A teoria que Frege apresentou em 1884 já indicava que tipo de solução seria sugerida para o problema dos nomes vazios em geral dentro de uma semântica fregeana. O problema do significado de nomes vazios poderia ser considerada resolvido dada a distinção entre sentido e denotação, se nos permitíssemos entender sentidos como desempenhando a função relevante do significado de uma expressão. Frege não pensava assim, e tomava a denotação de uma expressão como seu valor semântico. Esse é o ponto de Evans (1982, 32) para sugerir que uma semântica tradicional propriamente fregeana não é capaz de tratar nomes vazios.
Não obstante, um nome sem denotação poderia ter um sentido, a condição de individuação que nos permite reconhecer o nome como vazio. Acontece que sentenças vazias assim continuariam sem valor de verdade. Para predicações vazias normais, se não temos a pretensão de explicar inferências feitas entre sentenças vazias, esse resultado é perfeitamente desejável. Mas a mesma teoria deixaria sem denotação também predicações existenciais negativas, que a ortodoxia toma como simplesmente falsas. Essa é crítica de Russell à teoria de Frege.
On the first difficulties that confront us, when we adopt the view that denoting phrases express a meaning and denote a denotation, concerns the cases in which the denotation appears to be absent. If we say “the King of England is bald,” that is, it would seem, not a statement about the complex meaning “the King of England”, but about the actual man denoted by the meaning. But now consider “the King of France is Bald”. By parity of form, this also ought to be about the denotation of the phrase “the King of France”. But this phrase,
thought is has a meaning provided “the King of France” has a meaning, has certainly no denotation, at least in any obvious sense. Hence one would suppose that “the King of France is bald” ought to be nonsense; but this is not nonsense, since it is plainly false.(RUSSELL, 1905a, 483–484)
A sugestão clássica associada a Frege é que uma interpretação formal de uma linguagem com nomes vazios associe a cada nome um conjunto como sua denotação: o conjunto unitário do objeto referente no caso de nomes normais e o conjunto vazio no caso dos nomes vazios. Como explica Evans (1982, 32), o sentido de um nome vazio seria um modo de apresentação de seu valor semântico, o conjunto vazio, enquanto seu poder semântico, sua contribuição ao valor de verdade da sentença, consistiria em sua associação com o conjunto vazio. Predicados, nas regras de avaliação, seriam definidos como funções de conjuntos unitários para os valores verdadeiro e falso e do conjunto vazio para o valor falso. (Note que essa semântica é um protótipo de semântica livre.)
If one therefore asserts ’Kepler died in misery,’ there is a presupposition that the name ’Kepler’ designates something; but it does not follow that the sense of the sentence ’Kepler died in misery’ contains the thought that the name ’Kepler’ designates something. If this were the case the negation would have to run not
Kepler did not die in misery
but
Kepler did not die in misery, or the name ’Kepler’ has no reference. That the name Kepler designates something is just as much a presupposition for the assertion
as for the contrary assertion. Now languages have the fault of containing expressions which fail to designate an object (although their grammatical form seems to qualify them for that purpose) because th truth of some sentence is a prerequisite. (. . . )
This arises from an imperfection of language, from which even the symbolic language of mathematical analysis is not altogether free; even there combi- nations of symbols can occur that seem to stand for something but have (at least so far) no reference, e.g. divergent infinite series. This can be avoided, e.g., by means of the special stipulation that divergent series shall stand for the number 0. A logically perfect language (Begriffsschrift) should satisfy the conditions, that every expression grammatically well constructed as a proper name out of signs already introduced shall in fact designate an object, and that no new sign shall be introduced as a proper name without having a referent assured.(FREGE, 1960b, 69–70)
O interessante sobre essa teoria é que ela é capaz de tratar nomes como expressões singulares, ainda que signifiquem não mais o próprio denotata, mas seu sentido, e que só denotem por mediação de uma condição de individuação cognitivamente determinada. Apesar de formalmente correta, essa proposta apresenta dificuldades muito conhecidas, sendo a principal delas o fato de que não é capaz de distinguir entre as condições de verdade de sentenças vazias diferentes. A teoria associa a todos os nomes vazios o conjunto vazio. Como consequência, por exemplo, a sentença “Sherlock Holmes mora em Baker Street” terá as mesmas condições de verdade que “Curupira mora em Baker Street”, não importando a diferença evidente entre os conteúdos dos dois nomes. Ou seja, essa teoria é incapaz de tratar inferências envolvendo nomes vazios.
Uma outra crítica a essa alternativa é o fato de que ela é completamente artificial. A razão para interpretar nomes em termos de objetos era salvar a intuição objetualista e milliana de que nomes referem a coisas no mundo e não às idéias que temos dessas coisas. Mas o que significaria dizer que nomes denotam o conjunto unitário de seus denotata ou o conjunto vazio? A semântica deveria servir em primeiro lugar para explicar
uma linguagem. E o conteúdo de um nome, seja enquanto significado ou contribuição, valor ou poder semânticos, certamente não deve ser um conjunto.
[Frege] provides by definition some purely conventional denotation for the cases in which otherwise there would be none. Thus “the King of France,” is to denote the null-class; (. . . ) But this procedure, though it may not lead to actual logical error, is plainly artificial, and does not give an exact analysis of the matter. Thus if we allow that denoting phrases, in general, have the two sides of meaning and denotation, the cases where there seems to be no denotation cause difficulties both on the assumption that there really is a denotation and on the assumption that there really is none.(RUSSELL, 1905a, 484)