Importa, nesta subsecção, compreender em que medida é que os alunos da turma são bem-sucedidos, na resolução de problemas, isto é, se conseguem chegar à resposta correta e se implementam uma estratégia para o fazer.
A questão de aula (Anexo 21), realizada no dia 19 de março de 2019, foi resolvida por 17 alunos e comtemplava um problema (figura 5.55).
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Deve-se, para a análise desta questão, distinguir a resolução deste problema em dois pontos distintos: obter a resposta correta e implementar uma estratégia para o fazer.
Obter a resposta correta
Observando as resoluções, no que diz respeito a este aspeto, consegue-se dividir a turma em dois diferentes conjuntos: um em que os alunos conseguem obter a resposta do problema e outro onde isso não acontece.
Veja-se, primeiramente o conjunto de alunos (oito) que não consegue chegar ao resultado correto. Dois destes oito alunos não apresentam uma resposta, apesar de um deles ter sublinhado aquilo que considerava mais importante para conseguir resolver o problema (esta questão de sublinhar é interessante uma vez que corresponde às indicações que a professora foi fazendo no decurso das aulas), como é mostrado na figura 5.56.
Figura 5.55: Enunciado da pergunta 5 da questão de aula
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Dois elementos deste conjunto não conseguem chegar ao resultado final correto. Estes alunos aplicam somente a razão trigonométrica, não tendo resolvido mais nada a partir de então, sendo que um destes alunos escolhe a razão trigonométrica errada (tangente).
Uma outra aluna não obteve o resultado final correto por ter cometido um erro de cálculo que creio que foi motivado por distração (já que os alunos puderam usar a calculadora, e fazendo 37,68 + 37,68 = 75,36), o que resultou na troca de um algarismo (figura 5.57).
Verifica-se, que a grande maioria dos alunos segue a sugestão do problema e preserva nos cálculos intermédios o número de casas decimais pedidos. Contudo, há um aluno (figura 5.58.) que por não utilizar o número mínimo de casas decimais que garantia a resposta correta, obteve um resultado final errado.
O sétimo aluno que não consegue chegar ao resultado final correto foi um aluno que não arredondou o número que obteve com a aproximação pedida, tendo deixado ficar três casas decimais na resposta.
O último aluno que não consegue chegar à resposta correta apresenta vários aspetos que contribuíram para isso, como são exemplo as dificuldades com os arredondamentos e a notação matemática, ou ainda a utilização das razões trigonométricas. Interessa focar os problemas relacionados com as razões trigonométricas. Pode observar-se (figura 5.59.) que o aluno vai mobilizar duas razões trigonométricas diferentes, demonstrando que não conseguiu perceber qual seria a
Figura 5.58: Resolução da pergunta 5 da questão de aula pelo aluno R Figura 5.57: Parte da resolução da pergunta 5 da questão de aula pela aluna N
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mais adequada. O cálculo com o seno, apesar de incluir apenas a parte inteira do número, está correto; já o referente ao cosseno, está errado. Esta resolução evidencia, também, que o conceito de ângulos complementares não ficou consolidado, porque, caso contrário, o aluno rejeitaria um dos cálculos, já que o seno e o cosseno de um mesmo ângulo agudo não têm o mesmo valor.
A tabela seguinte (5.16.) apresenta, de forma sintética, o número de alunos que conseguiu obter a resposta correta, mostrando que 53% da turma (9 alunos) fê-lo.
Tabela 5.16: Alunos que obtêm a resposta correta na pergunta 5 – questão de aula
Implementar uma estratégia
Nesta última resolução apresentada (figura 5.59.), apesar de todos os aspetos referidos, e da desorganização da resolução, é evidente que o aluno percebeu como deveria proceder para resolver a questão, ou seja, mesmo que de forma pouco organizada, o aluno apresenta uma estratégia para resolver o problema, implementando-a e seguindo-a até chegar a uma resposta.
Aliás, a implementação de uma estratégia é comum à grande maioria dos alunos, incluindo naqueles que não conseguem chegar à resposta correta.
Alunos que Frequência Absoluta
(n.º de alunos)
Frequência relativa (em %)
Obtêm a resposta correta 9 53%
Não obtêm à resposta correta 6 35%
Sem resposta 2 12%
Total 17 100%
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No conjunto de alunos que conseguiram chegar à resposta correta (nove), é possível dividi-los em três subconjuntos. O primeiro subconjunto corresponde aos alunos que apresentam uma estratégia implementada de forma completa, uma vez que justificam tudo o que é necessário, fundamentando os passos dessa estratégia.
É interessante notar que os dois alunos que integram este subgrupo não recorreram aos critérios de igualdade de triângulos, apoiando a sua fundamentação na realização da razão trigonométrica associada ao outro comprimento pretendido, de forma a mostrar que era, efetivamente, igual ao primeiro (figura 5.60.).
O segundo subgrupo diz respeito aos alunos que não justificaram devidamente tudo o que era necessário, assumindo que 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅, sem a apresentação de uma justificação (figura 5.61.)
Figura 5.60: Resolução pergunta 5 da questão de aula pelo B
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Este é o maior subconjunto (sete alunos), onde seis deles optaram por seguir esta resolução. Destaco, o sétimo elemento deste grupo que utiliza uma estratégia diferente para o cálculo do comprimento pretendido. Esta aluna opta por nomear o ponto médio do segmento de reta 𝐴𝐸, e depois de determinar o comprimento do segmento de reta 𝐴𝐵, com recurso à Trigonometria, percebe que 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝑀̅̅̅̅̅. Contudo, faltou incluir um segmento de reta para que os cálculos fizessem sentido (figura 5.62.). A aluna faz a diferença entre o segmento de reta [𝐴𝑀] e [𝐴𝐵], percebendo que o resultado será metade da resposta ao problema. Faltou, apenas a justificação para o que o ponto 𝑀 (como a aluna designa) fosse o ponto médio daquele segmento.
A seguinte tabela (5.17.) apresenta o número de alunos que implementaram uma estratégia para resolver o problema. Verifica-se que a grande maioria dos alunos (82%) implementa uma estratégia para resolver o problema, existindo apenas um aluno, dos que responderam à questão, que não apresenta qualquer tipo de estratégia.
Tabela 5.17: Alunos que implementam uma estratégia para resolver a pergunta 5 – questão de aula
Alunos que Frequência Absoluta
(n.º de alunos)
Frequência relativa (em %)
Implementam uma estratégia 14 82%
Não implementam uma estratégia 1 6%
Sem resposta 2 12%
Total 17 100%
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Percebe-se assim, que o número de alunos que implementa uma estratégia é superior (mais 5 alunos) ao número que obtém a resposta correta (tabela 5.16.), o que sugere a existência de erros nos procedimentos matemáticos envolvidos, como espelha a tabela 5.18. Verifica-se, portanto, que 30% dos alunos demonstra dificuldades com conceitos trigonométricos e processos matemáticos.
Tabela 5.18: Erros observados na pergunta 5 na questão de aula
Erros Frequência Absoluta
(n.º de alunos)
Frequência relativa (em %)
Aplicação da razão trigonométrica errada 1 6%
Problemas com arredondamentos 4 24%
Sem erros procedimentais na resolução 12 70%
Total 17 100%
A pergunta 7 do teste escrito (Anexo 22), realizado no dia 25 de março de 2019, é um outro problema proposto aos alunos (figura 5.63). Portanto, o fio condutor desta análise será o utilizado para o problema apresentado imediatamente anterior a este, dividindo a sua análise por duas secções: implementação de uma estratégia e chegar à resposta correta. Todos os alunos da turma (18) responderam à questão.
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Obter a resposta correta
No que diz respeito à correção da resposta, é possível dividir a turma em dois: os que chegam à resposta e os que não o conseguem fazer.
Para a resolução deste problema era necessário calcular, no mínimo, duas razões trigonométricas. Os alunos que erram na escolha das razões trigonométricas fazem-no numa só, acertando a outra, como se atesta na figura 5.64., onde o aluno opta corretamente pela razão tangente do ângulo de 70° para determinar o 𝐶𝐷̅̅̅̅, porém, volta a escolher a razão tangente do ângulo de 30° para determinar 𝐴𝐵̅̅̅̅.
A figura 5.65. serve para exemplificar as resoluções dos alunos que devido a erros em cálculos numéricos não chegam à resposta correta. Verifica-se que a aluna mobilizou corretamente as razões trigonométricas e efetuou os seus cálculos devidamente, no entanto, no momento de preservar o número mínimo de casas que lhe garantisse um resultado final mais fiel ao pretendido, não o fez, comprometendo o resultado final.
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Há cinco alunos (28%) que não conseguem obter a uma resposta correta, no entanto, a grande maioria da turma, 72% consegue determinar o resultado final correto (tabela 5.19.).
Tabela 5.19: Alunos que obtêm a resposta correta da pergunta 7 – teste escrito
Três alunos não obtêm a resposta correta por questões ligadas a cálculo numérico e outros dois por erros relacionados com a escolha das razões trigonométricas, como reflete a tabela seguinte (5.20.)
Tabela 5.20: Erros observados na pergunta 7 – teste escrito
Alunos que Frequência Absoluta
(n.º de alunos)
Frequência relativa (em %)
Obtêm a resposta correta 13 72%
Não obtêm a resposta correta 5 28%
Total 18 100%
Erros Frequência Absoluta
(n.º de alunos)
Frequência relativa (em %)
Aplicação da razão trigonométrica errada 2 6%
Problemas com arredondamentos 3 24%
Sem erros procedimentais na resolução 13 70%
Total 18 100%
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Implementar uma estratégia
Observando a figura 5.65. consegue-se perceber que o aluno faz uma representação da situação (lado direito da resolução), e percebe que para determinar a altura do balão precisa de adicionar três comprimentos, sugerindo a estratégia implementada pelo aluno.
Esta estratégia de calcular os comprimentos em falta é comum a todos os alunos, havendo dois alunos que decidem calcular de forma ligeiramente diferente 𝐶𝐷̅̅̅̅ (figura 5.66.). Estes alunos calculam primeiramente 𝐶𝐸̅̅̅̅ que representa o comprimento da hipotenusa do triângulo, e depois com o valor obtido a partir desse cálculo, determinam o comprimento desejado. É interessante notar que o que o aluno fez foi calcular a tangente do ângulo de 70° por dois passos, mas sem evocar esta razão.
Todos os alunos, incluindo os que não conseguem obter o valor final correto, são capazes de implementar uma estratégia para resolver o problema, havendo dois que optam por acrescentar um cálculo trigonométrico, que era desnecessário.