3D-beings translate into 2D-beings translate into 5.7
6. Closing remarks
Nosso próximo resultado diz que a atração exponencial local uniforme garante que a taxa de convergência de semigrupos não-lineares determinam a taxa de convergência dos atratores. A garantia da taxa de convergência exponencial para atratores é muito importante quando tratamos de problemas de aplicação, uma vez que é de grande va- lia sabermos como os atratores de um semigrupo se comportam à medida que o tempo transcorre.
Teorema 2.6.1. Assuma que {Tn
η : n∈ N} é uma família de semigrupos discretos tendo
atratores globais Aη, η∈ [0, 1]. Assuma que existam η0 > 0, ̺ > 0, um conjunto limitado
B0 ⊃ ∪η∈[0,η0]Aη e uma constante c = c(B0) > 0 tais que
distH(TηnB0,Aη) ! c e−n̺, η∈ [0, η0]. (2.6.1)
Assuma também que existam c e L > 0 tais que
d(Tηnu, T0nv) ! cenL(d(u, v) + η), para todo u, v∈ B0, ∀η ∈ [0, η0]. (2.6.2)
Então,
distH(Aη,A0) + distH(A0,Aη) ! ¯c η ̺ ̺+L.
Demonstração: Primeiro notemos que dado ǫ > 0, se ̺1log1ǫ+1̺log c∈ [n, n + 1) temos que distH(TηnB0,Aη) < e̺ǫ, ∀η ∈ [0, η0], pois temos +c ǫ ,1ρ < en+1, e assim ce−nρ < eρǫ. Por (2.6.2) distH(TηnB0, T0nB0) = sup x∈B0 inf y∈B0d(T n ηx, T0ny) ! sup x∈B0 d(Tηnx, T0nx) ! c η enL distH(T0nB0, TηnB0) = sup x∈B0 inf y∈B0d(T n 0x, Tηny) ! sup x∈B0 d(T0nx, Tηnx) ! c η enL. (2.6.3) Note que, como Aη ⊂ B0e A0 ⊂ B0temos que Aη = TηnAη ⊂ TηnB0e A0 = T0nA0 ⊂ T0nB0.
2.6 Taxa de convergência de atratores exponenciais 45 Se n ∈ N é tal que 1 ̺log 1 ǫ + 1
̺log c∈ [n, n + 1), segue de (2.6.2) e (2.6.3) que
distH(Aη,A0) ! distH(Aη, TηnB0) + distH(T n ηB0, T n 0B0) + distH(T0nB0,A0) !distH(TηnB0, T n 0B0) + e̺ǫ ! cenLη + eρǫ ! c1+ L ̺ǫ−L̺η + e̺ǫ e
distH(A0,Aη) ! distH(A0, T0nB0) + distH(T0nB0, TηnB0) + distH(TηnB0,Aη)
!distH(T0nB0, TηnB0) + eρǫ ! cenLη + e̺ǫ ! c1+L̺ǫ− L
̺η + e̺ǫ.
Consequentemente, se n ∈ N é tal que 1 ̺log 1 ǫ + 1 ̺log c∈ [n, n + 1), distH(Aη,A0) + distH(A0,Aη) ! 2c1+ L ̺ǫ− L ̺η + 2e̺ǫ.
Minimizando o lado direito da expressão acima para ǫ ∈ (0, ∞) encontramos que ǫ = c( L
̺e̺
)̺+L̺
η̺+L̺ é ponto de mínimo. Como o lado esquerdo da expressão acima é inde-
pendente de ǫ, temos que
distH(Aη,A0) + distH(A0,Aη) ! 2c - . L ̺e̺ /̺+L−L +. Le L ρ /̺+L̺ 0 η̺+L̺
Capítulo
3
Dimensão fractal e dimensão de
Hausdorff de atratores
Muito do apresentado aqui está contido no trabalho de Mañé [17]. Somente algumas observações sobre semigrupos gradient-like não estão neste trabalho. Este capítulo tenta fazer com que estes resultados se tornem acessíveis para iniciantes, detalhando muitos passos pulados em Mañé [17].
Os atratores para semigrupos discretos em espaços de Banach de dimensão infinita têm dimensão de Hausdorff finita. Nesta seção apresentamos estes resultados. Antes de continuarmos, vamos brevemente relembrar as noções de dimensão de Hausdorff e dimensão fractal.
Uma das motivações para o estudo da dimensão fractal de atratores é o seguinte: mostraremos que conjuntos com dimensão fractal finita podem ser projetados num espaço de dimensão finita de maneira injetiva, e mostraremos também que os atratores para semigrupos discretos têm dimensão fractal finita. Logo, dado um problema discreto num espaço de Banach X de dimensão infinita
xn+1 = T xn,
cujo semigrupo associado {Tn : n ∈ N} tem atrator global A, podemos levá-lo a um
considerar o problema
P xn+1 = P T xn.
Se denotarmos yn = P xn, podemos reescrever o problema na forma
yn+1 = P T P−1yn,
desde que a inversa de P possa ser definida em todo o conjunto Y de maneira contínua, estendendo a inversa desta mesma projeção sobre a imagem do atrator P (A). Uma vez feito este processo, conseguimos um homeomorfismo entre o atrator do problema de dimensão infinita e o atrator do problema de dimensão finita, sendo assim suficiente realizar o estudo dos atratores para sistemas em espaços de dimensão finita.
O grande problema aqui, que ainda continua sem solução, é encontrar uma extensão contínua da inversa da projeção P : A → P (A) em todo Y . Uma vez construída esta inversa, toda a teoria de atratores pode ser reduzida ao caso finito dimensional.
3.1 Dimensão, dimensão de Hausdorff e dimensão fractal
Nesta seção apresentamos os conceitos básicos de dimensão que serão usados no que segue, seguindo os livros de Falconer [10] e Folland [11].
Seja K um espaço topológico. Dizemos que K tem dimensão finita se existe um inteiro n tal que, para toda a cobertura aberta U de K, existe uma cobertura aberta U′ de K
refinando U com a propriedade de que cada ponto de K pertence a no máximo n + 1 subconjuntos de U′. Neste caso, a dimensão topológica dim(K) de K é o mínimo n com
esta propriedade. Este conceito tem a propriedade de que a dimensão de Rn é n e, se K
é um espaço compacto de dimensão finita, então é homeomorfo a algum subconjunto de Rn com n = 2dim(K) + 1.
A seguir apresentamos uma revisão sobre medida de Hausdorff e dimensão de Hausdorff de um espaço métrico (X, ρ), para uma abordagem mais detalhada vide Falconer[10] e Folland [11]. Uma medida exterior µ∗ : 2X → [0, ∞] é uma função que satisfaz
i) µ∗(∅) = 0;
ii) µ∗(A) ! µ∗(B), sempre que A⊂ B;
iii) µ∗+∪∞
3.1 Dimensão, dimensão de Hausdorff e dimensão fractal 49 Um conjunto A ⊂ X é dito µ∗−mensurável se para cada E ⊂ X
µ∗(E) = µ∗(E∩ A) + µ∗(E∩ Ac).
A seguir apresentamos a definição e algumas propriedades básicas da dimensão de Hausdorff. Para um espaço métrico (X, ρ), α " 0, e ǫ > 0. Se A ⊂ X, seja
µ(α)ǫ (A) = inf 2 ∞
3
i=1
(diam(Bi))α : A⊂ ∪∞i=1Bi, diam(Bi) < ǫ
4 ,
com a convenção inf ∅ = ∞. Como µ(α)
ǫ (A) cresce quando ǫ decresce definimos
µ(α)(A) = lim
ǫ→0µ (α) ǫ (A).
Proposição 3.1.1. Seja (X, ρ) um espaço métrico. Para cada α > 0 e δ > 0, µ(α)δ : 2X →
[0,∞] é uma medida exterior.
Demonstração: Fixe δ > 0. Claramente µ(α)δ (∅) = 0 e µ(α)δ (A) ! µ(α)δ (B) sempre que A ⊂ B. Se ǫ > 0, {Aj}∞j=1é uma sequência em 2X e para cada j ∈ N∗ existe uma sequência
{Bij}∞i=1 com Aj ⊂ "∞i=1Bij, diam(B j
i) < δ, para todo i ∈ N∗, e 1∞i=1(diam(B j i))α ! µα δ(Aj) + ǫ2−j, então "∞j=1Aj ⊂"∞j,i=1B j i e µ(α)δ -∞ ! j=1 Aj 0 ! ∞ 3 i,j=1 (diam(Bij))α ! ∞ 3 j=1 µ(α)δ (Aj) + ǫ. Segue que µ(α) δ ( "∞ j=1Aj )
!1∞j=1µ(α)δ (Aj). O resultado segue agora imediatamente.
Com isto temos que
Teorema 3.1.2. Seja (X, ρ) um espaço métrico. Para cada α > 0, µ(α) : 2X → [0, ∞] é
uma medida exterior.
Demonstração: Segue imediatamente da Proposição 3.1.1 que µ(α) é uma medida exte- rior.
conjunto qualquer e f, g : Y → X são tais que
ρ(f (y), f (z)) ! Cρ(g(y), g(z)), ∀ y, z ∈ Y, então µ(α)(f (A)) ! Cαµ(α)(g(A)) para todo A⊂ Y .
Demonstração: A primeira afirmação é óbvia da definição de µ(α). Se µ(α)(g(A)) <∞, dado ǫ > 0, existe δǫ > 0 tal que, para todo 0 < δ < δǫ, existe uma cobertura de g(A) por
conjuntos Bj tal que diam(Bj) ! C−1δ e ∞
3
j=1
(diam(Bj))α!µ(α)(g(A)) + ǫ.
Os conjuntos Bj′ = f (g−1(Bj)) cobrem f (A), e se g−1(Bj) = Fj, então g(Fj) ⊂ Bj e
f (Fj) = Bj′ e diam(Bj′) ! C diam(Bj) ! δ, e
µ(α)δ (f (A)) ! Cαµ(α)(g(A)) + Cαǫ. O resultado agora segue fazendo δ → 0 e fazendo ǫ → 0.
Corolário 3.1.4. Seja f : X → X uma função Lipschitz contínua com constante de Lipschitz C " 0 e A⊂ X. Então µ(α)(f (A)) ! Cαµ(α)(A).
Proposição 3.1.5. Seja α′ > α > 0. Se µ(α)(A) < ∞, então µ(α′)
(A) = 0 e, se µ(α′)
(A) > 0, então µ(α)(A) = ∞.
Demonstração: É suficiente provar a primeira afirmação, uma vez que a segunda é sua contrapositiva. Se µ(α)(A) < ∞, para qualquer δ > 0 existe {B
j}j∈N com A ⊂ ∪∞j=1Bj, diam(Bj) ! δ, e ∞ 3 j=1 (diam(Bj))α !µ(α)(A) + 1. Mas para α′ > α, ∞ 3 j=1 (diam(Bj))α ′ !δα′−α ∞ 3 j=1 (diam(Bj))α !δα ′ −α[µ(α)(A) + 1], logo µ(α′ ) δ !δα ′ −α[µ(α)(A) + 1] −→ 0 e µδ→0 (α′) (A) = 0.
3.1 Dimensão, dimensão de Hausdorff e dimensão fractal 51 Definição 3.1.6. Para qualquer A ⊂ X, a dimensão de Hausdorff de A é definida pelo número real não-negativo dado por
inf{α " 0 : µ(α)(A) = 0} = sup{α " 0 : µ(α)(A) = ∞}. Observação 3.1.7. Sabemos que (vide Kahane [14]) dim(K) ! dimH(K).
Proposição 3.1.8. Seja f : X → X uma função Lipschitz contínua e A ⊂ X. Então dimH(f (A)) ! dimH(A).
Demonstração: Pelo Corolário 3.1.4, temos que se µα(A) = 0 então µα(f (A)) = 0.
Assim dimH(f (A)) ! dimH(A).
Corolário 3.1.9. Seja f : X → X uma função Lipschitz contínua, A ⊂ X e G(f, A) = {(x, f(x)) : x ∈ A} o gráfico de f restrito à A. Então dimH(G(f, A)) = dimH(A).
Demonstração: Sabemos que as aplicações A ∋ x +→ (x, f(x)) ∈ G(f, A) e G(f, A) ∋ (x, f (x))+→ x ∈ A são Lipschitz contínuas, e da proposição acima segue que
dimH(G(f, A)) ! dimH(A) ! dimH(G(f, A)).
Proposição 3.1.10. Seja{Aj}j∈Numa sequência de conjuntos em X e seja A ="j∈NAj.
Então dimH - ! j∈N Aj 0 !sup j∈N dimH(Aj).
Demonstração: Seja α > supj∈NdimH(Aj), assim
µalpha(A) !3
j∈N
µα(Aj) = 0.
Portanto dimH(A) ! α. Como α > supj∈NdimH(Aj) é arbitrário, temos o resultado.
Vamos agora nos voltar para os atratores de tipo gradiente em espaços de Banach. Seja E = {e∗
T ∈ C(X) é uma aplicação Lipschitz contínua. Sabemos que o atrator global A é dado por A = p ! j=1 Wu(e∗j). Suponha que o conjunto instável Wu
loc(e∗i) de cada ponto de equilíbrio é o gráfico de
uma função Lipschitz contínua com domínio QX, onde Q é uma projeção de posto finito. Do Corolário 3.1.9 e da Proposição 3.1.8, sabemos que
dimH(Wlocu (e∗i)) = dimH(QX) <∞, para cada i = 1, . . . , p,
dimH(TnWlocu (ei∗)) ! dimH(Wlocu (e∗i)).
Facilmente, vemos que Wu(e∗ i) =
"∞
n=0TnWlocu (e∗i) e, utilizando a Proposição 3.1.10,
temos
dimH(QX) =dimH(Wlocu (ei∗)) ! dimH(Wu(e∗i)) =
=dimH - ∞ ! n=0 TnWlocu (e∗i) 0 !sup n∈N dimH(TnWlocu (e∗i)) !
!dimH(Wlocu (e∗i)) = dimH(QX),
e portanto dimH(Wu(e∗i)) = dimH(QX), para todo i = 1, . . . , p.
Assim, como A = "p
i=1Wu(e∗i), temos que
dimH(A) = dimH(QX).
Portanto, atratores do tipo gradiente em espaços de Banach têm dimensão de Hausdorff finita. Infelizmente, isso não nos dá muita informação sobre o atrator, no sentido de tratá- lo de fato como um objeto de dimensão (algébrica) finita. Para isto, vamos introduzir o conceito de dimensão fractal, que nos permitirá inserir o atrator de maneira injetiva em um espaço vetorial de dimensão finita.
Seja K um espaço métrico compacto. Defina N(r, K) como o número mínimo de bolas de raio r necessário para cobrir K. A dimensão fractal c(K) de K é definida por:
c(K) = lim sup
r→0
log N (r, K) log(1/r) .
3.2 Projeções de conjuntos compactos com dimensão fractal finita 53