Kjørerundene

5.2

Os lemas fundamentais

Nesta seção, apresentamos dois lemas (Lemas 5.3 e 5.4) que são fundamentais para o desenvolvimento do trabalho. Nas provas destes lemas serão utilizados outros dois lemas técnicos (Lemas 5.1 e 5.2).

Os lemas técnicos tratam da existência de certas homotopias relativas entre auto-aplicações da 2-esfera. Para evitar conito com as notações já utilizadas, consideramos a 2-esfera do domínio de uma tal auto-aplicação com decomposição celular S2 _{= e}0_{∪ e}2 _{e, como antes, a}

2-esfera do contra-domínio é considerada com decomposição celular S2_{= e}0 ∗∪ e2∗.

Lema 5.1. Seja f : S2 _{→ S}2 _{uma aplicação celular de grau d 6= 0. Então existem uma}

aplicação celular ϕ : S2 _{→ S}2 _{e um ponto a ∈ S}2_{, tais que ϕ ≃ f rel {e}0_{} e #ϕ}−1_{(a) = 1.}

Prova: A existência de uma aplicação ϕ homotópica a f satisfazendo #ϕ−1_{(a) = 1 é bem}

conhecida (ver [27] e/ou [6]). O que nos cumpre provar é o fato de tal aplicação poder ser escolhida celular e homotópica a f relativa a {e0_{}. Vamos dividir a prova em várias etapas.}

1a _{Etapa: Existem uma aplicação celular g : S}2 _{→ S}2 _{e um ponto a ∈ S}2 _{tais que g ≃ f}

e #g−1_{(a) = 1. Com efeito: considere a esfera S}2 _{fragmentada em |d| faixas meridionais por}

meridianos m1, . . . , m|d|. Seja g : S2 → S2 a aplicação denida de modo que cada meridiano

mi, para 1 ≤ i ≤ |d|, é aplicado homeomorcamente sobre um mesmo meridiano distinguido

m de S2 e cada uma das |d| faixa meridionais reveste uma vez a esfera S2, sempre numa mesma direção, a qual é escolhida, de acordo com a orientação de S2_{, de modo que g seja}

uma aplicação de grau d (e não −d, que é a única outra alternativa para o grau da aplicação gassim construída). A aplicação g pode ser vista como a suspensão de g1 : S1→ S1 denida

por g1(z) = zd e é o recobrimento ramicado canônico de |d| folhas e pontos de ramicação

e0 e −e0, uma vez considerados e0 como o polo sul e −e0 como o polo norte.

f g a 0 * e 0 e - 0 e

Figura 5.1: Auto-aplicações da 2-esfera com grau d

Como f e g têm o mesmo grau, f e g são homotópicas. Além disso, se denimos a = g(−e0), conforme a Figura 5.1, então g−1(a) = {−e0}. O que não podemos garantir de imediato é que a homotopia entre f e g seja relativa a {e0_{}. Passamos então à próxima etapa.}

2a _{Etapa: Seja H : S}2_{× I → S}2 _{uma homotopia entre f e g, de modo que H(x, 0) = f(x)}

termina aqui. Caso contrário, H dene um laço γ = H(e0_{, · ) : I → S}2 _{com ponto base}

γ(0) = H(e0, 0) = f (e0) = e0_∗ = g(e0) = H(e0, 1) = γ(1). Sendo S2 simplesmente conexa, este laço é homotópico ao laço γ0 : I → S2 constante em e0∗. Seja Λ : I × I → S2 homotopia

(com pontos nais xados) entre γ e γ0, ou seja, Λ : γ ≃ γ0 rel {e0}.

3a _{Etapa: Vamos obter a aplicação procurada ϕ : S}2 _{→ S}2 _{como sendo o nal de uma}

homotopia bH : S2× I → S2_{, relativa a {e}0_{}, começando em f e obtida através de uma sutil}

alteração da homotopia H em uma vizinhança especíca U de e0_{× I em S}2_{× I. Nesta etapa}

da demonstração apenas construiremos a vizinhança U.

Pois bem, seja V uma vizinhança fechada do ponto e0 _{em S}2_{, contida no hemisfério sul de}

S2 e homeomorfa a I × I, de tal modo que −e0 ∈ V/ . A menos de homeomorsmo, podemos considerar H|V×I como sendo uma aplicação de I ×I ×I em S2. Como alteraremos H somente

em um subconjunto de V ×I, esta identicação não prejudica nossa demonstração, outrossim, facilitará a construção da homotopia bH desejada.

De agora em diante, apesar de mantermos as notações originais, entendemos H|V×I como

aplicação de I × I × I em S2_{. Por simplicidade de notação, escrevemos e}0

t para denotar o

ponto (e0_{, t)de V × I.}

Sejam ε e δ dois números reais positivos escolhidos de tal modo que a bola fechada ¯Bρ(e00)

esteja inteiramente contida no interior de V × 0, onde ρ = ε + δ.

Seja U o tronco de cilindro ¯Bρ(e0₀) × I contido em V × I e seja C o cone contido em U,

cuja base é a bola fechada ¯Bε(e01) e cujo vértice é o ponto e00.

Por m, vamos escrever ∂U e ∂C para denotar a fronteira topológica de U e de C, respec- tivamente, em V × I. Ainda mais, vamos denotar W = U \ (C \ ∂C). Note que W ∪ C = U e W ∩ C = ∂C. (Veja a Figura 5.2). 1 ´ V 0 ´ V 0 0 e 0 1 e e d U C W

Figura 5.2: Construção de vizinhança para e0_{× I.}

4a _{Etapa: Denição de bH restrita a (S}2_{× I) \ U.}

Para cada ponto (x, t) ∈ (S2_{× I) \ U, denimos, simplesmente, bH(x, t) = H(x, t).}

5a _{Etapa: Denição de bH restrita a W .}

Para cada número real t ∈ I, considere a secção Vt= V × tde V × I. Sua intersecção Ut

com U é composta por duas bolas fechadas com centro em e0

5.2 Os lemas fundamentais 61

indicado na Figura 5.3. Além disso, Wt é o anel (fechado) delimitado por estas duas bolas

fechadas. te (1 d + -t e) t Px x Qt t V ´ Wt t0 e Figura 5.3: A secção Vt= V × t.

Para cada ponto (x, t) ∈ Wt, existe um único segmento de reta [(x, t), e0t]ligando (x, t) ao

ponto e0

t. Este segmento encontra a fronteira da bola fechada ¯Btε(e0t) × tem um único ponto

Qx

t. O prolongamento deste segmento até o bordo da bola fechada ¯Btρ(e0t) × t, determina

sobre este um único ponto Px

t tal que [Ptx, Qxt] contém (x, t) e [Ptx, Qxt] ∧ [Qxt, e0t] = [Ptx, e0t],

onde ∧ indica concatenação de caminhos. Existe, então, um único número real λ(x) ∈ [0, 1] tal que

(x, t) = P_tx+ λ(x)−−−→P_txQx_t.

Agora, como ¯Bρ(e0t) e ¯Btε(e0t) são bolas redondas concêntricas, existe um número real

não negativo m(t) (que depende apenas de t e não de x) tal que m(t)−−−−→P_txQtx=−−−→P_txe0_t.

Observe que m(0) = 1, m(1) = ρ/δ e m(t) varia linearmente em t, para t ∈ I. Denimos b H(x, t) = bH(Ptx+ λ(x) −−−→ PtxQxt) = H(Ptx+ m(t)λ(x) −−−→ PtxQxt). Note-se que:

(a) bH aplica o segmento [Px

t, Qxt]em H([Ptx, e0t]).

(b) Se (x, t) ∈ ∂ ¯Btε(e0t) ⊂ ∂C, então (x, t) = Qxt, λ(x) = 1 e bH(x, t) = H(Ptx +

m(t)−−−→PtxQxt) = H(e0t) = γ(t).

(c) Se (x, t) ∈ ∂U, então (x, t) = Px

t , donde λ(x) = 0 e bH(x, t) = H(Ptx) = H(x, t). Isto

mostra que bH é uma extensão de bH|(S2_×I)\U.

(d) Na secção V × 0, tem-se W0 = W × 0 = ¯Bρ(e0₀)e bH(x, 0) = H(x, 0) = f (x)para todo

(x, 0) ∈ W.

6a _{Etapa: Denição de bH restrita a C.}

Cada ponto Q ∈ ∂C determina um único segmento [e0

0, Qx1]contido em ∂C, de modo que

Qx

1 ∈ ¯Bρ(e0₁) e Q ∈ [e0₀, Qx₁]. Escreva Qxt para denotar o único ponto deste segmento que se

encontra na secção V × t.

Pelo item (b) da 5a _{Etapa, bH já está denido para cada ponto Q}x

t e tem-se bH(Qxt) = γ(t).

Agora, cada ponto (x, t) ∈ C, que não o próprio e0

t, determina um único segmento [Qxt, e0t]

contido em C de modo que (x, t) ∈ [Qx

´ V t x Qt e 1 0 0 0 1x Q e e t 0 e Figura 5.4: O cone C

Seguramente, existe um homeomorsmo linear hx

t aplicando o segmento [Qxt, e0t] sobre o

segmento [(t, 0), (t, 1)] naturalmente contido em I × I. Os homeomorsmos hy

s são idênticos

para quaisquer pontos (y, s) ∈ [Qx

t, e0t]. Denimos, nalmente,

b

H(x, t) = Λ(hxt(x, t)) e H(eb 0t) = e0∗.

Note-se que:

(a) bH é contínua em e0

t, pois Λ(t, s) → e0 quando s → 1 e hxt(x, t) → (t, 1) quando

(x, t) → e0_t.

(b) Se (x, t) ∈ ∂C, então (x, t) = Qx

t e bH(x, t) = Λ(hxt(Qxt)) = Λ(t, 0) = γ(t), o que é,

segundo o item (b) acima, compatível com a denição de bH sobre ∂C realizada na 5a etapa. 7a _{Etapa: Com as construções realizadas nas etapas anteriores, temos denida uma}

homotopia bH : S2 × I → S2 _{começando em f. Seja ϕ : S}2 _{→ S}2 _{o nal desta homotopia,}

ou seja, ϕ(x) = bH(x, 1). Então bH : f ≃ ϕ rel {e0_{}, como mostra a etapa anterior. Além}

disso, bH difere de H apenas no interior da vizinhança U de e0× I, e tal alteração não afeta a pré-imagem do ponto a, de modo que ϕ−1_{(a) = {−e}0_{}. Isto conclui a prova.}

¥

Lema 5.2. Seja f : S2 _{→ S}2 _{uma aplicação celular de grau zero e seja κ}0 _{: S}2 _{→ S}2 _a

aplicação celular constante em e0

∗. Então f ≃ κ0 rel {e0}.

Prova: Certamente f ≃ κ0_{. Seja então H : S}2_{× I → S}2 _{uma homotopia começando em}

f e terminando na aplicação constante κ0. Se H não é uma homotopia relativa a e0, dena b

H : S2_{× I → S}2 _{como no lema anterior. Então tem-se bH : f ≃ bH(· , 1) rel {e}0_{}. Agora,}

pela construção da bH é fácil checar que bH(x, 1) = e0 para todo x ∈ S2, ou seja bH(· , 1) = κ0. Portanto bH : f ≃ κ0 _{rel {e}0_}.

¥ Doravante, escrevemos κ0

∗ : K → S2 para denotar a aplicação celular constante em e0∗.

O lema a seguir mostra que o vetor-grau−→deg(f ) é invariante por homotopias relativas ao 1-esqueleto.

Lema 5.3. Sejam f, g : K → S2 _{duas aplicações celulares. Se f ≃ g rel K}1_{, então} −→_{deg(f ) =}

−→ deg(g).

5.2 Os lemas fundamentais 63

Prova: Seja H : f ≃ g rel K1_{, ou seja, H : K × I → S}2 _{é uma aplicação contínua vericando}

H(x, 0) = f (x)e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ K, e H(x, t) = f(x) = g(x) = e0_∗ para todo t ∈ I e todo x ∈ K1_.

Para cada ¯x ∈ S2

i, escolha de uma vez por todas um ponto x ∈ e2i tal que ¯x = ωi(x).

Dena Hi : Si2× I → S2 por Hi(¯x, t) = H(x, t). Pelas denições de ωi e H, a aplicação Hi

está bem denida e é contínua. Além disso, temos

Hi(¯x, 0) = H(x, 0) = f (x) = fi(ωi(x)) = fi(¯x) para todo ¯x ∈ Si2;

Hi(¯x, 1) = H(x, 1) = g(x) = gi(ωi(x)) = gi(¯x)para todo ¯x ∈ S_i2;

Hi(c0i, t) = H(x, t) = e0∗ para todo t ∈ I, já que neste caso x ∈ ∂e2i ⊂ K1.

Portanto, Hi : fi ≃ gi rel {c0i}. Segue-se que deg(fi) = deg(gi). Como estes argumentos são

válidos para cada 1 ≤ i ≤ m, isto prova que−→deg(f ) =−→deg(g). ¥

O próximo resultado mostra que a recíproca do lema acima é verdadeira se ao menos uma dentre f e g é uma aplicação constante.

Lema 5.4. Seja f : K → S2 _{uma aplicação celular. Então f ≃ k}0

∗ rel K1 se, e somente se,

−→

deg(f ) = 0.

Prova: Segue do lema anterior que se f ≃ k0

∗ rel K1 então

−→

deg(f ) = 0. Para provar a recíproca, assuma −→deg(f ) = 0 e escreva κ0_i : S_i2 → S2 para denotar a aplicação constante de S2

i em e0∗ ∈ S2. Como deg(fi) = 0, temos fi ≃ κ0_i rel {c0_i}, pelo Lema 5.2. Então, seja

Hi : Si2× I → S2 uma homotopia relativa, de modo que Hi(¯x, 0) = fi(¯x)e Hi(¯x, 1) = e0∗ para

todo ¯x ∈ S2

i, e Hi(c0i, t) = e0∗ para todo t ∈ I. Para cada x ∈ K, escolha de uma vez por

todas um índice i(x) ∈ {1, . . . , m} tal que x ∈ e2

i(x). Dena H : K × I → S2 por H(x, t) =

H_i(x)(ω_i(x)(x), t). Se um ponto x ∈ K pertence a uma intersecção e2_j ∩ e2_l de duas 2-células, então x ∈ K1 _{e ω}

j(x) = c0_j e ωl(x) = c0l. Assim, a condição Hi(c0i, t) = e0∗ para todo t ∈ I e

todo i ∈ {1, . . . , m} mostra que a aplicação H está bem denida e para cada x ∈ K1 _tem-se

H(x, t) = e0

∗ para todo t ∈ I. Além disso, tem-se H(x, 0) = Hi(x)(ωi(x), 0) = fi(ωi(x)) = f (x)

para todo x ∈ K e H(x, 1) = Hi(x)(ωi(x), 1) = κi(ωi(x)) = e0∗ para todo x ∈ K. Portanto,

H : f ≃ k_∗0 rel K1. _¥

Note que se a homotopia f ≃ κ0

∗ não é relativa ao 1-esqueleto, então não se pode garantir,

em geral, que−→deg(f ) = 0. Para ilustrar isso, apresentamos o seguinte exemplo:

Exemplo 5.5. Seja K um 2-disco com decomposição celular e0

1∪ e11∪ e21. Seja f : K → S2 a

aplicação canônica que identica o bordo do disco em um único ponto que escolhemos ser a 0-célula e0

∗ de S2. Então, na fatoração celular de f

K −→ Sω1 ₁2 f1

−→ S2

tem-se f1 homotópica a aplicação identidade. Logo deg(f1) = 1. No entanto, como K é

contrátil, f é homotópica a uma aplicação constante. ¤

In document Barn i Trafikken (sider 20-23)