Kjetil Liestøl Nielsen
Innhold
1 Fysiske størrelser 7
1.1 Standardform og prefikser . . . 8
1.2 Skalarer og vektorer . . . 11
1.3 Fysiske system . . . 11
2 Bevegelse 13 2.1 Posisjon og forflytning . . . 13
2.1.1 Strekning . . . 18
2.2 Fart og hastighet . . . 19
2.2.1 Hastighet eller fart? . . . 20
2.2.2 Posisjonsgraf . . . 23
2.2.3 Momentanfart og momentanhastighet . . . 24
2.2.4 Konstant fart og konstant hastighet . . . 28
2.3 Akselerasjon . . . 30
2.3.1 Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon . . . 34
2.3.2 Galileis fallov . . . 36
2.3.3 Dekomponere bevegelse med konstant akselerasjon . . . 38
2.4 Relativitetsteori . . . 43
2.4.1 Einsteins spesielle relativitetsteori . . . 45
3 Krefter 49 3.1 Newtons første lov . . . 50
3.2 Newtons andre lov . . . 53
3.3 Tyngdekraften . . . 55
3.4 Newtons tredje lov . . . 59
3.5 Friksjon . . . 62
3.6 Hooks lov . . . 65
3.7 Newtons gravitasjonslov . . . 68
3.7.1 Eksempel: Tiltrekkende personer . . . 69
3.7.2 Eksempel: Utlede tyngdeakselerasjonen . . . 69 3
4 Energi 71
4.1 Arbeid . . . 71
4.2 Kinetisk og potensiell energi . . . 74
4.2.1 Kinetisk energi . . . 74
4.2.2 Potensiell energi . . . 75
4.3 Bevaring av energi . . . 77
4.4 Effekt . . . 82
4.4.1 Virkningsgrad . . . 83
4.5 Energi og masse . . . 83
5 Elektrisitet 87 5.1 Elektrisk ladning . . . 87
5.2 Elektriske krefter . . . 88
5.3 Statisk elektrisitet . . . 90
5.3.1 Vannmolekylet . . . 90
5.4 Elektriske kretser . . . 92
5.4.1 Elektrisk spenning og strøm . . . 93
5.4.2 Kirchoffs lover . . . 97
5.4.3 Elektrisk motstand og Ohms lov . . . 99
5.4.4 Seriekoblinger . . . 102
5.4.5 Parallellkoblinger . . . 104
6 Magnetisme 111 6.1 Magnetisk felt . . . 113
6.2 Magnetisk kraft p˚a ladning i bevegelse . . . 113
6.3 Magnetfelt fra en strømførende ledning . . . 115
6.4 Induksjon . . . 115
6.5 Magnetisme som et relavistisk fenomen . . . 116
A Matematisk grunnlag 119 A.1 Regning . . . 119
A.1.1 De fire regnearter . . . 119
A.1.2 Regne med bokstaver . . . 120
A.1.3 Regneregler for addisjon og multiplikasjon . . . 121
A.1.4 Ulike typer tall . . . 122
A.1.5 Potensregler . . . 123
A.2 Løse likninger . . . 125
A.2.1 Likninger med ´en ukjent . . . 125
A.2.2 Likninger med flere ukjente . . . 128
A.3 Funksjoner . . . 130
A.3.1 Grafen til en funksjon . . . 131
A.3.2 Lineære funksjoner . . . 132
A.3.3 Kvadratiske funksjoner . . . 132
A.4 Trigonometri . . . 132
A.5 Vektorer . . . 132
A.5.1 Vektoraddisjon . . . 134
A.5.2 Dekomponering . . . 135
A.5.3 Multiplikasjon med skalar . . . 136
A.5.4 Vektormultiplikasjon . . . 137
B Utledninger 141 B.1 Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon . . . 141
B.2 Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon . . . 142
B.3 Vegvesenets fartskampanje . . . 145
B.4 Kinetisk energi . . . 148
B.5 Hydrostatisk trykk . . . 149
B.6 Oppdrift . . . 149
Fysiske størrelser
Fysiske størrelser er alt som kan kvantiseres gjennom m˚aling. En fysisk størrelse best˚ar av en verdi og en enhet, der enheten sier noe om hva slag type fysisk størrelse vi har med ˚a gjøre. I tillegg bruker vi symboler til ˚a representere fysiske størrelser. Her spiller det ingen rolle hva slag symbol man bruker, men det er ofte noen som g˚ar igjen i fysikken. Vi bruker oftet for tid,m for masse ogV for volum, f.eks:
t= 5.0 s m= 13 kg V = 2 m3
I eksemplet over hadde tiden t, enheten s, som st˚ar for sekund, mens masse m, hadde enheten kg (kilogram). N˚ar man f˚ar flere enheter av samme type, kan man enten skille dem ved ˚a bruke forskjellige bokstaver, f.eks.bfor bredde ogh for høyde, som begge er m˚al for lengde. Et annet alternativ er ˚a bruke “subscripts”, f.eks.taogtb. Her er det lettere ˚a se at b˚adetaogtb er m˚al for tid siden begge bruker bokstavent. Hvilken konvensjon man bruker vil avhenge hva som føles mest naturlig fra oppgave til oppgave. Den fysiske størrelsen for volum V i eksemplet over, har det vi kaller for en sammensatt enhet. Den bestod av tre lengdeenheter (mfor meter) multiplisert sammen sammen. For ˚a kunne beskrive et volum, trenger vi lengdem˚al i tre dimensjoner; lengde, bredde og dybde. Vi kan lettere se hvorfor disse enhetene m˚a ganges sammen ved ˚a regne ut volumet til en kloss med lengdel= 1.0 m, breddeb= 2.0 m og dybde d= 3.0 m. Volumet blir da:
V =l·b·d= 1.0 m·2.0 m·3.0 m = 1.0·2.0·3.0·m·m·m = 6.0 m3
Enheter følger samme multiplikasjonsregler som tall, s˚a i eksemplet over har vi rett og slett f˚att meter ganger meter ganger meter som blir meter i tredje.
7
Det finnes flere enheter for samme fysiske størrelse. Istedenfor sekund, kunne vi m˚alt tid i minutt eller timer. N˚ar man gjør utregninger i fysikken, derimot, bruker man vanligvis SI-enhetene. Dette er enheter vi er vant med, f.eks. kg (kilogram) som enhet for masse, m (meter) som enhet for lengde og s (sekund) som enhet for tid. For temperatur bruker vi enheten K (Kelvin). Sammenhengen mellom Kelvin og Celsius blir beskrevet senere i dette dokumentet. Dersom vi har oppgaver der fysiske størrelser er oppgitt i andre enheter enn SI-enheter, f.eks. cm (centimeter), g (gram) eller h (timer), m˚a vi ofte gjøre om enhetene til SI-enheter for at vi skal f˚a riktig svar. Selv om det i noen oppgaver ikke vil være strengt nødvendig ˚a gjøre om til SI-enhetene, er dette en god praksis for ˚a unng˚a feil i utregninger.
Tabell 1.1: Oversikt over SI-enhetene.
Størrelse Enhet Enhetsnavn
Lengde m meter
Masse kg kilogram
Tid s sekund
Elektrisk strøm A ampere
Temperatur K kelvin
Stoffmengde mol mol
Lysstyrke cd candela
1.1 Standardform og prefikser
I fysikken kommer man ofte over fysiske størrelser som er svært store eller svært sm˚a, f.eks.
massen til et elektron
me= 0.0000000000000000000000000000009109 kg eller massen til solen
mE ≈19890000000000000000000000000000 kg
Det er tungvindt ˚a skrive disse tallene p˚a vanlig form, s˚a man bruker ofte standardform eller prefikser for ˚a forkorte notasjonen. Standardform vil si at man skriver tallet p˚a formen
k·10n
hvor k er et reelt tall mellom null og 10, ogner et heltall. P˚a standardform kan vi skrive massen til elektronet og jorden som
me= 9.106·10−31 mE = 1.989·1030
som er lettere ˚a jobbe med. Det er ogs˚a vanlig ˚a bruke prefikser. Anta at vi har to fysiske størrelser der den ene, s, representerer en lengde og P representerer en effekt. Istendenfor
˚a skrive
s= 10000 m P = 1210000000 W kunne vi skrevet
s= 10 km P = 1.21 GW
Her har vi ’komprimert’ 1000-tallet inn i bokstaven k. Denne st˚ar for ’kilo’ slik at 10000 meter leses som 10 kilometer. I den andre størrelsen har vi brukt symbolet G som tilsvarer 109. I stendenfor ˚a si 1.21 milliarder watt, ville vi sagt 1.21 Gigawatt. Tabellen under viser vanlige prefikser:
Tabell 1.2:Liste over SI-prefikser Navn Symbol Verdi
piko p 10−12
nano n 10−9
mikro µ 10−6
milli m 10−3
centi c 10−2
deci d 10−1
deca da 101
hekto h 102
kilo k 103
mega M 106
giga G 109
tera T 1012
Eksempel
Det er viktig ˚a kunne skrive om fysiske størrelser fra en prefiks til en annen. Det mest kjente er nok ˚a gjøre om km/h (kilometer per time) om til m/s (meter per sekund).
a) Gjør om 90 km/h til m/s.
b) Gjør om 15 m/s til km/h.
c) Gjør om 5.0 kg/m3 til g/cm3. Løsning:
a) Vi gjør om hver enhet hver for seg. Siden k = 1000, kan vi skrive km som 1000 m. I tillegg er det 60 minutter i en time og 60 sekunder i et minutt. I en time er det derfor 60·60 = 3600 sekund. Dette gir oss:
90km/h = 90km
h = 901000 m
3600 s = 90 1
3.6 m/s = 90
3.6 m/s = 25 m/s
b) En meter er en tusendels kilometer m= 10001 km. I tillegg er et sekund 1/3600 del av en time s= 36001 h. Setter vi dette inn, f˚ar vi:
15m/s = 15m s = 15
1 1000 km
1
3600 h = 153600 km
1000 h = 15·3.6 km/h = 54 km/h
Fra oppgave a) og b), ser vi at vi kan dele p˚a 3.6 for ˚a gjøre om fra km/h til m/s og gange med 3.6 for omgjøre fra m/s til km/h.
c) Vi bruker samme fremgangsm˚ate som oppgavene over. I et kilogram er det 1000 gram, kg = 1000 g, og det er 100 cm i en meter, m = 100 cm. N˚ar vi setter dette inn i uttrykket, er det en fordel ˚a sette en parantes rundt meteren lar hele parantesen være opphøyd i tredje.
5.0 kg/m3 = 5.0 kg
(m)3 = 5.0 1000 g
(100 cm)3 = 5.0 102 g (102 cm)3
= 5.0 103 g
106· cm3 = 5.0·10−3 g/cm3
1.2 Skalarer og vektorer
Fysiske størrelser forekommer i to varianter, skalarer og vektorer. En skalar er en fysisk størrelse som har en verdi og en enhet, f.eks. masse, volum, lengde, temperatur, energi og arbeid. Vektorer, derimot, har i tillegg til størrelse og enhet, en retning assosiert med seg. Eksempler p˚a vektorstørrelser er forflytning, hastighet, akselerasjon og kraft. Det er viktig ˚a presisere her at med retning, s˚a mener vi som regel en romlig retning. S˚a selv om man kan si at tiden har en retning (fremover og bakover), s˚a tenker vi ikke p˚a dette som en vektorstørrelse. Det gir ikke mening ˚a si at tiden g˚ar mot nordøst. I fysikken og matematikken er det ulike notasjoner for en vektor. Dersom vi skal presisere at den fysisk størrelse,u, er en vektor, gjør vi dette vanligvis ved ˚a enten bruke fet skriftu, eller ˚a skrive en pil over symbolet, ~u.
u=~u
I denne boken vil fet skrift bli brukt n˚ar vektorer blir brukt i hovedteksten, mens i tegninger vil pil over symbolet bli brukt. Vektorer visualiseres i tegninger ved ˚a tegne en linje med pil i retningen vektoren peker, der lengden av linjen sier noe om størrelsen p˚a vektoren (se figuren under). Egenskaper til vektorer kommer til ˚a bli viktig ˚a store deler av denne boken. For mer informasjon om vektorer, se kapittel A.5.
Figur 1.1: Vektorer visualiseres som piler.
1.3 Fysiske system
˚A beskrive situasjoner nøyaktig i fysikken kan fort bli svært komblisert. I et saltkorn er det ca. 1.2·1018 atomer, og det sier seg selv at det er praksik umulig ˚a kunne beskrive tilstanden til alle atomene i et eple. Men det er heller ikke nødvendig i alle situasjoner.
Dersom vi ønsker ˚a beskrive hvordan et eple beveger seg gjennom luften n˚ar det blir kastet, er det unødvendig ˚a beskrive alle atomene i eplet for ˚a beskrive bevegelsen. Alle atomene i eplet blir f.eks. dratt ned mot jorden pga. tyngdekraften. Men istedenfor ˚a beskrive tyngdekreftene p˚a hvert enkelt atom, kan vi heller se p˚a eplet som ett legeme som blir p˚avirket av `en tyngdekraft som virker i massesenteret til eplet. Vi har valgt ˚a set p˚a eplet som etsystem: dvs. en avgrenset del av universet som vi ønsker ˚a undersøke. Alt som ikke
er en del av systemet, dvs. alt utenom eplet, kaller viomgivelsene. I denne situasjonen blir systemet p˚avirket av en tyngdekraft fra omgivelsene. Dersom et system ikke blir p˚avirket eller har noen p˚avirkning p˚a omgivelsene, sier vi at systemet erlukket.
Figur 1.2: Vi kan se p˚a eplet som ett objekt som blir p˚avirket av `en tyngdekraft, selv om tynge- kraften egentlig virker p˚a alle atomene i eplet individuelt.
Bevegelse
Alt i universet er i stadig bevegelse og en beskrivelse av bevegelsen til legemer er derfor viktig for ˚a kunne forst˚a verden rundt oss. Selv om bevegelse er et stort tema, kan det forenkles til ˚a kunne beskrive tre fysiske størrelser;posision,hastighet og akselerasjon. Ser man p˚a mange av de fysiske lovene vi har, ser man etterhvert at de fleste handler om ˚a beskrive disse tre fysiske størrelsene, eller andre fysiske størrelser nært tilknyttet disse.
2.1 Posisjon og forflytning
Vi tar for oss følgende eksempel:
Ola kjører fra Drammen til Oslo. Turen tar 40 minutter. Etter ˚a ha vært i Oslo en time, bruker han 36 minutter p˚a ˚a kjøre til Gardermoen for ˚a hente foreldra sine som bur i Vestfossen. Ola er p˚a Gardermoen i 2 timer før han kjører mot Vestfossen. Turen fra flyplassen til Vestfossen tar 1 time og 34 minutter.
Vi ønsker ˚a undersøke denne turen nærmere. Hvor langt har han reist og hvor fort har han kjørt under turen? Det første vi kan prøve ˚a beskrive, er hvor langt Ola har reist p˚a de ulike destinasjonene. Selv om veien mellom de ulike destinasjonene ikke danner en perfekt rett linje, kan vi likevel f˚a mye informasjon ut av reisen ved ˚a forenkle turen til ˚a ha vært langs en rett linje. Vi kan plassere alle destinasjonene i et endimensjonalt koordinatsystem (dvs. en tallinje) der x-aksen representerer avstanden de ulike stedene har fra Drammen, m˚alt i km.
Vi sier at hver av stedene har en posisjon i koordinatsystemet. Posisjon er en vektor- størrelse, dvs. en fysisk størrelse med verdi og retning. Verdien blir avstanden fra Drammen, mens retningen blir om vi m˚a kjøre til venstre eller høyre for Drammen i koordinatsys- temet. La oss kalle posisjonsvektoren til Vestfossen, Oslo og Gardermoen for henholdsvis sv,so ogsg. Siden vi har et endimensjonalt koordinatsystem, vil alle vektorene kun ha `en komponent (i x-retning). La oss kalle disse komponentene for sv,so og sg. Disse blir da:
13
Figur 2.1: Turen fra Drammen til Gardermoen og tilbake, og videre forbi Drammen til Vestfossen, kan forenkles til en rettlinjet bevegelse.
sg= 91 km so= 43 km sv =−23 km
I tillegg har ogs˚a Drammen en posisjon i koordinatsystemet. Dersom vi kaller posisjons- vektoren til Drammen forsd, f˚ar vi
sd= 0 km
Figur 2.2:Posisjon er en vektor som viser avstand og retning fra origo. Her har vi plassert Drammen i origo.
Siden aksen representerer avstanden fra Drammen, f˚ar posisjonsvektoren til Drammen verdien null. I v˚art koordinatsystem, har vi plassert Drammen i nullpunktet til aksen.
Dette punktet kaller vi for koordinatsystemets origo. Alle posisjoner blir da m˚alt relativt til origo. Vi kunne ogs˚a definert origo til ˚a være i Oslo. All posisjonsvektorer ville da blitt relativt til dette nye origo, dvs.
sg = 48 km so= 0 km sv =−66 km sd=−43 km
Figur 2.3: Posisjonsvektorene n˚ar Oslo er plassert i origo.
N˚ar Ola er i Oslo for s˚a ˚a kjøre videre til Gardermoen, endrer han sin posisjon. En endring i posisjon kaller vi for forflytning. I dette eksemplet endrer Ola sin posisjon fra so til sg. Dette er en forflytning p˚a 48 km mot høyre i koordinatsystemet. Vi trenger et symbol for denne forflytningen. Siden forflytning innebærer enendring i posisjon, er det vanlig ˚a bruke Delta-symbolet, ∆. Siden vi har brukt symbolet sfor ˚a representere de ulike posisjonene, kan vi representere en endring i sved ˚a bruke symbolet ∆s. I v˚art eksempel er denne gitt ved
∆s=sg−so
dvs. vi tar differansen mellom sluttposisjonen og startposisjonen i forflytningen. Vi kan da sette opp en definisjon p˚a forflytning:
Definisjon p˚a forflytning
Anta at et legeme endrer sin posisjon fra s0 til s1. Legemet har da gjennomg˚att en forflytning, ∆sgitt ved
∆s=s1−s0
Her er det noen ting som er verdt ˚a legge merke til. For det første s˚a er forflytningen uavhengig av hvor vi har plassert origo. Vi antar fortsatt en `endimensjonal bevegelse. La oss kalle den ene komponenten til ∆s for ∆s. Dersom vi bruker koordinatsystemet med Drammen i origo, f˚ar vi
∆s=sg−so= 91 km−43 km = 48 km.
N˚ar Oslo er plassert i origo, f˚ar vi akkurat det samme
∆s=sg−so= 48 km−0 km = 48 km.
Det andre som er verdt ˚a legge merke til, er at forflytning er en vektorstørrelse. Vi kan forflytte oss mot høyre eller venstre i koordinatsystemet. N˚ar Ola forflytter seg fra Garder- moen til Vestfossen, har Ola gjennomg˚att en forflytning gitt ved:
∆s=sv−sg =−23 km−91 km =−114 km.
Minustegnet viser at dette er en forflytning mot venstre i koordinatsystemet. At forflyt- ning mot høyre er positivt mens venstre er negativt, er bare en konvensjon vi har valgt oss basert p˚a hvordan vi plasserte koordinatsystemet. Vi kunne like godt tegnet koordinatak- sen slik at positiv retning var mot venstre. Det kan være situasjoner hvor det er gunstig ˚a plassere aksene p˚a en bestemt m˚ate, men i denne situasjonen spilte det liten rolle. Dersom ikke noe annet er spesifisert, er det underforst˚att at positiv retning er retningen koordinat- aksene vanligvis peker. For et todimensjonalt koordinatsystem med en horisontalx-akse og en vertikaly-akse, vil positivx-retning være mot høyre, mens positivy-retning er oppover.
Figur 2.4: Forflytning er en vektor.
En tredje ting som er verdt ˚a legge merke til, er at dersom forflytningen starter i origo, vil forflytningsvektoren bli lik posisjonsvektoren til sluttposisjonen. Bruker vi den generelle definisjonen av forflytning, har vi s0= 0. Dersom vi da kaller sluttposisjonen fors, f˚ar vi
∆s=s−s0 =s
Dersom forflytningen starter i origo, er det derfor vanlig ˚a droppe ∆-tegnet og bare bruke symbolet til sluttposisjonen for ˚a forenkle notasjonen, dvs. skrives istendenfor ∆s.
La oss ta det innledende eksemplet et steg videre. Fra Vestfossen kjører Ola en liten tur til Gullhaug før han kjører tilbake til Drammen. Turen til Gullhaug tar han gjennom Eidsfoss, som er den korteste veien i retning sørøst, mens han kjører rett nord gjennom Sande n˚ar han kjører tilbake til Drammen. I dette eksemplet blir det problematisk ˚a plassere alle steder langs samme rette linje siden han kjører en annen rute tilbake til Drammen fra Gullhaug. Vestfossen ligger vest for Drammen mens Gullhaug sør for Drammen. Her blir det mer praktisk ˚a plassere stedene i et todimensjonalt koordinatsystem.
Figur 2.5: Vestfossen, Drammen og Gullhaug plassert i et forenklet todimensjonalt koordinatsys- tem.
I figuren over har vi plassert Drammen i origo, Vestfossen 23 km direkte vest for Drammen og Gullhaug 33 km direkte sør for Drammen. P˚a et kart vil man se at dette er en forenkling av virkeligheten, men det er likevel en mer korrekt beskrivelse enn ˚a ha alt liggende langs samme rette linje. Posisjonsvektorene til Vestfossen, sv og Gullhaug, sh blir da
sv = [−23,0] km sh = [0,−33] km Forflytningen fra Vestfossen til Gullhaug blir dermed
∆s=sh−sv = [0,−33] km−[−23,0] km = [23,−33] km
Dette er en vektor som peker 23 km vestover og 33 km sørover. Dersom vi plasserer denne vektoren i posisjonen til Vestfossen, ser vi at det passer med forflytningen fra Vestfossen til Gullhaug.
Figur 2.6: Posisjonsvektorene og forflytningsvektoren fra Vestfossen til Gullhaug.
Vi kan finne hvor langt Ola har kjørt ved ˚a regne ut lengden av vektoren ∆s(se kap. A.5 for lengde av en vektor):
|∆s|=p
232+ (−33)2 km =
√
1618 km≈40 km
˚Apner vi opp et kart, ser vi at dette stemmer godt overens med den faktiske kjøreavstanden mellom Vestfossen og Gullhaug.
2.1.1 Strekning
I eksemplet over antok vi at Ola kjørte direkte til Gullhaug fra Vestfossen. Ola kjørte da en strekning p˚a 40 km, samme som lengden av forflytningsvektoren. Strekningen, eller veilengden, som Ola tilbakelegger n˚ar han kjører fra Vestfossen til Gullhaug, trenger der- imot ikke nødvendigvis være lik lengden av forflytningen. Dersom Ola hadde først kjørt til Drammen, for s˚a ˚a svinge sørover og kjøre mot Gullhaug, har Ola tilbakelagt en strekning lik strekningen til Drammen pluss strekningen til Gullhaug fra Drammen, dvs strekningen der:
d= 23 km + 33 km = 56 km
Forflytningen blir derimot den sammen i dette tilfellet, dvs. 40 km mot sørvest. Forflytning sier bare hvor mye Ola har forflyttet seg fra startposisjonen til sluttposisjonen, men den sier ingenting om hvordan Ola kom seg fra start til slutt. Han kunne kjørt i en rett linje eller tatt en veldig stor omvei. Forflytningen er den samme, men den tilbakelagte strekningen er forskjellig. I motsetning til posisjon og forflytning, er strekning en skalar størrelse. Vi kan tenke p˚a tilbakelagt strekning som tallet som vises p˚a tripptelleren i bilen.
I eksemplet over brukte vi symbolet d for strekning. Dette kommer fra det engelske ordet ’distance’. Vi kunne ogs˚a brukt ordet ’avstand’ for strekning, men da er det viktig ˚a være presis med hva man mener. Avstand er definert som lengden mellom to punkter. Vi kunne sagt at tilbakelagt strekning er lik avstanden mellom Drammen og Vestfoss pluss avstanden mellom Drammen og Gullhaug. Ordet avstand blir derimot ogs˚a ofte brukt som synonym til posisjon. Anta at vi kaster en stein rett opp. Steinens avstand fra bakken vil da øke mens steinen er p˚a vei oppover. Etterhvert vil steinen derimot falle nedover igjen slik at avstanden, eller posisjonen, i forhold til bakken avtar. Strekningen steinen tilbakelegger p˚a turen sin, derimot, er en størrelse som kun øker etterhvert som tiden g˚ar. N˚ar steinen ligger p˚a bakken igjen, har den en avstand fra bakken p˚a 0, men den tilbakelagte strekningen er 2 ganger høyden steinen n˚adde (`en for veien opp og `en for veien ned).
2.2 Fart og hastighet
Ola brukte 40 minutter p˚a ˚a kjøre fra Drammen til Oslo, og 36 minutter ˚a kjøre fra Oslo til Gardermoen. Selv om det er en lengre avstand mellom Oslo og Gardermoen enn mellom Drammen og Oslo, brukte Ola mindre tid p˚a ˚a kjøre til Gardermoen. Det m˚a bety at Ola tilbakela mer strekning per tid n˚ar man kjørte mot Gardermoen enn n˚ar han kjørte mot Oslo. Vi sier at Ola kjørte med en større fart n˚ar han kjørte mot Gardermoen. Vi bruker ofte symboletvfor fart. P˚a turen fra Oslo til Gardermoen kjørte Ola 48 km p˚a 36 minutter eller 0.60 h (h = time). Han kjørte da med en fart p˚a
v= 48 km
0.60h = 80 km/h
Grunnen til at vi gjorde om tiden fra minutter til time, var for at vi da f˚ar sluttsvaret i enheten km/h istedenfor km/minutt. Skulle vi brukt SI-enheter, noe som vanligvis anbefales n˚ar man regner oppgaver, ville enheten til fart blitt m/s (meter per sekund). P˚a sin tur til Oslo fra Drammen, kjørte Ola kjørte en strekning p˚a 43 km. Han brukte 40 minutter eller 2/3 h p˚a denne turen. Dette gir oss en fart p˚a
v= 43 km
2
3h = 64.5 km/h≈65 km/h
Det er derimot noe som ikke helt stemmer med disse tallene vi har f˚att. Det virker merkelig at Ola har kjørt med farten 80 km/h under hele strekningen fra Oslo til Gardermoen. Inni Oslo er det flere steder med en fartsgrense p˚a 60 km/h, og utenfor Oslo er det steder med fartsgrenser p˚a 110 km/h. Det er derfor liten sannsynlighet at Ola kjørte i 80 km/h under hele turen. Utifra den informasjonen vi har, kan vi derimot ikke si noe om hvor fort Ola kjørte under de ulike delene av strekningen mellom Oslo og Gardermoen. Det eneste vi vet, er tiden han brukte p˚a hele strekningen. Det blir derfor ikke helt riktig ˚a si at Ola kjørte med en fart p˚a 80 km/h, men at han kjørte med engjennomsnittsfart p˚a 80 km/h. Dersom vi hadde sett p˚a alle de ulike fartene Ola kjørte med under turen og tatt gjennomsnittet av disse, ville dette gjennomsnittet blitt 80 km/h.
For ˚a symbolisere at det er snakk om et gjennomsnitt, er det vanlig ˚a legge til en strek over symbolet, v 1. Vi burde derfor heller brukt denne notasjonen n˚ar vi beskrev farten til Ola n˚ar han kjørte fra Oslo til Gardermoen:
v= 80 km/h Definisjon p˚a gjennomsnittsfart
Anta at et legeme tilbakelegger strekningen, d, p˚a tiden t. Legemet har da hatt en gjennomsnittfart, v, gitt ved:
v= d
t (2.1)
2.2.1 Hastighet eller fart?
Ordene hastighet og fart blir ofte brukt om hverandre i dagligtalen. I fysikken er det derimot en ganske tydelig forskjell. Fart er en skalar størrelse, mens hastighet er en vektor. Mens fart ertilbakelagt strekning per tid, er hastighetforflytning per tid. Siden forflytning er en vektor, vil forflytning per tid ogs˚a bli en vektor. Slik som med fart, s˚a vet vi ikke hvordan Ola kjørte under en bestemt forflytning, bare den totale forflytningen og tiden ha brukte.
Vi kan da regne ut en gjennomsnitthastighet,v, gitt ved v= ∆s
t
1pass p˚a ˚a ikke forveksle gjennomsnittsnotasjonenvmed vektorpilnotasjonen~v.
Ola brukte 1 time og 34 minutter, eller 1.567 h p˚a ˚a kjøre fra Gardermoen til Vestfossen.
Vi har tidligere sett at dette tilsvarer en forflytning p˚a
∆s=sv−sg =−114 km
Siden vi har en endimensjonal, rettlinjet bevegelse, har hastighetsvektoren bare `en kom- ponent i x-retning. Siden vi brukte symbolet v for gjennomsnittfart, m˚a vi bruke et an- net symbol for x-komponenten til gjennomsnitthastigheten v siden fart og hastighet ikke nødvendigvis er lik, selv i rettlinjet bevegelse. En vesentlig forskjell er at fart alltid er po- sitivt siden strekning alltid er positivt, mens komponentene til en hastighet kan være b˚ade positiv og negativ avhengig om den peker i positiv eller negativ retning p˚a koordinataksen.
Vi bruker derfor heller symbolet vx som x-komponenten til gjennomsnitthastigheten. Vi f˚ar da:
vx= ∆s
t = −144 km
1.567 h =−91.895 km/h≈ −92 km/h
Hastigheten har en lengde p˚a 92 km/h og retning mot venstre i koordinatsystemet. Istenden- for ˚a f˚a oppgitt tiden Ola brukte p˚a ˚a forflytte seg fra Gardermoen til Vestfossen, kunne vi ogs˚a tenke oss at vi fikk oppgitt tidspunktene n˚ar Ola var p˚a de ulike stedene. Anta at vi har en stoppeklokke og setter den p˚a idet Ola begynte p˚a turen sin fra Drammen. Legger vi sammen tidene Ola brukte p˚a de ulike delene av turen, f˚ar vi at Ola reiser fra Gardermoen ved tidentg = 4.267 h etter at han startet turen fra Drammen. Ved tiden tv = 5.834 h er han fremme ved Vestfossen. Tiden han brukte fra Gardermoen til Vestfossen, blir da diffe- ransen mellom sluttiden og startiden. Siden vi ser p˚a enendring i tid, bruker vi symbolet
∆t:
∆t=tv−tg= 5.834 h−4.267 h = 1.567 h Vi ville da skrevet gjennomsnitthastigheten som
v= ∆s
∆t
Det kan virke overflødig ˚a introdusere denne ekstra notasjonen for gjennomsnittshastig- heten, det kommer til ˚a bli nyttig ˚a bruke denne notasjonen som definisjon p˚a gjennom- snittshastighet n˚ar vi skal definere absolutt hastighet og absolutt fart. Denne notasjonen kan derimot ofte forenkles dersom vi antar at forflytningen starter i origo og ved tiden 0.
Dersom vi da kaller sluttposisjonen for s og sluttidspunktet for t, blir uttrykket redusert til:
v = ∆s
∆t = s−0 t−0 = s
t
Figur 2.7: Ola passerers0 ved tident0ogs1 ved tident1.
som er en litt mer ryddig notasjon ˚a forholde seg til.
Definisjon p˚a gjennomsnittshastighet
Anta at et legeme har posisjonene s0 og s1 ved henholdsvis tidene t0 og t1, hvor t1 > t0. Legemet har da hatt en gjennomsnitthastighet gitt ved
v = ∆s
∆t = s1−s0
t1−t0
(2.2) eller
v= s
t (2.3)
dersom vi starter i origo ved tiden 0 og lar svære posisjonen ved tiden t.
Lengden p˚a 144 km/h tilsvarer ogs˚a strekningen Ola kjørte fra Gardermoen til Vestfossen slik at vi f˚ar samtidig at Ola kjørte med en gjennomsnittsfart p˚a:
v= d
t = 144 km
1.567 h ≈92 km/h
Utifra eksemplet over, kan det være fristende ˚a p˚ast˚a at gjennomsnittfarten til et legeme er lik lengden av gjennomsnitthastigheten, men dette er ikke alltid tilfelle. Dersom man har en endimensjonal, eller rettlinjet, bevegelse, vil dette stemme dersom man alltid beveger seg i samme retning, slik som i eksemplet over. Dersom bevegelsen endrer retning underveis i turen, vil gjennomsnittfarten og gjennomsnitthastigheten kunne bli forskjellig. Anta at Ola kjørte fra Drammen til Oslo p˚a 40 minutter, for s˚a ˚a kjøre rett tilbake til Drammen p˚a 50 minutter. Avstanden mellom Oslo og Drammen er 43 km, s˚a Ola har da tilbakelagt en strekning p˚a
d= 43 km + 43 km = 86 km
Denne strekningen brukte han 90 minutter (40 + 50) eller 1.5 h. Gjennomsnittfarten har da vært:
v= d
t = 86 km
1.5 h = 57.333 km/h≈57 km/h
Siden b˚ade startposisjonen og sluttposisjonen er i Drammen, vil forflytningen til Ola være:
∆s=sd−sd= 0 som betyr at gjennomsnittshastigheten blir
vx = ∆s t = 0 noe som er ganske forskjellig fra gjennomsnittsfarten.
2.2.2 Posisjonsgraf
For ˚a f˚a et visuelt bedre inntrykk av en bevegelse, kan det være gunstig ˚a tegne bevegelsen i en graf. Vi ska holde oss til rettlinjede eller endimensjonale bevegelser n˚ar vi lager slike grafer. Da kan vi tegne hele bevegelsen inn i et todimensjonalt koordinatsystem der vi lar førsteaksen være tid og andreaksen være posisjon. Figuren under viser et eksempel p˚a en bevegelse:
Figur 2.8: Eksempel p˚a en posisjonsgraf.
Personen starter i origo. Personen bruker s˚a 1 sekund p˚a ˚a g˚a 2 meter. Det neste sekundet er grafen helt horisontal. Tiden g˚ar, men posisjonen endrer ikke verdi. Da st˚ar personen stille. Personen bruker s˚a ytterligere 1 sekund p˚a ˚a g˚a to meter slik at personen er 4 meter fra hvor han startet. S˚a begynner verdien til posisjonen ˚a minke. Da har personen snudd og begynner ˚a g˚a motsatt veg. Han fortsetter ˚a g˚a forbi hvor han startet helt til han kommer 2 meter bak stedet hvor han startet.
2.2.3 Momentanfart og momentanhastighet
Frem til n˚a har vi kun sett p˚a gjennomsnittfart og gjennomsnitthastighet. Men n˚ar vi ser p˚a speedometeret i bilen, viser ikke den en gjennomsnittfart, men hvilken fart vi har p˚a nøyaktig det tidspunktet vi ser p˚a speedometeret. Det blir en slags ’fart i øyeblikket’, eller momentanfart. Vi kan ogs˚a tenke p˚a enmomentanhastighet som ’hastigheten i øyeblikket’.
Det store spørsm˚alet blir hvordan vi skal definere disse størrelsene siden v˚are definsjoner av fart og hastighet baserer seg p˚a ˚a m˚ale en strekning eller forflytning over et tidsintervall.
Kan det da gi mening ˚a snakke om hastigheten p˚a et bestemt tidspunkt siden vi da ikke har en endring i tid?
For ˚a utlede en definisjon p˚a momentanfart og momentanhastighet, skal vi se p˚a en rettlinjet eller endimensjonal bevegelse. Hastighetsvektoren har da kun `en komponent, vx. Anta at vi skulle m˚ale denne hastigheten i praksis. Vi kunne da plassert en person ved posisjon s0 med en klokke. Akkurat idet Ola passerer s0, m˚aler vi tiden t0. Litt lengre borte, ved posisjon s1, st˚ar det en annen person som noterer tident1 n˚ar Ola passerer s1. Vi kunne da regnet ut gjennomsnitthastigheten ved ˚a regne ut hvor lang tid Ola brukte p˚a
˚a forflytte seg fra s0 til s1
vx= ∆s
∆t = s1−s0
t1−t0
Anta at vi ønsker ˚a finne hastigheten til Ola akkurat n˚ar han passerte s0. For ˚a f˚a et bedre bilde av hastigheten i nærheten avs0, m˚aler vi hastigheten over et s˚a lite som mulig tidsintervall. Dersom ∆ter liten, vil ogs˚a ∆svære liten siden Ola ikke kommer s˚a langt p˚a et lite tidsintervall. Det vil si at s0 og s1 vil ligge nærme hverandre. Det er lite sannsynlig at Ola har rukket ˚a endre hastigheten sin nevneverdig over dette intervallet, s˚a v˚ar m˚alte hastighet vil gi et bedre bilde av bevegelsen til Ola i nærheten av s0.
Men selv om hastigheten vi m˚alte gir et bedre bilde av hastigheten til Ola idet han passerte s0, er det fortsatt en gjennomsnitthastighet vi har m˚alt. Vi kan derimot definere momen- tanhastigheten is0 som gjennomsnitthastigheten vi m˚aler n˚ar vi lar ∆t bliuendelig liten.
I matematikken sier vi at vi lar ∆t g˚a mot null. Den matematiske notasjonen for dette er
∆t→0lim. Dersom vi kaller momentanhastigheten for vx, f˚ar vi:
vx= lim
∆t→0
∆s
∆t
Figur 2.9:Ola passerers0ved tident0 ogs1ved tident1. I situasjon 2 er ∆tmindre. Da blir ogs˚a
∆smindre
Dette kan virke som en litt kunstig definisjon siden det er praktisk umulig ˚a m˚ale et uendelig lite intervall, men det finnes matematiske verktøy som gjør det mulig ˚a regne ut slike grenseverdier dersom vi vet hvordan posisjonen endrer seg med tiden. I denne boken skal vi ikke g˚a inn p˚a denne matematikken, s˚a vi lar bare dette st˚a som en formell definisjon p˚a hva vi mener med momentanhastighet.
Denne grenseverdien har derimot en geometrisk betydning som vi skal undersøke nær- mere. La oss tegne en tenkt bevegelse i en posisjonsgraf hvor vi markerer to (t0, s0) og (t1, s1), og tegner en rett linje gjennom punktene, Stigningstallet til denne linjen,m, være gitt ved
m= ∆s
∆t = s1−s0 t1−t0
Stigningstallet til denne linjen er rett og slett gjennomsnitthastigheten til Ola. Dersom vi lar ∆tg˚a mot null, vil punktene vi tegner linjen mellom g˚a mot hverandre slik at linjen g˚ar mot en linje som tangerer grafen i punktet (t0, s0). Dersom vi har tegnet grafen til posisjon som funksjon av tid, slik som over, s˚a vil momentanhastigheten i et bestemt punkt være lik stigningstallet til linjen som tangerer grafer til si punktet vi er interessert i. Vi sier at hastigheten er den deriverte av forflytningen med hensyn p˚a tiden. For store hastigheter vil tangenten være en bratt linje, mens den ligger mer horisontalt for lave hastigheter.
N˚ar vi snakker om hastigheten til et legeme, mener vi som regel momentanhastigheten og ikke gjennomsnitthastigheten. Vi kommer derfor som regel bare til ˚a bruke ordet hastig- het n˚ar vi mener momentanhastighet. I eksemplet over hadde vi en rettlinjet bevegelse.
Figur 2.10: Gjennomsnitthastigheten er stigningstallet til en rett linje fra startpunktet til slutt- punktet.
Definisjonen p˚a hastighet blir derimot det samme for flerdimensjonal bevegelse, bare at vi bruker vektornotasjon:
v = lim
∆t→0
∆s
∆t
Denne notasjonen kan være litt omstendig, s˚a det finnes mer kompakte notasjoner. Den mest brukte er Leibniz-notasjonen. N˚ar ∆tg˚ar mot 0, vil b˚ade ∆tog ∆sbli uendelige sm˚a.
N˚ar vi har uendelig sm˚a størrelser (men som er større enn null), er det vanlig ˚a bruke d istendenfor ∆, slik at vi kunne skrevet hastigheten som
v= lim
∆t→0
∆s
∆t = ds dt.
I fysikken er ogs˚a Newtons notasjon mye brukt. For ˚a beskrive at vi ser p˚a hvordan en fysiske størrelse endrer seg med tiden, kan vi putte en liten prikk over symbolet dvs.
v= ds dt = ˙s
Alle disse notasjonene er bare forskjellige m˚ater ˚a skrive det samme; hastigheten er et m˚al for hvordan posisjonen endrer seg med tiden. N˚ar vi har definert hastighet, kan vi ogs˚a definere momentanfart, eller bare farten, til et legeme i et bestemt punkt. Vi har tidligere sett at farten kun er absoluttverdien av gjennomsnitthastigheten dersom legemet beveger i `en dimensjon, dvs. en rett linje. N˚ar ∆sblir uendelig liten, blir ogs˚a endringen i retning
Figur 2.11:N˚ar ∆t→0, vil linja gjennom (t0, s0) og (t1, s1) g˚a mot tangenten til grafen i punktet (t0, s0).
uendelig liten. Uansett hvor mange dimensjoner bevegelsen foreg˚ar i, vil den bli tilnærmet rettlinjet siden ∆s er uendelig liten. Vi kan dermed definere farten, v, som lengden av hastighetsvektoren p˚a lik linje som vi kunne gjøre for gjennomsnittfart og gjennomsnitt- hastighet for rettlinjet bevegelse.
Momentanfart og momentanhastighet
Anta at et legeme tilbakelegger strekningen ∆sp˚a tiden ∆t. Momentanhastigheten, eller bare hastigheten, til legemet v er da definert som:
v= lim
∆t→0
∆s
∆t = ds
dt = ˙s (2.4)
Momentanfarten, eller bare farten, til legemet er definert som lengden av hastighets- vektoren.
2.2.4 Konstant fart og konstant hastighet
Anta at Ola kjører fra Drammen til Oslo uten at ferdien p˚a speedometeret endrer seg. Vi sier da at Ola har kjørt med konstant fart under hele turen, dvs. at verdien til farten ikke har endret seg. Dersom Ola kjører i en rett linje uten ˚a endre fart, vil han ogs˚a ha kjørt med konstant hastighet. Hverken verdien til hastigheten eller retningen endrer seg. Anta at Ola kjører med konstant hastighet,v, langs en rett linje. Vi antar at Ola starter i origo og at han har posisjonensetter tiden t. Siden hastigheten aldri endrer verdi eller retning, vil gjennomsnitthastigheten bli lik den konstante hastigheten. Vi f˚ar da at
v= ∆s
∆t = s−0 t−0 = s
t
Vi kan skrive om uttykket over til ˚a f˚a en uttrykk for posisjonen som funksjon av tid ved konstant fart:
s=vt
Dersom shadde representert strekning og vfart, ville vi f˚att samme formel som over. Det er derfor vanlig ˚a bruke symbolet s ogs˚a som symbolet for strekning. I formelen over har vi antatt at Ola starter i origo ved tiden t = 0. Dersom vi ser p˚a s som en funksjon av t, vil grafen til s(t) danne en rett linje. Uansett hvilket punkt vi velger, vil tangenten til grafen i punktet ligge sammen med grafen selv. Verdien til hastigheten er den samme for alle tidspunkter. Hastighten er konstant.
Figur 2.12: Posisjonsgrafen til et legeme som beveger seg med konstant hastighet, er en rett linje.
Dersom vi antar at Ola kan bevege seg i flere dimensjoner, f˚ar vi samme formel, bare med vektortegn for posisjon og hastighet:
s=vt
Siden en konstant vektor betyr at den hverken endrer verdi eller retning, vil forflytningen fortsatt g˚a i en rett linje n˚ar hastigheten er konstant, selv om vi har en flerdimensjonal bevegelse.
Bevegelse med konstant hastighet
Posisjonen stil et legeme med konstant hastighetv er gitt ved s=vt
dersom legemet starter i origo ogter tiden fra vi starter ˚a m˚ale. Dersomser strekning og v farten til legemet, f˚ar vi:
s=vt
Dette blir ogs˚a uttrykket for posisjonen til et legeme som beveger seg langs en rett linje med hastighet v.
Eksempel: tordenvær
Lyd er en trykkbølge som kan bevege seg i et materiale. I luft beveger lyden seg med farten v= 343 m/s. Anta at vi st˚ar og ser p˚a et tordenvær og ser lynet sl˚a ned i det fjerne. Etter t= 3.0 s hører vi tordenet. Hvor langt unna var lynnedslaget?
Løsning: Dersom vi antar at lyden beveger seg med konstant fart, kan vi bruke formelen over og vi f˚ar:
s=vt= 343 m/s·3.0 s = 1029 m≈1.0 km
En god tommelfingerregel er at lynet er en km unna for hvert tredje sekund vi teller.
Eksempel: tordenvær - del 2
I den forrige oppgaven har vi egentlig gjort en liten forenkling. Siden lyset beveger seg med farten c = 3.0·108 m/s, vil det ta litt tid før lyset fra lynet n˚ar oss. Idet vi ser lynet, har lyden derfor allerede beveget seg et lite stykke. Hva blir avstanden til tordenværet n˚ar hørte lyden 3.0 sekunder etter at du s˚a lynnedslaget, men der vi tar hensyn til lysfarten?
Løsning La oss kalle tiden lyset bruker p˚a ˚a n˚a oss for tc, og tiden lyden bruker p˚a ˚a n˚a oss for tl. N˚ar vi ser lynet, har lyden allerede beveget seg med tidentc. Siden vi hører lydent= 3.0 s etter at vi ser lynet, f˚ar vi at
tl=t+tc Avstanden lyden har tilbakelagt er dermed
s=vtl=v(t+tc)
Siden lyset g˚ar med konstant fart c, vil avstanden til lynet ogs˚a være gitt ved s=ctc
Vi kan skrive om dette slik at vi f˚ar tc =s/c. Setter vi det inn fortc i likningen over, f˚ar vi:
s=v t+s
c
s=vt+v cs s−v
cs=vt s
1−v c
=vt s= vt
1−v c
= 343 m/s·3.0 s 1− 343 m/s
3.0·108 m/s
= 1029.001176 m≈1.0 km
Ved ˚a se bort ifra lysfarten, f˚ar vi kun en feil p˚a ca. en centimeter. Siden lynet var ca. en kilometer unna, er en feil p˚a en centimeter en mer enn akseptabel forenkling.
2.3 Akselerasjon
N˚ar Ola begynner p˚a turen sin fra Drammen, st˚ar bilen i ro før han øker farten til bilen opp til fartsgrensen. Dersom vi sitter i bilen, vil det oppleves svært forskjell om han bruker
lang tid p˚a ˚a øke farten enn om han presser gasspedalen i bunn og øker farten p˚a kort tid. I det siste eksemplet sier vi at bilen har hatt en stor endring i fart per tid, dvs. bilen har hatt en stor akselerasjon. Teknisk sett er akselerasjon endring i hastighet per tid og ikke fart per tid. Akselerasjon er derfor en vektorstørrelse. Dersom Ola har en endring i hastighet, ∆v over et tidsrom p˚a ∆t, vil han ha hatt en gjennomsnittakselerasjon p˚a
a= ∆v
∆t
Anta at vi ser p˚a den turen til Ola som en rettlinja bevegelse slik at alle vektorer kun har `en komponent langsx-aksen. Dersom Ola starter med hastighetenv0= 0, for s˚a ˚a bruke ∆t= 5.0 s p˚a ˚a øke farten tilv1 = 90 km/h = 25 m/s, har han hatt en gjennomsnittakselerasjon p˚a:
a= ∆v
∆t = v1−v0
∆t = 25 m/s−0
5.0 s = 5.0 m/s2
Fra eksemplet over fikk vi ogs˚a enheten til akselerasjon. Siden enheten til telleren er m/s og enheten til nevneren er s, vil den totale enheten til akselerasjon blir m/s/s eller m/s2. Anta s˚a at Ola plutselig ser en hindring slik at han m˚a br˚abremse, og at bilen bruker 3.0 sekunder p˚a ˚a g˚a fra v0= 25 m/s til v1= 0. Han har da hatt en gjennomsnittakselerasjon p˚a
a= ∆v
∆t = v1−v0
∆t = 0−25 m/s
3.0 s =−8.3333 m/s2 ≈ −8.3 m/s2
Det negative fortegnet viser at akselerasjonen gikk motsatt vei som bevegelsen, dvs. ak- selerasjonen gjørde at hastigheten avtok, dvs. vi bremser. For ˚a f˚a et uttrykk for mo- mentanakselerasjonen, alts˚a akselerasjonen p˚a et bestemt tidspunkt, gjør vi det samme som for hastighet og lar tidsintervallet g˚a mot null. Momentanakselerasjonen, eller bare akselerasjonen, blir da:
a= lim
∆t→0
∆v
∆t = dv dt = ˙v
Dersom vi ser p˚a en rettlinjet begevelse der vi tegner grafen til hastighetenvsom funksjonen av tident, vil akselerasjonen i et punkt, være lik stigningstallet til linjet som tangerer grafen til v i dette punktet.
Det er viktig ˚a huske p˚a at vi kan fortsatt ha en akselerasjon selv om farten er konstant.
Et godt eksempel p˚a dette er ved sirkelbevegelse. Anta at et legeme beveger seg i en perfekt sirkel med konstant fart. Selv om farten og hastigheten ikke endrer verdi, s˚a endrer
Figur 2.13:Akselerasjonen er stigningstallet til tangenten til en hastighetsgraf. P˚a tidspunktett1
peker tangenten oppover, dvs. at hastigheten øker, dvs positiv akselerasjon. P˚a t2 peker tangen- ten nedover, s˚a her minker hastigheten. Akselerasjonen er negativ. P˚a t3 er tangenten horisontal.
Hastigheten holder seg konstant og akselerasjonen er null.
Figur 2.14:Et legeme som beveger seg i en sirkel med konstant fart, har en akselerasjon som peker inn mot sentrum av sirkelen.
hastigheten retning hele tiden. Da har vi en akselerasjon. Denne akselerasjonen vil virke inn mot sentrum av sirkelen
Verdien til denne akselerasjonen er gitt ved uttrykket
a= v2 r
hvor r er radiusen i sirkelen ogv er banefarten, dvs. den konstante farten til legemet mens den beveger seg rundt sirkelen. Dersom r minker, minker nevneren i uttrykket over og brøken som helhet blir større. Dvs. at akselerasjonen er større for en mindre sirkel. Dette passer godt med v˚are daglige erfaringer, siden vi kjenner akselerasjonen best i en sving dersom svingen er skarp.
Akselerasjon i en sving
Anta at et legeme beveger seg med konstant fartvi en sirkel med radiusr. Det virker da en akselerasjon inn mot sentrum av sirkelen. Størrelsen p˚a denne akselerasjonen er gitt ved:
a= v2
r (2.5)
Eksempel: Akselerasjon fra jordens bevegelse rundt solen
Jorden g˚ar i en bane rundt solen. Siden vi følger jordens bevegelse, er alle mennesker p˚a jorden utsatt for en akselerasjon. Hvorfor merker vi noe til denne akselerasjonen?
Løsning Jorden bruker ca. 356.26 dager eller t = 31558464 sekunder p˚a ˚a bevege seg rundt solen. La oss anta at jorden beveger seg i en sirkel rundt solen (i virkeligheten er banen litt elliptisk). Avstanden fra jorden til solen er 149.6 millioner km, som blir radiusen i sirkelen. Omkretsen til denne sirkelen,s, er dermed:
s= 2πr Slik at farten til jorden blir
v= s t = 2πr
t
Akselerasjonen til jorden pga. dens bevegelse rundt solen er dermed:
a= v2 r =
2πr t
2
r
= 4π2r
t2 = 4π2·1.496·1011 m (31558464 m)2 =
= 5.830·10−3 m/s2
Dette er en akselerasjon som er ca. 1653 ganger s˚a liten som akselerasjonen til et eple som faller fra et tre! Akselerasjonen er s˚apass liten at vi ikke merker noe til den.
2.3.1 Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon
Dersom akselerasjonen ikke endrer verdi eller retning, sier vi at akselerasjonen erkonstant.
Bevegelse ved konstant akselerasjon er en veldig viktig del av fysikken da det er flere situa- sjoner hvor vi enten f˚ar konstant akselerasjon eller tilnærmet konstant akselerasjon. Det mest kjente eksemplet er akselerasjonen til legemer i fritt fall. En kloss som sklir bortover et gulv, blir bremset opp av en akselerasjon som er tilnærmet konstant. Som vi snart skal se, er det spesielt viktig ˚a kunne finne beskrivelser avrettlinjet, eller `endimensjonel, bevegelse med konstant akselerasjon.
Anta at vi har en rettlinjet bevegelse og ser p˚a hastigheten til et legeme med konstant akselerasjon. Siden akselerasjonen,a, er konstant, vil det si at legemets hastighet øker med samme rate hele tiden. Dersom legemet har hastigheten v ved tiden t og hastigheten v0 ved tiden t= 0, vil akselerasjonen til legemet bli
a= ∆v
∆t = v−v0 t som vi kan skrive om til
v=v0+at
Likningen over danner den første av fire kjente bevegelseslikninger ved konstant aksele- rasjon2. Likningen over viser hvordan farten endrer seg med konstant akselerasjon, mens likningen
s=v0t+1 2at2
beskriver hvordan posisjonen endrer seg med konstant akselerasjon. Av bevegeleslikningene, er det disse to vi kommer til ˚a bruke mest i denne boken. Dersom man ønsker ˚a løse ulike praktiske problem hvor man har rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon, er ogs˚a likningen
s= v+v0
2 t og
2as=v2−v20
2Se kap. B.1 for utledning av alle disse bevegeleseslikningene
mye brukt. Disse likningene viser ulike sammenhenger melloms,a,v,v0 ogt. Hvilke likning man skal bruke, avhenger av hvilket problem man har og hvilke opplysninger man har til r˚adighet. I denne boken kommer vi som sagt til ˚a fokusere p˚a de to første likningene.
Dersom vi ser p˚av som en funksjon av ti den første likningen ogssom en funksjon av ti den andre, vil grafen til v(t) bli en rett linje.
Figur 2.15: Grafen tilv=v0+atblir en rett linje.
Vi ser av grafen at den krysser andreaksen (v-aksen) i v0. Funksjonens(t) kjenner vi igjen som en annengradsfunksjon. Denne har dermed en parabel som graf. Grafen under kan f.eks. vise hvordan høyden til en stein som blir kastet rett opp avhenger av tiden.
Figur 2.16: Grafen til s = v0t+ 12at2 blir en parabel. Figuren til høyre viser en situasjon med konstant akselerasjon. Variabelenser her da høyden over handa som funksjon av tiden.
Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon
Et legeme som beveger seg med rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon, opp- fyller likningene
v=v0+at (2.6)
s=v0t+1
2at2 (2.7)
hvor s og v er henholdsvis posisjonen og hastigheten ved tiden t, v0 er hastigheten ved tiden t= 0 ogaer legemets akselerasjon.
2.3.2 Galileis fallov
Før Galilei undersøkte bevegelsen til fallende legemer, mente man at hvor fort et legeme falt pga. tyngdekraften, avhengte av hvor stor masse et legeme hadde. Man s˚a jo at ei lett fjær falt mye saktere enn en tung stein. Galilei undersøkte bevegelsen til fallende legemer ved ˚a la dem trille ned et skr˚aplan. Dette gjorde det mulig ˚a undersøke bevegelsen mye mer nøyaktig enn tidligere siden kulene trillet sakte nok til ˚a gjøre nøyaktige m˚alinger. En av de store oppdagelsene Galilei gjorde var ˚a vise at fallbevegelsen til kulene var uavhengig av massen til kulene. En tung kule trillet like fort som en lett kule! Og slapp han kulene fra samme høyde, traff de bakken samtidig selv om de hadde forskjellige masser.
Figur 2.17: I fravær av luftmotstand, faller alle legemer p˚a jordens overflate ned mot jorden med samme akselerasjon, g, uavhengig av masse.
Dersom kulenes fallbevegelse ikke var avhengig av massen, hvorfor faller da fjæren sak- tere enn steinen? Svaret ligger i at b˚ade steinen og fjæren er omringet av luft mens de faller.
N˚ar fjæren faller, m˚a den dytte vekk luftmolekyler som er i veien. Det samme m˚a steinen, men pga. at steinen har større masse, er det lettere for steinen ˚a dytte vekk luftmolekylene (mer om dette i kapitlet om krefter). Resultatet er at fallbevegelsen til fjæren blir bremset mer enn bevegelsen til steinen pga. motstand mot luften. Dersom vi hadde sett bort ifra denne luftmotstanden, f.eks. ved at fjæren og steinen falt i et lufttomt rom, ville b˚ade
steinen og fjæren falle med samme akselerasjon mot jorden. Dette er Galileis fallov:
Galileis fallov
Alle legemer p˚a jordens overflate faller mot jorden med samme akselerasjon,g≈9.8 m/s2 dersom man ser bort ifra luftmotstanden og at det kun er tyngdekraften som bidrar til bevegelsen. Et legeme som kun blir p˚avirket av tyngdekraften, sier man er ifritt fall.
Selv om luftmotstanden er relevant for alle legemer som faller p˚a jorden, vil den i mange tilfeller være neglisjerbar, f.eks. hvis legemet ikke har for stor overflate og ikke faller med for stor fart. En stein faller med større akselerasjon enn et horisontalt A4-ark. Arket har en stor overflate og kolliderer derfor meg mange luftmolekyler under fallbevegelsen. Krøller man sammen papiret, blir overflateareaet mye mindre og arket faller med tilnærmet lik akselerasjon som steinen. I denne situasjonen kan man regne p˚a fallbevegelsen som om luftmotstanden ikke er der. Luftmotstanden er neglisjerbar. Siden matematikken i fysiske problemstillinger blir fort mye mer komplisert n˚ar vi inkluderer luftmotstanden, kommer vi til ˚a som regel se bort ifra luftmotstanden i eksempler og oppgaver. Dersom ikke noe annet er spesifisert, kan du anta at eksemplet ser bort ifra luftmotstanden.
Eksempel: Fallende eple
Et eple henger fra en gren som er 2.0 m over bakken. Dersom eplet faller, hvor lang tid tar det før eplet treffer bakken?
Løsning: Vi antar at eplet faller langs en rett linje, slik at vi kan bruke bevegelsesliknin- gen
s=v0t+1 2at2
ders representerer høyden over bakken. Vi antar at eplet er i ro n˚ar det begynner ˚a falle, slik at v0= 0. Samtidig har vi at akselerasjonen til legemet er a=g. Dette gir oss
s= 1 2gt2 t2= 2s
g t=
s2·2.0 m 9.8 m/s2
= 0.638877 s≈0.64 s
2.3.3 Dekomponere bevegelse med konstant akselerasjon Vi tar for oss følgende spørsm˚al:
I den ene h˚anden holder vi en pistol, mens vi holder en stein i den andre h˚anden.
Mens vi holder pistolen horisontalt, avfyrer vi et skudd samtidig som vi slipper steinen i den andre h˚anden. Selv om kulen hadde en utgangsfart p˚a 400 m/s, treffer begge kuler bakken samtidig. Hvorfor treffer de bakken samtidig?
Svaret p˚a dette spørsm˚alet ligger i en av de viktigste egenskapene til vektorer. B˚ade posi- sjonen, hastigheten og akselerasjonen til kula og steinen er vektorer. N˚ar vi legger sammen vektorer, legger vi sammen tilhørende komponenter3. Dersom vi deler opp all bevegelse i en horisontal og vertikal del, vil vi kunne regne p˚a alle bevegelse i vertikal og horisontal retning uavhengig av hverandre. Etter at kula har forlatt pistolen og steinen har forlatt h˚anden, har begge den samme akselerasjonen, g, som peker rett nedover. Siden akselerasjonen kun virker i vertikal retning ellery-retning, vil den kun p˚avirke den vertikale bevegelsen til kula og steinen. I vertikal retning har b˚ade kula og steinen samme hastighet. Steinen starter i ro, mens kula har en horisontal hastighet. B˚ade steinen og kula begynner s˚a ˚a f˚a samme vertikal bevegelse pga. den vertikale akselerasjonen, og de treffer derfor bakken samtidig.
Vi kan ogs˚a vise dette matematisk. Lav være hastigeten til steinen. Siden den beveger seg i en rett linje, kan vi bruke bevegelseslikningen
v=v0+at
Siden steinen starter i ro, har vi v0 = 0. Dersom vi lar positiv retning være oppover, vil akselerasjonen blia=−gog vi f˚ar:
3Se kap. A.5.1
Figur 2.18:En kule,a, blir skutt rett frem samtidig som en steinbblir sluppet fra samme høyde.
Bildene er avbildet ved p˚a ulike tidspunkt i fallet. Det er g˚att like mye tid mellom hver avbilding.
Legg merke til atvxer konstant, mens lengden avvb we lik vy.
v=−gt
Kula, derimot, beveger seg i et plan (vertikalt og horisontalt, eller x- og y-retning), s˚a da vil bevegelseslikningen v˚ar bli p˚a vektorform
v =v0+at
Starthastightene til kula virker i horisontal retning. Dvs. at den kun har enx-komponent, slik at vi kan skrive den som
v= [v0,0]
Akselerasjonen, derimot, virker kun i negativ y-retning, s˚a den kan skrives p˚a formen:
a= [0,−g]
Dersom vi skriver hastigheten som v = [vx, vy], vil vx representere den horisontale has- tigheten, alts˚a hvor fort kula beveger seg ’bortover’, mensvy representerer hvor mye den beveger seg ’oppover’ eller ’nedover’. Setter vi inn i bevegeleslikningen, f˚ar vi:
[vx, vy] = [v0,0] + [0,−g]t
For ˚a regne ut denne addisjonen, bruker vi regler for vektoraddisjon4. N˚ar to vektorer ad- deres, kan vi legge sammen tilhørende komponenter, dvs. x-komponent medx-komponent, ogy-komponent medy-komponent. Vi bruker ogs˚a regelen som sier at dersom vi ganger et tall med en vektor, s˚a kan vi gange tallet med hver av komponentene. Dette gir oss
[vx, vy] = [v0,−gt]
N˚ar vi sammenliknerx-komponenten ogy-komponenten p˚a hver side av likheten, ser vi at vx =v0
og
vy =−gt
Dette viser oss to ting. For det første ser vi at den vertikale hastigheten, vy, har identisk uttrykk som hastigheten til steinen. B˚ade steinen og kula faller med samme vertikale has- tighet, og vil derfor ogs˚a treffe bakken samtidig. Vi ser ogs˚a at den horisontale hastigheten til kula bare er lik v0 under hele turen. Siden det ikke virker akselerasjon i horisontal retning, vil kula bevege seg horisontalt med konstant hastighet.
Vi kan gjøre en slik oppdeling av bevegelsen for for b˚ade bevegelseslikningen v =v0+at
og
s=v0t+1 2at2 som vi skal se eksempel p˚a under.
4Se kap. A.5.1
Dekomponere bevegelse
N˚ar et legeme beveger seg med konstant akselerasjon i flere dimensjoner, kan vi dekom- ponere bevegelsen og regne p˚a bevegelsen i hver dimensjon som rettlinjede bevegelser med konstant akselerasjon uavhengig av hverandre.
Eksempel: Skyte eple
Løpet til en pistol peker rett mot et eple i et tre et stykke unna. Akkurat idet pistolen avfyrer en kule mot eplet, begynner eplet tilfeldigvis ˚a falle mot bakken. Kommer kula til
˚a treffe eplet?
Figur 2.19: Løpet til en pistol peker rett mot et eple. Vil kula treffe eplet dersom eplet begynner
˚a falle nøyaktig samtidig som kula blir avfyrt?
Løsning Ja, kula kommer til ˚a treffe (gitt at pistolen er nærme nok til at kula rekker
˚a komme bort til treet før eplet treffer bakken). Siden b˚ade kula og eplet blir p˚avirket av samme akselerasjon nedover, vil begge ’falle’ like mye fra hvor de ville vært dersom det ikke hadde vært noen tyngdeakselerasjon. Hadde det ikke vært for tyngdeakselersjonen, ville kula vært i samme høyde som eplet n˚ar den kommer til treet. Siden de har samme akselerasjon og ’faller’ like mye, kommer kula og eplet til ˚a ha samme høyde n˚ar kula kommer bort til treet, og kula treffer fortsatt eplet selv om det faller.
Vi kan ogs˚a vise dette matematisk. Siden det ikke er spesifisert hverken avstand til treet, hvor høyt eplet sitter, eller farten til kula, m˚a vi regne det ut mer generelt. Vi kaller avstanden til treet for sog den opprinnelige høyden til eplet for h. Anta at kula kommer til treet etter tiden t. Eplet har da høyden he og kula høyden hk. Vi m˚a vise at disse er like. Vi dekomponerer farten til kula i en en x- og y-komponent, vx og vy. Siden det kun virker en akselerasjon i negativ y-retning, f˚ar vi for kula:
s=vxt hk=vyt−1
2gt2
og for eplet har vi at høyden til eplet etter tiden t er gitt ved den opprinnelige høyden minus strekningen det har falt pga. tyngdeakselerasjonen:
he=h−1 2gt2
Fra tegningen under ser vi at trekanten medvy ogvxsom kateter, er formlik som trekanten medsog hsom kateter. Da vil forholdet mellom katene være lik for begge trekantene, dvs.
vy
vx = h s
Figur 2.20:Kule som blir skutt rett mot eplet.
Dersom vi skriver om likningen s = vxt til t = s/vx, kan vi settte dette inn i det første leddet i uttrykket for hk samt utnytte formlikheten av trekantene. Vi f˚ar da
hk =vyt−1 2gt2 hk =vy s
vx
− 1 2gt2 hk = vy
vx
s−1 2gt2 hk = h
ss−1 2gt2 hk =h−1
2gt2 hk =he som var det vi skulle vise.
2.4 Relativitetsteori
Vi har sett at posisjonen til et legeme er en relativ størrelse. Hva posisjonen til et legeme er, avhenger av hvor vi har definert origo. Vi sier at legemet har en bestemt posisjon relativt til origo. Hastighet og fart er ogs˚a relativt størrelser.
Figur 2.21: Hastighet og fart er relative størrelser.
Anta at en person en person g˚ar i midtgangen i et tog med fart p˚a 1.4 m/s. Alle som sitter inni toget vil være enige om at personen beveger seg med denne farten. Anta at toget passerer en stasjon med farten 25 m/s. En person som st˚ar p˚a perrongen p˚a sta- sjonen, vil ikke si at personen i toget beveger seg med 1.4 m/s. Han ser jo personen fyke
forbi inni toget, s˚a fra hans st˚asted beveger personen inni toget seg med g˚afarten pluss farten til toget, dvs. 26.4 m/s. Fart er en relativ størrelse og m˚a alltid m˚ales relativt til et referansesystem. En person inni toget m˚aler alle hastigheter relativt til toget. Toget er da personens referansesystem. Personen utenfor m˚aler farten til personen inni toget relativt til stasjonen. Stasjonen blir da brukt som referansesystem.
Eksempel: Kaste eple i bil
Ola er passasjer i en bil som kjører med konstant hastighet p˚a 60 km/h. Dersom Ola kaster et eple rett opp inni bilen (vi antar at eplet ikke treffer taket), beskriv bevegelsen til eplet sett fra Olas st˚asted, samt hvordan bevegelsen ser ut for en person som st˚ar ved veikanten og ser p˚a.
Figur 2.22: Fra Olas st˚asted (A), ser det ut som at eplet beveger seg rett opp og ned. Fra noen som st˚ar utenfor bilen (B), ser det ut som at eplet beveger seg i en parabel siden bilen beveger seg med fartenv.
Løsning Siden bilen kjører med 60 km/h, vil b˚ade Ola og eplet ha en horisontal has- tighet p˚a 60 km/h idet eplet forlater handa. I tillegg vil eplet ha en vertikal hastighten lik hastigheten Ola kaster eplet opp med. Siden det kun virker en akselerasjon i negativ retning, tyngdeakselerasjonen, vil eplet ikke endre sin horisontale hastighet. Den beveger seg bortover veien med en hastighet p˚a 60 km/h. Det samme gjør b˚ade bilen og Ola, s˚a sett fra Olas st˚asted vil eplet bare bevege seg rett opp og ned igjen, akkurat som om han hadde vært i ro n˚ar han kastet eplet. En person som ser bevegelsen fra veien, derimot, ser
eplet bevege seg med b˚ade en horisontal og vertikal hastighet. Sett fra denne personens st˚asted, ser det ut som at eplet følger en parabel.
2.4.1 Einsteins spesielle relativitetsteori
Et av de store oppdagelsene i forrige ˚arhundre, var farten til lys i vakum. Lys er en elekt- romagnetisk bølge som beveger seg med farten c = 299792458 m/s ≈ 3.00·108 m/s. Det mest interessante med denne farten, er ikke selve verdien, men hvordan den oppfører seg i forskjellige referansesystem. Vi tar for oss togeksemplet over. Anta at en person inni toget lyser med en lommelykt. Dersom personen inni toget har utstyr f˚ar ˚a m˚ale farten til lys, vil han m˚ale en fart tilnærmet lik verdien over (lyset g˚ar littegrann saktere i luft enn i vakum).
Det store spørsm˚alet blir da; hvilken verdi for lysfarten vil personen utenfor m˚ale? Vil per- sonen utenfor oppleve hastigheten til lyset til ˚a være lysfarten i vakum pluss hastigheten til toget? Hva hvis toget beveger seg nær lysets hastighet og i tillegg beveger seg bort fra perrongen? Legger vi sammen hastighetene til lyset og toget, f˚ar vi da en hastighet nær null. Vil lyset fra toget st˚a nesten stille sett fra personen p˚a perrongen?
Det oppsiktsvekkende svaret p˚a denne problemstillingen er at b˚ade personen inni toget og personen p˚a perrongen m˚aler samme lysfart, c= 3.00·108 m/s! B˚ade personen utenfor og inni toget opplever lysfarten likt. Eller sagt p˚a en annen m˚ate: Lysfarten er den samme uansett hvilket referansesystem vi bruker. Egentlig er dette bare en halvvegs sannhet. En mer presis formulering er at lysfarten er den samme i alle treghetssystem. Et treghetssys- tem er et referansesystem som ikke er under akselerasjon. Slike systemer er viktige fordi alle fysiske lover oppfører seg likt i alle treghetssystem. Anta at toget beskrevet tidligere beveger seg med konstant fart. Dersom toget ikke hadde vindu eller laget lyd, s˚a ville en person inni toget ikke vært i stand til ˚a avgjøre om toget var i bevegelse eller om det st˚ar stille, uansett hvilke fysikkforsøk denne personen kunne komme p˚a ˚a utføre. I eksemplet med bilen som kjørte med konstant hastighet, s˚a vi at Ola opplevde bevegelsen til eplet p˚a samme m˚ate som om han hadde st˚att i ro utenfor bilen. At alle fysiske lover oppfører seg likt i alle treghetssystem, og at lysfarten er identisk i alle treghetssystem, danner grunnla- get for Einsteins spesielle relativitetsteori.
Einsteins postulater om den spesielle relativitetsteorien Einstein postulerte at:
1. Alle lover i fysikken oppfører seg likt i alle treghetssystem.
2. Lysfarten, c, i vakum er identisk i alle treghetssystem.
At lysfarten er konstant i alle treghetssystem, kan ved første øyekast virke som ikke noe
