Renata Carvalho
Agrupamento de Escolas Joaquim Inácio da Cruz Sobral Instituto de Educação, Universidade de Lisboa
João Pedro da Ponte
Instituto de Educação, Universidade de Lisboa
Resumo: O indivíduo constrói representações mentais do mundo que o rodeia, às quais recorre para compreender a realidade e fazer inferências. Estas representações mentais refletem os conhecimentos matemáticos e do mundo real dos alunos e tanto são fundamentais para a realização de cálculo mental como para estabelecer relações entre números e operações. O objetivo deste estudo é analisar as estratégias de cálculo mental dos alunos e as representações mentais que lhes estão subjacentes em questões de cálculo mental com números racionais nas representações fracionária, decimal e percentagem. O estudo seguiu uma metodologia de design research, tendo sido realizados dois ciclos de experimentação com a participação de duas professoras e 39 alunos do 6.º ano. As estratégias de cálculo mental dos alunos centradas em relações numéricas, aplicação de factos ou regras memorizadas parecem ter subjacentes representações representativas (modelos e imagens) e descritivas (representações proposicionais), embora as representações descritivas se associem mais a relações numéricas.
Palavras-chave: Cálculo mental, Números racionais, Estratégias, Representações mentais.
Introdução
O conhecimento que temos do mundo depende de representações mentais (Johnson- Laird, 1980; 1983/90) que construímos. Estas representações são criadas a partir de experiências de aprendizagem, escolares e não escolares, que originam informação que é armazenada na nossa memória de trabalho (working memory) e de longo termo (long-
term memory). A memória de trabalho é um sistema temporário que depende de outros sistemas, entre os quais os que estão envolvidos na memória a longo termo, e constitui um mecanismo de processamento e armazenamento de informação que desempenha um papel fundamental em tarefas cognitivas como o raciocínio, a aprendizagem e a compreensão (Baddeley, 1993). A memória de trabalho é importante para a aprendizagem em geral, mas assume uma importância ainda maior na aprendizagem da Matemática uma vez que o raciocínio matemático é uma atividade cognitiva de nível elevado que faz uso
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de conhecimentos prévios e factos básicos armazenados na memória a longo prazo. Dehaene (1997) considera que a memória tem um papel central no cálculo mental, seja exato ou aproximado, não só pela sua capacidade de guardar factos numéricos, mas também pelos modelos mentais que vão sendo criados com base em conhecimentos prévios e que apoiam os alunos no seu processo de raciocínio e construção de estratégias. Um conhecimento matemático estruturado, por norma, está relacionado com o contexto em que foi aprendido, sendo difícil de transpor para novas situações (Bell, 1993). Daí a importância de diversificar experiências de aprendizagem e contextos onde os números racionais sejam apresentados e abordados, de forma a criar oportunidades aos alunos para estabelecerem relações entre diversas representações e formarem imagens mentais dos conceitos matemáticos (Swan, 2008). O desenvolvimento desta capacidade relacional dos alunos apoia-os na transferência e/ou extensão de conhecimentos de uns contextos para outros. Mas, no âmbito da aprendizagem dos números racionais, que contextos poderão ser relevantes para os alunos e promotores de representações mentais? Tendo em conta esta questão, este estudo tem por objetivo analisar as estratégias de cálculo mental dos alunos e as suas representações mentais subjacentes em questões de cálculo mental com números racionais nas representações fracionária, decimal e percentagem
Estratégias de cálculo mental com números racionais
Calcular mentalmente requer compreensão acerca da grandeza e valor dos números, do efeito das operações sobre os números e a aquisição prévia de um conjunto de factos numéricos que permitam calcular rapidamente e com precisão (Heirdsfield, 2011). Estes factos numéricos envolvem, por exemplo, conhecimentos sobre somas, diferenças, produtos e quocientes que os alunos vão retendo na memória ao longo da sua experiência escolar. Neste estudo, o cálculo mental é entendido como um cálculo exato, efetuado mentalmente de forma rápida e eficaz, onde é possível usar registos intermédios em papel e que, recorrendo a representações mentais, faz uso de factos numéricos, regras memorizadas e relações entre números e operações. O conhecimento dos alunos acerca das operações com números, decorrente da sua experiência matemática e leva-os a simplificarem cálculos cada vez mais. Isso, bem como a complexidade dos raciocínios usados no cálculo mental com números racionais (Barnett-Clarke, Fisher, Marks & Ross, 2010), origina, por parte dos alunos, o recurso a estratégias baseadas na aplicação de regras memorizadas. A simplificação de cálculos é um aspeto referido no Programa de Matemática de 2007 como uma capacidade a desenvolver a par do cálculo mental. Estas regras memorizadas envolvem, por exemplo, a aplicação de procedimentos referentes à multiplicação/divisão por potências de 10 (desloca-se a vírgula uma posição para a direita na multiplicação por 10 ou uma posição para a esquerda na divisão por 10) ou às operações com números racionais como a regra “inverte e multiplica” na divisão de frações, ou a adição de numeradores quando os denominadores são iguais na adição de frações. Os factos numéricos e as regras memorizadas podem surgir isoladamente
enquanto estratégia de cálculo mental. Por exemplo, no cálculo de 1
2+
1
2 o aluno ao referir
“fiz meio mais meio que sei logo que dá 1” está a usar uma estratégia baseada num facto numérico que conhece e no cálculo de 10% 𝑑𝑒 350 ao referir “dá 35. Tirei o zero” está a aplicar a regra de divisão por potências de 10. Mas os factos numéricos e as regras memorizadas também podem surgir como auxiliares preciosos no estabelecimento de relações entre números e operações.
Estratégias baseadas em relações numéricas refletem o pensamento relacional dos alunos (Empson, Levi & Carpenter, 2010) ao contemplarem a mudança de representação (Caney & Watson, 2003), entre números racionais (fraçãodecimal; decimalfração; fraçãopercentagem; percentagem fração; percentagemdecimal e decimalpercentagem) ou de um racional para um número natural (decimalnúmero natural referente a 10
100 ); a relação parte-todo ou parte-parte; a equivalência entre
expressões; a relações entre operações inversas, etc. O pensamento relacional é um aspeto importante do cálculo mental pois refere-se à capacidade para usar propriedades fundamentais das operações e a noção de igualdade, para analisar e resolver problemas tendo em conta o seu contexto (Empson et al., 2010). Baseia-se em relações numéricas e o seu desenvolvimento serve de suporte à transição da aritmética para a álgebra (Carpenter, Franke & Levi, 2003).
Representações mentais: Modelos, imagens e representações proposicionais
Como indica Plasencia (2002), representações mentais são representações internas que fazem parte das estruturas cognitivas de um indivíduo, sendo através delas que damos sentido aos fenómenos e explicamos conceitos e ideias matemáticas. Na sua perspetiva, as representações internas (mentais) e as representações externas (usadas para comunicar ideias) estão diretamente relacionadas em Matemática, uma vez que nos movemos entre ambas para podermos explicar a forma como pensamos, embora por vezes inconscientemente. Como indica a autora, pelo facto das representações mentais ocorrerem na mente de cada indivíduo e não serem diretamente observáveis, tudo o que podemos dizer sobre elas é baseado em inferências.
A Teoria dos Modelos Mentais de Johnson-Laird (1990) pretende explicar processos de conhecimento complexos e, em particular, processos de compreensão e inferência. Esta teoria assume que existem três tipos de representações mentais: modelos mentais, representações proposicionais e imagens mentais que são fundamentais na construção destes processos de pensamento. A diferença entre estas representações mentais reside na sua especificidade e função embora os modelos mentais sejam a base para a criação de imagens e de representações proposicionais. Se estes modelos mentais representam o mundo real com alguma especificidade, são considerados imagens, se fazem inferências acerca do mundo real representado por modelos mentais são representações proposicionais. Os termos usados em Psicologia Cognitiva para designar estes “entes
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mentais” estruturantes do conhecimento variam de teoria para teoria. De acordo com a Teoria dos Modelos Mentais (Johnson-Laird, 1990), os modelos mentais têm uma estrutura análoga à estrutura correspondente do mundo real e as imagens são relações percetivas dos modelos a partir de um ponto de vista particular. Na perspetiva de Schnotz, Baadte, Müller e Rasch (2010), modelos mentais são representações mentais criadas a partir da compreensão de representações externas e que estão na base da compreensão e construção do conhecimento. Como indica Medeiros (2001), o conceito de modelo mental, apesar de sujeito a diversas interpretações, parece ser aceite e entendido como fruto de representações pessoais e privadas de um indivíduo. As imagens são classes especiais de modelos, representam objetos e correspondem a uma visão dos modelos, como resultado da perceção ou imaginação, representando as características percetíveis dos objetos do mundo real. Modelos como imagens são altamente específicos. Por exemplo, não é possível formarmos uma imagem geral de um triângulo sem que esta esteja associada a um triângulo específico (equilátero, escaleno, ou isósceles). Plasencia (2002) refere que, em Matemática, os alunos recorrem essencialmente a cinco tipos de imagens mentais: imagens concretas, de padrão, de memória de fórmulas, cinestésicas e dinâmicas. Imagens concretas são “pictures-in-the-mind” (aspas no original), ou seja, imagens fotográficas sem movimento mas com muito detalhe. Imagens de padrão representam relações descritas através de um esquema visual-espacial, sem no entanto apresentarem detalhes acerca do objeto que representam. A visualização mental dos movimentos das peças num jogo de xadrez são imagens de padrão. Imagens de fórmulas são usadas pelos alunos sempre que desejam “ver” (entre aspas no original) uma determinada fórmula na sua mente, imaginando-a escrita no seu caderno ou no quadro. Este tipo de imagem, que pode ser bastante precisa e detalhada, constitui um poderoso meio de representar informação abstrata, embora em alguns casos não reflita a compreensão matemática dos alunos (nem contribua para essa compreensão). As imagens cinestésicas envolvem atividade muscular onde os alunos acompanham com gestos a exteriorização das suas representações internas (e.g., indicar com o dedo uma parte de um círculo dividido ao meio). Por fim, as imagens dinâmicas envolvem a capacidade de mover e transformar mentalmente imagens concretas (e.g., transformar um retângulo que roda sobre um eixo dando origem a um cilindro de revolução). Na perspetiva desta autora, uma aprendizagem significativa está fortemente associada à utilização de imagens mentais onde a visualização assume um papel importante. A autora acrescenta ainda que, se a Matemática escolar se basear unicamente na aprendizagem de regras e procedimentos, isto não irá permitir aos alunos a criação de modelos mentais e de destreza na capacidade de encarar a Matemática de forma relacional.
A representação proposicional enquanto representação mental refere-se à linguagem mental de uma proposição que é usada para fazer inferências. Estas proposições podem ser verdadeiras ou falsas e representam afirmações que não se parecem diretamente com o objeto que representam (não são estruturas análogas) mas são fundamentais para estabelecer relações. Schnotz et al. (2010) consideram que as representações mentais
podem ser consideradas sinais e vice-versa e dividem-nas em dois tipos, os símbolos e os ícones que associam a dois tipos de representações: descritivas (description) e representativas (depiction). As representações descritivas são símbolos, ou seja, sinais que não têm qualquer semelhança com o seu referente, mas que permitem perceber relações. A linguagem natural, falada ou escrita, expressões matemáticas ou fórmulas são representações descritivas. Schnotz et al. (2010) relacionam-nas com representações proposicionais. As representações representativas são ícones, ou seja, sinais (tais como fotografias, desenhos, pinturas, mapas ou linhas de um gráfico) associados ao seu referente por semelhança ou analogia. Os autores relacionam-nas com modelos mentais e imagens. Na sua perspetiva, ambas as representações servem propósitos distintos. Enquanto as representações descritivas são mais gerais e abstratas e poderosas a expressar o conhecimento abstrato, as representativas são mais concretas e específicas, mais seletivas, sendo fundamentais para fazer inferências e caracterizar objetos. São essenciais para atingir altos níveis de abstração e importantes para o pensamento criativo, a compreensão, para raciocinar, argumentar e resolver problemas. Deste modo, as representações descritivas e representativas complementam-se. Por vezes, uma representação representativa (modelos e imagens) permite a criação de uma representação descritiva (representação proposicional) simples facilitando acesso rápido a um processo simbólico.
Ainda a propósito da construção de modelos mentais, Dehaene (1997) realça a importância de, na resolução de problemas, se compreender o problema para que se possa formar um modelo mental da situação e não ser traído pelo acionar involuntário de determinados automatismos mentais. O autor sugere que, no ensino e aprendizagem das frações, se deve incentivar a criança a usar a sua intuição de quantidade para compreender e construir um reportório de modelos mentais que a ajude a distinguir situações onde os números racionais surjam.
Metodologia de investigação
Este estudo é qualitativo e interpretativo (Denzin & Lincoln, 2005) com uma metodologia de design research (Cobb, Confrey, diSessa, Lehere & Schauble, 2003). Participam duas professoras e duas turmas do 6.º ano (39 alunos) que já tinham trabalhado os números racionais nas suas várias representações (decimal, fração, percentagem) e nas quatro operações, e a primeira autora (a partir daqui designada por investigadora) como observadora participante.
O estudo desenvolveu-se em três fases (Figura 1): preparação, experimentação e análise. A fase de preparação envolveu uma primeira revisão de literatura e um estudo preliminar, com alunos do 5.º ano da investigadora, baseado num protótipo de experiência de ensino com 6 tarefas de cálculo mental. Era objetivo deste estudo preliminar perceber as estratégias dos alunos no cálculo mental com números racionais e algumas das dinâmicas inerentes à realização de uma experiência de ensino centrada em tarefas de cálculo mental
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e na discussão coletiva dessas tarefas. Posteriormente foi construída uma experiência de ensino com 10 tarefas de cálculo mental, partindo da conjetura de que uma experiência de ensino realizada durante dois períodos letivos, baseada em tarefas de cálculo mental em contextos matemáticos (expressões) e não matemáticos (situações contextualizadas) com números racionais envolvendo as quatro operações e centrada na discussão das estratégias dos alunos no 6.º ano, contribui para o desenvolvimento do reportório de estratégias de cálculo mental dos alunos e para a melhoria gradual do seu desempenho em tarefas de cálculo mental.
Figura 1: Fases de desenvolvimento do estudo.
A fase de experimentação contemplou dois ciclos, um em 2012 (ciclo I) e outro em 2013 (ciclo II). Os dados foram recolhidos recorrendo à observação direta das aulas em que se realizaram tarefas de cálculo mental e de reuniões de preparação/reflexão da experiência de ensino com as professoras participantes. A experiência de ensino foi elaborada pela investigadora e discutida e reajustada com as professoras das turmas que a realizaram na sala de aula. A discussão na sala de aula foi conduzida pelas professoras, intervindo a investigadora pontualmente para esclarecer aspetos relacionados com a comunicação de estratégias dos alunos. As reuniões de trabalho com as professoras foram áudio-gravadas e as aulas de cálculo mental foram áudio e vídeo-gravadas para posterior análise e reflexão acerca dos momentos de discussão coletiva.
Na análise de dados foram visionados os episódios de aula com o intuito de identificar as estratégias de cálculo mental que os alunos referem nos momentos de discussão. Para a análise das estratégias, consideramos três categorias: (i) factos numéricos; (ii) regras memorizadas; e (iii) relações numéricas. Estas categorias (e suas subcategorias) foram construídas com base em estudos anteriores (e.g., Caney & Watson, 2003) e na análise dos dados recolhidos. O nome dado à estratégia do aluno foi escolhido em função do elemento mais forte presente na sua estratégia (por exemplo, se faz um uso forte de relações numéricas, nomeadamente da relação parte-todo é considerada uma estratégia de categoria “relações numéricas” e subcategoria “relação parte-todo”). Para cada categoria
foram identificadas as representações mentais subjacentes às estratégias dos alunos, nomeadamente modelos mentais, imagens mentais, ou representações proposicionais. As três fases do estudo foram acompanhadas por uma reflexão individual por parte da investigadora, e coletiva entre esta e as professoras nas reuniões de preparação/reflexão nos dois ciclos de experimentação. Esta reflexão individual e coletiva, em conjunto com uma contínua revisão de literatura, permitiu melhorar e aprofundar não só o quadro concetual mas também as conjeturas de ensino e aprendizagem e a experiência de ensino, originando diversos ajustes nas tarefas.
A experiência de ensino
A experiência de ensino é composta por 10 tarefas de cálculo mental, que denominámos de “Pensa rápido!”. Estas tarefas incluem expressões e situações contextualizadas que foram projetadas semanalmente na sala de aula com recurso a um PowerPoint temporizado. No ciclo I de experimentação realizámos sete tarefas envolvendo expressões, duas com situações contextualizadas e uma envolvendo ambas (mistas). No ciclo II houve a necessidade de proceder a uma reorganização das tarefas tendo-se realizado cinco tarefas com expressões e cinco tarefas mistas. Esta reorganização emergiu da necessidade dos alunos darem sentido aos números usando situações contextualizadas (Galen, Feijs, Figueiredo, Gravemeijer & Keijker, 2008).
Cada tarefa é constituída por duas partes com 5 expressões ou 4 situações contextualizadas cada parte. Os alunos têm 15 segundos para resolver cada expressão e 20 segundos para resolver cada situação contextualizada individualmente e anotar o resultado numa folha de registo. Na primeira parte promove-se um primeiro momento de discussão de estratégias dos alunos com o intuito de influenciar positivamente a realização da segunda parte da tarefa. No final da segunda parte promove-se novo momento de discussão, cuja duração varia entre 30 e 90 minutos. Nas tarefas com expressões, intercalam-se expressões sem valor em falta (e.g., 1
2+
1
2) com expressões de
valor em falta (e.g., 0,7 +__=1), sendo que estas últimas representam um contexto de aprendizagem promotor de pensamento relacional ao invés de uma aplicação direta de procedimentos de cálculo (Carpenter et al., 2003). As tarefas com situações contextualizadas (e.g., “Uma tina tem de capacidade 22,5 𝑙 . Quantos baldes de 12𝑙 são
necessários encher para despejar por completo a tina?”) pretendem facilitar a criação de
representações mentais bem como ajudar os alunos a dar significado aos números através da relação entre estas e as expressões apresentadas, podendo os raciocínios ser transpostos de uma situação para outra. Por exemplo, a resolução da situação da tina referida acima pode relacionar-se com a resolução da expressão 2,4 ÷1
2. A dinâmica de realização e
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Na construção das tarefas, os números racionais surgem em diferentes representações (decimal, fração e percentagem), estando a representação usada em cada tarefa de acordo com o tópico que as professoras estavam a trabalhar no momento. No momento em que se estudam volumes usa-se sobretudo a representação decimal, no estudo das relações e regularidades usa-se a representação em fração e em Estatística usam-se as três representações. Esta opção permite desenvolver o cálculo mental de forma integrada com a aprendizagem dos números racionais, prolongada no tempo e estabelecer relações entre diferentes tópicos matemáticos. Recorremos ao uso de numerais decimais com o último dígito par ou múltiplos de 5 e de 10 e números de referência para facilitar a equivalência entre as representações decimal, fracionária e percentagem. Enfatizámos a importância de algumas relações numéricas (e.g., dividir por 0,5 é o mesmo que multiplicar por 2) fazendo-as surgir em diversas questões ao longo das 10 tarefas.
As tarefas permitem não só rever e consolidar aprendizagens envolvendo números racionais de referência, mas também ampliar estratégias de cálculo mental dos alunos. Mas as tarefas, por si só, são insuficientes para desenvolver o cálculo mental. Tal como refere Thompson (2009), é fundamental que o professor crie um ambiente de sala de aula onde os alunos se sintam confortáveis a partilhar as suas estratégias, em que oiça atentamente as suas estratégias e as reforce positivamente, contribuindo para a melhoria do conhecimento dos alunos sobre os números e as operações e da sua capacidade de implementar estratégias eficazes. O professor deve também assegurar-se que os alunos tiveram oportunidade de experienciar situações diversificadas de cálculo mental para assim desenvolverem estratégias cada vez mais sofisticadas. Acrescentamos ainda a importância do questionamento na sala de aula, quer no sentido professor-aluno, quer entre alunos, por exemplo: Como pensaste? Como chegaste ao teu resultado? O que pensam da estratégia do colega? Em que aspeto é que a tua estratégia é diferente da do teu colega? Este tipo de questões tem como objetivo ajudar o aluno a explicar e a clarificar como pensou e a ser crítico face às explicações dos colegas, gerando-se um ambiente de partilha onde se vai construindo um reportório de estratégias e se validam as estratégias