Eksempler på forbedringer

Som nevnt innledningsvis er det ulikheter i oppgavesettet som gjør det vanskelig å

sammenlikne besvarelsene direkte. Oppgavene som best lar seg sammenlikne er oppgave 2 i begge testene som handlet om figurtall (se vedlegg 5 og 6). Ellers er det interessant å se etter endringer i nivået på elevenes matematiske resonnementer, endringer i om elevene avdekker mønster eller i det hele tatt leter etter dem, om de er i stand til å generalisere observasjonene sine, om de viser matematisk kreativitet eller gjør rede for strategien de bruker for å komme frem til løsningen. Alt dette er indikatorer på algoritmisk tenkning, som er det denne

oppgaven har som formål å undersøke.

4.6.1.1 Elevforbedring 1

En interessant observasjon er gjort hos en elev som ikke gjør noen generaliseringer i det hele tatt i pretesten. Eleven løser flere oppgaver ved hjelp av tall, uten å gjøre rede for noe mønster eller formulere et oppdaget mønster med ord eller algebra.

På oppgave tilsvarende oppgave i retesten (oppgave 1) regner eleven først ut hvor mange ruter rammer av ulike kvadrater består av, før de formulerer et generelt uttrykk som kan beregne antall ruter i hvilken som helst ramme i et kvadrat (figur 26).

Figur 26: Elevforbedring 1

Eleven har gjenkjent et mønster, og definert to variabler. Eleven viser hvordan de beregne rammestørrelsen, gitt at en kjenner kvadratets størrelse i antall ruter. Eleven trekker fra 4 hjørner som blir telt dobbelt i hver side av kvadratets ramme.

Eleven viser styrket matematisk resonnement, og demonstrerer algoritmisk tenkning gjennom mønstergjenkjenning, generalisering, formulering av en algoritme og bruk av den.

4.6.1.2 Elevforbedring 2

Begge oppgavesettene inneholdt et figurtall, der elevene skulle avdekke mønsteret i

figurtallet, lage et generelt uttrykk for å beskrive det, og bruke det til å finne et gitt figurtall.

Det er flere elever som har vist bedring i nivå på resonneringen fra pretest til retest, enten ved at de har lyktes bedre med å gjenkjenne mønsteret, eller i større grad har lyktes med å

formulere et generelt uttrykk som kan brukes til å generere et n’te figurtall.

Eleven i dette eksempelet besvarte ikke oppgaven om figurtall i pretesten, men var i stand til å avdekke mønsteret i tilsvarende oppgave i retesten. Eleven forklarer mønsteret ved hjelp av ord, og bruker tall, tekst og piler som representasjon (figur 27). Dette klassifiserer som nivå 3 i henhold til Hoiviks nivådeling på matematiske resonnementer, og er en tydelig forbedring fra ikke besvart oppgave i pretesten.

Figur 27: Elevforbedring 2

Analyse av oppgaven og tilgjengelig informasjon, mønstergjenkjenning og formulering av en algoritme er demonstrasjon av algoritmisk tenkning (Gjøvik & Torkildsen, 2019;

Utdanningsdirektoratet, 2019; Wing, 2006).

4.6.1.3 Elevforbedring 3

Figur 28 viser et eksempel på en elevbesvarelse i pretesten. Her viser eleven at den klarer å finne neste figurtall med en numerisk tilnærming, og eleven har begynt å formulere et

generelt uttrykk som beskriver et hvilket figurtall av denne typen. Eleven beskriver kvadratet på toppen av figuren som 𝑥², men klarer ikke formulere et uttrykk for de to linjene. Det kommer likevel frem av besvarelsen at eleven har lett etter et mønster for å regne ut hvor mange klosser neste figurtall består av, og deretter begynt å dekomponere figuren for å kunne beskrive figurtallet på generell form.

Figur 28: Elevforbedring 3 – generalisering i pretest

På den tilsvarende oppgaven i retesten viser den samme eleven hvordan den finner neste figurtall nummer 5 i sekvensen ved å summere de første 5 kvadrattallene, som eleven også gjorde i pretesten.

Til forskjell fra pretesten, kommer eleven lenger i arbeidet med å lage et generelt uttrykk for figurtallet. Som vist i figur 29 nedenfor har eleven beskrevet mønsteret delvis med ord, tall og

algebra. Eleven kommer ikke helt i mål med å formulere uttrykket algebraisk da det skulle vært 𝑓₄ = 𝑛²+ (𝑛 − 1)²+ (𝑛 − 2)²+ (𝑛 − 3)², men generaliserer i større grad enn i pretesten.

Figur 29: Elevforbedring 3 – generalisering i retest

4.6.1.4 Elevforbedring 4

Magnus er en av elevene som viser en stor forbedring i problemløsningsstrategi,

mønstergjenkjenning, abstrahering og matematisering mellom pretest og retest. I oppgave 1 i pretesten bruker han konkrete eksempler som

6 + 7 + 8 3 = 7

Til å forklare at summen av 3 påfølgende tall alltid er delelig med 3. Han forklarer også at

«Du har 3 tall som stiger med 1 for hvert tall, det gjør at det tredje tallet er 2 mer enn det første tallet. Om du trekker 1 fra det siste tallet og legger det til det første tallet blir alle tre tallene like store, som beviser at det er sant.»

Magnus klarer å visualisere og forklare ved hjelp av ord hvorfor påstanden må være sann for hvilke som helst 3 påfølgende tall. Magnus har analysert og funnet et mønster, som han generaliserer ved å formulere en algoritme som vil gjelde for 3 vilkårlige påfølgende tall. Han prøver seg ikke på å formulere algoritmen ved hjelp av algebra og regneregler, og

resonnementet klassifiserer som nivå 3.

Magnus sitt resonnement er illustrert ved tegning og algebra figur 30 nedenfor.

Figur 30: Elevforbedring 4 – illustrasjon av resonnement i pretest

I retesten derimot (oppgave 4) bruker Magnus både tegning, ord og algebra for å beskrive mønsteret han har oppdaget (figur 31).

Figur 31: Elevforbedring 4 - mønstergjenkjenning og generalisering i retest

Han kommenterer at det ikke er mulig å trekke diagonaler til de to nabohjørnene, og heller ikke det hjørnet en står i. Dermed kan hvert hjørne 𝑘 trekke diagonal til alle hjørner 𝑘 − 3.

Magnus kommer ikke helt i mål, og glemmer å dele uttrykket på 2 for å eliminere de dupliserte diagonalene som kommer fra at en diagonal kan trekkes begge retninger.

I både pretesten og retesten viser han at det foregår kognitive prosesser som passer med algoritmisk tenkning, som mønstergjenkjenning og generalisering. Han hever likevel nivået på sin matematiske resonnering ved å uttrykke seg ved hjelp av algebra.