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Para integrar a História no ensino da Matemática, o professor tem, necessariamente, que recorrer a fontes.Tzanakis e Arcavi (2000, p. 212) referem que essas fontes podem ser classificadas em três tipos:

 Fontes primárias (excertos dos documentos matemáticos originais);

 Fontes secundárias (livros com histórias narrativas, interpretativas, reconstruções), mais concretamente, os típicos livros de História da Matemática;

 Fontes didácticas (material adaptado para usar na sala de aula, elaborado com base nas fontes primárias e secundárias).

Infelizmente, as fontes didácticas são, dos três tipos, as que existem em menor quantidade e as que fazem mais falta aos professores.

95 O seguinte diagrama ilustra os três tipos de fontes e as possíveis relações entre elas.

Fig. 9 – Fontes a utilizar quando a História da Matemática é integrada no ensino da Matemática

(Tzanakis e Arcavi, 2000, p. 213) Vejamos alguns exemplos dessas fontes11:

Fontes primárias

A quantidade de fontes primárias é vasta e diversificada, no entanto, abordarei algumas fontes primárias cujo conteúdo possa ser adaptado e, posteriormente, leccionado aos alunos do 3º ciclo, uma vez que este trabalho de investigação incidiu sobre este nível de ensino.

11 _{Uma análise mais detalhada destas fontes encontra-se no anexo A.} APRESENTAÇÃO INSPIRADA PELA

HISTÓRIA

ENSINO/APRENDIZAGEM NA SALA DE AULA

FONTES

DIDÁCTICAS

FONTES SECUNDÁRIAS FONTES PRIMÁRIAS

3. Revisão da literatura

96

Papiro de Rhind

O documento que melhor nos dá a conhecer a Matemática egípcia é o papiro de Rhind, escrito pelo escriba Ahmes, por volta de 1650 a. C. Uma análise detalhada de muitos problemas deste papiro pode ser consultada no anexo A.1.

Placas Babilónicas

O nosso conhecimento sobre a Matemática da antiga Mesopotâmia (Babilónia) tem como fonte diversas placas de argila gravadas em escrita cuneiforme. Dada a sua extensão, não existe uma única placa que contenha toda a Matemática da Babilónia, como acontece com o papiro de Rhind que representa quase toda a Matemática do Egipto. A maior parte das placas que chegaram aos nossos dias datam de um período entre 2000 a 1600 a. C.

Uma análise algo pormenorizada da Matemática da Babilónia encontra-se no anexo A.2, onde são apresentados e analisados alguns dos problemas das diversas placas babilónicas.

Os Elementos de Euclides

Os Elementos é uma das obras mais importantes da cultura ocidental e foi escrita, por volta 300 a. C., por Euclides. É uma compilação e sistematização do conhecimento matemático da época clássica e é a evidência mais antiga de um conjunto sistemático de definições, axiomas, postulados e proposições, muitos dos quais são apresentados no anexo A.3.

Nove Capítulos da Arte Matemática

Esta obra é o maior legado da Matemática chinesa, tendo sido utilizada como manual de ensino, não apenas na China, mas também nos países e regiões vizinhas.

Foram feitos vários comentários a este livro, sendo um dos mais importantes o comentário feito por Liu Hui, em 263, no qual Liu forneceu a justificação matemática para as regras e soluções dos problemas apresentados no Nove Capítulos, alguns dos quais são analisados no anexo A.4.

A Aritmética de Diofanto

A Aritmética foi escrita por Diofanto de Alexandria, pensa-se que no terceiro século da nossa era. Conjectura-se que o número total de livros desta obra era treze, mas

97 apenas seis desses livros chegaram até nós. A Aritmética é um tratamento analítico da Teoria dos Números, em que a maioria dos seus problemas conduz a equações do primeiro e do segundo grau e também são abordados problemas que conduzem a equações do 2º grau indeterminadas. Notória é a falta de métodos gerais e a aplicação repetitiva de procedimentos engenhosos criados para as necessidades de cada um dos problemas em particular.

No anexo A.3, encontram-se alguns exemplos de problemas desta obra.

Antologia Grega

Esta Antologia é uma das nossas melhores fontes de problemas de álgebra da Grécia antiga e é composta por 46 enigmas aritméticos, supostamente compilados por Metrodorus, cerca de 500 d. C. Os problemas, aparentemente destinados a recreação, são do género de alguns colocados por Platão e muito semelhantes a alguns problemas do papiro de Rhind.

Existe um epigrama nesta Antologia que é famoso por dar a conhecer alguns detalhes da vida de Diofanto (ver anexo A.3) e ao qual alguns manuais escolares fazem referência.

Problemas para estimular os jovens de Alcuino de York

Propositions ad acuendos juvenes (Problemas para Estimular os Jovens) foi escrito por Alcuino de York, no séc. VIII. É um conjunto notável de problemas recreativos, do género da Antologia Grega.

Esta colecção tem 53 problemas, que se tornaram clássicos, e muitos escritores medievais utilizaram este tipo de problemas nas suas obras, como por exemplo, ben Ezra (c. 1140), Fibonacci (1202), Jordanus Nemorarius (c. 1225), entre outros.

Alguns destes problemas são apresentados no anexo A.7.

Lilavati de Baskara

O Lilavati foi escrito, em 1150, por Baskara. Neste livro, a aritmética é apresentada como uma agradável actividade lúdica e os problemas são formulados de uma forma muito peculiar.

É um livro útil, que poderá ser utilizado actualmente nas aulas de Matemática, pois a maioria dos problemas estão relacionados com alguns conteúdos leccionados no ensino

3. Revisão da literatura

98 Básico e Secundário. Além disso, o enunciado “espirituoso” da maioria dos seus problemas pode motivar os alunos para a sua resolução, como pode ser constatado no anexo A.5.

O Liber Abaci de Fibonacci

Em 1202, Fibonacci escreveu a sua obra mais célebre, o Liber Abaci (o Livro do Ábaco ou do Cálculo). Este livro contém não apenas as regras para o cálculo com os numerais hindu-árabes, mas também diversos problemas que incluem questões muito úteis aos mercadores, como o cálculo de juros, taxas de câmbio e conversão de pesos e medidas.

Também são propostos vários problemas com carácter recreativo, muitos deles semelhantes a problemas que já tinham aparecido em obras anteriores, como por exemplo, no papiro de Rhind. Foi no capítulo XII deste livro que Fibonacci propôs e resolveu o famoso problema dos coelhos, que originou a conhecida sucessão de Fibonacci (ver anexo A.7).

Fontes secundárias

Consideremos agora, de uma forma geral, alguns livros de História da Matemática, que constituem fontes secundárias, pois analisam as fontes primárias e podem ser utilizados pelos professores para elaborarem material didáctico a ser utilizado na sala de aula.

O primeiro livro que ostentou um título de História da Matemática foi escrito por

Johann Christoph Heilbronner, em 1742. A sua obra, Historia Matheseos Universae,

continha uma valiosa relação de manuscritos e uma lista dos últimos livros impressos. Mas, para Loria (1946), a primeira “verdadeira e própria História da Matemática” é, sem dúvida, a Histoire des Mathématiques de Jean Étienne Montucla, editada pela primeira vez em 1758. Smith (1923, Vol. II) já tinha defendido esta ideia ao referir que “sendo Montucla um erudito, escreveu em estilo abrangente, de modo que quase não foi superado pelas Histórias posteriores” (p. 540).

Também para Struik (1987), este é “o livro mais antigo de História da Matemática (além de Proclo) que é mais do que um catálogo” (p. 4).

Num novo contexto, a partir do século XIX, a História da Matemática passa a ter uma abordagem diferente, tendo em vista a sua utilização didáctica. Um exemplo desta

99 nova abordagem foi dado pelo Padre Pietro Franchini, matemático italiano, que se dedicava, entre outras coisas, ao ensino da Matemática. A sua obra Saggio sulla Storia

delle matematiche corredato di scelte notizie biografiche ad uso della gioventù, de

1821, estabelece uma concepção vinculadora da História da Matemática com o ensino da Matemática. Posteriormente, esta relação entre História da Matemática e ensino da Matemática será retomada por outros autores.

Entre 1880 e 1908, foram publicados os quatro volumes da monumental obra de

Moritz Benedict Cantor, intitulada Vorlesunger über Geschichte der Mathematik.

Cantor segue o modelo clássico de Montucla, utilizando um critério rigorosamente cronológico na elaboração desta obra. Segundo Struik (1987), esta obra “cobre a História da Matemática até 1799; é antiquada em alguns aspectos (especialmente na matemática Oriental), mas continua a ser um bom livro para uma primeira orientação” (p. 3).

Em 1888 é editado, pela primeira vez, A Short Account of the History of

Mathematics, de Rouse Ball. Este é um livro de fácil leitura, mas o seu conteúdo não vai

além de meados do século XIX.

Em 1894, Florian Cajori, professor de História da Matemática da Universidade da Califórnia, publicou a primeira edição de A History of Mathematics. Passados dois anos, em 1896, publicou um livro direccionado para o ensino, com o sugestivo título: A History

of Elementary Mathematics, with Hints on Methods of Teaching, onde podemos ler no

seu Prefácio:

“Com a esperança de ser de alguma ajuda para os professores, preparei este livro e complementei a minha narrativa com ocasionais sugestões sobre os métodos de ensino. Sem dúvida, o leitor imaginativo elaborará muitas lições úteis a partir do estudo da História da Matemática que não estão directamente referidas no texto.”

(Cajori, 1986, p. v)

David Eugene Smith publicou, em 1923, a sua History of Mathematics em dois

volumes. No volume I, é apresentada uma pesquisa sobre o desenvolvimento da Matemática por períodos cronológicos; no volume II, é feita uma discussão sobre a evolução de certos tópicos importantes. (Smith, 1958)

O autor esclarece que um texto meramente cronológico não é didacticamente aconselhável, sendo necessárias outras abordagens diferentes, optando pela abordagem

3. Revisão da literatura

100 “Por Assunto”, o que marca uma nova fase na produção de livros sobre História da Matemática.

Smith toma para si a tarefa de escrever um livro dedicado ao professor de Matemática, o que está explícito no Prefácio da 2ª edição deste livro, onde refere que o escreveu com o propósito de:

“fornecer a professores e alunos um livro utilizável sobre a História da Matemática […]. Embora vários livros sobre este tema estejam disponíveis, o autor acha que um livro escrito de um ponto de vista um pouco diferente será útil para aqueles que estão começando a estudar este assunto.”

(Smith, 1958, p. iii)

Smith também escreveu, em 1929, a inigualável antologia de trabalhos matemáticos, A Source Book in Mathematics, na qual apresenta a evolução da Matemática através do recurso aos escritos originais de autores de diversos períodos.

Actualmente, há muitos tipos de livros sobre História da Matemática (cronologia, por assunto, biografias etc), e cada tipo tem a sua utilização didáctica específica. Mas há certo consenso de que, para uso em sala de aula, no ensino básico principalmente, os livros por assunto são mais adequados; e essa é a linha iniciada por Smith.

Para contrariar a dimensão dos livros de História da Matemática existentes, Struik publicou, em 1948, um livro sintético intitulado A Concise History of Mathematics, onde

podemos ler, na Introdução da 4ª edição, que:

“[…] é possível condensar esta história num livro com duzentas a trezentas páginas submetendo-nos a uma disciplina rigorosa, esboçando o desenrolar de algumas ideias principais e minimizando a referência a outros desenvolvimentos.”

(Struik, 1987, p.1)

Este é um dos poucos livros de História da Matemática que está traduzido em Português, com o título História Concisa das Matemáticas.

Um “excelente livro para usar na sala de aula”, segundo Struik (1987, p. 2), é An

Introduction to the History of Mathematics, de Howard Eves, publicado em 1953. Esta obra

tornou-se uma referência obrigatória no nosso tempo, no que se refere à História da Matemática, pois este tipo de livro:

101 “difere em muito das muitas histórias da matemática existentes por não se tratar primordialmente de um trabalho de prateleira para consulta, mas sim de uma tentativa de introduzir a História da Matemática aos alunos [futuros professores de Matemática]. Assim, há muitos expedientes pedagógicos visando ajudar, motivar e envolver o aluno.”

(Eves, 2002, p. 17 apud Gomes, 2005, p. 56)

Uma das formas que Eves encontrou para “motivar e envolver” o aluno foi através da proposta de muitos problemas, no final de cada capítulo, pois, segundo ele,

“uma inovação importante no tratamento é a inclusão dos problemas. […] Considera-se que ao discutir alguns desses problemas na aula, e trabalhando outros como trabalhos de casa, o curso tornar-se-á mais concreto e significativo para o aluno, e a compreensão de uma série de conceitos historicamente importantes ficará consolidada.”

(Eves, 1969, p. 2)

Carl Benjamin Boyer publica, em 1968, A History of Mathematics. No Prefácio à

primeira edição, faz alguns comentários sobre os livros de História da Matemática já publicados. Refere que os dois volumes de Smith tinham falta de problemas diversificados, salienta também que a History of Mathematics, de Cajori, continuava a ser um trabalho de referência muito útil, mas não estava adaptado para o uso na sala de aula. Destaca ainda que o livro mais bem sucedido e apropriado era An Introduction to the History of

Mathematics, de Howard Eves, afirmando que o tinha usado com considerável satisfação desde que apareceu em 1953.

Em 2005, na 6ª edição do seu livro The History of Mathematics. An Introduction,

editado pela primeira vez em 1985, Burton refere que:

“apesar da admirável sabedoria e muitas vezes clara apresentação destes trabalhos [obras mais actuais], estes não estão especialmente bem adaptados para a sala de aula. (Talvez a mais notável excepção seja o conhecido An Introduction to the History of Mathematics, de Howard Eves).”

(Burton, 2005, p. x)

Mais recentemente, surgiu o livro publicado pela primeira vez, em 1993, por Victor

3. Revisão da literatura

102 Este livro fornece uma visão do mundo da Matemática, expondo de uma forma harmoniosa a Matemática das civilizações antigas, o início da Matemática moderna e a História da Matemática mais recente. Os problemas são tirados das suas fontes originais, auxiliando os alunos a compreenderem como os matemáticos nas diversas épocas e lugares resolveram problemas matemáticos.

Felizmente, este livro foi editado em português, em 2010, com o título História da

Matemática e será, certamente, uma mais-valia para o ensino da História da Matemática

em Portugal. Esta primeira edição na nossa língua foi revista pelo Professor Jorge Nuno Silva.

Na verdade, em Língua Portuguesa escasseiam as obras relacionadas com a História da Matemática, sendo de destacar o livro de Francisco Gomes Teixeira, publicado em 1934, com o título História das Matemáticas em Portugal12.

Como refere o título, não se trata de um livro sobre a História da Matemática de um modo geral, mas apenas a respeitante a Portugal. Numa nota de rodapé da página 8, podemos ler:

“Para o estudo desenvolvido da história das Matemáticas entre os Gregos, Hindus e Árabes, não é felizmente necessário em Portugal recorrer-se a livros estrangeiros, porque temos para isso em língua portuguesa um manual excelente, intitulado História das Matemáticas na Antiguidade, de que é autor o Sr. Fernando de Vasconcellos.”

(Teixeira, 1934, p. 8 apud Oliveira, 2009, p. v)

Em 2009, foi revista e coordenada pelo Professor Augusto Franco de Oliveira, a 2ª edição do livro referido anteriormente, História das Matemáticas na Antiguidade, editado pela primeira vez, em 1925, por Fernando de Almeida e Vasconcellos.

Um bom livro, escrito em Português, para quem está a iniciar estudos nesta área é

História da Matemática, de Maria Fernanda Estrada e outros autores, publicado em

2000. Esta obra, composta por doze textos é, nas palavras dos seus autores, “uma introdução básica à História da Matemática, destinada a complementar a formação de futuros professores de Matemática, ou de outros leitores que tenham gosto e interesse pelo assunto” (Estrada et al, 2000, p. 18).

12_{Uma versão digital desta obra está disponível no seguinte endereço:} http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/livrogt/livrogt.html.

103 Infelizmente, não há muita literatura escrita em português (salvo algumas traduções feitas principalmente pelos brasileiros), e isso é notório num dos capítulos do “History in

Mathematics education. The ICMI Study”, destinado a indicar “Bibliography for further work in the area”, no qual é feita referência à bibliografia da China, Dinamarca, Holanda,

Inglaterra, França, Alemanha, Grécia e Itália mas não é feita nenhuma referência à bibliografia de Portugal.

Fontes didácticas

Embora, actualmente, não faltem fontes secundárias, o mesmo não se pode ainda afirmar das fontes didácticas. Estas fontes são muito importantes para que a integração da História da Matemática no ensino seja bem sucedida, mas o processo de transformar as fontes originais (e secundárias também) em fontes didácticas é exigente e demorado e, por isso, os professores continuam a alegar que carecem de recursos.

E, apesar de já começar a haver alguma literatura disponível neste sentido, os professores têm dificuldade em encontrar actividades baseadas na História da Matemática que sirvam na perfeição para as suas aulas, tendo sempre que fazer as adaptações adequadas para as necessidades, interesses e dificuldades dos seus alunos.

Indico a seguir alguns livros que, na minha opinião, estão muito bem adaptados para fins didácticos, não sendo, por isso, necessário o professor fazer muitas adaptações para poder utilizar as actividades propostas nas suas aulas.

 Learning Activities from the History of Mathematics, de Frank Swetz, editado em 1994.

Este livro contém duas secções principais: biografias de vinte e três matemáticos importantes abrangendo muitos séculos e culturas, acompanhadas de questões; e tarefas de aprendizagem baseadas na História da Matemática que fornecem vinte e um tratamentos aprofundados de uma variedade de problemas históricos, adequados para alunos do ensino Básico e Secundário. Além disso, num dos capítulos, intitulado “Problems, problems,

problems”, Swetz apresenta uma selecção de 131 problemas históricos, de várias épocas e culturas. É um livro de grande utilidade para qualquer professor interessado em integrar a História nas suas aulas.

3. Revisão da literatura

104  Historical modules for the teaching and learning of mathematics, disponível em

CD, editado em 2004 por V. Katz e K. Michalowicz.

O objectivo dos autores ao desenvolver este CD foi demonstrar aos professores do ensino Secundário como usar o material da História da Matemática no ensino de inúmeros tópicos do currículo. Desenvolvido por professores deste ciclo de ensino que trabalharam em colaboração com investigadores, o CD contém onze módulos que lidam com ideias históricas que podem ser utilizadas directamente na sala de aula.

Os módulos são: Trigonometria, Exponenciais e logaritmos; Funções; Demonstrações geométricas; Comprimentos, áreas e volumes; Números negativos; Combinatória; Estatística; Equações lineares; Polinómios; e um módulo especial relacionado com o trabalho de Arquimedes.

Cada módulo contém muitas actividades planeadas para serem usadas na aula com o mínimo de preparação adicional dos professores. Uma determinada actividade contém instruções para o professor, bem como páginas para distribuir aos alunos.

As páginas do aluno podem discutir os antecedentes históricos do tópico em questão e conduzir os alunos através do desenvolvimento histórico, proporcionam exercícios e actividades de enriquecimento adicionais e fornecem imagens e esboços biográficos de matemáticos. Também fornecem referências para estudos adicionais, incluindo materiais impressos e electrónicos.

 História da Matemática em Atividades Didáticas, de Brito, A. J. et al, editado, pela primeira vez, em 2005.

Segundo os autores, o objectivo deste livro é ajudar no trabalho de sala de aula do professor de Matemática, do ensino Básico e Secundário. O livro contém três capítulos com actividades de ensino que foram elaboradas e testadas em sala de aula. Estas actividades, elaboradas a partir da História da Matemática, pretendem ajudar os alunos a construir e perceber conceitos que historicamente são considerados entraves no ensino da Matemática. Por isso, os autores debruçam-se sobre três tópicos distintos da Matemática: Geometria, Trigonometria e Números Irracionais, todos de fundamental importância para o ensino e aprendizagem desta disciplina, devido ao facto de tais tópicos estarem entre aqueles nos quais professores e alunos têm maior dificuldade de desenvolver o processo de ensino e aprendizagem com sucesso.

105  Fare mathematica con i documenti storici. [Doing mathematics with historical

documents], editado em 2006, por Adriano Dematté com a colaboração de Fulvia Furinghetti.

Este livro (Demattè, 2006) é uma antologia de documentos dirigida aos alunos do ensino Básico e Secundário (12-18 anos). É o resultado de dois anos de trabalho de cinco

In document CM_1999_G_5.pdf (2.236Mb) (sider 16-0)