I. l Terms of Reference .......................................................................................................................................... l
2 GENERAL ASPECTS
2.5 Definition of the stocks
A integração da História da Matemática no ensino da Matemática tem sido defendida por diversos autores e muitos documentos a orientar nesse sentido têm sido produzidos. É com base nesses documentos que farei a seguinte síntese, abordando os principais benefícios da integração da História no ensino da Matemática, referidos pela maioria dos autores que se debruçaram sobre este tema.
Assim, os argumentos mais frequentemente referidos pelos apologistas da integração da História no ensino da Matemática são os seguintes:
1. A História aumenta a motivação dos alunos e desenvolve uma atitude positiva face à Matemática:
“A História ajuda a aumentar a motivação para a aprendizagem [da Matemática].” (Fauvel, 1991, p. 4)
“A História contribui para ilustrar e tornar mais interessante o ensino da Matemática.” (Struik, 1980 apud Vianna, 1998, p. 72)
“A História proporciona uma óptima maneira de conseguir que os alunos se interessem pela Matemática.” (Rickey, 1995, p. 123)
“Torna-se cada vez mais difícil motivar os alunos para uma ciência cristalizada. Não é sem razão que a história vem aparecendo como um elemento motivador de grande importância.” (D‟Ambrosio, 2000, p. 29) “[Aumenta] a predisposição afectiva para a Matemática.” (Tzanakis e
Arcavi, 2000, p. 203)
“A História pode ajudar a aumentar a motivação e ajuda a desenvolver uma atitude positiva em relação à aprendizagem.” (Liu, 2003, p. 416)
3. Revisão da literatura
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2. A História é um instrumento que possibilita a desmistificação da Matemática:
“A História dá à Matemática um rosto humano.” (Fauvel, 1991, p. 4)
“Os alunos pensam que a Matemática é fechada, morta, sem emoção e já toda descoberta.” (Bidwell, 1993, p. 461 apud Haverhals e Roscoe, 2010, p. 339)
“A História ajudar-nos-á a humanizar a Matemática, mostrando aos nossos alunos o aspecto afectivo de fazer Matemática.” (Avital, 1995, p. 3)
“A História serve para mostrar que a Matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas de Matemática desenvolvidas pela humanidade.” (D‟Ambrosio, s/d, s/p)
“Só a História da Matemática pode contribuir para anular a sensação de que a matemática é uma coisa pronta e acabada.” (Vianna, 1998, p. 67)
“Observando a evolução histórica de um conceito, os alunos perceberão que a Matemática não é fixa e definitiva.” (Grugnetti, 2000b, p. 30)
“A Matemática é um esforço humano que já dura há mais de quatro mil anos; é parte do nosso património cultural; é um tema muito útil, bonito e próspero.” (Siu, 2000a, p. 3)
“A História revela as facetas humanas do conhecimento matemático.” (Liu, 2003, p. 416)
Esta ideia já tinha sido defendida por Bento de Jesus Caraça ao escrever no Prefácio do seu livro, Conceitos Fundamentais da Matemática, que:
“ou se olha para ela [Matemática]tal como vem exposta nos livros de ensino, como coisa criada, e o aspecto é o de um todo harmonioso, onde os capítulos se encadeiam em ordem, sem contradições. Ou se procura […] assistir à maneira como foi sendo elaborada e descobrem-se hesitações, dúvidas, contradições, […]”
(Caraça, 1951, p. viii)
3. A História é uma fonte para a selecção de problemas a serem incorporados nas aulas de Matemática:
“A História da Matemática fornece milhares de problemas úteis e interessantes, problemas que são matemática e pedagogicamente ricos e
65 que, pela sua natureza histórica, possuem um apelo intelectual adicional para os alunos”. (Swetz, 1994, p. 2)
“Usando problemas antigos, os alunos podem comparar as suas estratégias com as originais.” (Grugnetti, 2000b, p. 30)
“A História da Matemática fornece um vasto reservatório de questões relevantes, problemas e exposições que podem ser muito valiosas, tanto em termos do seu conteúdo como do seu potencial para motivar, interessar e engajar o aluno.” (Tzanakis e Arcavi, 2000, p. 204)
4. A História ajuda a compreender a origem e o desenvolvimento de conceitos matemáticos:
“A História, ao mostrar aos alunos como os conceitos se desenvolveram, ajuda a sua compreensão.” (Fauvel, 1991, p. 4)
“A História pode ajudar-nos a melhorar o nosso ensino, tentando acompanhar o processo de criação da matemática.” (Avital, 1995, p. 11) “Serve para destacar que essa matemática teve a sua origem nas culturas da
Antiguidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século XVII se organizou como um corpo de conhecimentos, com um estilo próprio.” (D‟Ambrosio, s/d)
“A História contribui para satisfazer o nosso desejo de saber como os conceitos da matemática se originaram e desenvolveram.” (Struik, 1980 apud Vianna, 1998, p. 72)
“A História auxilia a compreensão de muitos conceitos, nomeadamente ao explicar a origem de certas ideias e procedimentos.” (Wilson e Chauvot, 2000, p. 642)
5. A História suscita oportunidades para a investigação/pesquisa:
“A História suscita oportunidades para a investigação em Matemática.” (Fauvel, 1991, p. 4)
“A História contribui para o ensino e para a pesquisa mediante o estudo dos autores clássicos, o que vem a ser uma satisfação em si mesmo.” (Struik, 1980 apud Vianna, 1998, p. 72)
3. Revisão da literatura
66 “Pode ajudar-nos a criar na sala de aula um clima de pesquisa e investigação e não apenas de transmissão de conhecimentos.” (Avital, 1995, p. 11)
“Os alunos podem ser colocados no papel de arqueólogos matemáticos e serem conduzidos às descobertas.” (Swetz, 1995b, p. 29)
6. A História ajuda a compreender as dificuldades dos alunos através da análise do desenvolvimento da Matemática:
“Os obstáculos ao desenvolvimento do passado ajudam a explicar o que os alunos de hoje acham difícil.” (Fauvel, 1991, p. 4)
“O desenvolvimento histórico pode nos [aos professores] ensinar sobre possíveis dificuldades de aprendizagem. […] eu acredito que podemos conjecturar que os alunos do ensino secundário enfrentam dificuldades de aprendizagem em áreas semelhantes às que encontrámos no desenvolvimento histórico.” (Avital, 1995, p. 4)
“Um professor que tem conhecimento da História da Matemática antecipará as dificuldades dos alunos em áreas nas quais, historicamente, muito trabalho foi necessário para ultrapassar dificuldades significativas. Assim, o professor pode estar preparado com estratégias de ensino apropriadas para essas situações; algumas delas bem podem estar de acordo com os desenvolvimentos históricos e ajudarão os alunos a superar esses obstáculos.” (Katz et al, 2000, p. 153).
“Uma análise histórica e epistemológica permite aos professores entenderem por que um determinado conceito é tão difícil para os alunos (…) e pode ajudar na aproximação didáctica e seu desenvolvimento.” (Grugnetti, 2000b, p. 30)
“Obstáculos do passado no desenvolvimento da Matemática podem ajudar a
explicar as dificuldades que os alunos encontram actualmente.” (Liu, 2003, p. 416)
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7. A História enriquece o repertório pedagógico e o conhecimento matemático dos professores:
“Ler fontes antigas dá uma melhor visão da essência do que a Matemática é e melhora as capacidades didácticas de cada um como professor.” (Barbin, 1996 apud Gulikers e Blom, 2001, p. 227)
“Um olhar sobre os 'métodos antigos' pode ajudar professores e alunos a avaliar os seus métodos, deixando por algum tempo de „apenas fazer matemática‟ para pensar e falar sobre o que estão a fazer e, em seguida, voltar atrás para fazer, mas agora fazê-lo mais deliberadamente.” (Maanen, 1997, p. 39)
“[Enriquece e melhora] o “background” didáctico dos professores e o seu repertório pedagógico.” (Tzanakis e Arcavi, 2000, p. 203)
“A História da Matemática pode ser um recurso útil para a compreensão dos processos de formação do pensamento matemático, e para explorar o caminho pelo qual tal compreensão pode ser usada no planeamento das actividades em sala de aula.” (Radford, 2000, p. 143)
“A História fornece aos professores um guia para o ensino.” (Liu, 2003, p. 416)
8. A História mostra o desenvolvimento cultural e humano da Matemática:
“Ajuda a desenvolver uma abordagem multicultural.” (Fauvel, 1991, p. 4) “Serve para situar a Matemática como uma manifestação cultural de todos
os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução.” (D‟Ambrosio, s/d)
“[Possibilita] a apreciação da Matemática como um empreendimento cultural e humano.” (Tzanakis e Arcavi, 2000, p. 203)
9. A História mostra a relação da Matemática com as outras ciências:
“Oferece oportunidades de trabalho interdisciplinar com outros professores ou disciplinas.” (Fauvel, 1991, p. 4)
“Contribui para entendermos a nossa herança cultural através das relações da Matemática com as outras ciências, em particular a Física e a
3. Revisão da literatura
68 Astronomia; e também com as artes, a religião, a filosofia e as técnicas artesanais.” (Struik, 1980 apud Vianna, 1998, p. 72)
“A História ajuda a estabelecer conexões, dentro da Matemática e com outras disciplinas.” (Wilson e Chauvot, 2000, p. 642)
Agora, depois de apontar nove razões para integrar a História da Matemática na sala de aula, estou tentada a apontar mais uma obtendo, assim, “Os dez mandamentos da integração da História no ensino da Matemática”. Penso que existe um benefício importante, implícito nos benefícios já referidos, mas que pode ser realçado com o seguinte enunciado:
10. A História permite desenvolver “as” três capacidades transversais: Resolução de problemas, Raciocínio e Comunicação matemática (RRC):
“A História é uma fonte de problemas interessantes que permitem desenvolver a capacidade de resolução de problemas.” (Wilson e Chauvot, 2000, p. 642)
“Os problemas históricos podem ajudar a desenvolver o raciocínio matemático dos alunos.” (Liu, 2003, p. 416)
O Novo Programa de Matemática para o Ensino Básico (NPMEB) foi homologado em Dezembro de 2007 e entrou em vigor em Portugal no ano lectivo 2010/2011 (embora algumas escolas já o tivessem implementado facultativamente no ano lectivo anterior). De acordo com este programa, as três principais capacidades transversais a toda a aprendizagem da Matemática são: a Resolução de problemas, o Raciocínio matemático e a Comunicação matemática, como consta no seguinte excerto do referido programa:
“O programa assume a necessidade de se indicarem […] três capacidades transversais a toda a aprendizagem da Matemática – a Resolução de problemas, o Raciocínio matemático e a Comunicação matemática – que devem merecer uma atenção permanente no ensino.”
(DGIDC, 2007, p. 1)
69 “Desenvolver a capacidade de resolução de problemas e promover o raciocínio e a comunicação matemáticos, para além de constituírem objectivos de aprendizagem centrais neste programa, constituem também importantes orientações metodológicas para estruturar as actividades a realizar em aula.”
(DGIDC, 2007, p. 9)
Ora, na História da Matemática podemos encontrar tarefas e actividades, além dos problemas já referidos no ponto três, que são indicadas para o desenvolvimento destas capacidades e que escasseiam nos livros didácticos, mesmo nos elaborados de acordo com este novo programa, pois continua a haver predominância de exercícios repetitivos e a inserção da História da Matemática continua a aparecer como actividade introdutória de um capítulo ou como apêndice no fim do capítulo.
Objecções
Muitos matemáticos e historiadores da Matemática apontaram, em diversas ocasiões, problemas resultantes ou associados ao uso da História da Matemática e destacaram algumas objecções ao seu uso como recurso didáctico. Não é meu objectivo refutá-las, nem mesmo analisá-las pormenorizadamente, pois creio que ao analisarmos os benefícios do uso da História da Matemática podemos, claramente, contrapor algumas das objecções mencionadas. Conjugando o completíssimo rol de objecções apresentado por Tzanakis e Arcavi (2000), por Siu (2007) e também por Ho (2008), obtemos a seguinte lista:
1. História não é Matemática.
2. O passado da Matemática não é significativo para a compreensão da
Matemática actual.
3. O caminho histórico é mais árduo para os estudantes que o caminho lógico. 4. Os alunos podem ter um sentido errado do passado o que impossibilita a
contextualização histórica da Matemática caso não tenham uma educação mais ampla na história em geral.
5. Muitos alunos não gostam de História e implicitamente não irão gostar de
História da Matemática, ou então não a acharão menos chata do que a Matemática.
6. Progresso em Matemática é tornar a abordagem dos problemas difíceis numa
3. Revisão da literatura
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7. A História é susceptível de incitar ao chauvinismo cultural e ao nacionalismo
paroquial.
8. É difícil fazer qualquer ligação com o contexto dos dias de hoje.
9. A principal ênfase deve estar em dotar os alunos com habilidades de rotina (e
eles já têm problemas com isso), então por que incomodar-se usando a História?
10. Não há fé no uso da História da Matemática no ensino de Matemática.
11. O tempo dispendido no estudo da História da Matemática deveria ser utilizado
para aprender mais Matemática.
12. Ausência na criança do sentido de progresso histórico. 13. Falta de formação dos professores.
14. Falta de recursos. 15. Falta de tempo.
16. Falta de métodos de avaliação.
Tzanakis e Arcavi atribuem duas naturezas às objecções: a filosófica e a prática, integrando os últimos quatro argumentos nas objecções de natureza prática.
De facto, algumas das objecções de natureza filosófica não são mais do que meras desculpas para não integrar a História no ensino da Matemática (1, 4, 7, 10, 12) e outras advêm da sua incorrecta integração (2, 3, 5, 6, 8, 9, 11).
Dificuldades
O que os autores classificam de “objecções práticas” são, no meu entender, e também de Brito et al (2009), dificuldades que se colocam na integração da História da Matemática na sala de aula. Farei uma abordagem a cada uma destas dificuldades por pensar que são, de facto, os grandes entraves à integração da História da Matemática no ensino desta disciplina.
Falta de formação dos professores:
A falta de preparação da maioria dos professores que não tiveram, quer na sua formação inicial quer na formação contínua, oportunidades de estudar a História da Matemática e de analisar as possibilidades de inserção desta história nas suas práticas pedagógicas, constitui um dos maiores entraves à integração da História no ensino da Matemática.
71 Esta falha na formação dos professores conduz a uma falta de experiência/ conhecimentos do professor ao nível da História da Matemática e, na verdade, é necessário que o professor tenha conhecimentos não apenas históricos, mas também interdisciplinares. E, inevitavelmente, a falta de perícia conduz a uma falta de confiança que é ainda mais incapacitante.
D‟Ambrosio (s/d) refere que “não é necessário que o professor seja um especialista para introduzir História da Matemática nos seus cursos. [...] Basta colocar aqui e ali algumas reflexões. Isto pode gerar muito interesse nas aulas de Matemática”. Mas é preciso ser prudente com a introdução da História da Matemática de uma forma ocasional, como sugere D‟Ambrosio. Penso que isto é válido para aqueles professores que conseguem tornar engraçado os comentários sobre a História da Matemática porque, caso contrário, será um comentário “seco”, despropositado e os alunos poderão não encontrar o mínimo interesse e, aí sim, será uma perda de tempo que não serviu para motivar os alunos nem para aprenderem Matemática.
É de salientar que as opiniões relativamente à formação de professores são divergentes: há quem defenda a existência de uma disciplina exclusivamente dedicada à “História da Matemática” e há os apologistas da integração da História da Matemática, de uma forma dispersa, pelas várias disciplinas do curso.
Mas, para que a integração da História no ensino da Matemática seja eficaz, parece- me imprescindível que nos cursos de Licenciatura (Mestrado) em Matemática, além do estudo da História da Matemática disseminado nas disciplinas do currículo, haja uma disciplina específica para que o (futuro) professor conheça a ideia e a abordagem desta metodologia e, futuramente, a coloque na sua prática docente de maneira que, ao ser utilizada, possa contribuir, de facto, no ensino e aprendizagem. Esta ideia é também defendida por D‟Ambrosio, numa entrevista analisada em (Balestri, 2008).
Costa (s/d) refere, ainda, outras duas pesquisas (Souto, 1997; Zuin, 2003) que apontam a falta de preparação dos docentes. Para Souto (1997), os professores que afirmam fazer uso da História da Matemática nas suas aulas ainda o fazem de maneira inconsistente. Zuin (2003) concluiu que os professores que participaram na sua investigação, e afirmaram realizar abordagens históricas, demonstraram não recorrer a fontes confiáveis, baseando-se em sites da WEB ou apenas nas poucas informações apresentadas nos manuais adoptados.
3. Revisão da literatura
72 Esta falta de uma adequada formação dos professores para lançar mão dos recursos didácticos da História da Matemática, é ainda agravada por outra dificuldade que é a:
Falta de recursos:
Embora haja uma grande quantidade de textos de História da Matemática é difícil encontrar textos que abordem uma História da Matemática do ponto de vista didáctico. Byers (1982) refere que “é provavelmente mais difícil escrever uma boa história para usar nas aulas de Matemática do que, digamos, a história da matemática Babilónica” (p. 62). De facto, é fácil encontrar textos sobre a Matemática da Babilónia, do Egipto, da China, da Grécia, mas textos sobre a integração “desta” Matemática na sala de aula não se encontram com tanta facilidade e, infelizmente, passados quase trinta anos, a afirmação de Byers ainda continua válida. E se é difícil encontrar recursos didácticos escritos em inglês, estes ainda são mais escassos em língua portuguesa.
Os professores deparam-se com a quase inexistência de material bibliográfico com sugestões de actividades que possam utilizar nas suas aulas e isto decorre do facto de que nem todo o texto sobre História da Matemática tem potencialidades pedagógicas para o ensino da Matemática pois, “para poderem ser pedagogicamente úteis, é necessário que histórias da matemática sejam escritas sob o ponto de vista do educador matemático” (Miguel, 1993, p. 109 apud Brito et al, 2009, p. 10).
Outro aspecto que carece especial atenção é a ineficácia dos dados históricos inseridos nos manuais escolares que, na sua maioria, usam a História como mero instrumento ilustrativo. Geralmente, os conteúdos relacionados com a História restringem- se a citações de datas e nomes, sem qualquer indicação para o professor de como a História poderia ser utilizada na construção de conceitos matemáticos por parte dos seus alunos.
Nos manuais escolares, adoptados em Portugal, é bastante notória essa lacuna, conforme salienta Silva (2010), “quando olhamos para a sala de aula, sobretudo para os actuais manuais escolares mais utilizados, vemos que a História da Matemática desempenha um papel muito marginal, reduzido a umas quantas biografias (Pitágoras, Euclides e pouco mais)” (s/p). Verificamos que a História da Matemática não tem direito a um lugar próprio. A maioria das notas históricas é vista como um extra (tanto pelos alunos como pelos professores) o que significa que podem ser omitidas.
Além disso, há ainda outra agravante que é a presença de dados históricos incorrectos nalguns manuais. Thomaidis e Tzanakis (2009) alertam para este facto, após
73 uma análise ao livro de Matemática do 7º ano, adoptado por todas as escolas da Grécia8.
Dessa análise, estes investigadores concluem que a utilização da História da Matemática nos manuais oficiais é “questionável devido aos graves erros históricos, imprecisões ou omissões” (p. 139).
E se os professores não têm uma boa formação em História da Matemática não têm capacidade para detectar e corrigir estes erros, conforme o sugerem Haverhals & Roscoe (2010), ao afirmarem que “temos a impressão que desde que o professor não possua formação em História da Matemática, poderá estar mal preparado para avaliar a precisão das fontes” (p. 352).
Actualmente, com as novas tecnologias, temos um recurso muito poderoso e “perigoso”, que é a Internet, e que não deve ser desprezado pelos professores interessados em integrar a História da Matemática nas suas aulas, devido à grande quantidade de informações disponíveis e também pela facilidade com que é possível obtê-las. Porém, deve ser utilizada com muita cautela, havendo a preocupação de procurar fontes confiáveis.
Falta de tempo:
A falta de tempo pode ser interpretada sob dois pontos de vista: falta de tempo para cumprir os programas quando os professores argumentam que não há tempo suficiente na sala de aula para a aprendizagem da Matemática como ela é, muito menos quando se pretende ensinar a História da Matemática; e a falta de tempo dos professores para elaborar, testar e avaliar actividades pedagógicas que utilizem a História da Matemática para a construção de conceitos matemáticos que conduzam a uma aprendizagem efectiva.
A maioria dos professores quando questionados sobre a não integração da História nas suas aulas apontam a questão da falta de tempo, referindo que já têm um horário sobrecarregado e que não têm tempo para pesquisar e elaborar actividades com recurso à História da Matemática. Esta falta de tempo é agravada, como já foi referido anteriormente, com a falta de materiais “prontos a usar” que possam ser implementados pelos professores com pouca ou nenhuma modificação e, além disso, existe a falta de formação nesta área, pois sem formação/conhecimentos ainda será necessário despender mais tempo para elaborar este tipo de materiais.
8Na Grécia, há apenas um manual (por disciplina) para cada ano do ensino básico ou secundário, imposto