculadora, foi o de Leibnitz que trouxe um benefício acrescido, em 1671, ao conseguir criar uma máquina capaz de efectuar adições, subtracções, multiplicações, divisões e cálculo de raízes quadradas, mediante passos sucessivos. Leibnitz terá afirmado que era indigno de um indivíduo excelente perder horas, como um escravo, no labor dos cálculos e que esse trabalho poderia ser confiado a outros, com segurança, se fossem usadas máquinas para efectuar cálculos.
Só no século XIX, porém, a máquina de calcular atingiu viabilidade comercial, pela mão de Thomas de Colmar (1785-1870), que aproveitou com sucesso o modelo de Leibnitz. O Aritmómetro de Thomas, patenteado em 1820, era ainda muito volumoso e ocupava uma secretária inteira.
Charles Babbage (1792-1871) foi o primeiro a construir uma calculadora analítica, baseada numa ideia até então desconhecida – a da utilização de cartões perfurados que continham não apenas dados mas também instruções. Este engenho foi o percursor do computador pela forma como conseguia realizar muitas das operações que são triviais num computador moderno.
Mas foi em 1890 que um engenheiro americano de origem alemã, de nome Hermann Hollerit (1860-1929), conseguiu criar uma máquina cuja rapidez na realização de cálculos ultrapassava de longe todas as anteriores. Este invento baseava-se no sistema de cartões perfurados e numa forma capaz de os ler. O êxito alcançado por esta máquina levou Hermann Hollerit à criação de uma empresa pioneira nesta área cujo nome é hoje uma referência importante, a IBM. Mas, ao contrário do que se possa imaginar, não é aqui que vai surgir o computador como hoje o concebemos. Deve-se a Max Newman a produção do primeiro computador digno desse nome, que entrou em funcionamento, em 1943, no Centro de Investigação de Blechey Park, em Inglaterra.
Mas as grandes dimensões desta máquina, que obrigava a enormes espaços, eram uma desvantagem incontestável. Tal dificuldade não fez desanimar os investigadores – conscientes da importância deste equipamento – que continuaram a desenvolver esforços de modo a aperfeiçoá-lo e a reduzir as suas dimensões. Em 1952, John von Neuman apresentou uma arquitectura que permitia guardar, na mesma memória, dados e programas nela instalados previamente. Esta é, praticamente, a arquitectura que está na base de todos os computadores actuais. Durante os anos 50 e 60 assiste-se a uma evolução extraordinária deste equipamento e no início dos anos 70 surge uma nova geração de computadores conhecidos por computadores pessoais.
Em 1972, aparece no mercado a primeira calculadora científica e em 1985 apresenta-se a calculadora gráfica. Esta última pode ser encarada como um pequeno “computador” acessível a todos, graças ao baixo custo e à sua reduzida dimensão.
O desenvolvimento da tecnologia nos últimos anos tem produzido resultados notáveis, tais como, a inclusão de uma folha de cálculo na calculadora ou a possibilidade de apetrechar alguns modelos de calculadoras gráficas com programas computacionais. O programa de geometria Cabri Géomètre, por exemplo, já está disponível em determinados modelos de calculadoras gráficas.
Sob o impulso de aliviar o cálculo, as tarefas rotineiras, cíclicas, morosas e pouco interessantes, desde os cartões perfurados até aos nossos dias, as tecnologias de informação e comunicação evoluíram de tal modo que o computador deixou de ser apenas um instrumento de cálculo tal como aconteceu com a própria calculadora. Em particular, a possibilidade de criar imagens, de representar muitos aspectos que se podem exprimir de uma forma visual, tornou-se numa das apostas fortes das novas tecnologias.
Desde sempre, o ser humano procurou visualizar as mais diversas situações de modo a facilitar a resolução dos seus problemas ou, simplesmente, para comunicar com os outros. O sentido da visão é considerado o veículo mais apurado de que dispomos na aquisição e transmissão de conhecimentos. No desenvolvimento da Matemática, ao longo dos séculos, isso está bem patente, sendo emblemático o modo como os geómetras na antiga Grécia esboçavam diagramas para facilitar a resolução de problemas de tangentes, medidas de comprimentos, áreas, etc.
Segundo alguns autores, como Cunningham e Zimmermann (1991) e Veloso (1998), a visualização é um processo de formar imagens e de as utilizar eficazmente na descoberta e compreensão de processos, fórmulas ou relações, que pode contribuir para melhorar o processo de ensino-aprendizagem de conceitos matemáticos. Uma das vantagens que advém da utilização da calculadora gráfica e do computador, no ensino da Matemática, é o facto de permitirem visualizar com grande prontidão. A possibilidade de visualização faz atenuar a necessidade de abstracção e de idealização, tornando as ideias menos herméticas e mais perceptíveis. A visualização matemática é, assim, um processo importante e mesmo fundamental do raciocínio matemático.
Cunningham (1991) defende que as vantagens da visualização incluem a capacidade de focar aspectos específicos e detalhes de problemas muito complexos, mostrando as dinâmicas dos sistemas, ilustrando os processos e a favorecendo uma crescente intuição na compreensão dos problemas e dos objectos matemáticos. A integração da visualização no processo de ensino/aprendizagem da Matemática promove a intuição matemática e dá sentido a muitos resultados e processos, além de oferecer um meio de expressão de um grande leque de conteúdos matemáticos. Desta forma, Cunningham (1991) defende que os alunos não só aprendem Matemática, como também aprendem novas formas de pensar e encontram caminhos para desenvolverem a
sua própria Matemática. Ao permitirem, não apenas a simplificação dos cálculos mas também a visualização de gráficos, de esquemas e de representações matemáticas, as tecnologias contribuíram para mudar a própria natureza dos problemas que são importantes na Matemática e os métodos que os matemáticos utilizam para os investigar (NCTM, 1991). Estas alterações impelem forçosamente a uma mudança no ensino da Matemática.
O acesso à tecnologia permite tornar a Matemática um assunto de laboratório, na medida em proporciona aos alunos a possibilidade de desenvolver conhecimentos matemáticos que emergem das suas experiências concretas (NCTM, 1994). A utilização de software de geometria dinâmica pode favorecer a experimentação com famílias de objectos geométricos tal como a utilização de programas de funções pode facilitar a exploração das características de certas classes de funções. A tecnologia pode igualmente atribuir uma nova importância a tópicos de matemática discreta na aula de Matemática contemporânea, ou seja, as fronteiras entre as áreas clássicas da Matemática tendem a quebrar-se.
No entanto, nem todos os professores e investigadores parecem estar de acordo em relação aos benefícios das tecnologias na aula de Matemática. Entre a comunidade educativa existem alguns cépticos em relação aos vários argumentos apresentados – a simplificação de cálculos, a visualização e a experimentação. Eisenberg e Dreyfus (1991) consideram que a preferência por argumentos não visuais não é acidental e apresentam algumas explicações para esta fuga à visualização, referindo que a razão principal está relacionada com as crenças pessoais acerca da natureza da Matemática. Contudo reconhecem a existência de outras, nomeadamente de natureza sociológica e cognitiva. Culturalmente, a matemática é olhada como a ciência dos números e dos cálculos, onde a visualização não tem cabimento. Por outro lado, numa perspectiva
cognitiva, a utilização de uma imagem pode ser entendida como traiçoeira ou enganadora, pois uma imagem ou um esquema apresenta sempre um caso ou casos particulares.
A experimentação possibilitada pelas tecnologias também não reúne consenso. No entanto, é necessário não esquecer o importante contributo da experiência, apoiada pelas tecnologias, em inúmeras descobertas realizadas tanto por físicos, como químicos e até, matemáticos.
O matemático Gregory Chaitin dá uma ideia da importância do contributo do computador para a ciência actual, nomeadamente, na física em que perante a complexidade dos problemas se torna impraticável a sua resolução analítica. O poder de cálculo do computador é nestes casos verdadeiramente indispensável e permite um novo olhar sobre o problema. O mais importante deixou de ser o encontrar uma expressão geral que permita determinar todas as soluções e passou a ser o analisar as várias possibilidades que o computador nos dá.
Antigamente escrevíamos uma equação, por exemplo, a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogénio e sentávamo-nos a resolvê-la analiticamente, de uma forma fechada. Mas, actualmente, os sistemas físicos que se estudam são muito complicados, com um número infinito de partículas. Portanto, já não há equações simples. Em vez disso, fazemos simulações em computador, para tentarmos ter uma ideia de como é que o sistema se comporta. É um novo tipo de física e as equações só podem ser resolvidas numericamente, nunca analiticamente. Nunca chegamos a uma expressão geral para uma solução. Limitamo-nos a olhar para muitos casos individuais, um a
um, numericamente, para tentarmos ter uma ideia do que está a passar-se. (Chaitin, 2003, p.115)
O surgimento das tecnologias está directamente ligado com a necessidade sentida pelo indivíduo de aliviar o esforço e o tempo na resolução de cálculos fastidiosos. Tal como se esperava no passado, a tecnologia, ao executar grande parte dos cálculos, permite que o aluno explore uma maior variedade de situações, testemunhando a verdadeira natureza dos processos matemáticos e envolvendo-se em aplicações com dados realistas, em substituição das usuais simplificações destes. Como consequência, os alunos podem melhorar significativamente as suas aprendizagens.
Hoyles e Noss (2003) sublinham que as tecnologias surgiram para nos aliviar do trabalho mais rotineiro, mais monótono, mais repetitivo e até pouco interessante. Mas ao aliviar-nos deste trabalho, vêm permitir investir em conhecimentos e capacidades de nível superior, tais como saber interpretar um gráfico, fazer conjecturas, ser capaz de relacionar conceitos e utilizá-los, saber analisar criticamente os resultados obtidos, investigar, ser versátil em representações matemáticas diferentes.
A utilização adequada das tecnologias, pode levar os alunos a aprenderem mais matemática e de uma forma mais profunda, como testemunham estudos realizados em Portugal e um pouco por todo o mundo (Abrantes, 1994; Cardoso, 1995; Carreira, 1992; Domingues, 1999; Duarte, 1991; Ferreira, 2007; Junqueira, 1995; Matos, 1991a; Paula, 2000; Rocha, 2000, 2002; Saraiva, 1991; Vilarreal, 1999).
Os vários documentos orientadores acerca das mudanças a introduzir na Matemática escolar (NCTM, 1985; APM, 1988; NCTM, 1991; NCTM, 1994; NCTM, 2000), ao recomendarem a utilização das tecnologias no ensino da Matemática são
unânimes em considerar que a sua implementação vem permitir uma aprendizagem da Matemática mais activa, mais dinâmica e mais centrada no aluno.
No entanto, a utilização da tecnologia é ainda alvo de grandes controvérsias ou tensões (Waits e Demana, 2000; Smith, 2002, Hoyles e Noss, 2003). Alguns matemáticos, professores e até pais e encarregados de educação revelam alguma descrença ou até relutância em relação à utilização das tecnologias, particularmente no que se refere à calculadora gráfica. Parece-me, contudo, que esta desconfiança está relacionada com um fraco ou mesmo deturpado conhecimento das potencialidades das tecnologias. Muitos pais e encarregados de educação e também alguns professores mostram-se receosos de que os alunos deixem de saber efectuar, por exemplo, as operações aritméticas elementares e percam a capacidade de realizar cálculo mental. A comunicação social tem contribuído fortemente para a propagação desta ideia dos
perigos da utilização das calculadoras, cujo impacto na opinião pública é bem
conhecido.
A presença de uma determinada visão mecanicista da Matemática também pode estar presente entre as gerações mais velhas, pois foi esta a experiência vivida pela maioria dos adultos de hoje, enquanto alunos, e com a qual muitos obtiveram sucesso. Quando se acredita que a calculadora impede o conhecimento das operações ou o saber efectuar cálculos, a visão que ressalta destas concepções é muito redutora. As calculadoras e os computadores usados no ensino/aprendizagem da Matemática são ferramentas que simplificam e facilitam o trabalho mas não substituem a necessidade de pensar; pelo contrário, exigem mais raciocínio e capacidade de planear e ensaiar estratégias para resolver o problema que temos em mãos. O conhecimento das operações e das suas propriedades, as regras do cálculo com potências, o domínio de
regras derivação, a resolução de equações, alguma proficiência no cálculo de limites, as operações com logaritmos, entre outros, continuam a ser absolutamente necessários.
Nas Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar (NCTM, 1991) pode ler-se:
Contrariamente aos receios de muitos, o acesso às calculadoras e computadores melhorou a capacidade dos alunos no cálculo. Não existem indícios de que o acesso às calculadoras torna os alunos dependentes delas para os cálculos simples.(p. 10)
O que se espera com a utilização das tecnologias não é que os alunos saibam cada vez menos ou que fiquem menos aptos do que antes. O que se pretende é possibilitar-lhes ainda outras, melhores e mais profundas aprendizagens.
Os professores deverão utilizar a tecnologia para favorecer oportunidades de aprendizagem dos seus alunos, seleccionando ou criando tarefas matemáticas que tirem partido daquilo que a tecnologia é capaz de fazer eficazmente e bem – representação gráfica, visualização e cálculo. (NCTM, 2000, p. 25)
Por exemplo, os professores podem usar simulações para permitir aos alunos experimentar fenómenos que seriam difíceis de observar sem a tecnologia (em segundos é possível obter os resultados de 1000 lançamentos de um dado, fazer 5000 experiências de cortar uma palhinha em três pedaços, aleatoriamente, saber quantos movimentos precisamos de executar para deslocar uma torre de Hanoi com 64 discos, etc, etc). Os
exemplos são inesgotáveis e inimagináveis. Existem hoje inúmeros casos de problemas aos quais os alunos de um determinado nível não poderiam responder se recorressem apenas a meios analíticos (por exemplo, dada uma palhinha de comprimento fixo, quando cortada em três partes, aleatoriamente, qual é a probabilidade de que os três pedaços formem um triângulo?), tal como acontece com os matemáticos e outros cientistas na investigação actual. Esta e tantas outras situações vêm comprovar que a utilização das tecnologias permite aos alunos irem francamente mais longe do que antes na resolução de problemas e na capacidade de abordar questões matemáticas mais avançadas.
Há também evidências de que a utilização de ferramentas tecnológicas que permitem realizar cálculo simbólico leva a um ganho na exploração e na resolução de problemas que pode ser transferido, mais tarde, para outras situações de aprendizagem. Na opinião de Smith (2002) os alunos que têm um ensino tradicional tendem a usar processos de resolução mais triviais que não são facilmente transferíveis quando o aluno está perante uma situação nova. No estudo de Ferreira (2007), os próprios alunos reconhecem a importância e o ganho que obtêm a partir da experiência com o Sketchpad e como ele se transfere para outras situações em que o computador não está presente. Uma das alunas envolvidas no estudo diz, numa entrevista:
[O Sketchpad] torna as coisas mais visíveis, mais concretas e dá para ajudar, como por exemplo, naquele problema do exame.
(Ferreira, 2007, p.269)
Ajuda imenso, mesmo quando estamos a resolver analiticamente. (Ferreira, 2007, p.270)
Esta investigadora, a propósito das vantagens do recurso às tecnologias, refere que mesmo aqueles alunos que revelam uma preferência pelos métodos analíticos admitem que a experiência realizada com o computador, neste caso com um software de geometria dinâmica, os ajuda a ver o problema com mais facilidade. Na análise feita por Ferreira (2007), os alunos desenvolvem a capacidade de criar imagens mentais e de as manipular na sua imaginação. Nos exames nacionais de 12º ano e em alguns manuais do ensino secundário já encontramos várias actividades em que está implícita uma construção dinâmica, ou seja, existe um elemento que não é fixo, que se move. Os alunos que nunca tiveram oportunidade de trabalhar com um ambiente computacional dinâmico terão, provavelmente, mais dificuldade em interpretar e visualizar a situação do que aqueles que já passaram por essa experiência.
Apesar de não terem o computador durante a realização de exames ou de testes escritos, os alunos reconhecem a importância do trabalho desenvolvido com o Sketchpad, como forma de treinar a visualização e/ou a compreensão do problema. (…) Esta vantagem da utilização do computador não se sente apenas no acto da sua utilização e não termina com o desligar do computador, perdurando nas capacidades que se desenvolvem nos alunos. (Ferreira, 2007, p.