A perspetiva designada por Modelos e Modelação emergiu no domínio da Educação Matemática quando investigadores de referência, como Kaput, Lehrer, Kim, Schäuble, Konold, Harradine, Kazak, Lesh, Doerr, Caylor, Gupta, English e outros, propuseram-se determinar a natureza dos sistemas conceptuais que os alunos precisavam desenvolver a fim de lidarem com as situações relacionadas com importantes ‘grandes tópicos’ de matemática elementar e, de modo mas amplo, em contextos fora do âmbito escolar. Para tal, foi desencadeada uma série de estudos sistemáticos acerca dos modelos conceptuais significativos em projetos de investigação e desenvolvimento, envolvendo alunos, professores, materiais curriculares e programas de ensino. Surgiram assim as perspetivas que vieram a ser catalogadas como Modelos e Modelação.
Em termos gerais, os defensores dessas perspetivas assumem os seguintes pressupostos:
as ferramentas conceptuais que um individuo desenvolve para interpretar as suas experiências influenciam a abrangência e a restrição do seu pensamento;
para criar novos sistemas, artefactos e ferramentas, um individuo tende a usar as mesmas ferramentas conceptuais desenvolvidas para descrever e explicar situações anteriores;
quando um individuo desenvolve formas melhores de pensar sobre as coisas, ele tende a mudar a sua forma de pensar, o que torna o desenvolvimento de sistemas conceptuais num processo cíclico sem fim.
Treinar os alunos para a interpretação de problemas é substancialmente prepará-los para desenvolver o seu pensamento e ao mesmo tempo habilitá-los para criar novos sistemas, o que na realidade se consubstancia em artefactos e ferramentas e no desenvolvimento do pensamento do aluno, o que, por seu turno, implica um avanço na sua forma de encarar o mundo.
No início, basicamente a pretensão destes teóricos era usar as tecnologias disponíveis não apenas para ajudar alunos com mais dificuldades, no contexto das abordagens vigentes, e evitar o fracasso destes (Lins & Kaput, 2004), mas de uma forma geral ajudar todos os alunos a desenvolverem poderosas bases para a aprendizagem da matemática (Lesh e Caylor. 2007). Esta perspetiva conta presentemente com contribuições de diversos investigadores, dentro e fora do campo da Educação Matemática, a maioria deles pertencentes a três prestigiados grupos de investigação (Lesh, 2000), nomeadamente:
• Models and Modeling Working Group pertencente à University of Wisconsin (NCISLA2);
• Models and Modeling Working Group afiliado ao PME-NA3;
• Purdue University’s Center for Twenty-first Century Conceptual Tools (TCCT).
Em Lesh et al.(2000), explica se que, de uma forma geral, as perspetivas de Modelos e Modelação abraçam três grandes linhas de investigação, designadamente a resolução de problemas fora do contexto escolar, os princípios para o design de atividades de modelação produtivas para a aprendizagem, e a natureza do desenvolvimento profissional dos professores.
A primeira linha de investigação centra-se nos tipos de problemas a abordar numa atividade de sala de aula (Lesh et al., 2000) de modo a permitir: (a) identificar as compreensões matemáticas e habilidades necessárias para o sucesso em situações que requerem
2NCISLA - National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science
Education.
‘pensamento matemático’ fora do âmbito escolar, tendo em atenção a predominância da tecnologia da informação, e (b) identificar os alunos que possuem habilidades extraordinárias que podem não ter sido apreciadas tendo em conta um historial de baixo desempenho nas tarefas enfatizadas nos manuais e testes tradicionais (Lesh, 2001; Lesh & English, 2005). Os resultados de estudos realizados destacam: (a) a ineficácia dos testes padronizados na medida em que não revelam na íntegra as compreensões matemáticas e habilidades necessários para o sucesso fora do âmbito escolar numa era subordinada pela tecnologia da informação (Lesh, 2001). (b) quanto mais as avaliações privilegiam habilidades e compreensões matemáticas necessárias para o sucesso fora do âmbito escolar mais alunos tendem a manifestar potencial excecional (Lesh, Zawojewski, & Carmona, 2003).
A segunda linha de investigação busca informação na primeira e centra-se sobre a questão: ‘qual é a melhor forma de introduzir boas situações de aprendizagem nas escolas?’ Esta orientação leva a investigações de princípios de design para ambientes de modelação produtiva na escola. Consequentemente, o foco das investigações nesta linha de pesquisa prende-se, por um lado, com a conceção de ambientes onde os alunos podem desenvolver compreensões mais profundas e sólidas de grandes tópicos de matemática e, por outro, procurar as melhores formas de utilizar as novas tecnologias de modo a permitir que alunos comuns consigam fazer conquistas conceptuais extraordinárias.
Para o desenvolvimentos de estudos no âmbito desta segunda linha de investigação, muitas vezes, os investigadores consideram as interações professor–aluno tanto quanto as interações aluno-aluno (Zawojewski, Lesh, & English, 2003); em alguns casos, os estudos analisam o envolvimento de uma turma inteira de alunos como comunidades de aprendizagem que desenvolvem, de forma produtiva e compartilhada, normas sobre a natureza da argumentação científica e da justificação (McClain, 2003; van Reeuwijk & Wijers, 2002). Resultados significativos relatam que crianças surpreendentemente jovens, bem como alunos altamente desfavorecidos, muitas vezes produzem resultados de alta qualidade que são muito mais impressionantes do que se poderia prever com base nos seus resultados anteriores baseados nos testes padronizados (Carlson, Larsen, & Lesh, 2003; Doerr & Lesh, 2002; Lehrer & Schauble, 2002; Lesh, 2001; Shternberg & Yerushalmy, 2003).
Em geral, esta segunda linha de investigação complementa a primeira. E ambas estão em sintonia com a interdisciplinaridade e com a transdisciplinaridade no ensino da matemática e ajudam os alunos a desenvolverem modelos matemáticos. Abordam os sistemas conceptuais como uma forma de explicação do mundo natural, ou seja, concentram-se na promoção do desenvolvimento conceptual, colocando os alunos em situações onde repetidamente expressam, testam e reveem as suas próprias maneiras de pensar sobre ‘grandes ideias’ em matemática ou ciências — ao invés de simplesmente serem levados a adotar as ideias ou formas de pensar pré-concebidas dos professores ou patentes em livros e outros suportes.
As investigações marcadas por estas perspetivas são geralmente de índole qualitativa, uma vez que as duas linhas de investigação se esforçam para realizar tratamentos profundos de um pequeno número de ‘grandes ideias’ — ao invés de estarem preocupadas com a cobertura superficial de um grande número de factos e habilidades de nível inferior.
Os resultados de investigações decorrentes desta segunda linha de pesquisa, sugerem que as atividades a propor aos alunos precisam ser projetadas e implementadas de tal modo que (a) diversas ideias sejam expressas pelos alunos; (b) os próprios alunos selecionem e retenham as ideias produtivas; (c) as ideias preservadas no âmbito da realização de atividades matemáticas sejam reutilizadas como ferramentas concetuais (Lesh & Yoon, 2004).
A terceira linha de investigação interessa-se pela natureza do desenvolvimento profissional de professores (Koellner-Clark & Lesh, 2003; Doerr & Lesh, 2002; Lehrer & Schauble, 2000; Schorr & Lesh, 2003). A preocupação fundamental prende-se com explicar ou verificar até que ponto as experiências de ensino que os professores organizam, com base na perspetiva M&M, se transformam em experiências de aprendizagem produtivas para apoiar o desenvolvimento do professor (Koellner-Clark & Lesh, 2003; Schorr & Lesh, 2003).
Os resultados de estudos realizadas segundo esta linha de pesquisa indicam que as compreensões matemáticas da maioria dos professores precisam de ser aprimoradas para que possam ajudar os seus alunos a expressarem, testarem e reverem produtivamente os seus pensamentos (Schorr & Lesh, 2003).
Tendo em atenção a perspetiva M&M, o presente estudo enquadra-se na segunda linha de investigação pois o seu problema de partida foi o de elaborar e implementar uma sequência didática através de resolução de problemas, utilizando a folha de cálculo como recurso didático como veículo para introduzir boas situações de aprendizagem, tendo em consideração os princípios da Teoria das Situações Didáticas e da Teoria dos Registos de Representações Semióticas. Em suma, o estudo visou a conceção de um ambiente onde, tal como veremos no capítulo cinco, os alunos desenvolveram certas compreensões profundas e sólidas sobre sucessões numéricas que são um tópico fundamental da Análise Matemática.