Drøfting

Utilizamos nesta pequena subseção preliminar a prova do Teorema 5.20 a terminologia do livro [28] , mas qualquer outro livro de Topologia Geral pode ser consultado como complemento a sua compreensão.

Sejam X e Y espaços topológicos. Seja q : X → Y uma aplicação sobrejetora. A aplicação qé dita uma aplicação quociente se se verica: um subconjunto U de Y é aberto em Y se, e somente se, q−1_{(U ) é aberto em X. Se este é caso, ou seja, se q é uma aplicação quociente,}

então, para cada y ∈ Y , o subconjunto q−1_{(y) de X será chamado a bra de q sobre y.}

Seja q : X → Y uma aplicação quociente e seja f : X → Z uma aplicação que é constante em cada bra q−1_{(y). Então f induz uma aplicação f}′ _{: Y → Ztal que f}′_{◦q = f. A aplicação}

Seja q : X → Y uma aplicação quociente e seja 1Z : Z → Z a aplicação identidade do

espaço Z. Se Z é localmente compacto, então a aplicação produto q × 1Z : X × Z → Y × Z

é uma aplicação quociente.

Sejam H : X×I → Z uma homotopia e A um subconjunto de X. Diremos que a homotopia Hé constante por níveis em A se, para cada t ∈ I, H(x, t) = H(x′, t)para quaisquer x, x′ ∈ A, ou seja, para cada t ∈ I, a aplicação H(· , t) : X × {t} → Y é constante em A.

Lema 5.21. Seja q : X → Y uma aplicação quociente e sejam f, g : Y → Z aplicações contínuas. Dena aplicações ¯f , ¯g : X → Z pelas composições ¯f = f ◦ qe ¯g = g ◦ q. Então f é homotópica a g se, e somente se, ¯f é homotópica a ¯g por meio de uma homotopia constante por níveis nas bras de q.

Prova: Observe-se inicialmente que, como o intervalo fechado I é localmente compacto, a aplicação produto q × 1I : X × I → Y × I é uma aplicação quociente.

Suponha que seja H : Y × I → Z uma homotopia iniciando em f e terminando em g. Então dena ¯H : X × I → Z por ¯H(x, t) = H(q(x), t). Esta é claramente uma homotopia iniciando em ¯f e terminando em ¯g. Além disso, para cada y ∈ Y , tem-se ¯H(x, t) = H(y, t) para todo x na bra q−1_{(y), ou seja, ¯H é uma homotopia constante por níveis nas bras de q.}

Por outro lado, suponha que seja ¯H : X × I → Z uma homotopia iniciando em ¯f e terminando em ¯g e constante por níveis nas bras de q. Para cada y ∈ Y , escolha de uma vez por todas um elemento xy ∈ X tal que q(xy) = y, ou seja xy ∈ q−1(y). Dena a aplicação

H : Y × I → Z fazendo H(y, t) = ¯H(xy, t). Como ¯H é constante nas bras, a aplicação H

está bem denida. Agora, as aplicações H e ¯H vericam ¯H = H ◦ (q × 1I). Logo, como q × 1I

é uma aplicação quociente e ¯H é contínua, segue-se que H é contínua. Além disso, H satisfaz: H(y, 0) = ¯H(xy, 0) = ¯f (xy) = f (q(xy)) = f (y) e H(y, 1) = ¯H(xy, 1) = ¯g(xy) = g(q(xy)) =

g(y). Portanto, H é uma homotopia iniciando em f e terminando em g. ¥

5.6.2 Prova do Teorema 5.20

Seja KP o 2-complexo modelo induzido por uma presentação P = hx1, . . . , xn| r1, . . . , rmi.

Podemos escrever KP = e0∪ e1x1∪ · · · ∪ e 1 xn∪ e 2 1∪ · · · ∪ e2m. Considere m cópias S2

1, . . . , Sm2 da esfera S2, cada uma com decomposição CW minimal

S_i2 = c0_i ∪ c2i. Seja ∨mi=1Si2 o bouquet destas m esferas obtido identicando-se as 0-células

c0

1, . . . , c0m a um ponto c0. Então, o espaço ∨mi=1Si2 herda das esferas que o compõem uma

estrutura CW (minimal) da forma

m

_

i=1

S_i2= c0∪ c2₁∪ · · · ∪ c2m.

Seja ω : KP → ∨mi=1Si2 a aplicação celular canônica que identica todo o 1-esqueleto KP1

5.6 Condição necessária e suciente para se ter µ(f) = 0 79

aplicação restrita ω|e¯2

i é idêntica a ωi|¯e2i : K → S

2

i, onde esta última é denida como na Seção

5.1. Além disso, para cada 1 ≤ i ≤ m, a aplicação ω aplica o interior da 2-célula e2

i de KP

homeomorcamente sobre o interior da 2-célula c2

i de ∨mi=1Si2.

Dada uma aplicação celular f : KP → S2 e considerada a esfera S2, contra-domínio de f,

com decomposição CW minimal S2_{= e}0

∗∪ e2∗, existe uma aplicação celular f∨ : ∨mi=1Si2 → S2

tal que f = f∨_{◦ ω. De fato, para cada z ∈ ∨}m

i=1Si2, z 6= c0, existe um, e apenas um, índice

i(z) ∈ {1, . . . , m}, tal que z ∈ c2_i(z). Sendo assim, a pré-imagem de z por ω consiste de um único ponto y(z), o qual está contido no interior de e2

i(z). Dena f∨ : ∨mi=1Si2 → S2 fazendo:

f∨(z) = (

f (y(z)) se y 6= c0

e0_∗ se y = c0 .

É fácil ver que f∨ _{está bem denida e é celular. Além disso, por construção, f = f}∨_{◦ ω.}

Para cada 1 ≤ i ≤ m, denote por f∨

i a restrição de f∨ à esfera Si2, ou seja,

fi∨ = f∨|S_i2 : Si2→ S2.

Cada tal aplicação, por ser aplicação entre esferas, possui um grau bem determinado deg(f∨ i ).

Sejam f1, . . . , fm as aplicações que constituem a fatoração celular de f, conforma a Seção

5.1. (Cada fi : Si2 → S2 é tal que f|e¯_i2 = fi ◦ ωi|e¯2_i). Então, é fácil ver que, a menos da

inclusão de S2

i em ∨mi=1Si2, a aplicação fi∨ é idêntica a fi. Logo, para cada 1 ≤ i ≤ m, tem-se

deg(fi) = deg(fi∨). Portanto

−→

deg(f ) = (deg(f₁∨), . . . , deg(f_m∨))T.

Para cada 1 ≤ i ≤ m, considere a aplicação característica χi : Di2 → KP da 2-célula e2i.

Dena a aplicação χ =`m

i=1χi :`m_i=1D2i → K, do coproduto (ou soma topológica)

`m

i=1D2i,

como sendo a aplicação χi na i-ésima componente de`m_i=1D_i2.

Tal aplicação pode não ser sobrejetora. Não obstante, por conta da estrutura do complexo modelo KP, a aplicação χ aplica`mi=1D2i sobrejetivamente em KPh2i, onde KPh2ié o menor

subcomplexo de KP contendo todas as suas 2-células, ou seja, contendo e21, . . . , e2m. (Conra a

denição no parágrafo que antecede a Proposição 3.19). Então, pela Proposição 3.19, podemos supor que χ é sobrejetora e, portanto, uma aplicação quociente.

Observe-se que χ possui as seguintes propriedades: (i) Para cada b no interior da 2-célula e2

i, a bra χ−1(b) é constituída de um ponto do

interior do disco D2 i;

(ii) Para cada b no interior de e1

xj, a bra χ

−1_{(b) é um conjunto de} Pm

i=1¯δij pontos

contido no coproduto `m

i=1∂Di2, de modo que há sempre ¯δij pontos no bordo ∂Di2, onde

¯

δij =Pk_λ=1i |δ(λ)ij |.

(iii) A bra χ−1_(e0_{) de χ sobre a 0-célula e}0 _{de K é um subconjunto do coproduto}

`m

i=1∂Di2 de cardinalidade nita igual a ρ :=

P

i,j¯δij, de modo que há sempre ρi :=Pn_j=1δ¯ij

pontos em ∂D2

Seja p ∈ S1

i um ponto da bra χ−1i (e0). Seja τ o arco de comprimento 2π/ρi que inicia

em p e segue no sentido anti-horário. Se este arco é aplicado por χi sobre e1xj, então chame-o

de γxj

i1 e dena a xj

i1 = p, e chame o seu outro extremo de a xj

i2. Repita este processo agora para

axj

i2 no lugar de p. Proceda iterativamente até percorrer toda a S1.

Ao nal deste processo teremos χ−1_i (e0) = {ax1

i1, . . . , axi¯δ1i1, . . . , a

xn

i1, . . . , axi¯δnin},

(um conjunto com cardinalidade ρi), e cada ponto p ∈ S_i1 que não pertence a χ−1_i (e0) está

em um arco γxj

iǫi para algum ǫi = 1, . . . , ρi.

Então, cada arco γxj

iǫicorresponde a uma parcela de uma potência δ

(λ(ǫi))

ij , λ(ǫi) ∈ {1, . . . , ri},

da letra xj na palavra relatora ri. Assim, é fácil ver que a indexação dos arcos γ xj

iǫi pode ser

escolhida de modo que, partindo-se do ponto ax1

i1 ∈ Si1 e percorrendo S1 em sentido anti-

horário, percorremos, ordenadamente os arcos γxj

i1, . . . , γ xj

iρi de acordo com a palavra relatora

ri. (A gura abaixo ilustra esta construção para o caso em que n = 2).

i c 1 1 x e 1 2 x e 1 1 x i g 1 1 x i a 1 2 x i a 2 2 x i a 2 1 x i a 2 1 x i g 1 i S

Figura 5.12: Indexando as bras de χ sobre e0

Agora, vamos associar a cada um dos arcos γxj

iǫi um sinal sgn(γ

xj

iǫi). Um arco γ

xj

iǫi é aplicado

por χi homeomorcamente sobre e1xj. Pois bem, então a imagem χi(γ

xj

iǫi) corresponde a uma

(e apenas uma) parcela de uma parcela da soma δij =Pk_λ=1i δ(λ)_ij . Denimos sgn(γ_iǫxj_i) = +1se

o sinal desta parcela é positivo, e denimos sgn(γxj

iǫi) = −1se o sinal desta parcela é negativo.

Dena F :`m

i=1Di2 → S2 pela composição F = f ◦ χ, e seja Fi= F |D2 i.

Abaixo, um diagrama comutativo que ilustra as construções até então realizadas.

`m 1=1Di2 χ ²² Ω %%K K K K K K K K K K F '' ∨m i=1Si2 f∨ //_S2 K ω _rr 88r r r r r r r r r f 77

Como o contra-domínio de f : KP → S2 é a esfera, é óbvio que f é livre de raízes se, e

5.6 Condição necessária e suciente para se ter µ(f) = 0 81

é livre de raízes se, e somente se, F é homotópica a aplicação constante, por meio de uma homotopia constante por níveis nas bras de χ.

Suponha que seja ¯H : (`m<sub>i=1</sub>D2<sub>i</sub>) × I → S2 uma homotopia iniciando em F e terminando na aplicação κ : `m

i=1D2i → S2, esta última denida como sendo a aplicação constante no

ponto −e0

∗, antípoda da 0-célula e0∗ de S2.

Como (`m

i=1Di2) × I é homeomorfo a

`m

i=1(Di2× I), a aplicação ¯H pode ser considerada

como um coproduto ¯ H = m a i=1 ¯ Hi : m a i=1 (D2_i × I) → S2,

onde cada ¯Hi : D2i → S2 é uma homotopia iniciando em Fi e terminando na aplicação

constante em −e0

∗. Denotamos tal aplicação constante por κi : D2i → S2, de modo que κ é

idêntica a aplicação coproduto das aplicação κ′s

i , ou seja, κ =

`m

i=1κi.

Vamos provar que: A homotopia ¯H pode ser escolhida sendo constante por níveis nas bras de χ se, e somente se, o sistema linear diophantino ∆PY =

−→

deg(f ) é compatível. Isto, pelo Lema 5.21, concluirá a prova do teorema.

Suponha que o sistema linear diophantino ∆PY = −→deg(f ) seja compatível. Então é

também compatível o sistema linear diophantino ∆PY = −

−→

deg(f ). Seja o vetor inteiro s = (s1, . . . , sn)T ∈ Zn uma solução deste último sistema.

Vamos construir uma homotopia ¯H : (`m_i=1D_i2) × I → S2, constante por níveis nas bras de χ, iniciando em F e terminando em κ. Começamos exigindo que, a menos das devidas identicações, ¯H(· , 0) seja F e ¯H(· , 1) seja κ. Agora vamos construir ¯H no bordo

`m

i=1∂(D2i × I)de

`m

i=1(D2i × I). A esta aplicação, ou seja, a ¯H restrita a ∂((

`m

i=1D2i) × I)

vamos chamar simplesmente H. E mantendo nossas notações, escrevemos Hi para denotar a

restrição de H a ∂(D2

i × I), de modo que H é então a aplicação coproduto

`m

i=1Hi.

Primeiro observe-se que o fato de ser f uma aplicação celular implica que cada aplicação Fi é constante igual a e0∗ no bordo Si1 = ∂Di2. Logo, cada aplicação ¯Hi é constante igual a e0∗

em S1 i × 0.

Selecione um meridiano distinguido M na esfera S2 _{e dena H sobre cada segmento p × I,}

p ∈ χ−1(e0), como sendo um homeomorsmo de p × I sobre M. Para cada 1 ≤ j ≤ n, sejam q±sj : S

2 _{→ S}2 _{o revestimento ramicado canônico a |s} j|

folhas, com dois pontos de ramicação e0

∗ e −e0∗, tais que deg(q±sj) = ±sj. Considere ainda

que q±sj xe pontualmente o meridiano distinguido M (isto é claramente possível).

Seja γxj

ǫi um arco (fechado) arbitrário delimitado pela partição χ

−1_(e0_{) ∩ S}1

i = χ−1i (e0),

de modo que a imagem de γxj

ǫi por χ é e1xj e ǫi é um índice no conjunto {1, . . . , ρi}.

Então o subconjunto γxj

ǫi × I da esfera ∂(D

2

i × I) é homeomorfo a I × I. Além disso, o

índice ǫi ∈ {1, . . . , ρi} corresponde a uma (e apenas uma) parcela de uma parcela da soma

δij =Pk_λ=1i δij(λ), e o sinal de tal parcela é igual ao sinal sgn(γ xj

Isto mostra que ρi X ǫi=1 sgn(γxj ǫi) = δij,

e portanto, como (s1, . . . , sn)T é solução do sistema ∆Y = −

−→

deg(f ), segue-se que

n X j=1 ρi X ǫi=1 sgn(γxj ǫi)sj = δi1s1+ · · · + δinsn= − deg(fi). Seja Γxj ǫi : γ xj ǫi × I → S

2 _{a aplicação quociente que identica γ}xj

ǫi × 0 ao ponto e

0

∗, identica

γxj

ǫi × 1ao ponto −e0∗, e identica as duas componentes (dois segmentos) de ∂(γ xj ǫi) × I sobre o meridiano distinguido M. Dena H|_γxj ǫi×I : γ xj

ǫi × I → S2 como sendo a composição

H|_γxj

ǫi×I = qsgn(γǫixj)sj◦ Γ

xj

ǫi.

Para cada 1 ≤ i ≤ m, as aplicações Fi, κi e H|_γxj

ǫi×I, para 1 ≤ j ≤ n e ǫi = 1, . . . , ρi,

dão juntas uma aplicação contínua Hi : ∂(Di2× I) → S2, que é a aplicação Fi em Di2× 0, é

a aplicação constante κi em Di2× 1, e em cada γ xj

ǫi × I é tal que reveste com o disco γ

xj

ǫi × I

a esfera S2 _{exatamente |s}

j|vezes, no sentido igual ou oposto ao induzido pela orientação de

S2, dependendo de ser o sinal sgn(γxj

ǫi) positivo ou negativo, respectivamente.

(A gura abaixo ilustra a construção de Hi para o caso em que Fi : Di2× 0 → S2 é a

aplicação que identica todo o bordo ∂(D2

i × 0) à 0-célula e0∗ de S2.) k 0 *

e

0 * - e 0 i ie

g

xj i ie

g

xl F_i H_i i

Figura 5.13: Esquema da construção das homotopias Hi

Agora, da fórmula Pn j=1

Pρi

ǫi=1sgn(γ

xj

ǫi )sj = − deg(fi), e do fato de ser fi∨ aplicação

de grau deg(fi) e a aplicação constante κi de grau zero, segue-se que a aplicação Hi :

∂(D2

i × I) → S2 é uma aplicação de grau deg(Hi) = 0. Então, Hi estende a uma aplicação

¯

Hi : Di2× I → S2 consistindo de uma homotopia iniciando em Fi e terminando em κi. Além

disso, como cada H|_γxj

ǫi×I ca completamente denida pelo sinal sgn(γ

xj

ǫi) e pela j-ésima

coordenada sj da solução (s1, . . . , sn)T do sistema ∆PY = −−→deg(f ), ca claro da construção

5.6 Condição necessária e suciente para se ter µ(f) = 0 83

argumentos e do fato de serem unitárias as bras dos pontos interiores às 2-células de KP que

a aplicação ¯H =`m<sub>i=1</sub>H¯i:`(D2i × I) → S2 é uma homotopia constante por níveis nas bras

de χ, iniciando em F =`m

i=1Fi e terminando na aplicação constante κ =`m_i=1κi.

Agora, suponha que seja ¯H : (`m<sub>i=1</sub>D2<sub>i</sub>) × I → S2 uma homotopia constante por níveis nas bras de χ, iniciando em F e terminando na aplicação constante κ :`m

i=1Di2 → S2.

É claro que, salvo as devidas identicações, tem-se ¯H(· , 0) = F e ¯H(· , 1) = κ.

Agora, sendo cada ¯Hi : D2i × I → S2 uma aplicação contínua, devemos ter deg(Hi) = 0,

onde Hi = ¯Hi|∂(D2

i×I), como já vínhamos denotando.

Além disso, cada aplicação ¯Hi é uma homotopia constante por níveis nas bras de χi,

iniciando em Fi e terminando na aplicação constante κi. Sendo assim, e salvo as devidas

identicações, tem-se Hi(· , 0) = Fi e Hi(· , 0) = κi.

Mantendo-se as notações anteriores, de tudo isto se conclui que, para cada i xado, 1 ≤ i ≤ m, existe uma n-upla de números inteiros (si

1, . . . , sin), tal que 0 = deg(Hi) = deg(fi) + n X j=1 ρi X ǫi sgn(γxj ǫi)s j i = deg(fi) + δi1si1+ · · · + δinsin.

Portanto, δi1si1+ · · · + δinsin= − deg(fi), ou seja, a n-upla (si₁, . . . , sin)é uma solução inteira

para a equação linear diophantina δi1y1i+ · · · + δinyin= − deg(fi), que é exatamente a i-ésima

equação do sistema ∆PY = −

−→ deg(f ).

Agora, como ¯H = `m_i=1H¯i é uma homotopia constante por níveis nas bras de χ =

`m

i=1χi, segue-se que existe uma n-upla de números inteiros (s1, . . . , sn), tal que δi1s1 +

· · · + δinsn = − deg(fi) para todo 1 ≤ i ≤ m. Logo, o vetor inteiro s = (s1, . . . , sn)T é

uma solução inteira para o sistema linear diophantino ∆PY = −

−→

deg(f ). Portanto, o sistema ∆PY =−→deg(f )é compatível.

Isto conclui a prova do Teorema 5.20. _¥

Este teorema que acabamos de demonstrar tem algumas conseqüências importantes. De- dicamos na seqüência uma subseção à apresentação e demonstração de algumas mais interes- santes. Antes, porém, apresentamos alguns exemplos que, embora simples, ilustram bem o resultado do Teorema 5.20.

5.6.3 Alguns exemplos da aplicabilidade do Teorema 5.20

O primeiro exemplo que apresentamos mostra a relação entre o Teorema 5.20 e aqueles da Seção 5.4, quando todos se aplicam.

Exemplo 5.22. Seja KP o 2-complexo modelo induzido pela presentação P = hx | xp, xqi,

onde p e q são inteiros arbitrários. Então KP possui duas células 2-dimensionais, digamos e21

e e2

2-célula e2

1 seja aquela colada segunda a palavra relatora xp, e e22seja colada segunda a palavra

relatora xq_{. Seja f : K}

P → S2 uma aplicação celular arbitrária e sejam f1, f2 constituindo a

fatoração celular de f. A matriz diophantina induzida por P é a matriz ∆P = [p q]T. Pelo

Teorema 5.20, a aplicação f é livre de raízes se, e somente se, o sistema linear diophantino " p q # h y i= " deg(f1) deg(f2) #

é compatível, ou seja, possui uma solução inteira. Agora, se s é uma solução inteira deste sistema, então devemos ter deg(f1)/p = s = deg(f2)/q. Segue-se disto que

f é livre de raízes se, e somente se, q deg(f1) = p deg(f2) é inteiro.

Agora, se assumimos que p e q são inteiros primos entre si, então não é difícil checar que KP é homotopicamente equivalente a esfera S2 e ζKP = qe

2

1− pe22 representa um gerador do

grupo de homologia H2(KP) ≈ Z. Pela Seção 5.4, tem-se dH(f) = q deg(f1) − p deg(f2). Pela

Proposição 5.14, f é livre de raízes se, e somente se, q deg(f1) − p deg(f2) = 0.

Mas temos q deg(f1) − p deg(f2) = 0 ⇔ qdeg(f1)−p deg(f_pq 2) = 0 ⇔ deg(f1)/p = deg(f2)/q.

Além disso, se q deg(f1) − p deg(f2) = 0, então deg(f1) é múltiplo de p e deg(f2) é múltiplo

de q, já que mdc(p, q) = 1. Portanto,

dH(f ) = 0e, e somente se deg(f1)/p = deg(f2)/q é inteiro.

¤ Observe-se que se p = 2 e q = 3, ou vice-versa, então o complexo KP deste exemplo é

aquele do Exemplo 5.19.

Exemplo 5.23. Seja RP2 _{o plano projetivo. Então RP}2 _{= K}

P, onde P = hx | x2i. Seja

f : RP2 _{→ S}2 _{uma aplicação celular arbitrária e seja f}

1 : S12 → S2 fatoração celular de f,

ou seja, f1 é a aplicação celular tal que f = f1◦ ω1, onde ω1 : RP2 → S12 é a aplicação que

identica todo o 1-esqueleto de K em um único ponto, a 0-célula de S2

1. Pelo Teorema 5.20,

f é livre de raízes se, e somente se, o sistema linear diophantino h

2 i h y i=h deg(f1)

i

é compatível. Mas isto claramente ocorre se, e somente se, deg(f1) é um número par.

¤ Este exemplo se generaliza para superfícies fechadas não orientáveis de qualquer gênero.

Exemplo 5.24. Seja Ng a superfície fechada não orientável de gênero g > 1. Então Ng é o

2-complexo modelo induzido pela presentação

5.6 Condição necessária e suciente para se ter µ(f) = 0 85

Seja f : Ng → S2 uma aplicação celular arbitrária e seja f1 : S12 → S2 fatoração celular

da aplicação f. Pelo Teorema 5.20, f é livre de raízes se, e somente se, o sistema linear diophantino h 2 2 · · · 2 i     y1 ... y2g     = h deg(f1) i

é compatítel. Mas isto claramente ocorre se, e somente se, deg(f1) é um número par.

¤ Para o caso de aplicações celulares de uma superfície fechada orientável na esfera, apre- sentamos o exemplo abaixo.

Exemplo 5.25. Seja Mg a superfície fechada orientável de gênero g ≥ 1. Então Mg é o

2-complexo modelo induzido pela presentação

P = hx1, z1, x2, z2, . . . , xg, zg| x1z1x−11 z1−1x2z2x−12 z2−1· · · xgzgx−1g z−1g i.

Seja f : Mg → S2 uma aplicação celular arbitrária e seja f1 : S12 → S2 fatoração celular da

aplicação f. Note-se que a matriz diophantina ∆P induzida por P é a matriz nula. Portanto,

pelo Teorema 5.20, f é livre de raízes se, e somente, deg(f1) = 0. Em outras palavras,

µ(f ) = 0se, e somente se, µ(f1) = 0. _¤

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