O surgimento das calculadoras gráficas veio dar um novo fôlego à entrada das tecnologias no ensino da matemática, até porque, presentemente, a calculadora gráfica já apresenta algumas potencialidades semelhantes às do computador. Alguns modelos dispõem mesmo de programas de geometria dinâmica como o Cabri-Géomètre e outros de sistemas de cálculo simbólico como o DERIVE. Apesar de se poder afirmar que a calculadora gráfica tem uma presença maior na sala de aula do que o computador, elas não podem ser encaradas como um substituto do computador (Hackett e Kissane, 1994). Jaime Carvalho e Silva (1996) afirma que em Portugal, à semelhança do que sucede noutros países, há razões de ordem económica para que o computador seja raramente utilizado na aula de Matemática, no ensino secundário. Como refere este autor, as calculadoras gráficas tornaram-se tão acessíveis pelo seu preço que muitas escolas adquiriram um número elevado de unidades para serem usadas pelos alunos na escola. O custo de um computador, em contrapartida, é um esforço financeiro que as escolas não suportam facilmente.
Mas são diversos, actualmente, os argumentos que justificam o predomínio da calculadora na sala de aula. Em primeiro lugar, está o facto de existir um documento oficial que a tornou de utilização obrigatória, em 1997, depois vem o baixo custo relativamente ao computador e ainda a possibilidade de os alunos a transportarem no dia a dia com os restantes materiais escolares. Por outro lado, e não menos importante, a calculadora gráfica passou a ser de uso obrigatório no exame nacional de 12º ano. A partir do 10º ano, a calculadora está sempre presente nas mãos dos alunos, seja bem ou mal utilizada. Os professores recomendam a aquisição de determinado modelo e informam os alunos de que este instrumento é obrigatório; porém, em muitos casos,
nada muda de essencial na sala de aula. A calculadora é um adereço ou apenas uma máquina a que o aluno recorre para fazer algum cálculo ou simplesmente para representar graficamente uma função.
Os computadores são necessariamente mais poderosos, mas nem sempre estão disponíveis em número razoável para todos os alunos de uma turma e em qualquer sala de aula. Isto não significa que as escolas secundárias não estejam munidas de computadores, mas regra geral estão destinados ao ensino da Informática, sendo o acesso dos professores de Matemática, por vezes, dificultado. Em muitas escolas, um professor de Matemática para fazer uma aula com o computador tem de procurar um tempo lectivo livre numa sala de Informática, depois tem de “pedir” autorização para instalar determinado software nos computadores e proceder a várias outras diligências.
Seria, no entanto, um pouco injusto não reconhecer que, nos últimos tempos, tem havido alguma vontade política de alterar esta situação, já que temos assistido, recentemente, a um interesse em dotar, tanto as escolas básicas como as secundárias, de maior número de computadores. Entretanto, não é certo que isso seja suficiente para mudar a situação. Sabemos que a existência de mais computadores na escola não chega para resolver a situação, pois os professores continuam a manifestar muitas resistências e dificuldades na introdução do computador na sala de aula. Muitos professores escudam-se no argumento de que o aluno não dispõe de acesso a um computador nos testes escritos de avaliação nem nos exames de 12º ano e, como tal, é um desperdício de tempo realizar aulas com recurso ao computador.
Segundo Barling (1994) estas duas ferramentas, calculadora gráfica e computador, podem permitir alcançar benefícios educacionais muito semelhantes. Mas não basta pôr a calculadora nas mãos do aluno nem colocar o aluno em frente ao
computador. O professor tem de criar as condições necessárias para que a utilização desta ferramenta beneficie as aprendizagens.
Em 2002, Balsa e Silva, numa análise do papel da calculadora gráfica nos exames nacionais consideraram que até àquele momento o trabalho na sala de aula com a calculadora gráfica era insuficiente. E afirmaram:
Muitos professores dão pouca importância ao trabalho com a calculadora gráfica. (p.242)
Em contrapartida, num balanço do acompanhamento local, Belchior, Fevereiro e Potes (2003) assinalaram o seguinte:
Conseguiu-se implementar a utilização da calculadora gráfica (o que na maioria dos outros países europeus ainda não foi conseguido) embora a sua utilização ainda esteja aquém das potencialidades como ferramenta fundamental na construção do conhecimento matemático (p.5)
Enquanto ferramenta fundamental para a construção do conhecimento matemático, há uma característica comum ao uso da calculadora e ao do computador. Os alunos necessitam de aprender quando e como devem recorrer a esta ferramenta.
O facto de não estar prevista uma utilização obrigatória do computador na aula de Matemática leva a que muitos professores o negligenciem ou que o usem de forma muito esporádica e pouco convicta.
Em reacção a muitos dos professores que desvalorizam a utilização do computador, nomeadamente aos que invocam que os alunos não irão usar o computador nos testes e nos exames, impõe-se olhar atentamente para algumas questões surgidas nos últimos anos, nos exames de Matemática de 12º ano, e perceber a importância de uma experiência anterior do aluno com ambientes de geometria dinâmica, por exemplo.
Na primeira fase do exame de Matemática A de 2007 surge a seguinte questão, em que é necessário recorrer à calculadora gráfica.
Trata-se de uma questão pertinente, interessante e ajustada à ferramenta tecnológica que os alunos levam consigo para o exame. É um problema que os alunos não poderiam resolver apenas recorrendo ao papel e lápis porque, embora pudessem calcular a derivada da função da área do rectângulo, não possuem os conhecimentos necessários para determinar os zeros da derivada. A calculadora possibilita aceder a um conhecimento que de outra forma os alunos nunca seriam capazes de alcançar. Trata-se de aumentar o poder matemático do aluno, pois desta forma ele pode resolver problemas para os quais ainda não dispõe de meios analíticos, passando por vários processos importantes do ponto de vista do conhecimento matemático.
O aluno tem de encontrar a expressão da área do rectângulo em função da abcissa de P, representar o seu gráfico e determinar o valor máximo no intervalo dado. Como se pode constatar, alguma coisa mudou; até há bem pouco tempo era necessário arquitectar questões cujos cálculos fossem possíveis com papel e lápis, as questões tinham de ser fabricadas de acordo com as técnicas que os alunos dominavam e com os conhecimentos que possuíam. A calculadora veio permitir criar situações mais genuínas, que exigem necessariamente novas e diversas formas de pensar.
Este é um exemplo típico de um problema que nos incita a pensar num ambiente de geometria dinâmica. Para os alunos que ao longo do ensino secundário tiveram oportunidade de trabalhar com o Geometer’s Sketchpad ou outro programa de geometria dinâmica, na sala de aula, esta questão tem outro sentido. Esses alunos compreendem e interpretam melhor a situação apresentada. Têm uma maior e melhor consciência dos problemas dinâmicos, visualizam mais facilmente a imagem do ponto P a deslocar-se, têm outro poder de imaginação que os alunos que nunca usaram este
software alguma vez conseguirão alcançar, porque já viram, experimentaram e
manipularam. Já tiveram a experiência de trabalhar em problemas com pontos a deslocarem-se, com áreas a variarem, com representações gráficas da variação, etc. Podem, eventualmente, ter tido contacto com uma diversidade de situações que contribuem para um melhor desempenho nestas questões, que mais não seja pelo facto de elas lhes sugerirem qualquer coisa de conhecido. Em seguida apresentam-se três situações que correspondem a três posições possíveis do deslocamento do ponto P e em que se vai observando a variação do valor da área do rectângulo.
3 2 1 -1 2 4 6 Area = 1,22 ln x( )A⋅ 5-x( A) = 1,22 f x( ) = ln x( ) F P C H I A
3 2 1 -1 2 4 6 Area = 2,29 ln x( )A⋅ 5-x( A) = 2,29 f x( ) = ln x( ) F P C H I A
Figura 4. Uma outra representação no Sketchpad da variação do rectângulo e respectiva área
3 2 1 -1 2 4 6 Area = 1,71 ln x( )A⋅ 5-x( A) = 1,71 f x( ) = ln x( ) F P C H I A
Figura 5. Uma terceira representação no Sketchpad da variação do rectângulo e respectiva área
O Geometer’s Sketchpad é um programa de geometria dinâmica que combina a construção geométrica com a representação de funções caso que se torna nestas situações muito interessante e vantajoso para o aluno.
3 2 1 -1 2 4 6 Area = 2,29 ln x( )A ⋅ 5-x( A) = 2,29 f x( ) = ln x( ) F P C H I A
Figura 6. Nesta figura, para além do rectângulo, temos o gráfico que representa a área em função do ponto P.
A questão apresentada é um exemplo claro de uma situação que ajuda a contrariar a opinião de que o recurso ao computador na sala de aula, em particular no 12º ano, pode ser comprometedora do cumprimento do programa e que em nada contribui para a preparação dos alunos para o exame nacional.
Também na 2ª fase de 2007, no exame nacional de Matemática, surge outra questão que exige ao aluno o recurso à calculadora gráfica.
Esta questão impõe um conhecimento das capacidades da calculadora gráfica muito para além do simples cálculo ou representação gráfica de uma função. O aluno tem agora que saber interpretar e compreender a questão que lhe é colocada, olhar para o gráfico e relacionar os vários conceitos envolvidos. Em seguida, tem de ser capaz de ter o domínio suficiente da ferramenta para responder às questões e, por fim, saber explicar o seu raciocínio.
Figura 8. Ecrãs da calculadora gráfica ilustrando a resolução do problema anterior, com a determinação do máximo e do mínimo no intervalo dado
Como se pode ver, a calculadora veio transformar de forma significativa o nível e a natureza das questões a apresentar ao aluno. As questões habituais dos exames de há uma década atrás são incompatíveis com uma utilização coerente da calculadora gráfica.
Os exemplos apresentados mostram que a calculadora gráfica e o computador não são equivalentes no que permitem realizar mas também não são inconciliáveis. Podemos, ainda, concluir a partir destes exemplos, entre muitos outros possíveis, que a utilização destas duas ferramentas tecnológicas é amplamente recomendável e fundamental para uma melhor aprendizagem da matemática. O tipo de actividade matemática que agora se pretende que os alunos sejam capazes de realizar mudou substancialmente em comparação com o que era privilegiado no passado.
Qualquer problema que tenha ficado reduzido a um botão numa calculadora omnipresente – tal como uma raiz quadrada, o cálculo de um logaritmo, um máximo ou um mínimo, uma solução gráfica ou uma equação diferencial – já não pode ser considerado um problema difícil ou inacessível. (Smith, 2002, s/p)
As questões actuais revelam maior complexidade do que as que tínhamos no passado. Há que reconhecer que estamos perante uma maior exigência contrariamente ao que muitos ainda poderão pensar. Portanto, como refere Smith (2002), o computador e a calculadora gráfica permitem alguns tipos de actividades, como é o caso da descoberta, e facilita ainda outros como o desenvolvimento da intuição matemática, que seriam muito difíceis ou mesmo impossíveis de alcançar sem as tecnologias.