Numa estrutura metálica, os efeitos de segunda ordem são ocasionados pelos deslocamentos dos elementos do pórtico (fundamentalmente resultantes do esforço axial nas colunas), os quais originam esforços adicionais (por exemplo, surgem momentos flectores secundários), e estes por sua vez alteram os valores dos próprios deslocamentos.
De um modo geral, em projecto é frequente subdividir os efeitos de segunda ordem em efeitos ao nível dos elementos (decorrentes dos deslocamentos em relação à “corda” dos elementos) e efeitos ao nível da estrutura (resultantes dos deslocamentos nas extremidades dos elementos).
Em primeiro lugar, refira-se que não há necessidade de serem avaliados os efeitos ao nível dos elementos, pois estão incorporados nas expressões regulamentares do EC3 para verificação da segurança dos elementos.
Em segundo lugar, a necessidade de considerar os efeitos globais de segunda ordem depende da sensibilidade da estrutura (avaliar se a estrutura sofre agravamentos relevantes, nomeadamente, aumento significativo de esforços ao longo da estrutura ou mudanças de comportamento da mesma), a qual se recomenda que seja feita para todas as combinações de acções para reflectir a sensibilidade relativa de cada uma delas.
No que respeita ao EC3, uma estrutura é considerada sensível aos efeitos de segunda ordem se, em análise elástica, a condição seguinte for satisfeita (avaliação indirecta):
α𝑐𝑟 =𝐹F𝑐𝑟 𝐸𝑑 ≤ 10
Em que, F𝑐𝑟 é a carga crítica (elástica) de instabilidade da estrutura, avaliada com base na rigidez elástica inicial; 𝐹𝐸𝑑 é a carga de base1 para uma dada combinação de acções (corresponde ao diagrama de esforço axial instalado na estrutura).
Por outro lado, a definição de carga crítica de elementos inseridos em pórticos tem que ser compatível com a forma como é verificada a estabilidade global da estrutura, noutras palavras, existe um elemento uniforme inserido no pórtico que instabiliza em simultâneo com o pórtico para um dado carregamento. Saliente-se que ao contrário do que acontece com elementos isolados, a estabilidade de um elemento num pórtico não depende só da geometria do elemento mas também do carregamento do pórtico (Aristizabal-Ochoa, 1997).
Em virtude disso, alguns autores (Silva, Simões, & Gervásio, 2010; Simões, 2007) indicam que o factor global α𝑐𝑟 de um pórtico (multiplicador de carga crítica da estrutura) pode ser determinado alternativamente através da expressão seguinte:
α𝑐𝑟 = 𝑀𝑖𝑛{α𝑐𝑟,𝑖 ∶ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}
Em que, α𝑐𝑟,𝑖 é o multiplicador de carga crítica mínimo para cada pilar; 𝑛 é o número de pilares. Para avaliação do multiplicador de carga crítica mais baixo em cada pilar, α𝑐𝑟 = F𝑐𝑟⁄𝐹𝐸𝑑, é sugerido pelos mesmos autores (Silva, Simões, & Gervásio, 2010) que se utilize, por exemplo, o Método de Wood2 (baseado num sistema equivalente viga-pilar) em ambas as direcções para determinar a carga
1 De acordo com (Silva & Gervásio, 2007) 𝐹
𝐸𝑑 não deve ser interpretado como o somatório das reacções
verticais (gravíticas) na estrutura porque isso leva a uma interpretação errada, especialmente, quando em determinados carregamentos o somatório é nulo (por exemplo, a acção do vento).
2 Na ausência de melhor informação, o comprimento de encurvadura teórico para encurvadura crítica elástica
crítica mínima, F𝑐𝑟, e o esforço axial de compressão mais gravoso de entre todas as combinações de acções, 𝐹𝐸𝑑.
Evidentemente que se a condição indicada pelo EC3 for satisfeita, então é necessário determinar os esforços e deslocamentos reais instalados na estrutura (por exemplo, pode-se considerar uma análise de primeira ordem complementada com factores de amplificação apropriados aos efeitos relevantes das acções), caso contrário, uma análise de primeira ordem é suficiente para se determinar os esforços e deslocamentos instalados na estrutura (Silva, Simões, & Gervásio, 2010; Reis & Camotim, 2012). É fácil entender, apesar de não especificado no EC3, que as estruturas que verificam a condição são mais sensíveis aos efeitos de segunda ordem, logo podem ser classificadas como “estruturas com deslocamentos laterais”; em oposição, as estruturas que não verificam a condição podem ser classificadas como “estruturas sem deslocamentos laterais”.
Na prática, a grande maioria dos pórticos tem um modo crítico de instabilidade (modo associado ao valor crítico do parâmetro de carga, 𝛼𝑐𝑟) que envolve sempre deslocamentos laterais dos nós, e uma forma de melhorar o seu comportamento (aumentar o valor de 𝛼𝑐𝑟) consiste em impedir total ou parcialmente esses deslocamentos laterais, através de uma operação designada por “contraventamento do pórtico”.
Colunas em edifícios
Base teórica do Eurocódigo 3
No Anexo informativo E da pré-norma do EC3 é proposto o “Método de Wood” que se baseia na utilização de expressões\ábacos que determinam aproximadamente o comportamento de estabilidade de uma coluna a partir do conhecimento das características dos elementos que lhe estão adjacentes (estimativa dos parâmetros de restrição à rotação nas extremidades), porém a sua aplicação é limitada aos pórticos regulares e ortogonais (pórticos de um piso com vigas de inclinação reduzida, e pórticos planos de edifícios com cargas verticais e horizontais e rigidez semelhantes ao nível dos vários andares) que sejam constituídos por elementos uniformes (inércia constante).
Não obstante, na determinação do comportamento de encurvadura de uma coluna comprimida inserida num pórtico é ainda necessário especificar se a compressão nas vigas adjacentes é ou não significativa (atendendo ao EC3, a compressão axial só é relevante quando λ̅ ≥ 0,3√𝐴𝑓𝑦⁄𝑁𝐸𝑑 ), e se os modos de instabilidade do pórtico envolvem ou não deslocamentos laterais nos nós.
Figura 3.1 – Substituição da envolvente de uma coluna contínua (proveniente de um relatório técnico sobre pórticos metálicos com ligações soldadas totalmente rígidas); extraído de (Wood, 1974)
A aplicação deste método teórico adaptado à situação de colunas contínuas (o modelo mostrado na Figura 3.1 define a hipótese introduzida para cada comprimento de coluna contínua) consiste nos seguintes passos (Wood, 1974; Silva & Gervásio, 2007):
i) Determinação dos coeficientes de distribuição, 𝜂𝑖, que estimam a restrição à rotação nas extremidades, através da equação:
𝜂𝑖 = ∑ 𝑘𝑐 𝑃𝑖𝑙. 𝑗 ∑ 𝑘𝑃𝑖𝑙.𝑗 𝑐+ ∑𝑉𝑖𝑔.𝑗 𝑘𝑏 = ∑ (𝐸 𝐼 𝐿𝑃𝑖𝑙. ⁄ ) 𝑗 ∑ (𝐸𝐼 𝐿𝑃𝑖𝑙. ⁄ ) 𝑗 + ∑𝑉𝑖𝑔.𝑗 𝑘 × (𝐸 𝐼 𝐿⁄ ) × (1 + 2𝛼 + 0,75𝛼1 + 0,75𝛼 2) Onde,
𝑘𝑐 é o coeficiente de rigidez de um pilar e 𝑘𝑏 representa o coeficiente de rigidez efectiva de uma viga em regime elástico;
𝑖 toma os índices 𝑡 ou 𝑏, consoante se trate da extremidade superior ou inferior do pilar em estudo; 𝑗 é o índice mudo correspondente aos pilares ou às vigas convergentes no nó superior ou inferior do pilar em estudo;
𝐼 designa o momento de inércia e 𝐿 o comprimento do elemento (pilar ou viga);
𝛼 = 𝑘𝑏′⁄𝑘𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 é um coeficiente que depende do deslizamento constante das ligações semi-rígidas3 (ao considerar-se na rigidez efectiva da viga os efeitos das ligações, a curva de momento-rotação da viga passa a ter comportamento não linear);
𝑘𝑏′ é o coeficiente de rigidez nominal da viga assumindo que as ligações semi-rígidas são encastradas e 𝑘𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 é a rigidez (inicial) equivalente da ligação semi-rígida;
𝑘 é um coeficiente que depende das condições de apoio de cada viga na extremidade afastada do pilar em análise, e também da compressão axial instalada em cada uma dessas vigas (rigidez ajustada a partir das funções de estabilidade); na Tabela 3.1 estão indicados valores recomendados para diferentes situações (habituais) em que se podem encontrar as vigas (não se incluem as situações de vigas suportando directamente lajes de piso em betão armado).
Tabela 3.1 – Coeficiente correctivo da rigidez rotacional oferecida por uma viga a um pilar adjacente, adaptado de (ENV 1993-1-1:1992, 1992)
Condições de restrição rotacional na
extremidade oposta da viga Vigas não sujeitas a esforços axiais de compressão significativos Vigas sujeitas a esforços axiais de compressão significativos1, 2
Encastrada 𝑘 = 1,0 𝑘 = 1 − 0,4 𝑁
𝐸𝑑⁄𝑁𝑐𝑟𝐸
Rotulada 𝑘 = 0,75 𝑘 = 0,75 − 0,75 𝑁
𝐸𝑑⁄𝑁𝑐𝑟𝐸
Igual rotação (curvatura simples) 𝑘 = 0,50 𝑘 = 0,50 − 0,50 𝑁
𝐸𝑑⁄𝑁𝑐𝑟𝐸
Igual rotação mas em sentido
contrário (dupla curvatura) 𝑘 = 1,50 𝑘 = 1,50 − 0,30 𝑁𝐸𝑑⁄𝑁𝑐𝑟𝐸
Caso geral (𝜃𝑎 junto ao pilar e 𝜃𝑏 na
extremidade oposta) 𝑘 = 1,0 + 0,50 𝜃𝑏⁄ 𝜃𝑎 –
1 Nesta tabela, 𝑁
𝑐𝑟𝐸 = 𝜋2𝐸𝐼 𝐿⁄ é a carga crítica da viga devido à encurvadura por flexão; 𝐿 é o comprimento entre 2
apoios e 𝐼 é o momento de inércia da viga; 𝑁𝐸𝑑 é o esforço axial de compressão actuante na viga.
2 De acordo com o Anexo informativo E da Pré-norma do EC3, o incremento do coeficiente de rigidez devido à
tracção axial pode ser negligenciado, e os efeitos da compressão axial podem ser considerados pela aplicação de aproximações conservativas.
Adicionalmente, devido à ausência de quaisquer disposições no que respeita às ligações das colunas com o exterior (por exemplo, bases de coluna), é bom senso de engenharia estabelecer-se um coeficiente de distribuição nulo sempre que exista uma ligação encastrada (excluem-se as ligações rígidas dos pilares da cobertura, que segundo as inspecções realizadas por (Wood, 1974), correspondem a um coeficiente de distribuição igual a 0,2) ou igual a 1,0 se a ligação for rotulada.
ii) Determinação da relação entre o comprimento de encurvadura equivalente4, 𝐿 𝑒, e o comprimento real, 𝐿, da coluna em estudo, a qual é avaliada por expressões empíricas conservativas (em função dos coeficientes de distribuição) que dependem dos modos de instabilidade do pórtico (estes podem designar-se por MCDL para modos que envolvem deslocamentos laterais dos nós, e MSDL para modos que não envolvem deslocamentos laterais nos nós.
a. Para estruturas sem deslocamentos laterais (MSDL), o comprimento de encurvadura da coluna é determinado utilizando a expressão (o modelo estrutural que está na base da sua elaboração é mostrado na Figura 3.2):
𝐿𝑒 𝐿 =
1 + 0,145(𝜂𝑡+ 𝜂𝑏) − 0,265 × 𝜂𝑡× 𝜂𝑏 2 − 0,364(𝜂𝑡+ 𝜂𝑏) − 0,247 × 𝜂𝑡× 𝜂𝑏
Figura 3.2 – Indicação do comprimento efectivo de encurvadura de uma coluna isolada com vigas de restrição e ligações rígidas, e num pórtico com deslocamentos laterais impedidos; extraído de (Wood, 1974)
b. Para estruturas com deslocamentos laterais (MCDL), o comprimento de encurvadura da coluna pode ser obtido a partir da expressão (o modelo estrutural que está na base da sua elaboração é mostrado na Figura 3.3):
𝐿𝑒 𝐿 =√
1 − 0,2(𝜂𝑡+ 𝜂𝑏) − 0,12 × 𝜂𝑡× 𝜂𝑏 1 − 0,8(𝜂𝑡+ 𝜂𝑏) + 0,6 × 𝜂𝑡× 𝜂𝑏
4 O comprimento de encurvadura de uma coluna em compressão corresponde ao comprimento de uma coluna
similar com extremidades rotuladas (extremidades impedidas aos deslocamentos laterais mas livres de rodar no plano de encurvadura) que possui a mesma resistência à encurvadura.
Figura 3.3 – Indicação do comprimento efectivo de encurvadura de uma coluna isolada com vigas de restrição e ligações rígidas, e num pórtico com deslocamentos laterais permitidos (sem corte); extraído de (Wood, 1974)
iii) Determinação da carga crítica da coluna utilizando a expressão seguinte: 𝑁𝑐𝑟 =𝜋
2𝐸𝐼 𝐿𝑒2
Onde, 𝐸𝐼𝑐 é a rigidez de flexão da secção transversal do elemento, no plano condicionante; 𝐿𝑒 é o comprimento efectivo de encurvadura da coluna.
Método simplificado mais recente com maior precisão
Actualmente, apesar de as cargas críticas de elementos comprimidos (ou comprimentos efectivos de encurvadura) puderem ser obtidas através de uma análise linear ou não linear geométrica e/ou material executada num software especializado (por exemplo, SAP2000 ou ANSYS), a grande maioria dos engenheiros estruturais ainda opta pelos métodos analíticos ou pelas técnicas gráficas (por exemplo, Método de Wood ou Método de alinhamento gráfico).
Todavia, conforme reportado por (Mageirou & Gantes, 2006) até ao presente os estudos efectuados por investigadores não interligavam a dependência da rigidez rotacional dos elementos convergentes nos nós de uma coluna com todas as condições de fronteira possíveis, ou seja, sempre faltavam considerações em diversos casos encontrados na prática (fonte principal da imprecisão dos métodos analíticos), designadamente: nas extremidades afastadas das vigas (com ou sem cargas axiais) adjacentes à coluna, nas ligações com o exterior, na presença de ligações semi-rígidas (não linearidade das ligações), nos diferentes níveis de estabilidade dos nós dos pórticos (móveis, fixos ou parcialmente fixos).
Nesse propósito é proposto por (Mageirou & Gantes, 2006) um método simplificado para avaliação da carga crítica de encurvadura de colunas (modelo de coluna individual) em pórticos de múltiplos pisos com ligações semi-rígidas, e com diferentes níveis de estabilidade dos nós (função da rigidez lateral do contraventamento); em seguida será sugerida uma sequência de cálculos para aplicação deste método teórico (ver Figura 3.4).
Primeiramente, procede-se à obtenção dos coeficientes de rigidez rotacional em cada uma das extremidades (nós superior e inferior) da coluna a analisar, os quais posteriormente substituem a contribuição dos elementos convergentes nessas extremidades através de molas equivalentes (restrição providenciada por outros elementos do pórtico às rotações dos nós da coluna).
Desse modo, começa-se por tentar perceber quais as expressões analíticas (rigidez rotacional deduzida pela aplicação do método do gradiente de deformação) indicadas na Tabela 3.1 que melhor se enquadram às condições de fronteira translacionais e rotacionais dos elementos estruturais convergentes nos nós da coluna em análise (existem considerações para diferentes condições de apoio na extremidade oposta dos elementos, existência de ligações semi-rígidas, e eventualmente a presença de esforço axial nos elementos); relativamente aos símbolos que constituem essas expressões terão o significado seguinte: 𝑐𝑖 é o coeficiente de rigidez de um elemento genérico 𝑖; 𝑐̅𝑖 = (𝐸𝐼 𝐿⁄ )𝑖 é o rácio da rigidez de flexão do elemento no vão; 𝑐#= 𝑐 𝑐̅⁄ é a rigidez rotacional normalizada; 𝑐 é a rigidez 𝑖 rotacional da ligação do elemento mais afastada da coluna (representada por uma mola elástica); 𝑐𝑛 é a rigidez rotacional (inicial) da ligação do elemento com a coluna (representada por uma mola elástica); 𝑛𝑖 é a relação entre a compressão axial actuante no elemento e a carga crítica de Euler.
Depois de determinados os coeficientes de rigidez rotacional de cada elemento adjacente à coluna, advém que cada extremidade da coluna possuirá uma mola rotacional com rigidez estimada pelo somatório das contribuições desses elementos, ou seja:
𝑐𝑏 = ∑ 𝑐𝑏,𝑖 𝑖
; 𝑐𝑡 = ∑ 𝑐𝑡,𝑗 𝑗
Onde, 𝑐𝑏,𝑖 e 𝑐𝑡,𝑗 são os coeficientes de rigidez rotacional de cada elemento adjacente aos nós superior e inferior da coluna em análise, respectivamente.
Figura 3.5 – Modelo de uma coluna: (a) num pórtico com deslocamentos impedidos, (b) num pórtico com deslocamentos permitidos, (c) num pórtico com deslocamentos parcialmente impedidos; extraído de (Mageirou
& Gantes, 2006)
Para estimação do factor de comprimento efectivo da coluna é necessário ter em conta o verdadeiro comportamento do pórtico, designadamente, o modo crítico de instabilidade que poderá estar associado a uma de três situações: nós com deslocamentos laterais (ou móveis), nós sem deslocamentos laterais (ou fixos) ou parcialmente restringidos; as quais dependem do sistema de contraventamento (mola elástica translacional).
Pórticos sem deslocamentos laterais
Para um modelo de coluna num pórtico sem deslocamentos laterais, conforme ilustrado na Figura 3.5 a) (proveniente do modelo da Figura 3.4 b) por colocação de uma mola rotacional com um apoio móvel), o factor de comprimento efectivo 𝐾 poderá ser obtido pela expressão seguinte:
32𝐾3(𝑧 𝑡− 1)(𝑧𝑏− 1) − −4𝐾[8𝐾2(𝑧 𝑡− 1)(𝑧𝑏− 1) + (𝑧𝑡+ 𝑧𝑏− 2𝑧𝑡𝑧𝑏)𝜋2] cos (𝐾𝜋) + +𝜋[−16𝐾2+ 20𝐾2(𝑧 𝑡+ 𝑧𝑏) + 𝑧𝑡𝑧𝑏(𝜋2− 24𝐾2)] sin (𝐾𝜋) = 0
Onde, 𝑧𝑏= 𝑐𝑐⁄(𝑐𝑐+ 𝑐𝑏) e 𝑧𝑡= 𝑐𝑐⁄(𝑐𝑐+ 𝑐𝑡) são os factores de distribuição obtidos pela normalização das rigidezes rotacionais de extremidade 𝑐𝑏 e 𝑐𝑡 em relação à rigidez de flexão da coluna 𝑐𝑐= (4𝐸𝐼 ℎ⁄ )𝑐.
Pórticos com deslocamentos laterais
Considerando o modelo simplificado de uma coluna num pórtico com deslocamentos laterais mostrado na Figura 3.5 b) (resultante do modelo da Figura 3.4 b) por omissão da mola translacional), a equação de encurvadura que determina o factor de comprimento efectivo 𝐾 é descrita a seguir:
4[𝑧𝑡(2𝑧𝑏− 1) − 𝑧𝑏]𝐾 cos𝜋 (𝐾𝜋) + [𝑧𝑡𝑧𝑏(𝐾𝜋) 2
− 16(𝑧𝑡− 1)(𝑧𝑏− 1)] sin (𝐾𝜋) = 0 Onde, 𝑧𝑏 e 𝑧𝑡 têm o significado definido atrás.
Pórticos com deslocamentos laterais parcialmente restringidos
No que refere ao modelo simplificado de uma coluna num pórtico com deslocamentos laterais parciais que está apresentado na Figura 3.5 c), o factor de comprimento efectivo 𝐾 é obtido a partir da equação seguinte: −32𝐾5𝑐̅ 𝑏𝑟(𝑧𝑡− 1)(𝑧𝑏− 1) + + 4𝐾[8𝐾4𝑐̅ 𝑏𝑟(𝑧𝑡− 1)(𝑧𝑏− 1) + 𝐾2𝑐̅𝑏𝑟(𝑧𝑡+ 𝑧𝑏− 2𝑧𝑡𝑧𝑏)𝜋2+ (−𝑧𝑡− 𝑧𝑏+ 2𝑧𝑡𝑧𝑏)𝜋4] cos (𝐾𝜋) + + 𝜋[4𝐾4𝑐̅ 𝑏𝑟(4 − 5𝑧𝑡− 5𝑧𝑏+ 6𝑧𝑡𝑧𝑏) − 16𝐾2𝜋2(1 − 𝑧𝑡− 𝑧𝑏+ 𝑧𝑡𝑧𝑏) − 𝐾2𝜋2𝑐̅𝑏𝑟𝑧𝑡𝑧𝑏+ 𝜋4𝑧𝑡𝑧𝑏] 𝑠𝑖𝑛 (𝐾𝜋) = 0 Onde, 𝑐̅𝑏𝑟= 𝑐𝑏𝑟ℎ𝑐3⁄𝐸𝐼𝑐 é rigidez lateral normalizada do sistema de contraventamento; 𝑐𝑏𝑟 é a rigidez
lateral do sistema de contraventamento (mola de translação); 𝑧𝑏 e 𝑧𝑡 têm o significado definido atrás. Finalmente, a carga crítica de encurvadura da coluna é definida por:
𝑃𝑐𝑟 =𝜋 2𝐸𝐼
𝑐 (𝐾ℎ)2
Onde, 𝐸𝐼𝑐 é a rigidez de flexão da secção transversal do elemento, no plano condicionante; ℎ é a altura real da coluna.
Figura 3.6 – Expressões da rigidez rotacional de elementos convergentes nos nós de um pilar, para diferentes condições de fronteira na extremidade mais afastada desses elementos, os quais sujeitos ou não a esforço axial, e ainda considerando a presença ligações
Critério de rigidez mínima em contraventamentos
Com base na Figura 3.5 é fácil perceber que a rigidez providenciada pelo sistema de contraventamento relativamente aos deslocamentos dos nós do pórtico pode ser representada por uma mola translacional, c𝑏𝑟. Com efeito, um pórtico que não está sujeito a deslocamentos laterais possuirá um sistema de contraventamento com grande rigidez, um pórtico que está sujeito a deslocamentos laterais não possui sistema de contraventamento (ou a sua rigidez é negligenciável), e quanto às disposições intermédias de contraventamento refere-se que o pórtico está sujeito a deslocamentos parcialmente impedidos. Para além do referido anteriormente, é também necessário entender que o conceito de comprimento efectivo de encurvadura de uma coluna num pórtico é não só função das suas propriedades geométricas e mecânicas da coluna, mas também, das propriedades do piso enquanto um todo (condições de suporte e de contraventamento), e da distribuição de cargas ao longo das colunas (Aristizabal-Ochoa, 1997).
Tomando, por exemplo, o caso dos pórticos com deslocamentos é possível assumir como pressuposto (situação mais restritiva) que cada coluna do pórtico encurvará isoladamente em relação às outras colunas, ou seja, não se providencia nenhuma resistência adicional à encurvadura devido à inexistência de interacção entre elementos. Em oposição, num sistema de múltiplas colunas com deslocamentos impedidos ou parcialmente impedidos, cada coluna é definida como alcançando a sua carga crítica quando o modo de instabilidade com deslocamentos do piso inteiro ocorre, contudo a gravidade do fenómeno dependerá da distribuição (diferenciada) das cargas entre as colunas.
Tendo em conta os conceitos expostos, uma coluna parcialmente contraventada (para qualquer tipo de construção em pórtico) é aquela cujo factor de esbelteza K satisfaz o seguinte critério:
K𝑈𝑛𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒𝑑 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛≥ K𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙𝑙𝑦 𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒𝑑 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛 ≥ K𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑙𝑦 𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒𝑑 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛
Em adição, mencione-se que o factor de esbelteza de uma coluna parcialmente contraventada, K𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙𝑙𝑦 𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒𝑑 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛 , pode ser inferior a 1,0 mas nunca inferior a K𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑙𝑦 𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒𝑑 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛.
Por último, a rigidez mínima necessária para converter um pórtico com deslocamentos permitidos num pórtico com deslocamentos impedidos pode ser determinada utilizando uma equação que compreenda a combinação das situações de contraventamento parcial e total (dependendo apenas dos factores de fixação da coluna), donde resulta a expressão seguinte para uma coluna do pórtico (Aristizabal-Ochoa, 1994): cbr EI𝑐⁄h𝑐3≈ 2 5 π2(− 3(4 − ρtρb)(ρtρb+ ρt+ ρb) (4 − ρtρb)2 ++ + (π 2(1 − ρ t) 3ρ𝑡 + 4) (π 2(1 − ρ b) 3ρb + 4) (8(ρt 2+ ρ b2+ 5) + ρ𝑡ρb(3ρtρb+ ρt+ ρb− 34)) (4 − ρ𝑡ρb)2(π 2(1 − ρ 𝑡) 3ρ𝑡 + 2) (π 2(1 − ρ b) 3ρb + 2) ) Onde, ρt= 𝐾𝑡 𝐾𝑡+3(𝐸𝐼 ℎ⁄ )𝑐 e ρ𝑏 = 𝐾𝑏
𝐾𝑏+3(𝐸𝐼 ℎ⁄ )𝑐 são os factores de fixação referentes aos nós superior e inferior da
coluna, respectivamente (para ligações perfeitamente rígidas o factor de fixação é igual a 1,0; para ligações nominalmente rotuladas o factor de fixação é nulo); 𝐾𝑡 e 𝐾𝑏 são as rigidezes de flexão das ligações da coluna nas extremidades superior e inferior, respectivamente.