5 HELSEREGION SØR
5.4 Å RSMELDINGER I A GDERSAMARBEIDET – MARIA
2.2
Convergˆencia de sucess˜oes de subconjuntos de R
2Consideremos em R2, o disco centrado na origem e raio R > 0, D = D(0, R). Seja H(D) =K ⊆ D : K ´e fechado, limitado e n˜ao vazio .2
Esta sec¸c˜ao ´e dedicada ao estudo de sucess˜oes de subconjuntos convexos contidos emD. Relacionar-se-´a a convergˆencia de sucess˜oes para a distˆancia de Hausdorff com a defini¸c˜ao de convergˆencia segundo Kuratowski, que ser´a introduzida nesta sec¸c˜ao. Esta defini¸c˜ao reduz o estudo da convergˆencia de sucess˜oes de conjuntos ao estudo da convergˆencia de sucess˜oes nesses conjuntos. Ser´a tamb´em mostrado um resultado que caracteriza os subconjuntos limitados de H(D).
Proposi¸c˜ao 2.11 Se K1 e K2 s˜ao conjuntos convexos de H(D) ent˜ao
dH(K1, K2) = dH(∂K1, ∂K2).
Demonstra¸c˜ao: Podemos supor queK1 6= K2, uma vez que o casoK1 = K2´e imediato.
Recordemos que dH(K1, K2) = maxh(K1, K2), h(K2, K1) , estando h(A, B) defi-
nido em (2.1). Assumamos que dH(K1, K2) = h(K1, K2) e sejam x1 ∈ K1 e x2 ∈ K2
tais que h(K1, K2) = max x∈K1
d(x, K2) = d(x1, x2). Sabemos, pela Proposi¸c˜ao 1.10 que,
como K2 ´e fechado, x2 ∈ ∂K2. Suponhamos que x1 ∈ ◦
K1. Ent˜ao existe r > 0 tal que
B(x1, r) ⊆ K1. Considere-se a retas que une x1 a x2. ´E claro que para todo ox ∈ K1∩ s,
d(x, K2) = d(x, x2). Se tomarmos x0 = x1 + r2kxx11−x−x22k ent˜ao x0 ∈ K1, uma vez que
kx0− x1k = r2 e B(x1, r) ⊆ K1. Ent˜ao,
d(x0, K2) = d(x0, x2) = d(x1, x2) + r2 > d(x1, K2),
o que ´e absurdo. Conclui-se, assim, que x1 ∈ ∂K1.
Exemplo 2.12 Como se pode observar na Figura2.6,dH(K1, K2) = 3 e dH(∂K1, ∂K2) =
2. Observe-se que K1 = D(0, 1) ´e convexo mas K2 =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 = 9 n˜ao ´e
2
2.2 Convergˆencia de sucess˜oes de subconjuntos de R2 23
K1
K2
1 3
Figura 2.6: Dois conjuntos, um n˜ao convexo, em que a distˆancia de Hausdorff ´e realizada no interior de um dos conjuntos.
convexo.
Defini¸c˜ao 2.13 Sejam (An)n uma sucess˜ao de subconjuntos de R2 e A um subconjunto
de R2. Dizemos que (An)n converge para A no sentido de Kuratowski se:
1. ∀x ∈ A ∃ xn∈ An xn −→ n x;
2. Se xnj ∈ Anj e xnj −→
j x ent˜ao x ∈ A.
Vejamos um exemplo.
Exemplo 2.14 Sejam An = D 0, 1 − 1n e A = D(0, 1). Vejamos que (An)n converge
para A segundo Kuratowski.
1. Dado a ∈ A, seja an= 1 − 1n a. Ent˜ao an ∈ An e kan− ak = n1kak −→ n 0.
2. Sejam anj ∈ Anj tais que anj −→ a. Como a fun¸c˜ao norma ´e cont´ınua, obtemos
anj
≤ 1 −n1
j −→j 1, ent˜ao a ∈ A.
Observe-se que a sucess˜ao (An)n tamb´em converge para A em (H(D), dH).
Proposi¸c˜ao 2.15 Seja A um subconjunto de H(D). Ent˜ao A ´e limitado se e s´o se [
A∈A
A ´e limitado em R2.
2.2 Convergˆencia de sucess˜oes de subconjuntos de R2 24 Demonstra¸c˜ao: Comecemos por supor que A ´e limitado. Ent˜ao existem K ∈ H(D) e r > 0 tais que A est´a contido no disco de centro em K e raio r (para a m´etrica dH), isto
´e,
∀A ∈ A dH(A, K) ≤ r.
Em particular, usando a defini¸c˜ao de distˆancia de Hausdorff que utiliza as salsichas de Minkowsky, obtemos [
A∈A
A ⊆ K(r). Mas, como o conjunto K ´e compacto ent˜ao K(r) ´e limitado em R2.
Suponhamos agora que [
A∈A
A ´e limitado em R2. Ent˜ao existe r > 0 tal que [ A∈A
A ⊆ D(0, r). Em particular, chamando F = D(0, r), temos
∀A ∈ A A ⊆ [
A∈A
A ⊆ F ⊆ F (2r).
Por outro lado, se a ∈ A ent˜ao a ∈ D(0, r) pelo que, dado x ∈ D(0, r), pela desigualdade triangular temos qued(x, a) ≤ 2r. Mas ent˜ao,
F = D(0, r) ⊆ D(a, 2r) ⊆ A(2r).
Conclui-se assim que
dH(A, F ) = dH(A, D(0, r)) ≤ 2r,
o que mostra que A ´e limitado.
Vamos agora estudar a rela¸c˜ao entre as duas no¸c˜oes de convergˆencia, usando a m´etrica dH ou a defini¸c˜ao de Kuratowski.
Teorema 2.16 Suponhamos que(An)n´e uma sucess˜ao de conjuntos de(H(D), dH) con-
vergente para um conjuntoA. Ent˜ao (An)n converge segundo Kuratowski para A.
Demonstra¸c˜ao: Comecemos por mostrar 1.
Dado a ∈ A, como A ´e fechado, existe an ∈ An tal que d(a, An) = d(a, an). Mas,
como d(a, An) ≤ dH(A, An) −→
n 0 ent˜ao an −→n a.
2.2 Convergˆencia de sucess˜oes de subconjuntos de R2 25 Seja anj ∈ Anj tal que anj −→
j a. Suponhamos que a /∈ A. Como A ´e compacto,
existe ρ > 0 tal que D(a, ρ) ∩ A(ρ) = ∅. Como An −→
n A em H(D), por defini¸c˜ao de
limite, para este ρ, existe n0 ∈ N tal que, se n ≥ n0 ent˜ao An ⊆ A(ρ), o que contradiz o
facto de anj −→
j a. Ent˜ao a ∈ A.
Observe-se que a convergˆencia segundo Kuratowski ´e mais f´acil de compreender e mais intuitiva que a convergˆencia em H(D) com a m´etrica de Hausdorff, uma vez que transforma o problema de estudar a convergˆencia de sucess˜oes de conjuntos no estudo da convergˆencia de sucess˜oes de pontos de R2.
Teorema 2.17 Seja (Kn)n uma sucess˜ao de subconjuntos de H(D) e suponhamos que
(Kn)n converge segundo Kuratowski para um conjuntoK. Ent˜ao (Kn)n converge paraK
no espa¸co m´etrico H(D).
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que (Kn)n n˜ao converge para K em (H(D), dH). Por
defini¸c˜ao de limite,
∃ ε > 0 ∀j ∈ N ∃ nj ≥ j dH(Knj, K) ≥ ε.
Observemos que a sucess˜ao (nj)j pode ser escolhida estritamente crescente. Para cada
j ∈ N temos que K * Knj(ε) ou Knj * K(ε). Uma das duas condi¸c˜oes acontece para
um conjunto infinito de ´ındices. Podemos supor, para simplificar nota¸c˜oes e sem perda de generalidade, que essa condi¸c˜ao acontece para todos os ´ındices.
Suponhamos que temos K * Knj(ε), para todo o j ∈ N. Ent˜ao,
∀j ∈ N ∃ zj ∈ K\Knj(ε),
pelo que d zj, Knj ≥ ε. Como (zj)j ´e uma sucess˜ao no conjunto compacto K, existe
uma subsucess˜ao zjk −→
k x ∈ K (na distˆancia usual de R
2). Mas,
2.2 Convergˆencia de sucess˜oes de subconjuntos de R2 26 e ent˜ao, para k suficientemente grande,
d (x, Kjk) ≥ d (zjk, Kjk) − d(zjk, x) ≥ ε −
ε 2 =
ε 2.
Como(Kn)n converge segundo Kuratowski paraK, pela condi¸c˜ao 1 da Defini¸c˜ao 2.13,
existexn ∈ Kn tal quexn −→
n x. Mas ent˜ao,
d (x, Kjk) ≤ d (x, xjk) −→
n 0,
o que contraria o facto de d (x, Kjk) ser maior ou igual a 2ε.
Suponhamos agora que se verifica Knj * K(ε), para todo o j ∈ N. Ent˜ao,
∀j ∈ N ∃ zj ∈ Knj\K(ε).
Portanto
∀j ∈ N d(zj, K) ≥ ε.
Como (zj)j ´e uma sucess˜ao de pontos do conjunto compacto D(0, R) ent˜ao esta
sucess˜ao admite uma subsucess˜ao (zjk)k convergente para z ∈ D(0, R). Uma vez que
Kjk −→
k K segundo Kuratowski, como zjk ∈ Kjk e zjk −→k z, pela condi¸c˜ao 2 da De-
fini¸c˜ao 2.13, z ∈ K. Mas isto ´e absurdo porque
d(z, K) = lim
k d(zjk, K) ≥ ε.
Cap´ıtulo 3
Distˆancia de Hausdorff - uma
abordagem computacional
Neste cap´ıtulo s˜ao abordados os aspetos computacionais deste trabalho. Existem duas vertentes na abordagem computacional que se interligam e complementam: o c´alculo e a visualiza¸c˜ao. O conceito de distˆancia de Hausdorff ´e, em certa medida, um conceito contraintuitivo, por isso, dispormos de um ambiente gr´afico em que se possam manipular os objetos e explorar situa¸c˜oes relacionadas com o conceito ´e um aspeto que deve ser valorizado. Definir um algoritmo e implement´a-lo, de modo a automatizar o c´alculo da distˆancia de Hausdorff de dois conjuntos, mesmo quando estamos limitados a conjuntos “muito simples”, revelou-se um desafio interessante e s´o parcialmente conseguido. A escolha da ferramenta computacional foi feita de modo a poder responder a estes dois desafios e ter potencial para resolver problemas que, `a partida, n˜ao estavam previstos. O sistema Mathematica encaixa, de forma natural, nestas condi¸c˜oes.
Os formatos tradicionais de tese limitam a forma de apresentar os aspetos gr´aficos, o que pode ter o efeito de desvalorizar essa vertente. Em papel a quest˜ao ´e incontorn´avel, pelo que as ilustra¸c˜oes s˜ao apenas imagens. Na vers˜ao em formato pdf tent´amos evidenciar o aspeto gr´afico embebendo no documento algumas anima¸c˜oes. As anima¸c˜oes foram criadas em flash (swf), usando a capacidade do Mathematica para exportar para este formato, a n˜ao ser no caso em que se pretende ilustrar a possibilidade de manipular os objetos, onde se fez a grava¸c˜ao a partir do monitor. As figuras que tˆem flash embebido est˜ao assinaladas
3.1 Uma interface gr´afica dinˆamica 28
na legenda com o s´ımbolo+. O visualizador do ficheiro pdf ter´a que ter capacidade para apresentar o conte´udo v´ıdeo embebido no ficheiro e de interpretar javascripts.
Para a leitura desta tese e deste cap´ıtulo em particular, recomendamos o suporte em computador em vez do suporte em papel.
3.1
Uma interface gr´afica dinˆamica
A constru¸c˜ao de uma interface gr´afica em que o utilizador possa manipular os objetos com o “rato” era um objetivo que nos prop´unhamos atingir neste trabalho. Essa tarefa foi muito simplificada recorrendo `as capacidades de interatividade dinˆamica que o sistema Mathematica possui. De facto, para conseguir atingir o objetivo de forma muito satis- fat´oria, nem foi preciso recorrer `a escrita de linhas de c´odigo com alguma complexidade, usando as diversas fun¸c˜oes que s˜ao disponibilizadas pelo Mathematica, para desenhar uma interface gr´afica com capacidades de interatividade. A fun¸c˜ao Manipulate permite, de forma simples, construir uma estrutura perfeitamente adequada `a finalidade que t´ınhamos em mente.
Para poder confirmar o que acabamos de dizer, a interface que ´e apresentada na Fi- gura 3.1, ´e obtida com as instru¸c˜oes seguintes:1
Manipulate[obj1=Take[pts,3];obj2=Drop[pts,3]; Graphics[{ColorData["HTML","Turquoise"],Salsicha[obj1,eps1], ColorData["HTML","Aquamarine"],Salsicha[obj2,eps2],Black, Representa[obj1],Representa[obj2]},PlotRange->4,ImageSize->{400,400}], {{eps1,0,"Eps1"},0,4Sqrt@2,.01,Appearance->"Labeled"}, {{eps2,0,"Eps2"},0,4Sqrt@2,.01,Appearance->"Labeled"}, {{pts,{{-1,0},{0,1},{2,0},{0,2}}},{-3,-3},{3,3},Locator, LocatorAutoCreate->{3,Infinity}}]
A Figura 3.1, na vers˜ao digital deste documento, permite aceder a uma anima¸c˜ao onde se exemplifica a interatividade que a interface produzida apresenta.
1A apresenta¸c˜ao do c´odigo pretende apenas exemplificar a simplicidade. Nele s˜ao invocadas fun¸c˜oes