Forskjell på foreldre og personer uten barn?

5. Spørreundersøkelsen

5.3 Forskjell på foreldre og personer uten barn?

Nesta seção, apresentamos alguns resultados destacando o fato de que o estudo do pro- blema de raízes para aplicações de um complexo em uma superfície pode ser modicado, sem qualquer prejuízo, para o estudo do mesmo problema mas para a restrição de tais aplicações a subcomplexos especiais do complexo original.

Note-se, desde já, que se f : X → Y é uma aplicação entre espaços topológicos, e se X admite uma estrutura celular CW, então o número µ(f), para f considerada como aplicação de um complexo em Y , é independente de possíveis subdivisões na estrutura CW de X.

O primeiro resultado é simples, mas apresenta uma demonstração exaustiva que será dividida em vários casos. Algumas ilustrações serão inseridas na demonstração como suporte a sua melhor compreensão.

Daqui em diante, K será um 2-complexo conexo e nito e M uma superfície fechada.

Proposição 3.15. Se f : K → M é uma aplicação e K ց L, seja i : L ֒→ K a inclusão natural e dena fL= f ◦ i : L → M. Então µ(f) = µ(fL).

Prova: Todo colapso é uma seqüência de colapsos elementares, logo podemos supor que K ց Lé um colapso elementar, ou seja, K = L ∪ en∪ en−1 _{com n = 1 ou n = 2.}

Como K ց L, existe uma retração por deformação forte r : K → L de modo que i ◦ r ≃ idK. Além disso, é claro que r(x) ∈ L1 para todo x ∈ K \ L.

Certamente µ(fL) ≤ µ(f ). De fato: Sejam ϕ : K → M uma aplicação homotópica a f

e a ∈ M um ponto, tais que µ(f) = #ϕ−1_(a)_{. Então a aplicação ϕ}

L = ϕ ◦ i : L → M é

homotópica a fLe tem-se ϕ−1L (a) ⊂ ϕ−1(a). Logo #ϕ−1L (a) ≤ µ(f ). E portanto µ(fL) ≤ µ(f ).

Para provar que µ(f) ≤ µ(fL)vamos estudar separadamente diversos casos que passamos

a enumerar abaixo. Começamos do mais simples. 1o _{Caso: Existe uma aplicação ϕ}

L : L → M homotópica a fL tal que #ϕ−1_L (a) = µ(f )

para algum a ∈ M com ϕ−1

L (a) ∩ r(K \ L) = ∅. Neste caso, dena a aplicação ϕ : K → M

por ϕ = ϕL◦ r. Então ϕ é uma extensão de ϕL para K e temos

ϕ = ϕL◦ r ≃ fL◦ r = f ◦ i ◦ r ≃ f.

Além disso, para todo x ∈ K \ L tem-se ϕ(x) = ϕL(r(x)) 6= a. Logo ϕ−1(a) = ϕ−1L (a) e,

3.6 O problema de raízes em subcomplexos especiais 45

2o _{Caso: O 1}o _{caso não se aplica e K = L ∪ e}1_{∪ e}0_{, ou seja, o colapso elementar K ց L}

é de dimensão 1. Sejam ϕL: L → M aplicação homotópica a fLe a ∈ M um ponto, tais que

µ(fL) = #ϕ−1(a). Por hipótese, ϕ−1_L (a) ∩ r(K \ L) 6= ∅. Mas K \ L = e1∪ e0 e certamente

r(e1∪ e0_{) = {e}0

0}, onde e00 é uma 0-célula de L (e logo de K).

Seja h : D2 _{→ M} _{um mergulho do 2-disco unitário fechado em M, tal que h(0, 0) = a e}

h(D2₎ _{está contido em alguma vizinhança coordenada de a em M. Tal mergulho certamente}

existe, haja visto que M é uma superfície.

M K L j g a e0 e1 h e0 0

Figura 3.5: Segundo caso da prova que µ(f) ≤ µ(fL)

O subcomplexo e0

0∪ e1∪ e0 de K é naturalmente homeomorfo ao subconjunto 0 × [0, 1] de

D2 por um homeomorsmo g tal que g(e0₀) = (0, 0). Dena a aplicação ϕ : K → M fazendo: ϕ(x) =

(

ϕL(x) se x ∈ L

h(g−1(x)) se x ∈ e1∪ e0 .

A aplicação ϕ está claramente bem denida e é contínua. Além disso ϕ é uma extensão de ϕL em K e temos ϕ ≃ ϕL◦ r ≃ fL◦ r ≃ f. Ainda mais, ϕ−1(a) = ϕ−1L (a) e, portanto

µ(f ) ≤ µ(fL).

3o _{Caso: O 1}o _{caso não se aplica e K = L ∪ e}2 _{∪ e}1 _{com r(e}2_{∪ e}1₎ _{de dimensão zero,}

ou seja, r(e2_{∪ e}1_{) = {e}0

0} para alguma 0-célula e00 de L (e logo de K). Sejam ϕL : L → M

aplicação homotópica a fL e a ∈ M um ponto, tais que µ(fL) = #ϕ−1(a). Por hipótese,

devemos ter ϕ−1

L (a) ∩ r(e2∪ e1) = {e00}.

Seja h : D2 _{→ M}_{um mergulho do 2-disco unitário fechado em M, tal que h(0, 0) = a, como}

no caso anterior. O subcomplexo e0

0∪e2∪e1de K é naturalmente homeomorfo ao subconjunto

D₊2 = {(x, y) ∈ D2: y ≥ 0} de D2 por um homeomorsmo g tal que g(e0₀) = (0, 0). Dena a aplicação ϕ : K → M fazendo:

ϕ(x) = (

ϕL(x) se x ∈ L

h(g−1_{(x)) se x ∈ e}2_{∪ e}1 .

A aplicação ϕ está bem denida e é contínua. Além disso ϕ é uma extensão de ϕLem K

M K L j g a e1 h e0 0 e2

Figura 3.6: Terceiro caso da prova que µ(f) ≤ µ(fL)

4o _{Caso: O 1}o _{caso não se aplica e K = L ∪ e}2_{∪ e}1 _{com r(e}2_{∪ e}1₎_{de dimensão 1, ou seja,}

r(e2∪ e1)é uma reunião nita de 1-células e 0-células. Sejam ϕL: L → M aplicação homotó-

pica a fLe a ∈ M um ponto, tais que µ(fL) = #ϕ−1(a). Então, certamente, ϕ−1L (a)∩r(e2∪e1)

é um conjunto nito não-vazio. Como o problema será resolvido localmente, estendendo-se ϕLem vizinhanças de suas raízes pertencente ao conjunto ϕ−1_L (a) ∩ r(e2∪ e1), podemos supor

que este é um conjunto unitário. Ainda mais, a menos de uma subdivisão celular, podemos supor ϕ−1

L (a) ∩ r(e2∪ e1) = {e00} com e00 uma 0-célula de L (e logo de K).

Seja h :D◦2_{→ M} _{uma parametrização coordenada de uma vizinhaça U de a em M, e seja}

W = ϕ−1_L (U ). Então W é uma vizinhança de e0₀ em L. Seja V uma vizinhança fechada de e0

0 em e2∪ e1 homeomorfa a um semi-disco fechado e tal que V ∩ L ⊂ W . Observe-se que

ϕ−1(a) ∩ V ∩ L = {e0₀}.

Fica claro da construção que V ∩ L é um subconjunto de dimensão 1 de L1_{, com o ponto}

e0₀ em seu interior. Sendo assim, (V ∩ L) \ {e0₀} possui duas componentes conexas, cada uma homeomorfa ao intervalo semi-aberto (0, 1]. Sejam Σ1 e Σ2 os fechos destas componentes em

V ∩ L. Neste caso, Σ1\ {e00}e Σ2\ {e00} são as componentes, e Σ1 e Σ2 são ambos conjuntos

homeomorfos ao intervalo fechado [0, 1]. A menos de homotopia relativa a {e0

0}e/ou diminuição a priori da vizinhança coordenada

U de a em M, podemos assumir que ϕLé injetora em V ∩L. Além disso, a menos de pequena

perturbação do homeomorsmo h, podemos admitir que u1 = h ◦ ϕL(Σ1) e u2 = h ◦ ϕL(Σ2)

sejam vetores linearmente independentes do R2_{, ambos de mesmo comprimento l < 1.}

Os vetores u1 e u2 denem um setor circular S ⊂ D2 de raio l e ângulo igual ao ângulo

entre u1 e u2, naturalmente homeomorfo à vizinhança fechada V de e00por um homeomorsmo

g aplicando Σi a ui, i = 1, 2, e conseqüentemente aplicando e00 a (0, 0) ∈ D2.

Dena a aplicação ϕV : L ∪ V → M fazendo:

ϕV(x) =

(

ϕL(x) se x ∈ L

3.6 O problema de raízes em subcomplexos especiais 47

M

K L V

j

g a e2 e1 h e0 0 _V 1 u 2 u 2 S 1 S

Figura 3.7: Quarto caso da prova que µ(f) ≤ µ(fL)

Esta aplicação está claramente bem denida e é uma extensão contínua de ϕL a L ∪ V .

Além disso, ϕ−1

V (a) = ϕ−1L (a).

Vamos agora provar que ϕV é homotópica a fV = j ◦ f : L ∪ V → M, onde j : L ∪ V ֒→ K

é a inclusão natural. Ora, existe uma retração por deformação forte óbvia rV : K → L ∪ V, e

temos ϕV ≃ ϕL◦ rV ≃ fL◦ rV ≃ fV, como queríamos.

Para terminar a prova, note-se que de maneira óbvia podemos realizar uma subdivisão celular de K, relativa ao subcomplexo L, de modo que a nova estrutura CW que denotamos por K′ _{seja tal que: (i) V é uma 2-célula fechada de K}′_{, (ii) L ∪ V é um subcomplexo de K}′_,

(iii) e2

∗ = e2\V é uma 2-célula colapsante de K′, e (iv) K′ ց L∪V com K′= (L∪V )∪e2∗∪e1.

Agora, temos uma retração por deformação forte r′ _{: K}′ _{→ L ∪ V} _{e temos a aplicação}

ϕV : L ∪ V → M com #ϕ−1V (a) = µ(fL). Mais ainda, pela construção de ϕV tem-se ϕ−1V (a) ∩

r′(K′\ (L ∪ V )) = ∅. Então, os argumentos do primeiro caso podem ser utilizados para se estender ϕV a uma aplicação ϕ : K′ → M homotópica a f e tal que #ϕ−1(a) = #ϕ−1_V (a) =

µ(fL). Isto prova que µ(f) ≤ µ(fL).

A prova da proposição está nalmente concluída. _¥

Se consideramos nesta proposição a aplicação f‡ : K‡ → M ao invés de f : K → M, seu

resultado torna-se mais interessante e poderoso, já que o complexo K‡pode ter maior número

de 2-células colapsantes que o próprio complexo K, enquanto toda 2-célula colapsante de K é também colapsante em K‡. De modo geral, esta proposição arma que toda raiz da equação

f (x) = a que esteja localizada em uma 2-célula colapsante ou articuladora (ou em uma sua face livre) pode ser eliminada por uma homotopia iniciando em f sem alterar as demais (ou acrescentar novas) raízes.

Corolário 3.16. Se f : K → M é uma aplicação e ess(K‡) = 0, então µ(f) = 0.

Prova: Podemos assumir que M esteja munida de uma estrutura CW e supor que f seja celular. Se ess(K‡) = 0, então K‡ ց L para algum subcomplexo L contido em K1. Assim,

f (L) é um subconjunto do 1-esqueleto de M e podemos escolher um ponto a ∈ M tal que a /∈ f (L). Segue-se que f‡|−1L (a) = ∅e, pela proposição anterior, µ(f‡) = 0. Pelas considerações

da seção anterior, isto implica que µ(f) = 0. ¥

Observe que ess(K) = 0 implica em ess(K‡) = 0, pois ess(K‡) ≤ ess(K). No entanto, a

implicação recíproca não é verdadeira, em geral.

Para simplicar o enunciado de nossos próximos resultados, consideramos a seguinte de- nição: Seja f : K → M uma aplicação. Diremos que o par (ϕ, a), onde ϕ : K → M é uma aplicação e a é um ponto de M, realiza µ(f) se ϕ é homotópica a f e µ(f) = #ϕ−1_(a).

Proposição 3.17. Seja f : K → M uma aplicação e suponha que K ց L. Se (ϕ, a) é um par realizando µ(f), então ϕ−1_{(a) ⊂ L.}

Prova: Como na proposição anterior, podemos supor que K ց L é um colapso elementar, ou seja, K = L ∪ en_{∪ e}n−1 _{com n = 1 ou n = 2.}

Seguramente µ(f) < ∞ e ϕ−1_(a)_{é um subconjunto discreto de K. Suponha, por absurdo,}

que exista x0 ∈ ϕ−1(a) ∩ (K \ L). Observe-se que K \ L = en∪ en−1. O subespaço fechado

J = L1 ∩ K \ L de K admite um colarinho fechado C em en_{∪ e}n−1_{, que pode ser tomado}

sucientemente estreito de modo que se tenha ϕ−1_{(a) ∩ (C \ J) = ∅}_{. Neste caso, x} 0 ∈

(en_{∪ e}n−1_{) \ C}_{. A gura abaixo ilustra esta situação para o caso em que n = 2.}

e2 0 x C L e1 K J Figura 3.8: Colarinho de L em K

Existe uma retração por deformação forte r : K → L ∪ C. Conseqüentemente, existe uma homotopia H : K × I → K com H(x, 0) = x e H(x, 1) = (j ◦ r)(x), para todo x ∈ K, onde j : L ∪ C ֒→ K é a inclusão natural.

Dena ψ : K → M pela composição ψ = ϕ ◦ j ◦ r, e denia F : K × I → M por F (x, t) = ϕ(H(x, t)), para todo (x, t) ∈ K × I. Esta última aplicação está bem denida e é contínua e, além disso, verica F (x, 0) = ϕ(x) e F (x, 1) = ψ(x). Logo, F é uma homotopia começando em ϕ e terminando em ψ. Segue-se que ψ é homotópica a f.

Ainda mais, ca claro nesta construção que ψ−1_{(a) = ϕ}−1_{(a) \ {x}

0}. Donde #ψ−1(a) =

µ(f ) − 1. Isto é claramente um absurdo. ¥

Corolário 3.18. Seja f : K → M uma aplicação e suponha que K ց L. Se (ϕ, a) é um par realizando µ(f), então (ϕL, a) é um par realizando µ(fL).

Prova: Pela proposição anterior ϕ−1_{(a) = ϕ}−1

L (a). Disto e da Proposição 3.15 segue-se que

3.6 O problema de raízes em subcomplexos especiais 49

Vamos agora abordar a questão de se poder reduzir o estudo do problema de raízes para subcomplexos num contexto um pouco diferente, mas que de certa forma abrange o contexto de colapsos de dimensão 1. Explicando: Se uma parte de um complexo K é essencialmente de dimensão 1, isto é, é de dimensão 1 e não está contido em faces de 2-células, é natural imaginar que este subconjunto de K possa ser descartado e o estudo do problema de raízes realizado para a função restrita ao seu complemento em K. É isto que provaremos na seqüência.

Dado um 2-complexo K, seja Kh2i o menor de seus subcomplexos que contém todas as sua células de dimensão 2. Observe-se que Kh2i pode não ser conexo.

Proposição 3.19. Dada uma aplicação f : K → M e a inclusão i : Kh2i ֒→ K, seja fh2i: Kh2i → M a composição fh2i= i ◦ f. Então µ(f) = µ(fh2i).

Prova: Certamente µ(fh2i) ≤ µ(f ). De fato: se ϕ : K → M é uma aplicação homotópica a

f e a é um ponto de M com #ϕ−1(a) = µ(f ), então a aplicação ϕh2i = i ◦ ϕ : Kh2i → M é

homotópica a fh2i e tal que ϕ−1h2i(a) ⊂ ϕ−1(a). Logo µ(fh2i) ≤ #ϕ−1h2i(a) ≤ µ(f ).

Por outro lado, suponha que seja (ϕh2i, a) um par realizando µ(fh2i). Seja K′ o menor

subcomplexo de K contendo K \ Kh2i. É fácil ver que K′ _{é o subcomplexo de K de dimensão}

≤ 1que contém, além de todas as células de K \ Kh2i, as 0-células que são bordos de células essencialmente de dimensão 1 (e portanto não pertencentes a Kh2i). Estas 0-células são exatamente os pontos de conexão entre Kh2i e seu complemento em K. Mais precisamente, K′= K \ Kh2i. Ponhamos ∂Kh2i = K′∩ Kh2i.

Pela propriedade da extensão de homotopia, a aplicação ϕh2i : Kh2i → M pode ser

estendida a uma aplicação ϕ : K → M homotópica a f.

Suponha que a equação ϕh2i(x) = a não possua raízes em ∂Kh2i. Por um argumento de

dimensão, vê-se que é nula a obstrução para que a extensão ϕ possa ser escolhida de modo que a equação ϕ(x) = a não possua raízes em K′_{. Uma vez realizada tal possível escolha, obtém-se}

uma aplicação ϕ homotópica a f com ϕ−1_{(a) = ϕ}−1

h2i(a). Isto mostra que µ(f) ≤ µ(fh2i).

Agora, suponha ϕ−1

h2i(a) ∩ ∂Kh2i 6= ∅. Então, cada raiz da equação ϕh2i(x) = acontida em

∂Kh2ié uma 0-célula de K′ e face de ao menos uma 1-célula. Assumamos ϕ−1_h2i(a) ∩ ∂Kh2i = {x1, . . . , xs}. Cada raiz xi possui em K′ uma vizinhança Vi da formaWs_j=1i [0, 1)com 0 sendo

o ponto de wedge e correspondendo à raiz xi. A gura abaixo ilustra uma situação como esta.

2 K i x M a K 2 j i j U

Seja U uma vizinhança coordenada de a em M. Dena ϕi : Kh2i ∪ Vi → M de modo

que ϕi|Vi seja bijetora e ϕi(Vi) ⊂ U, como ilustra a gura acima. Tal denição é certamente

possível. Então ϕi é uma extensão de ϕh2i a Kh2i ∪ Vi que não possui mais raízes do que ϕh2i.

Além disso, existe uma retração por deformação forte óbvia r : Kh2i ∪ Vi → Kh2i, de modo

que ca fácil vericar que ϕi é homotópica a f|Kh2i∪Vi.

Uma vez que as vizinhanças V′

ispodem ser assumidas duas a duas disjuntas, as aplicações

ϕ′_is podem ser conjuntamente utilizadas para se denir uma aplicação ϕ : Kh2i ∪ V → M, onde V = ∪s

j=1Vi, de tal modo que ϕ seja uma extensão de ϕh2ihomotópica a f|V e sem mais

raízes do que a própria ϕh2i.

Agora, por simples argumentos de dimensão, se pode construir uma aplicação ϕ : K → M estendendo ϕ e homotópica a f, e tal que ϕ(K \ (Kh2i ∪ V )) ⊂ M \ U. Isto implica em

ϕ−1(a) = ϕ−1_h2i(a). E portanto µ(f) ≤ #ϕ−1(a) = µ(fh2i). _¥

Corolário 3.20. Se f : K → M é uma aplicação com K = K1∨ K2 um 2-complexo conexo

tal que ess(K2) = 0 então µ(f) = µ(f|K1).

Prova: Como ess(K2) = 0, existe um subcomplexo L2 de K2 de dimensão menor ou igual

a 1 tal que K2 ց L2. Seja e0 a 0-célula através da qual se dá o wedge K1∨ K2. Se e0 é

uma célula de L2, então temos K1∨ K2 ց K1∨ L2. Caso contrário, podemos expandir L2

a um complexo L′

2 de dimensão 1 acrescentando a L2 uma 1-célula e a 0-célula e0. Neste

caso K1∨ K2 ց K1∨ L′2. Em qualquer dos casos, tem-se Kh2i = K1h2i. Portanto, µ(f) =

µ(fh2i) = µ(f |K1). ¥

Os resultados apresentados nesta seção que aqui encerramos mostram que o estudo do problema de raízes de uma aplicação de um 2-complexo K em uma superfície fechada pode ser realizado, sem qualquer prejuízo, assumindo-se que K seja articulado e essencial e que se tenha K = Kh2i.

Capítulo

4

Realizações do número mínimo de

raízes

Neste breve capítulo vamos denir e estudar os tipos ∇1, ∇2 e ∇3 de aplicações de um 2-

complexo em uma superfície fechada. Não armamos, de um modo geral, que uma dada aplicação seja de um dos tipos apresentados; aliás, apresentamos um exemplo de uma aplicação de um 2-complexo na 2-esfera que não é de nenhum desses tipos (Exemplo 4.3). Outrossim, estudamos algumas vantagens que se possa ter no estudo do problema de raízes envolvendo aplicações que sejam de um ou mais de um destes tipos, além de apresentarmos algumas equivalências entre os tipos para aplicações especiais. Enfatizamos, de certa maneira, o caso de aplicações entre superfícies, as quais mostramos ser dos três tipos. Em todo o capítulo, K será um 2-complexo conexo e nito e M será uma superfície fechada.

Denição 4.1. Seja f : K → M uma aplicação. Diremos que f é do tipo:

• ∇1 se existem uma aproximação celular ϕ de f e a ∈ M tais que (ϕ, a) realiza µ(f).

• ∇2 se existem uma aplicação ϕ homotópica a f e a ∈ M tais que (ϕ, a) realiza µ(f) e

ϕ−1(a) ∩ K1= ∅.

• ∇3 se existem uma aproximação celular ϕ de f e a ∈ M tais que (ϕ, a) realiza µ(f) e

ϕ−1(a) ∩ K1= ∅.

Lembre-se que, conforme a Denição 1.1, dizemos que o par (ϕ, a) realiza µ(f) se ϕ : K → M é uma aplicação homotópica a f e a ∈ M é um ponto vericando µ(f) = #ϕ−1(a).

Note-se que ϕ−1_{(a) ∩ K}1 _{= ∅} _{se, e somente se, todas as raízes da equação ϕ(x) = a se}

encontram no interior de 2-células de K.

É completamente evidente que toda aplicação do tipo ∇3 é também do tipo ∇1 e do tipo

∇2. No entanto, pode-se dar exemplos de aplicações f : K → M que são exclusivamente

do tipo ∇1. Apresentamos um tal exemplo na seqüência. Por outro lado, mostraremos mais

adiante que toda aplicação de um 2-complexo em uma superfície fechada que é do tipo ∇2 é

também do tipo ∇3. Além disso, mostraremos que toda aplicação entre superfícies fechadas é

do tipo ∇3 e, portanto, dos três tipos.

Exemplo 4.2. Seja K = S2

1∨S22o bouquet de duas 2-esferas com decomposição CW minimal

com uma 0-célula e0 _{e duas 2-células e}2

1 e e22. Seja f : K → S2 uma aplicação que restrita

a cada subcomplexo S2

i de K, i = 1, 2, é homotópica a aplicação identidade. Considere a

superfície S2 _{com sua decomposição celular minimal S}2 _{= e}0

∗∪ e2∗. Então, seguramente, existe

uma aplicação celular ϕ : K → S2 _{homotópica a f e tal que ϕ}−1_(e0

∗) = {e0}. Logo, o par

(ϕ, e0

∗)realiza µ(f) (= 1, como já é sabido). Portanto f é do tipo ∇1. Agora, como é evidente,

cada aplicação g homotópica a f, restrita a cada S2

i, i = 1, 2, é sobrejetora. Logo, para toda

tal aplicação g, a equação g(x) = a possui ao menos uma raiz em cada S2

i, i = 1, 2, qualquer

que seja o ponto a ∈ S2_{. Portanto, se uma raiz x}

0 de g(x) = a pertence ao interior de uma

das 2-células de K, então a equação g(x) = a deve admitir uma segunda raiz, esta situada no fecho da outra 2-célula de K. Mas neste caso #g−1_{(a) ≥ 2}_{e portanto o par (g, a) não realiza}

µ(f ). Isto mostra que a aplicação f não é do tipo ∇2. _¤

Agora, um exemplo de uma aplicação que não é de nenhum dos tipos.

Exemplo 4.3. Seja K′ _{= S}2

1 ∨ S22 o bouquet de duas 2-esferas com decomposição CW (não

minimal) com uma 0-célula e0_{, duas 1-células e}1

1 e e12 e quatro 2-células e21, e22, e23 e e24, de

modo que S2

1 = e0∪ e11∪ e21∪ e22 e S12= e0∪ e12∪ e23∪ e24, como ilustrado na gura abaixo:

0 e 2 1 S 1 e1 1 e2 e2 2 1 e2 _e 3 2 e42 2 2 S

Figura 4.1: Uma decomposição celular para o bouquet de duas 2-esferas

Observe-se que K′ _{é uma subdivisão celular do complexo K do exemplo anterior. Seja f :}

K → S2 uma aplicação que restrita a cada subcomplexo S_i2 de K′, i = 1, 2, é homotópica a aplicação identidade. Considere a superfície S2 _{com sua decomposição celular minimal}

S2 = e0_∗∪ e2

∗. Como no exemplo anterior, é fácil ver que µ(f) = 1. No entanto, é evidente

ϕnão é celular e, além disso, a (única) raiz da equação ϕ(x) = a não está contida no interior de 2-células de K′_{. Portanto, f não é de qualquer dos tipos ∇}

1, ∇2 ou ∇3. _¤

Lema 4.4. Se f : K → M é uma aplicação e para a superfície M é assumida uma decompo- sição celular arbitrária, então existe um par (ϕ, a) realizando µ(f), com o ponto a contido no interior de uma 2-célula de M.

Prova: Sejam g : K → M uma aplicação e b ∈ M um ponto tais que o par (g, b) realiza µ(f ). Suponha que b pertença ao 1-esqueleto M1 _{de M. Escolha um ponto arbitrário a no}

interior de uma 2-célula M. Existe um homeomorsmo h : M → M, homotópico a aplicação identidade, tal que h(b) = a. Seja ϕ = h ◦ g : K → M. Então ϕ é homotópico a f e ϕ−1(a) = g−1(b). Portanto (ϕ, a) realiza µ(f), com a no interior de uma 2-célula de M. _¥

Proposição 4.5. Toda aplicação f : K → M do tipo ∇2 é também do tipo ∇3.

Prova: Sejam ϕ : K → M uma aplicação e a um ponto de M tais que (ϕ, a) realiza µ(f) com ϕ−1_{(a) ∩ K}1 _{= ∅. Pelo lema anterior, podemos assumir que o ponto a esteja no interior}

da (única) 2-célula de M. (Consideramos M com sua decomposição celular minimal). Se M é a 2-esfera S2 _{ou o plano projetivo RP}2_{, então seja P}

M um disco fechado do

plano. Caso contrário, seja PM = [p1, p2, . . . , p2g] a região fechada do plano delimitada por

um polígono regular com o qual se pode obter a superfície M através da identicação de lados, dois a dois. Observe-se que, neste último caso, o inteiro positivo g é o gênus da superfície M.

Como o ponto a está no interior da 2-célula de M, seu correspondente a′ _{em P}

M está no

interior de PM. Sem perda de generalidade, pode-se assumir que a′ seja exatamente o centro

de PM. Seja U uma vizinhança coordenada de a em M tal que seu fecho ¯U está inteiramente

contida no interior da 2-célula de M. Seja P′

M uma cópia de PM, obtida por homotetia com

relação ao ponto central a′_{, contida na vizinhança aberta V de a}′ _{correspondente a U.}

Então P′

M é uma vizinhança fechada de a′ inteiramente contida no interior de PM, como

mostra a gura abaixo.

' a x ' x M P M P_'

Figura 4.2: Planicação da superfície M

Cada segmento radial [a′_{, x]} _{do ponto central a}′ _{a um ponto x da fronteira de P}

M, dene

um único ponto x′ _{da fronteira de P}′

M, de modo que [a′, x] = [a′, x′] ∗ [x′, x], onde ∗ indica

Considere a aplicação sobrejetora ψM : PM → PM que aplica cada segmento [x′, x] sobre

o ponto x e aplica o segmento [a′_{, x}′_]_{linearmente sobre o segmento [a}′_{, x]}_{, com ψ}

M(a′) = a′ e

ψM(x′) = x. Em particular, ψM aplica vértices de P_M′ em vértices de PM. É fácil ver que ψ

é uma aplicação contínua e, além disso, cada ponto da fronteira de PM é um ponto xo para

ψM, como também o é o ponto a′.

Portanto, através da supramencionada identicação de lados de PM para o obtenção de

M, a aplicação ψM induz uma aplicação sobrejetora ψ : M → M tal que ψ−1(a) = {a}. Seja

int(P′

M) o interior de PM′ em PM e seja W a vizinhança aberta de a em M correspondente à

imagem de ψM(int(PM′ ))através da identicação. Então, ψ colapsa o exterior de W sobre o

1-esqueleto de M e ψ|W é um homeomorsmo de W sobre sua imagem ψ|W(W ) = M \ M1.

Não é difícil concluir que ψ é homotópica a aplicação identidade de M.

Seja ϕc = ψ ◦ ϕ : K → M. Segue-se das construções e conclusões acima que ϕc é uma

aplicação celular homotópica a f e ϕ−1

c (a) = ϕ−1(a) ⊂ K \ K1. Portanto (ϕc, a) é um par

realizando µ(f) e f é do tipo ∇3. _¥

Em [15] apresentamos uma versão mais curta para esta prova. Vamos reproduzi-la. Outra prova para a Proposição 4.5: Sejam ϕ : K → M uma aplicação e a ∈ M um ponto tais que (ϕ, a) realiza µ(f) e ϕ−1_{(a) ⊂ K \ K}1_{. Podemos assumir que a esteja no interior}

da única 2-célula de M. (Consideramos M com decomposição celular minimal). Seja U uma vizinhança coordenada de a em M cujo fecho U em M está contido em M \ M1_{, onde M}1

é o 1-esqueleto de M. Seja χ : D2 _{→ M} _{a aplicação característica da 2-célula de M e seja}

h : U → D2 _{um homeomorsmo, onde D}2 _{é o 2-disco fechado unitário.}

Certamente, existe uma retração r : M \ U → M1 _{tal que para cada x ∈ ∂U tem-se}

r(x) = (χ ◦ h)(x). Então, as aplicações r e χ ◦ h podem ser conjuntamente utilizadas para denir uma aplicação g : M → M tal que g|M\U = r e g|U = χ ◦ h. Agora, é fácil ver que g é

uma aplicação celular homotópica a aplicação identidade id : M → M.

Seja ψ : K → M denida pela composição ψ = g ◦ ϕ e denote a′ _{= g(a). Então, ψ é uma}

aplicação celular homotópica a f e ψ−1_(a′_{) = ϕ}−1_{(a) ⊂ K \ K}1_{. Isto conclui a prova.}

Proposição 4.6. Qualquer aplicação f : M → N entre superfícies é do tipo ∇2 e portanto

do tipo ∇3.

Prova: Seja n = µ(f) e sejam ϕ : M → N uma aplicação e a um ponto de N tais que (ϕ, a) realiza µ(f). Então o subconjunto ϕ−1_(a)_{de M é da forma ϕ}−1_{(a) = {x}

1, . . . , xn}. Pelo lema

anterior, podemos assumir que o ponto a esteja no interior de uma 2-célula de N.

Se cada xiestá no interior de uma 2-célula de M, então nada há para se demonstrar. Caso

contrário, suponha, sem perda de generalidade, que x1, . . . , xp estejam sobre o 1-esqueleto de

Vamos modicar ligeiramente a função ϕ em vizinhanças disjuntas de x1, . . . , xppara obter

uma nova aplicação ϕp : M → N homotópica a f com ϕ−1p (a) = {y1, . . . , yp, xp+1, . . . , xn} e

de modo que cada yi, i = 1, . . . , p, esteja no interior de uma 2-célula de M

Para iniciar, seja V1 uma vizinhança euclideana de x1 em M que não contém qualquer

outra raiz xi. Seja y1 um ponto qualquer de V1 contido no interior de uma 2-célula de M.

Seja h1 : M → M um homeomorsmo homotópico a aplicação identidade de M, tal que

h1(y1) = x1 e h1 = identidadefora de V1. Seja ϕ1= ϕ ◦ h1 : M → N. Então ϕ1 é homotópica

a f e ϕ1(y1) = ϕ(x1) = a. Além disso, ca claro da construção que ϕ−11 (a) = {y1, x2, . . . , xn}.

Agora, tome V2 uma vizinhança euclideana de x2 em M, disjunta de V1 e não contendo

os pontos x3, . . . , xn. Escolha y2 ∈ V2 no interior de uma 2-célula de M. Seja h2 : M → M

um homeomorsmo homotópico a aplicação identidade tal que h2(y2) = x2 e h2 = identidade

fora de V2. Dena ϕ2 = ϕ1 ◦ h2 : M → N. Então ϕ2 é homotópica a f e temos ϕ−12 (a) =

{y1, y2, x3, . . . , xn}.

A iteração deste processo construtivo termina por construir uma aplicação ϕp : M → N

homotópica a f e tal que ϕ−1

p (a) = {y1, . . . , yp, xp+1, . . . , xn}, com cada yi (1 ≤ i ≤ p) e cada

xj (p < j ≤ n) contido no interior de uma 2-célula de M. _¥

Para nalizar este pequeno capítulo, provaremos que toda aplicação de um 2-complexo em uma superfície fechada (com decomposição celular minimal) que é livre de raízes é do tipo ∇3.Lembre-se que uma aplicação f é dita ser livre de raízes se µ(f) = 0.

Proposição 4.7. Se f : K → M é uma aplicação livre de raízes, então f é do tipo ∇3.

Prova: Suponha que f : K → M seja livre de raízes. Então existem uma aplicação ϕ : K →

M homotópica a f e um ponto a ∈ M tais que ϕ−1(a) = ∅. A menos de composição de

ϕcom um auto-homeomorsmo de de M, podemos assumir que o ponto a esteja localizado no interior da (única) 2-célula de M (estamos considerando M com decomposição celular minimal). Seja ϕa: K → M \ {a} a aplicação obtida restringindo-se o contra-domínio de ϕ.

Existe uma retração por deformação forte r : M \ {a} → M1_{. Seja ψ : K → M denida pela}

composição ψ = l ◦ r ◦ ϕa, onde l : M1 → M é a inclusão natural. É fácil ver que ψ é uma

aplicação celular homotópica a f e, além disso, ψ−1_{(a) = ∅}_{. Isto prova o enunciado.}

¥ Os argumentos apresentados na provar da Proposição 4.7 servem também para provar que:

Proposição 4.8. Se f : K → M é uma aplicação livre de raízes e a superfície M é con- siderada com sua decomposição celular minimal, então existe uma aplicação ϕ : K → M1

homotópica a f e tal que ϕ(K) ⊂ M1_.

O resultado expresso nesta proposição será utilizado muitas vezes no texto. Algumas vezes nos permitiremos utilizá-lo sem uma prévia referência.

Capítulo

5

Raízes de aplicações de

2-complexos na 2-esfera

Estudamos neste capítulo o problema de raízes para aplicações de 2-complexos na esfera S2_.

Dada uma tal aplicação f : K → S2_{, satisfazendo certas propriedades, deniremos dois núme-}

In document Barn i Trafikken (sider 17-0)