É óbvio que para cada aplicação celular f : K → S2 de grau homológico d, vale a desigual-
dade ζ(K, d) ≤ ζ(f). O leitor poderá extrair do Exemplo 5.18, que apresentamos na seqüência, exemplos em que se veri ca a desigualdade estrita ζ(K, d) < ζ(f). Também é verdade que ζ(K, d) ≤ ess(K‡), e o Exemplo 5.18 a seguir ilustra casos em que ζ(K, d) < ess(K‡).
Enunciamos e demonstramos agora o resultado principal desta seção.
Teorema 5.16. Seja K um 2-complexo homotopicamente equivalente a esfera S2 e seja f :
K → S2 uma aplicação de grau homológico d. Então µ(f) ≤ ζ(K, d). Além disso, µ(f) = 0
se, e somente se, ζ(K, d) = 0.
Prova: Certamente, f possui uma aproximação celular fcel e dH(fcel) = d e µ(f) = µ(fcel).
Então, podemos supor que a própria f seja uma aplicação celular.
Neste caso, tem-se d = a1deg(f1) + · · · + andeg(fn). Seja (d1, . . . , dn) um n-upla de
números inteiros satisfazendo ζ(K, d) =R(d1, . . . , dn). Para cada i = 1, . . . , n, seja ϕi : Si2→
S2 uma aplicação celular de grau deg(ϕ
i) = di, e para cada n < j ≤ m seja ϕj : Sj2 → S2 a
aplicação celular constante em e0
∗. Para cada x ∈ K escolha de uma vez por todas um índice
i(x) ∈ {1, . . . , m}tal que x ∈ e2 i(x).
Seja ϕ : K → S2 a aplicação de nida por ϕ(x) = ϕ
i(x)(ωi(x)), onde cada ωi: K → Si2 é a
aplicação quociente de nida no início da Seção 5.1. Como cada ϕi e cada ωi é uma aplicação
celular, a aplicação ϕ está bem de nida e é também celular. Além disso, dH(ϕ) = a1d1+ · · · + andn= d e ζ(ϕ) =R(d1, . . . , dn)
Segue-se do Teorema 5.6 que µ(ϕ) ≤ ζ(ϕ) = R(d1, . . . , dn) = ζ(K, d). Agora, dH(ϕ) =
d = dH(f ). Logo ϕ é homotópica a f pelo Lema 5.13. Portanto µ(f) = µ(ϕ) ≤ ζ(K, d). Para provar a segunda parte do teorema, basta notar que ζ(K, d) = 0 se, e somente se, d = 0. Logo, o resultado segue da Proposição 5.14.
¥
Corolário 5.17. Com as mesmas hipóteses do Teorema 5.16, se ζ(K, d) = 1, então µ(f) = 1. Prova: Sendo ζ(K, d) = 1, o Teorema 5.16 mostra que 0 < µ(f) ≤ 1. Portanto µ(f) = 1.
¥
5.5
Dois exemplos interessantes
Para ilustrar a boa aplicabilidade do Teorema 5.16, apresentamos um exemplo em que, dado um 2-complexo K homotopicamente equivalente a esfera S2, podemos determinar com-
pletamente o número µ(f) em função do grau homológico dH(f). Este exemplo foi parcial- mente apresentado por D.L.Gonçalves em [22]. No referido artigo, o autor apenas constrói o 2-complexo K e faz algumas estimativas do número µ(f). Para alguns valores de dH(f), o autor diz acreditar saber exatamente o valor de µ(f), e diz qual é este valor em que acredita;
no entanto, não apresenta nenhuma prova. Devemos aludir que os valores exatos que deter- minamos para µ(f), e que o leitor poderá conferir com detalhes no exemplo, conferem com aqueles em que D.L.Gonçalves dizia acreditar quando publicou [22].
Na seqüência, apresentamos um segundo exemplo, ligeiramente mais complicado que o primeiro, no qual os problemas apresentados não podem ser completamente resolvidos como simples conseqüência do Teorema 5.16.
Exemplo 5.18. Seja Ki, i = 1, 2, dois 2-complexos obtidos de S1 pela colagem de uma
2-célula através da aplicação ϕi : S1 → S1, i = 1, 2, de graus 2 e 3 respectivamente. (K1 é
exatamente o espaço projetivo 2-dimensional). Tome
K = K1⊔ S
1× [0, 1] ⊔ K 2
∼ onde identi camos os 1-esqueletos S1 ⊂ K
1 com S1× 0e S1 ⊂ K2 com S1× 1.
Provemos inicialmente que K é simplesmente conexo.
Seja A o subconjunto aberto de K correspondendo a imagem pela identi cação do con- junto K1⊔ S1× [0, 3/4) e seja B o subconjunto aberto de K correspondendo a imagem pela
identi cação do conjunto S1× (1/4, 1] ⊔ K
2. Então A ∩ B é o subconjunto aberto de K cor-
respondendo a S1× (1/4, 3/4). É fácil ver que A, B e A ∩ B são todos conexos por caminhos
e, além disso,
π1(A) = hα | α2i, π1(B) = hβ | β3i e π1(A ∩ B) = hσ | · i
Pelo Teorema de Van Kampen segue-se que
π1(K) = hα, β | α2, β3, α = βi = 11.
Vamos mostrar agora que H2(K) ≈ Ze vamos determinar um gerador ζK para este grupo.
Considere a decomposição celular natural de K como mostra a gura abaixo:
2 ´ ´3 e3 1 e2 2 e0 2 1 e0 e1 2 e2 1 1 e1 K1 K2 3 e2
Figura 5.5: Um 2-complexo K homotopicamente equivalente a esfera S2
O complexo de cadeias celulares de K, 0 → he21, e22, e23i ∂2
−→ he11, e12, e13i ∂1
−→ he01, e02i → 0 é tal que
5.5 Dois exemplos interessantes 71
Logo, ∂2(αe21+ βe22+ γe23) = (2α + γ)e11+ (3β + γ)e12. E assim, a cadeia celular αe21+ βe22+ γe23
pertence ao núcleo de ∂2 se, e somente se, 2α + γ = 0 = 3β + γ. Portanto
H2(K) ≈ ker(∂2) = hζKi ≈ Z onde ζK = 3e21+ 2e22− 6e23.
Agora, ess(K) 6= 0, já que H2(K) 6= 0 (na verdade ess(K) = 3), e #2(K) − β1(K1) =
3 − 2 = 1, já que K1 é homotopicamente equivalente ao bouquet S1∨ S1. Como, além disso,
K é conexo e simplesmente conexo, segue da Proposição 3.12 que K é homotopicamente
equivalente a esfera S2.
Discutamos agora o problema de minimizar as raízes de uma aplicação celular arbitrária f : K → S2, ou seja, o problema de se determinar o número µ(f). Lembremo-nos que a exigência de que f seja celular não impõe restrições deveras, já que toda aplicação de um complexo em uma superfície possui uma aproximação celular.
Pelo que vimos no início desta subseção, cada aplicação celular f : K → S2 possui um
grau homológico dH(f) satisfazendo a equação
dH(f ) = 3 deg(f1) + 2 deg(f2) − 6 deg(f3).
Seja d = dH(f). Então já sabemos que µ(f) = 0 ⇔ d = 0. Consideremos então d 6= 0. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que d > 0. Temos
ζ(K, d) = min{R(d1, d2, d3) : d = 3d1+ 2d2− 6d3}.
A total caracterização de µ(f) em função do grau homológico d de f é a seguinte: 1. Se d = 1 então µ(f) = 2.
De fato, ζ(K, d) = 2 = R(1, −1, 0), e isto mostra que µ(f) ≤ 2. Por outro lado, se 1 = 3d1+ 2d2− 6d3 com d3 6= 0 então d1, d2 6= 0 também e R(d1, d2, d3) = 3. Segue-se que
toda aplicação de grau homológico 1 (e logo toda aplicação homotópica a f) possui ao menos uma raiz em K1 e uma raiz em K2. Logo µ(f) ≥ 2, já que K1∩ K2= ∅.
2. Se d e 6 são coprimos, então µ(f) = 2.
De fato, é fácil ver que todo inteiro relativamente primo com 6 é da forma 3d1+ 2d2 com
d1, d2 6= 0. Portanto ζ(K, d) = 2 e µ(f) ≤ 2. Agora, os mesmos argumentos do item anterior
podem ser utilizados para se concluir que µ(f) ≥ 2. Isto mostra que µ(f) = 2 e as raízes estão localizadas uma em K1 e outra em K2.
3. Se d e 2 são coprimos, então d é ímpar e temos exatamente os dois seguintes casos: (a) Se d ≡ 0 mod 3, então µ(f) = 1.
Neste caso d é da forma 3d1 e, como d não é par, também não é múltiplo de 6. Então
µ(f ) = ζ(K, d) = 1, com a raiz localizada em K1.
Neste caso d é da forma 3d1 + 2d2 com d1, d2 6= 0 ou da forma 3d1 + 2d2 − 6d3 com
d1, d2, d3 6= 0. Segue-se que µ(f) ≤ ζ(K, d) = 2. Por outro lado, novamente os mesmos
argumentos do item 1 mostram que µ(f) ≥ 2. Portanto µ(f) = 2 e as raízes estão uma em K1 e a outra em K2.
4. Se d e 3 são coprimos, então temos exatamente os seguintes dois casos: (a) Se d é par, então µ(f) = 1.
Neste caso d é da forma 2d2 ou 2d2− 6d3 com d2, d3 6= 0, e d não é múltiplo de 6. Então
µ(f ) = ζ(K, d) = 1 e a raiz está localizada em K2.
(b) Se d é ímpar, então µ(f) = 2.
Neste caso ou d ≡ 1 mod 3 ou d ≡ 2 mod 3, e o resultado então é idêntico ao do caso (b) do item anterior.
5. Se 6 divide d, então µ(f) = 1.
Neste caso d pode ser das formas 3d1ou 2d2 ou −6d3, entre outras envolvendo duas ou três
parcelas, e é evidente que ζ(K, d) = 1. Além disso, a raiz pode estar localizada em qualquer
parte do complexo K. ¤
Apresentamos agora um exemplo um pouco mais complicado. Consideramos o 2-complexo do exemplo anterior e deletamos as células e2
3e e13e identi camos as 1-células e11e e12para obter
um novo complexo homotopicamente equivalente ao primeiro. Então, estudamos o número mínimo de raízes de aplicações deste novo 2-complexo na esfera S2.
Exemplo 5.19. Considere o plano projetivo construído à maneira usual colando-se à esfera S1 uma 2-célula e21, ao longo do bordo, através de uma aplicação S1 → S1 de grau 2. Ainda,
considere o pseudo-plano projetivo P2
3 de grau 3, obtido pela colagem de uma 2-célula e22
na esfera S1, ao longo do bordo, por uma aplicação S1 → S1 de grau 3. Agora, seja K
o 2-complexo obtido identi cando-se a esfera S1 correspondente ao 1-esqueleto de RP2 com
aquela correspondente ao 1-esqueleto de P2
3. O complexo K e sua estrutura CW natural
induzida pela construção através das colagens estão representados na Figura 5.6.
2 ´ 3 ´ e0 e1 e2 1 e2 2 K
Figura 5.6: Um 2-complexo K homotopicamente equivalente a S2
Note-se que este 2-complexo é aquele obtido do 2-complexo do Exemplo 5.18 deletando-se a 1-célula e1
5.5 Dois exemplos interessantes 73
É fácil checar que K é homotopicamente equivalente a esfera S2e o elemento ζ
K= 3e21+2e22
é um gerador do grupo de homologia H2(K) ≈ Z.
Sabemos que uma aplicação f : K → S2 é livre de raízes se e somente se dH(f) = 0.
Vamos agora provar o seguinte:
Se f : K → S2 tem grau homológico não nulo, então µ(f) = 1.
Note inicialmente que basta provar tal resultado para o caso em que dH(f) = 1. Com efeito: Suponha que f : K → S2 tenha grau homológico dH(f) = 1 e que já se tenha provado
que µ(f) = 1. Sejam, então, ϕ : K → S2 uma aplicação homotópica a f e a ∈ S2 um ponto
tais que #ϕ−1(a) = 1, digamos ϕ−1(a) = {b}. Dado um inteiro l 6= 0, existe uma auto-
aplicação gl: S2 → S2 de grau l tal que g−1(a) = {a}. Seja ϕl: K → S2 a aplicação de nida
pela composição ϕl = gl◦ ϕ. Então, certamente, dH(ϕl) = deg(gl)dH(ϕ) = l dH(f ) = l
e, além disso, ϕ−1
l (a) = {b}. Agora, se f′ : K → S2 é uma aplicação qualquer de grau
homológico l, então f′ é homotópica a ϕ
l e, portanto, µ(f′) = 1.
Sabido isto, vamos provar que:
Existe uma aplicação f : K → S2 de grau homológico dH(f) = 1 e tal que µ(f) = 1.
A prova desta a rmação é um tanto longa e, por isso e para facilitar o entendimento, será dividida em várias etapas. Antes de mais nada, seja x0 ∈ K1 o ponto do 1-esqueleto de K
correspondendo a antípoda da 0-célula e0.
1a Etapa: Vamos de nir uma aplicação ¯f
1 : RP2→ S2 cuja única raiz é o ponto x0.
Note-se que x0 é um ponto do plano projetivo RP2 pertencente ao seu 1-esqueleto. Seja
x1 ∈ RP2 um ponto do interior da 2-célula e21 próximo a x0. Então, existe um subconjunto
aberto V de RP2, homeomorfo a 2-bola aberta, contendo x
0 e x1e tal que o fecho que K1∩ V
em RP2 é um arco fechado σ que não contém e0. Obviamente, x
1 é um ponto do interior de
σ. A Figura 5.7 ilustra precisamente a construção de um homeomor smo h : RP2 → RP2
homotópico a aplicação identidade e tal que h|RP2\V = identidade e h(x0) = x1, onde V =
V1∪ V2. h identidade e0 e0 e0 e0 0 x x0 1 x 1 x s s ) (s h V1 V2 V1 V2 0 x x0 identidade
Seja ω1 : RP2→ S2 a aplicação quociente canônica que colapsa todo o 1-esqueleto de RP2
sobre a 0-célula e0
∗ de S2 e identi ca o interior da 2-célula e21 com o interior da 2-célula e2∗ de
S2. Denote por a a imagem de x
1 por ω1, ou seja a = ω1(x1). Então a é um ponto do interior
da 2-célula e2
∗ de S2 e temos ω−11 (a) = {x1}. Agora, de na a aplicação ¯f1 : RP2 → S2 pela
composição ¯f1 = ω1◦ h. Então ¯f1 é uma aplicação contínua, mas não celular, homotópica a
ω1 e tal que ¯f1−1(a) = {x0}.
Note-se que ¯f1 aplica todo o subconjunto fechado K1 \ V de K1 sobre e0∗ e a imagem
de σ por ¯f1 descreve um caminho fechado simples ¯f1(σ) na esfera S2, com ponto base e0∗ e
passando pelo ponto a.
e
2 *e
0 * ) (s f1 aFigura 5.8: O caminho fechado simples ¯f1(σ)in S2
2a Etapa: Vamos de nir uma aplicação ¯f
2 : P23 → S2 cuja única raiz com respeito ao
ponto a é o ponto x0.
Seja ω2 : RP2 → S2 a aplicação quociente canônica que colapsa todo o 1-esqueleto de P23
sobre a 0-célula e0
∗ da esfera S2 e identi ca o interior da 2-célula e22 com o interior da 2-célula
e2∗ de S2.
Seja x2 = ω2−1(a). (Lembre-se que a = ω1(x1) = ¯f1(x0)). Então x2 ∈ P23 é um ponto
do interior da 2-célula e2
2 próximo a x0. Certamente, existe um subconjunto aberto U de
P23 contendo os pontos x0 e x2 e tal que o fecho da intersecção U ∩ K1 é exatamente o arco
σ e, além disso, U \ σ é uma união disjunta de três subconjuntos abertos de P2
3, todos eles
homeomorfos a 2-bola aberta. A Figura abaixo ilustra o fecho de U = U1∪ U2∪ U3 em P23.
s
U1
U2
U3
Figura 5.9: Fecho da vizinhança aberta U de x0 e x2 em P23
Agora, a Figura 5.10 ilustra precisamente a construção de uma aplicação g : P2
3 → P23,
homotópica a aplicação identidade e tal que g|P2
5.5 Dois exemplos interessantes 75 g e0 e0 0 x 2 x e0 e0 e0 e0 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 x s s s ) (s g U1 U2 U3 U1 U2 U3 identidade identidade
Figura 5.10: Uma auto-aplicação especí ca do pseudo plano projetivo P2 3
Certamente, existe uma aplicação celular ω′
2 : P23 → S2, homotópica a ω2, aplicando o
interior da 2-célula e2
2de P23homeomor camente sobre a 2-célula e2∗de S2e tal que (ω′2)−1(a) =
{x2} e o caminho fechado correspondente a imagem ω2′(g(σ)) coincide com ¯f1(σ).
Seja ¯f2 : P23 → S2 a aplicação de nida pela composição ¯f2 = ω′2◦ g. Então ¯f2 é uma
aplicação contínua, mas não é celular, homotópica a ω2 e tal que ¯f2−1(a) = x0.
Para nalizar esta etapa, note que, por construção, ¯f1|K1 = ¯f2|K1.
Etapa 3: Vamos de nir novas aplicações f1 : RP2→ S2 e f2: P32 → S2 usando ¯f1 e ¯f2.
Seja γ ⊂ S2 o laço ¯f
1(σ), o qual coincide com o laço ¯f2(σ), pela 2a Etapa.
Seja ϕ1 : S2→ S2 uma aplicação celular de grau 1 tal que ϕ−11 (a) = {a}e ϕ1(γ)é o arco
geodésico γ′ conectando e0
∗ a a. Similarmente, seja ϕ2 : S2 → S2 uma aplicação celular de
grau −1 tal que ϕ−1
2 (a) = {a} e ϕ2(γ) é o arco geodésico γ′. Veja a Figura 5.11.
e*2 e0 * g a e*2 e0 * j1 a 2 g' j
Figura 5.11: Auto-aplicações especí cas de S2 de graus 1 e −1
De na aplicações f1 : RP2 → S2 e f2 : P32 → S2 pelas composições f1 = ϕ1 ◦ ¯f1 e
f2= ϕ2◦ ¯f2. Por construção,
f1−1(a) = {x0} = f2−1(a).
4a Etapa: De nição de f.
Note-se que as aplicações f1 e f2 coincidem em K1, ou seja, f1(x) = f2(x) para todo
x ∈ K1. Disto e do fato de K1 ser fechado em K = RP2∪
K1P23, pode-se utilizar as aplicações
f1 e f2 para se de nir uma aplicação (contínua) f : K → S2 tal que f|RP2 = f1 e f|P2 3 = f2.
Tal aplicação f satisfaz f−1(a) = {x 0}.
Vamos agora provar que o grau homológico de f é igual a 1, ou seja dH(f) = 1. Como f não é uma aplicação celular, não é fácil se concluir isto diretamente. No entanto, f possui uma aproximação celular bastante natural. Construamo-la: Lembre-se que ω1 é uma aproximação
celular de ¯f1 e ω2 é uma aproximação celular de ¯f2. De na ϕ : K → S2 do seguinte modo:
Dado x ∈ K, escolha i(x) ∈ {1, 2} tal que x ∈ e2
i(x). Então de na ϕ(x) = ϕi(x)(ωi(x)(x)).
Como cada ωi e ϕi, i = 1, 2, é celular, a aplicação ϕ está bem de nida e é também celular.
Além disso, é fácil ver que ϕ é uma aproximação celular de f e as aplicações ϕ1e ϕ2constituem
uma fatoração celular de ϕ. Segue-se que
dH(f ) = dH(ϕ) = 3 deg(ϕ1) + 2 deg(ϕ2) = 3 − 2 = 1.
Pelas considerações iniciais, isto conclui com êxito tudo o que queríamos demonstrar. Além disso, cou provado que dada uma aplicação ψ : K → S2 de grau homológico d 6= 0
existe uma aplicação homotópica a ψ, necessariamente não celular, possuindo uma única raiz, a qual necessariamente pertence a K1 e pode ser escolhida para ser qualquer ponto deste
subcomplexo. ¤