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de Siu (2007): „há qualquer evidência empírica de que os alunos aprendem melhor quando a história da matemática é utilizada na sala de aula?‟”

(Jankvist, 2009b, p. 256)

Apesar da crescente importância dada à integração da História no ensino da Matemática e ao grande número de estudos dedicados a este tema, “esta não pode ser considerada como uma panaceia para todas as questões pedagógicas no ensino da Matemática” (Siu e Tzanakis, 2004, p. vii).

O sucesso da sua integração no ensino da Matemática depende, em grande parte, do modo como é feita. O processo de ensino e aprendizagem é uma actividade muito complexa, que envolve muitos agentes e é mediada por diversos factores; como tal, é muito difícil encontrar uma “fórmula” que seja eficaz em todos os casos onde é aplicada.

Creio que não existe um único método de ensino que possa resolver todos os problemas de aprendizagem da Matemática. Ao identificar os pontos fortes e as limitações das abordagens mencionadas, cada professor, tendo em conta o contexto em que está a trabalhar, é que terá que fazer as opções e adaptações que achar mais adequadas, de modo a que os diversos métodos se completem e complementem uns aos outros. Além disso, professores diferentes têm estilos e crenças diferentes, e as preferências sobre os tópicos históricos também diferem, daí a razão de ser da frase de Siu com que iniciei este subcapítulo: “Há tantas maneiras diferentes de integrar a História da Matemática na sala de aula como há professores” (Siu, 2000b, p. 242).

3.2.4. A História da Matemática como artefacto mediador no ensino da Matemática

Finalizo, dando a “minha” resposta à questão apresentada no título: “De que forma a História pode ser integrada no ensino da Matemática?”.

3. Revisão da literatura

90 Não obstante as abordagens referidas anteriormente, o fundamental é que a História da Matemática tenha o papel de artefacto mediador no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, opinião também defendida por Furinghetti (2004) ao afirmar precisamente que vê “a História da Matemática como um artefacto que pode ser introduzido na sala de aula como um mediador no processo de ensino/aprendizagem” (p. 1).

A autora salienta que, no cenário internacional, há pouca evidência de actividades em que a História da Matemática „per se‟ seja introduzida no ensino da Matemática, e refere que encontrou dois trabalhos onde a História da Matemática não foi integrada apenas para humanizar o ensino da Matemática, como geralmente acontece, mas considera estes trabalhos exemplos do uso da História da Matemática para promover a aquisição pelos alunos de competências e capacidades úteis, também para outras disciplinas escolares.

Após analisar estes trabalhos, Furinghetti (2004) conclui que se ensinar Matemática for concebido como uma oportunidade para participar num projecto educacional, no qual os alunos adquirem a capacidade de trabalhar em grupo, perseguindo os objectivos através da exploração dos meios de aprendizagem disponíveis, então a actividade em questão revela-se proveitosa.

Outros investigadores também atribuem à História da Matemática o papel de artefacto mediador, como é o caso de Demattè. Bagni, Furinghetti & Spagnolo (s/d) referem que Demattè “considera a História da Matemática como um artefacto para usar na sala de aula como um mediador do conhecimento matemático” (p. 9). É de salientar que Demattè é um acérrimo defensor de que o uso de fontes originais é a maneira mais eficiente de integrar a História no ensino da Matemática.

No entanto, convém salientar que há outros autores que também fazem referência ao termo “ferramenta”, mas não aprofundam este conceito nem fazem referência à Teoria da Actividade.

Dois desses autores, que também abordam este termo, são Wilson e Chauvot (2000) e argumentam que integrar a História no currículo de Matemática é uma forma inteligente de ensinar Matemática; pois, em vez de se tornar uma tarefa adicional, deve ser uma ferramenta para um ensino eficaz.

Da mesma forma, Jankvist (2009a) vê a História como uma ferramenta pedagógica que pode dar novas perspectivas e insights sobre materiais a utilizar e pode mesmo servir

91 como um guia para as dificuldades que os alunos podem encontrar à medida que aprendem um determinado conteúdo.

Recentemente, alguns investigadores têm analisado a integração da História no ensino da Matemática na perspectiva da Teoria da Actividade, dando ênfase ao conceito de

mediação semiótica e considerando os artefactos como artefactos de mediação semiótica (conceitos já abordados no ponto 3.1.3). Da pesquisa bibliográfica que realizei, concluí que os investigadores que mais se debruçam sobre a integração destas duas abordagens (História da Matemática e Teoria da Actividade) no ensino da Matemática, são Bussi e Mariotti (apesar dos estudos de Mariotti estarem mais relacionados com a integração de ferramentas das TIC, como por exemplo, o Cabri).

Bussi e Mariotti (2008) apresentam dois exemplos de ferramentas de mediação

semiótica, com o objectivo de ilustrar e clarificar esta noção teórica: o ábaco e o Cabri. Relativamente ao ábaco, este é considerado um artefacto cultural10_{, pois a sua}

origem está intimamente ligada à história da contagem e teve um importante papel na História da Matemática. A integração do ábaco no ensino da Matemática tem grande valor didáctico pois proporciona a reconstrução histórica da evolução do seu uso na notação decimal posicional dos números.

As autoras concluem, referindo que “a escolha de um determinado artefacto é determinada segundo a análise do seu potencial semiótico. A História é uma fonte rica de sugestões e o exemplo do ábaco não é um caso isolado” (Bussi e Mariotti, 2008, p. 758).

Quando afirmam que o ábaco não é um caso isolado, referem-se, por exemplo, a outros três estudos em que Bussi participou. Um deles é apresentado em (Bussi et al, 1999). Neste estudo de investigação, o enquadramento teórico segue a tendência vygotskiana, com ênfase na construção social do conhecimento e na mediação semiótica através de artefactos culturais: a dimensão social consubstancia-se no recurso à 'discussão matemática', orquestrada pelo professor. Neste exemplo, os artefactos culturais são representados por “engrenagens” (por exemplo, rodas com „dentes‟, correntes, parafusos), figuras e teorias (ou seja, a geometria de Euclides e a cinemática de Herão).

Na conclusão, as autoras referem que têm provas de que “dada uma sequência apropriada de tarefas e uma adequada orientação do professor, a maioria dos alunos de uma turma do 4º ano, pode produzir declarações gerais, abstractas e condicionais sobre movimentos no âmbito da experiência das „engrenagens‟ e tomar parte na construção de

10 _{Para(Bussi e Boni, 2003, p. 15) são exemplos de artefactos culturais a régua, o ábaco e dispositivos para} desenhar curvas, uma vez que têm acompanhado ou antecipado o desenvolvimento teórico da Matemática.

3. Revisão da literatura

92 provas como justificações dentro de uma teoria” (Bussi et al, 1999, p. 83). As autoras acrescentam que estes dados foram confirmados noutras turmas do 4º ano e também com alunos do 6º ano. E afirmam que “as características especiais no âmbito da experiência das “engrenagens” (e a exploração eficaz guiada pelo professor) são responsáveis por este sucesso”.

Outro estudo é o exposto em (Bussi e Boni, 2003), onde é analisada a utilização de dois artefactos culturais: o compasso e também o ábaco.

Bussi e Boni (2003) relatam que a análise em questão foi inserida numa abordagem vygotskiana que lhes permitiu serem mais precisas sobre a qualidade das interacções sociais (tarefas individuais e de grupo, discussões orquestrados pelo professor), realizadas sob a orientação do professor.

Outro estudo é o realizado por (Bussi, Mariotti e Ferri, 2005), no qual é utilizado o “vidro de Durer”, que é um instrumento usado para desenhar em perspectiva. As autoras mencionam que o quadro teórico seguido baseia-se nos trabalhos de Vygotsky e Bachtin, com elementos adicionais provenientes de estudiosos da Teoria da Actividade, como por exemplo, Engeström e Wartofsky.

Dando continuidade ao seu trabalho, Bussi (2009) apresenta dois exemplos onde artefactos físicos (a que Bussi chama artefactos históricos ou culturais) foram introduzidos no ensino da Matemática, para encorajar alunos do ensino básico e secundário a praticar a „demonstração‟. No primeiro exemplo, são usadas duas rodas com „dentes‟, ligadas entre si, onde o movimento rotativo de uma provoca o movimento em sentido contrário da outra; no outro exemplo, são usados dispositivos mecânicos na representação e construção de parábolas.

Bussi (2009) explica que o enquadramento teórico de fundo, apresentado nestes exemplos, “baseia-se na Teoria da Actividade (Vygotsky, 1978), que destaca o uso de signos num contexto social e faz parte de um quadro bem mais amplo do pensamento matemático onde os artefactos e os signos estão em primeiro plano” (p. 151).

Continua, dando novamente destaque à ideia de mediação semiótica, referindo que esta ideia foi:

“ introduzida por Vygotsky (1978), a fim de capturar um tipo específico de actividade em sala de aula: os processos de longo prazo, começados e controlados pelo professor, que visam ajudar os alunos a aprenderem significados matemáticos e procedimentos através de tarefas adequadas que requerem o uso de determinados artefactos.”

93 Acrescenta que para descrever o processo desenvolvido nestes exemplos, diria que

o professor usa o artefacto como uma ferramenta de mediação semiótica, ideia já defendida em (Bussi e Mariotti, 2008).

Em jeito de conclusão, a autora refere que estes dois exemplos mostram que os professores podem introduzir, com êxito, artefactos físicos nas salas de aula de Matemática, como instrumentos de mediação semiótica, e acrescenta, ainda, que os professores podem mediar o conteúdo matemático bem como o processo de demonstração matemática.

Bussi também esclarece que “usa a palavra artefacto de uma forma muito geral para abranger formas de linguagem orais e escritas; textos; ferramentas físicas usadas durante a história da aritmética (ábaco, calculadoras mecânicas, etc.) e da geometria (régua, compasso etc.); ferramentas de TIC; manipuláveis, etc.” (Bussi, 2009, p. 152).

Apesar dos artefactos usados nestes exemplos levarem a pensar que a integração da História no ensino da Matemática é feita através de “ferramentas” físicas, se tivermos em conta a anterior definição de artefacto dada por Bussi, podemos constatar que, para esta autora, esses artefactos também poderiam ser, por exemplo, documentos originais ou problemas históricos, uma vez que Bussi esclarece que a palavra artefacto pode englobar formas de linguagem orais e escritas e textos.

Bussi e Bazzini (2003), no artigo intitulado “Research, practice and theory in didactics of Mathematics: towards dialogue between different fields”, analisaram alguns

casos onde o diálogo entre especialistas de diferentes domínios foi bem sucedido e outros onde esse diálogo falhou. Os resultados desses diálogos foram discutidos, tendo por base os estudos efectuados pelos autores, dentro do paradigma da pesquisa em Educação Matemática italiana.

As autoras referem dois exemplos de projectos, baseados no diálogo entre a teoria e a prática, que são considerados casos de sucesso. Um desses projectos consiste numa abordagem para a reflexão teórica em geometria e o segundo exemplo está relacionado com a resolução de problemas algébricos. Estes projectos começaram a partir do início dos anos noventa, desenvolvidos independentemente por equipas de investigadores de algumas universidades italianas, dos quais se destaca Bussi e Mariotti.

Bussi e Bazzini (2003) destacam que a introdução de fontes históricas na sala de aula de Matemática é uma prática comum, pelo menos num pequeno grupo de pesquisadores e profissionais em Educação Matemática, salientando que o que estes

3. Revisão da literatura

94 projectos têm de original são o maior foco na dimensão teórica da Matemática (principalmente no desenvolvimento de teoremas e provas) e a análise de tais experiências num quadro teórico, baseado nas ideias de Vygotsky, onde cada um dos elementos é colocado em relação com os outros.

As autoras relatam que os resultados das experiências de ensino desenvolvidas nestes projectos foram surpreendentes, se comparados com a alegação geral sobre a dificuldade (ou impossibilidade) de lidar com a dimensão teórica da Matemática, pois a maioria dos alunos conseguiu produzir conjecturas e construir as provas.

Naturalmente que as conclusões tiradas nestes estudos são ainda muito incipientes, sendo necessários mais estudos neste âmbito para se concluir sobre a verdadeira eficácia da integração da História no ensino da Matemática, quando aquela assume o papel de artefacto mediador no processo de ensino e aprendizagem desta disciplina.

Espero que este trabalho de investigação dê algum contributo neste âmbito. Para tal, no quinto capítulo, farei a análise dos dados obtidos em algumas das minhas aulas de Matemática, onde foi feita a integração da História através de fichas de trabalho elaboradas com recurso à História (com sequências de problemas históricos). Estes problemas desempenharam o papel de artefactos mediadores, e foram resolvidos pelos alunos sob a minha orientação. Estes dados serão analisados à luz da Teoria da Actividade, com o objectivo de investigar a relevância dos problemas históricos como artefactos mediadores na aprendizagem da Matemática.